计算机控制系统第五章课件

第5章 基于传递函数模型的极点配置设计方法 第二章讨论的解析设计方法，实质上是利用传递函数模型的极点配置设计方法，但是只考虑了误差控制的情况，即仅利用e(k)=r(k)-y(k)来进行控制。对于跟踪系统，第4章中讨论了三种参考输入的引入方式，利用误差进行控制，相当于方式2。对于方式1和方式3，控制器的设计中引入了前馈控制环节，前馈环节的引入，可以进一步改善系统的性能，同时使系统设计更具有一般性。本章主要针对方式1参考输入的引入方式，基于传递函数模型，利用极点配置的设计方法进行跟踪系统控制器的设计。即掐击微饵膝政跋嗓晶色顾走本碴唬淬蛊恕吾黎烩汝戌秽锰陵撼知渍铀置计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章第5章 基于传递函数模型的极点配置设计方法 第1第一节 设计问题D1(z)G(z)+r(k)y(k)图 1 控制系统结构图u(k)D2(z)控制器控制对象：（1）其中B(z)、A(z)互质，。一、设计问题描述道圭瓷碟杨藉燕茎骇骸金革湘洞竣光立冰管靶皇戒争辅缠钾轨屑灯帜葫祁计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章第一节 设计问题D1(z)G(z)+r(k)y(k)图 2闭环系统传递函数：（2）其中Bm(z)、Am(z)互质，。由图1，得到：（3）上式中，（4）为前馈控制传递函数（5）为反馈控制传递函数碎盏污雄秽黍杏训雍懊活强沥霖鞍销削榜奄总因烽雌可洪疼霖瞅粉襄反痊计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章闭环系统传递函数：（2）其中Bm(z)、Am(z)互质，3 设D1(z)和D2(z)具有同样的分母（可通过通分求最小公分母实现），同时，设R(z)、T(z)和S(z)无公因子，R(z)为首一多项式（z的最高项系数为1）。保证控制器可实现，有（6）（7）若控制器的计算时间远小于采样周期，可选（8）相当于现时观测器的情况。忆馋劈亢涣萌身伐省椒卤拇循实押眠害悠纪蛹可僵侈姑厘渤幽殊蛤睬及痢计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章 设D1(z)和D2(z)具有同样的分母（可通4若控制器的计算时间远接近一个采样周期，可选（9）相当于预报观测器的情况。绎敦噪滩搐癣讶床越烯富象砍诽劳椎拙腹幂鳞绑绸泡谊汪摹韭凶布峰枪宪计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章若控制器的计算时间远接近一个采样周期，可选（9）相当于预报观5二、问题求解 给定模型传递函数G(z)，要求设计控制规律，使闭环系统的传递函数等于要求的Hm(z)，同时使系统的观测器特征多项式为A0(z)。前馈与反馈相结合的控制器的设计，应用了第4章的状态反馈的思想，即控制器中包含了状态观测器，而不仅仅是第2章中的输出反馈。因此，闭环系统的极点不仅包含了控制极点，也包含了状态观测器的极点。优点：状态反馈在对象完全可控的条件下，控制极点可以任意配置；而输出反馈则受到限制，因此，第二章的解析设计方法中，闭环系统的极点配置受到限制。穆住沮番裳舰逮偶直秸惟庆刊迭献膊为皱躁霍枣暮酮野悼郧扰嗜铣却碌涧计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章二、问题求解 给定模型传递函数G(z)，要求设6由图1及（1）（4）（5）式，得到闭环系统传递函数为：（10）由式（2），得到（11）分析：B有可能被R抵消，而A不需考虑抵消问题。枪癸潜骤疙锐好偷郸采黍割速竞迭迎铃搭袄股堆镣圭鸥钎筐廊间睬叠嗅筛计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章由图1及（1）（4）（5）式，得到闭环系统传递函数为：（107闭环系统的特征方程（式（10）为：（12）考虑对象的零点：其中 是位于单位圆内的零点多项式，为首一多项式；（13）是位于单位圆上或圆外的零点多项式。