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3-4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题23.4.1 工程中的摩擦现象工程中的摩擦现象平衡必计摩擦平衡必计摩擦 摩擦摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滚动摩擦滚动摩擦滚动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦静滑动摩擦静滑动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦动滑动摩擦动滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦动滚动摩擦摩擦摩擦摩擦摩擦干摩擦干摩擦干摩擦干摩擦湿摩擦湿摩擦湿摩擦湿摩擦31、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）就是接触面对物体作用的切向约束反力）2、状态状态：静止：静止：临界：（将滑未滑）临界：（将滑未滑）滑动：滑动：3.4.2 3.4.2 滑动摩擦力滑动摩擦力一、静滑动摩擦力一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：所以增大摩擦力的途径为：加大正压力加大正压力N,加大摩擦系数加大摩擦系数f （f 静滑动摩擦系数）静滑动摩擦系数）（f 动摩擦系数）动摩擦系数）4（f 只与材料和表面情况有关，只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）与接触面积大小无关。）3、静摩擦力特征、静摩擦力特征大小：大小：方向：方向：定律：定律：（平衡范围）满足（平衡范围）满足与物体相对滑动趋势方向相反与物体相对滑动趋势方向相反库伦摩擦定律库伦摩擦定律（f 只与材料和表面情况有关，与接只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）触面积大小无关。）对多数材料，通常情况下对多数材料，通常情况下二、动滑动摩擦力：二、动滑动摩擦力：动摩擦力特征：动摩擦力特征：大小：大小：方向：方向：定律：定律：（无平衡范围）（无平衡范围）与物体运动方向相反与物体运动方向相反 摩擦角摩擦角 全反力全反力FFNFR全反力全反力 FR=FN+F最大全反力最大全反力FR对法向反力对法向反力FN的偏角的偏角f。FmaxFNFRm f最大全反力最大全反力:FRm=FN+Fmax3.4.3 3.4.3 摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象由此可得重要结论：由此可得重要结论：摩擦角的正切摩擦角的正切=静摩擦因数静摩擦因数 摩擦角摩擦角最大全反力最大全反力FRm对法向反力对法向反力FN的偏角的偏角f。FmaxFNFRm f最大全反力最大全反力 FRm=FN+Fmax以支承面的法线为轴作出的以以支承面的法线为轴作出的以2f 为顶角的圆锥为顶角的圆锥。摩擦锥摩擦锥性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角 不大于摩擦角。不大于摩擦角。摩擦锥的性质摩擦锥的性质摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。物体平衡时有物体平衡时有0FFmax则有则有0 f所以物体平衡范围所以物体平衡范围0FFmax也可以表示为也可以表示为0 f。10四、自锁四、自锁 定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正 压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。当 时，永远平衡（即自锁）自锁条件：两个重要结论两个重要结论 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。则不论这个力多大，物体总能平衡。FPFR f这种现象称为这种现象称为自锁自锁。如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。FPFR f 两个重要结论两个重要结论13摩擦系数的测定摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出角，tg=f,(该两种材料间静摩擦系数)自锁应用举例斜面自锁条件斜面自锁条件斜面自锁条件斜面自锁条件螺纹自锁条件螺纹自锁条件螺纹自锁条件螺纹自锁条件3.4.4 3.4.4 考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。前面基本相同。几个新特点几个新特点2 严格区分物体处于临界、非临界状态；严格区分物体处于临界、非临界状态；3 因因 ，问题的解有时在一个范围内。，问题的解有时在一个范围内。1 画受力图时，必须考虑摩擦力；画受力图时，必须考虑摩擦力；例例例例1:1:1:1:均质杆均质杆均质杆均质杆ABABABAB，重为，重为，重为，重为P,AP,AP,AP,A端放于粗糙的水平面上，端放于粗糙的水平面上，端放于粗糙的水平面上，端放于粗糙的水平面上，B B B B端端端端用无重细绳拉住，且使用无重细绳拉住，且使用无重细绳拉住，且使用无重细绳拉住，且使A A A A、B B B B、C C C C三点在同一铅锤平面三点在同一铅锤平面三点在同一铅锤平面三点在同一铅锤平面内。今测得杆的内。今测得杆的内。今测得杆的内。今测得杆的A A A A端将要向左滑动的趋势，端将要向左滑动的趋势，端将要向左滑动的趋势，端将要向左滑动的趋势，角已角已角已角已知，求杆与地面间的摩擦系数。知，求杆与地面间的摩擦系数。知，求杆与地面间的摩擦系数。知，求杆与地面间的摩擦系数。ABcAB分析分析:1、取分离体，画受力图2、建立图示坐标系3、列平衡方程19例例2 已知：=30，G=100N，f=0.2 求：物体静止时，水平力Q的平衡范围。当水平力Q=60N时，物体能否平衡？