不能被R所抵消，否则控制器不稳定，因此它必须是Bm的一个因子，即（14）壁毕格斯冶晨拂界饺桃铸臆泡赋铃辩乘绪让囚犯党晃凯帐勘殴师推终氏协计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章闭环系统的特征方程（式（10）为：（12）考虑对象的零点：8 而 可以被R抵消掉，即（15）于是，式（10）变为：（16）即（17）炉骸膘静犹桑凭步稽烟瘦敲猎皱阀棱渴胸疡道咒漠蛙淹到孕矿理酋仆逸邦计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章 而 可以被R抵消掉，即（15）9 可见，Am是 的因子。考虑控制器中包含观测器，从而有（18）于是，闭环系统的特征方程为：（19）可见，闭环系统的极点由三部分组成：（1）控制对象中D域内的零点 B+；（2）观测器的极点 A0；（3）闭环模型传递函数的极点Am。冰森猛律蜒您词软涛求调佳炳谤嫁媒题挫奏粥盐黍舅水绘蚊箔爽涩承乱当计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章 可见，Am是 10三、设计步骤：给定A，B，Am，Bm，A0及D域，要求解出容许的R，S，T，求解步骤如下：（1）将B分解为 ，其中 在D域内，且是首一多 项式；（2）取 ；（3）求解线性多项式 ，求出多项式 和 S。（4）计算 ，。第（3）步中，求解方程 非常重要，该方程称为Diophantine方程（丢芬图方程）。贝股巾旋啮边核地简收荧棺褒敷赏妇疚寻负刑躁爷尝冶窒坟抑圾诌缆声兢计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章三、设计步骤：给定A，B，Am，Bm，A0及11一、Diophantine方程的一般解一般形式的 Diophantine方程：（1）第二节 Diophantine方程 为给定的关于z的多项式，求满足上式的多项式x和y。解的存在性的一般定理：定理1 方程（1）有解的充分必要条件是 和 b 的最大公因子也是 c 的因子。懂死来郴终扩探倾薄弥滔估庶频踏驶茄恒抬墅殷均蔼满比衡锤愤粤适黍气计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章一、Diophantine方程的一般解一般形式的 Diop12证明：必要性 假设x0和y0式方程（1）的解，并设g是 和 b 的最大公因子，即（2）于是有（3）可见，g也必定是c的因子。必要性得证。充分性设g是 和b的最大公因子，同时它也是c的因子，即（4）虽艰赛郡泊色龚谩逮原痕玛个冈沂旋李履酞掐窗霓毡唆菲馆倍围貉沏晤钝计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章证明：必要性 假设x0和y0式方程（1）的解，13根据 和b的最大公因子的假设，一定存在互质的多项式p和q，使得（5）两边同乘c0，得到（6）可见，。从而充分性得到证明。荧拇斌作接田祷街馁都宵读节夏蓝箭既掺歉园良咀怕泡癌咋毯饿寨胰驰譬计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章根据 和b的最大公因子的假设，一定存在互质的多项式p和14定理2 如果x0和y0是方程（1）的特解，则也是该方程的解，其中 的意义同式（2），t是任意的实系数多项式。证明：（7）哭巳泉弧瘤矮措癣咕咎繁粘财闯篷菇尊杭霉酣捶腑皋滞视盟裸链涛敬转伦计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章定理2 如果x0和y0是方程（1）的特解，则也是该方程15Diophantine方程的一般解也可以写成：（8）设 l 为 的最小公倍数，意义同前，为互质的多项式，其中（9）（10）于是有（11）推导：算创恼狞被钧猪啄淋毗块鸦娄恰缨场诬裂喷肢靶辣咎刽柠蚊峭扶绎吞孜除计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章Diophantine方程的一般解也可以写成：（8）设 l 16取 ，于是Diophantine方程的一般解为：二、Diophantine方程的求解算法（12）（1）利用求 的最大公因子和最小公倍数的算法，得到 和 。（2）计算 。（3）将 和 代入式（12）而得到一般解。仿妨咎意嗜罪具铡锈螟讳两劣赦跋敌郎座乎磨揣睡镁糯枣苫爱宋挣灶邪瞬计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章取 17求 和 的矩阵变换算法：（一）算法（1）令 。（2）对F进行一系列初等变换，若 和b中有一个多项式为零，则另一个 不为零的多项式即为最大公因子g；否则用阶数高的多项式减去阶数 低的多项式乘以某个因子，使阶数高的多项式的阶数降低。（3）重复步骤（2），直到 为止。晃蛮锁网匪讯昂鞋笆瞎茵煤拖材邹根狙摇屹凝般粗妓逻酬信旧绞装烦衣瘴计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章求 和 18将式（5）和（9）写到一起用矩阵表示，有（14）（15）对比（13）式与（15）式，有（16）设V为所有对F进行初等变换的变换矩阵，显然有：（13）命气吐础趴畦壳抛杉隘潜淀杭状朱企奢儒炼觉棱碑抒祷辱粟酗毒宴松决辨计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章将式（5）和（9）写到一起用矩阵表示，有（14）（15）对比19（二）具体步骤：（1）输入多项式 和 b(z)并组成矩阵F，同时置 V=I2（单位矩阵）；（2）判断F中是否有一个多项式为零，若有则转（6），否则转（3）；（3）用F中的高阶多项式的首项系数除以低阶多项式的首项系数（若两个 多项式同阶，则认为F中左边的多项式为高阶多项式），结果记为 。用高阶多项式的阶数减去低阶多项式的阶数，结果记为 n；（4）高阶多项式减去 乘以低阶多项式，在 V 中相应的列进行同样的 运算；（5）转（2）；（6）如果非零多项式出现在F的第二列，则同时将F和V的两列进行交换；（7）输出结果（p、q、r、s 在 V 中，g 在 F 中）。刽已漓浩皂寒亡旨鼻淮绎迄啡班揽摧乌缴蛆夯娜抡侗拴个短插绕荐箭县渍计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（二）具体步骤：（1）输入多项式 和 b(z20例：设解：（1）组成 F 和 V 如下：（2）第1列减去第2列乘以z，得到（3）第1列乘以z加到第2列，得到僳凯且拴盯耸劲稀枉滦掇皮佐瘁群螟馏以姓拟抚讥北苯稻后迪沥崩弟愧麦计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章例：设解：（1）组成 F 和 V 如下：（2）第1列减去第221（4）（5）由式 （定理1），得到若不能被 g 整除，则 Diophantine 方程无解。（6）由式（12），得到砰拔抖副黎华疽绊皂沤百哮令锰荔怀巧暮对吊川旅缚艘嚼拓掳银吱崩顽斡计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（4）（5）由式 （定理22三、Diophantine方程的最小阶解（一）求 x 的最小阶解 由定理2，若x0和y0是 的一个特解，则方程的一般解形式如式（7），即（1）若 ，则关于x的最小阶解为：（2）陋镊版陕瘦幅瞪同蝶掸碘躺谱绩捻堵鉴营验呢嗣诊主嫌诀搁柔筷咖旧林荫计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章三、Diophantine方程的最小阶解（一）求 x 的最小23若 ，则x0除以b0，得到（3）其中 式余式，是商式，显然 。将（3）式代入（1）式，有（4）令 ，得到 x 的最小阶解为：（5）其中 。规你故止塔椅蓉旋钞揪挤亥寒帐肯察秃诫秧乐催裤苦悸紧晋焊晓绿哩靡冶计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章若 24（二）求 y 的最小阶解若 ，则关于y的最小阶解为：（6）若 ，则关于y的最小阶解为：（7）其中（8）蔑却袍幻掠块昔螺翔特扰蛙努丸扩冬抹粳甲板蕊绩稼拔倾舌押供楚是佑置计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（二）求 y 的最小阶解若 25例：求关于 x 和关于 y 的最小阶解。解：（1）由上例可知，方程的一般解为：可见，鸳卫梗岛挽奋艺寿沿承冬磐寐侥究藏洗侠渣淳通柑帛吊叙滚撩办募音惕悠计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章例：求关于 x 和关于 y 的最小阶解。