20解解：先求使物体不致于上滑的 图(1)21同理同理：再求使物体不致下滑的 图(2)解得：平衡范围应是平衡范围应是22Q与与F形成主动力偶使前滚形成主动力偶使前滚3.4.5 3.4.5 滚动摩阻滚动摩阻23此力系向A点简化 滚阻力偶M随主动力偶（Q,F）的增大而增大;有个平衡范围;滚动滚动 摩擦摩擦 与滚子半径无关;滚动摩擦定律：，d 为滚动摩擦系数。滚阻力偶与主动力偶（滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡）相平衡d24滚动摩擦系数滚动摩擦系数 d d 的说明的说明：有长度量纲，单位一般用mm,cm；与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。d 的物理意义见图示。根据力线平移定理，将N和M合成一个力N，N=Nd纯滚动条件1.1.取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。2.2.受力分析如图。受力分析如图。例例3 3 匀匀质质轮轮子子的的重重量量 W=10 kN，半半径径 R=0.5 m；已已知知轮轮子子与与地地面面的的滚滚阻阻系系数数=0.005m，摩摩擦擦因因数数 fs=0.2，问问轮轮子子是先滚还是先滑？是先滚还是先滑？通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。解解:WAROFPAOMr,maxFfFNWFP3.3.列平衡方程。列平衡方程。讨论滑动：讨论滑动：临界时 Ff=Fmax=fsFNFP1=Ff=fs FN =fs W =0.2 10=2 kN讨论滚动：讨论滚动：临界时 M r=Mr,max=FN比较可知先滚动。比较可知先滚动。AOMr,maxFfFNWFP轮子只滚动而不滑动的条件轮子只滚动而不滑动的条件临界时临界时 FP2 FP1 FP1=Ff=fs FN=fsW即即实际上实际上所以轮子一般先滚动。所以轮子一般先滚动。AOMr,maxFfFNWFP 讨论FHArOFHAOMr,maxGFFNyx 1.取轮子为研究对象取轮子为研究对象,受力分析如图。受力分析如图。解解:例例4 4 匀匀质质轮轮子子的的重重量量G=3 kN，半半径径 r=0.3 m；今今在在轮轮中中心心施施加加平平行行于于斜斜面面的的拉拉力力FH，使使轮轮子子沿沿与与水水平平面面成成=30=30的的斜斜面面匀匀速速向向上上作作纯纯滚滚动动。已已知知轮轮子子与与斜斜面面的的滚滚阻阻系系数数=0.05 cm，试求力，试求力FH的大小。的大小。2.列平衡方程。列平衡方程。3.联立求解。联立求解。补充方程补充方程FHAOMr,maxGFFNyx例5：一制动器，制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r=30cm，制动轮与制动块间的静摩擦系数 =0.4，动摩擦系数 =0.3，被提升的重物的重量G=1000N，手柄长L=300cm,a=60cm,b=10cm,B处作用铅直力P=200N，求此时铰链A处的约束反力。解：假设轮子静止：对于手柄：所以轮子不静止，逆时针转动。则对于手柄：33例例6 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,求能自锁的倾斜角。解：研究楔块，受力如图1.1.向左滚动趋势。向左滚动趋势。2.2.向右滚动趋势。向右滚动趋势。3.3.滑动趋势滑动趋势 。例例7 7 匀匀质质轮轮子子的的重重量量 W=300 N，由由半半径径 R=0.4 m和和半半径径 r=0.1 m两两个个同同心心圆圆固固连连而而成成。已已知知轮轮子子与与地地面面的的滚滚阻阻系系数数=0.005 m，摩摩擦擦因因数数 fs=0.2，求求拉拉动动轮轮子子所所需需力力FP的最小值。的最小值。轮子可能发生的三种运动趋势：轮子可能发生的三种运动趋势：解:WArOFPR列平衡方程列平衡方程1.1.轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN临界时临界时 M r=Mr,max=FN解得解得Mr,max=FN=1.5 Nm负值说明轮不可能有向左负值说明轮不可能有向左滚动的趋势。滚动的趋势。列平衡方程列平衡方程WArOFPRMr,maxFFN临界时临界时 M r=Mr,max=FN解得解得Mr,max=FN=1.5 Nm2.2.轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。此时滑动摩擦力为此时滑动摩擦力为轮子轮子向右滚动向右滚动。此时静摩擦力达到最大值此时静摩擦力达到最大值F=Fmax=fs FN=fs W=60 N远远大于滚动所需的力远远大于滚动所需的力FN值。所以值。所以拉动轮子的力最小值拉动轮子的力最小值 FN=5 N。3.3.轮处于滑动的临界状态。轮处于滑动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN38例例8 已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角=15，A块与 水 平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自 重。求：使B块不下滑，物块A最小 重量。解：解：研究B块，若使B块不下滑39再研究A块如图所示结构由CD、DE和AEG 三部分组成，载荷及尺寸如图。求A、B和C处的约束力。解题思路解题思路仅由整体系统的平衡解不出任何约束力。由CDE的平衡解出B铰的约束力。最后由整体平衡解出铰A的约束反力。CD杆受力最简单，应先由其平衡解出C绞的约束力。解取CD杆为研究对象，受力图如图示。取CDBE杆为研究对象，受力图如图示。解最后取整体系统为研究对象，受力图如图示。44例例9 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。求：使物体平衡时块C的重量Q=？解：解：A不动（即i点不产 生 平移）求Q由于145分析轮有 由46 E 点不产生水平位移47 B轮不向上运动，即N0显然,如果i,E两点均不产生运动,Q必须小于208N,即返回
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