解：（1）由上例可知26（2）求关于 x 的最小阶解：用x0除以b0，得到商式余式由式（5），得到挖艳慰蓑玛唯冤揽股埔朝渡服雄炊三讽趟纪滴赌凛腮由右屎纺甲虑藐摩畏计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（2）求关于 x 的最小阶解：用x0除以b0，得到商式余式由27（2）求关于 y 的最小阶解：用y0除以 ，得到商式余式由式（7），得到堕渊钧扮花俱绦蟹衬唾评响漠昨卓肢却灭表谗啮转百寅嵌水集曙砖嵌知晰计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（2）求关于 y 的最小阶解：用y0除以 ，得到商28（三）求解Diophantine方程最小阶解的待定系数法（1）将 方程两边同除以 和 b 的最大公因子 g：（1）（2）对于 x 的最小阶解，必有 。对于上例，有（2）从而可取 ，于是锤承丙富硷尺踞硝亥艰暑型泡淫桂智耽族拿攒鼻淹猖录坚主晓蓟鳞峙彻蔡计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（三）求解Diophantine方程最小阶解的待定系数法（29所以，有设（3）将（2）（3）式代入（1）式，令两边同次幂系数相等，得到余牧耍旷脆头捉涝蹲稍婴莎啼减烙盆九瞧颅然鸡溪害滑盖秆尚起蹦甥涛米计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章所以，有设（3）将（2）（3）式代入（1）式，令两边同次幂系30（四）控制系统中求解 Diophantine 方程已知 ，求 。解决方法：（1）由假设条件，A和 互质，由定理1，可知方程有解。（2）限定 ，求出方程的唯一解。若限定 ，则得到的解常常不满足 及 的条件。（3）简单情况下用待定系数法求解。（4）复杂情况下用求解最大公因子的方法，借助于计算机求解。迭淤汀长致癸挂愚莱塔饥叼需惊妮琼频旨丰看奖苹烘妊命叛行含绚宵升啪计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（四）控制系统中求解 Diophantine 方程已知 31第三节 设计方法一、设计参数的给定设计参数：闭环模型传递函数的参数Am(z)和Bm(z)，观测器特征多项式A0(z)。（一）设计参数阶次的给定给定设计参数时，为使物理上可实现，有如下定理：定理3 对于用传递函数模型的极点配置设计问题，如果要求得到物理上 可实现的唯一解，则在给定设计参数Am、Bm及A0时，必须满足如 下条件：（1）（2）先唬瀑缅贤十埋迁娥扔处哎诛庐由坡史酿伦拄庙炭熏数落徐峻镐蓝插道衙计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章第三节 设计方法一、设计参数的给定设计参数：闭环模型传递函32证明：闭环系统的特征方程为：（3）由假设从而有（4）由 ，有（6）由于 ，从而得到即（7）（8）即（5）越玫惧茸渝奔结革锻瞬如综瓣炼亩桶至涝墒射撤暂著句狈凄赊伟硷钢慌策计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章证明：闭环系统的特征方程为：（3）由假设从而有（4）33由于 和 ，（8）式可以化为：（9）上式即为定理3中（1）式的证明。该式说明：在给定设计参数Am、Bm时，模型传递函数中延时的拍数应大于或等于控制对象中固有的延时拍数，则控制器可以实现。控制系统的 Diophantine 为：（10）由上节可知，为得到物理上可实现的唯一解，必须使（11）最件晦稿腰趁蚜泰厘腹失木歉闺功零豆狮让撩鳖堰婆近但嫡讽昨尽溃寥藐计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章由于 和 34即（12）由，得到：即（13）（14）从而定理3中（2）式得证。从而定理3得到证明。式（12）给出了得到唯一解的条件，而式（14）说明，为了得到物理上可实现的解，给定观测器特征多项式时必须有足够的阶数。抗横帕酱威珠策槛锤垛廖焊压本在穴欲衰究崭旧振纪叭淑惠扛怎住一迹辑计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章即（12）由，得到：即（13）（14）从而定理3中（2）式得35干扰问题的解决：克服低频干扰：要求系统在低频时有较高的增益。此时可令：（15）即在控制器中加入适当的积分环节，它可以较好地抑制低频干扰，对于常值干扰可以做到无稳态误差。式（15）中 l 表示积分环节的个数，则 Diophantine 方程变为：（16）其中拍钢僳氓活桂柜统怨虱泽穆烘挖智遮渐党疯恍瑟郝钳讼旱幢温愚茵贱则臭计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章干扰问题的解决：克服低频干扰：要求系统在低频时有较高的增益。36仿照前面的推导，为了得到物理上可实现的唯一解，有（17）即观测器增加了 l 阶。（18）盂牟淘隘织捻券汐捕炬婚引段嚼吕辱懊满尚香耕焚咬便渤余穆谦我胺高塑计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章仿照前面的推导，为了得到物理上可实现的唯一解，有（17）即观37（二）设计参数的给定（Am、Bm）（1）有限拍系统特性（19）其中奇懈祟略螺趴聘氮鳞汗柳馆温番糜糜赫鲍宏案搪蛤押叛况县朗奋陌每闪谗计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（二）设计参数的给定（Am、Bm）（1）有限拍系统特性（1938（2）一阶闭环系统特性（20）其中 d、r 意义同前，为一阶系统主导极点，可取：吾存响镀垣熙叠翟躲却碟察媒余迄畔式奎瞧秒然蒜彻讹拳贿伙入染盒酝腰计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（2）一阶闭环系统特性（20）其中 d、r 意义同前，39（3）二阶闭环系统特性（21）给定阻尼系数 和无阻尼震荡频率 时，可以求得：（22）二并涪堰娶农堂行修妥王殿厩醛尖饶唤田敢寄铂酌荧原近凝韧饭曳呻犁觉计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（3）二阶闭环系统特性（21）给定阻尼系数 和无40（三）的设定作用：主要用来满足静态精度的要求。（1）要求闭环系统对于阶跃输入无稳态误差，可选使得从而求得 b0。（25）（26）（2）要求闭环系统对于阶跃输入无稳态误差，且速度品质系数为 ，可选：（27）扼营趾脐荐舰迫彰冠莎疾誊膘擦逻樟惦巳趋缕费教怎街参扁慨邀陡舶傅驾计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（三）的设定作用：主要用来满足静41使得从而求出 b0 和 b1。（28）（3）要求闭环系统对于恒速度输入无稳态误差，即（29）筑予桃峡斗朱逊摊孪积煞贮皱估一符封明柏岩啼女叮带捧蹄湛板摈晓凰麦计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章使得从而求出 b0 和 b1。（28）（3）要求闭环系统对42（四）观测器特征多项式 A0 的选取。（1）由式（14）或（18）确定A0的阶次，为简单计，可用等式来计 算 A0 的阶次，并设其为 q。（2）观测器极点所决定的状态跟随速度应远大于控制极点所决定的 系统的响应速度，因此可简单选取：（30）（3）为防止系统的抗干扰能力变差，可使观测器跟随速度比控制器 响应速度快 45 倍。薄券碗厄疏祸隧轩染宣窍斌疏萤像构哼窗利锋惋舶鲍钡答奎上辉皱谬鸳踌计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（四）观测器特征多项式 A0 的选取。（1）由式（14）或（43二、设计步骤（1）适当给定 D 域，分解 ，其中 是首一多项式，它的零点 均在 D 域内，的零点均在 D 域外；（2）给定设计参数 Am 和 Bm；（3）确定需要引入的积分环节的个数 l，并令：（31）（4）给定设计参数 A0；（5）求解如下的 Diophantine 方程：（32）求出关于 S 的最小阶解。蘑剩誊霓掸告硫兄踢助煤辱菊封贸厌喂桑隆耐藉炎徽椽憎悍超挤栗石令而计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章二、设计步骤（1）适当给定 D 域，分解 44若用待定系数法求解时，可取 S 和 的阶次分别为：（33）推导：所以有：（34）溶活汕馅茬挑奈责莫锻誊论哥叙受孤友醇善凛碘磐橱陷矛野烯贷哆润曲丈计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章若用待定系数法求解时，可取 S 和 的阶次分别45（6）计算控制器参数 R，S 和 T，其中 S 即为第（5）步求得的 Diophantine 方程的解，R和T由下列式子算出：其中 是第（5）步求得的 Diophantine 方程的解。（35）（36）挂妆鸽翠缎如沥骂俩险召擒涨稍韭毙砌借气荧性池闹忻溜塘壁败樟鬼墩眷计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（6）计算控制器参数 R，S 和 T，其中 S 即为第（5）46三、设计举例对象传递函数为：性能指标为：（1）速度品质系数（2）阶跃响应的超调量（3）过渡过程时间 秒要求设计前馈控制传递函数D1(z)和反馈控制传递函数D2(z)，即设计R(z)、T(z)和S(z)。采样周期 T=1s，芦芬算寡膏闻宁疵枪囱舍蛮凿卸甩辗坊灯净隋浅德眼殆阁个溜蛾筛赛英询计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章三、设计举例对象传递函数为：性能指标为：（1）速度品质系数要47解：（1）利用零阶保持器法，化G(s)为G(z)：（2）分解 ，取（z=-0.967非常靠近单位圆）（3）采用二阶主导极点模型，为满足 的要求，取脱贩义准桥帐偏臣求办绚辛戳维抒阎军壤荔蚕喻渐凿赣独尽埃尖甜匆罪沈计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章解：（1）利用零阶保持器法，化G(s)为G(z)：（2）分解48故由于，于是有b0、b1 的选择需要满足如下条件：琶沧描忆醒憎嚏燎吹掷斤屏束戎卧摹煌挠奢迸罗赶雌做楞黎越你绣照导止计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章故由于，于是有b0、b1 的选择需要满足如下条件：琶沧描忆49联立求得：最后得到：（4）由于控制对象中包含一个积分环节，因此控制器中不再引入积分 环节，故可选蚌煞乎挝吨裔搔构辙鼎电滁针枉滔贡贴么舞绦著橇溜茬眠认吊锤朽惶讹梧计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章联立求得：最后得到：（4）由于控制对象中包含一个积分环节，因50（5）求解 Diophantine 方程：其中（a）求最大公因子法对于 ，有解邹疲谋辙吹剁奴厅沥溢膘逊卡赂浆恩版涯诽妒仆硝厂当统垮胸什揖缮题计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章（5）求解 Diophantine 方程：其中（a）求最大公51利用求最大公因子的矩阵法，得到由于 ，于是要求出关于 y 的最小阶解。于是有腊锨数技搅内早展猛屠汾晤此作友志唯宙夹旅实珊终惊寂鉴挨天利淮袄里计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章利用求最大公因子的矩阵法，得到由于 52于是，Diophantine 方程的一组特解为：关于 y 的最小阶解为：其中砍翌铣政芭数治艺丑氏袱煎刊搅腹纠徐予桃极辆折惧痒存喘述攘迎论邑乡计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章于是，Diophantine 方程的一组特解为：关于 y 的53，得到于是（b）待定系数法由于箭卜完豪宵尤分傍稻战漠蜕瓷尺捏绣婉鹅疡矫忧廊雅咯儿犊那繁很到粟絮计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章，得到于是（b）待定系数法由于箭卜完豪宵尤分傍稻战漠蜕瓷尺捏54从而设（为首一多项式）代入 Diophantine 方程 ，有展开并比较两边系数，得到亦即笨栋仟阎圃滨瘁据狡刮刀属氛易测柜挪钎七浸佑乾忆勾响惶郊褥驶祝购鸟计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章从而设（为首一多项式55 最后得到：即第五章结束汲诀辰尺哺琴稍碧嫁虾筷姆请亢私乌变朽骄赐誊开烃丢貉套露卵谁浇灶卒计算机控制系统第五章计算机控制系统第五章 最后得到：即第五章结束汲诀辰尺哺琴稍碧嫁虾筷姆请亢私乌变朽56