理论力学02平面汇交力系与平面力偶系课件

理论力学理论力学 第二章第二章平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系中国石油大学（北京）2主要内容平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算平面力偶平面力偶平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡 几何法几何法平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡 解析法解析法3平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法力系分为：力系分为：平面力系、空间力系平面力系、空间力系平面力系：平面力系：平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 )平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)平面特殊力系：平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。平面汇交力系平面汇交力系各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究方法：研究方法：几何法，解析法几何法，解析法。例：起重机的挂钩。4平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力两个共点力(汇交力汇交力)的合成的合成:力三角形规则力三角形规则两个共点力的合成可以由力的平行四边形法则作，也可两个共点力的合成可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形规则来作用力的三角形规则来作5平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：(在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等的正弦的比相等)合力大小由余弦定理：合力大小由余弦定理：6平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法2.2.任意个共点力的合成任意个共点力的合成-力多边形规则力多边形规则7平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法2.2.任意个共点力的合成任意个共点力的合成-力多边形规则力多边形规则8平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法 如力系中各力的作用线都沿同一直线如力系中各力的作用线都沿同一直线,则此力系称为共线则此力系称为共线力系力系,它是平面汇交力系的特殊情况它是平面汇交力系的特殊情况,它的力多边形在同一直它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正线上。若沿直线的某一指向为正,相反为负相反为负,则力系合力的大则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和小与方向决定于各分力的代数和,即即即：平面汇交力系的合力等于各即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。过各力的汇交点。9平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法二二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法,即按比例先画出即按比例先画出封闭的力多边形封闭的力多边形,然后然后,量得所要求的未知量量得所要求的未知量;也可根据图形的也可根据图形的几何关系几何关系,用三角公式计算出所要求的未知量用三角公式计算出所要求的未知量,这种解题方法这种解题方法称为称为几何法几何法。10平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法例：支架的横梁例：支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接相联接,并各以铰链并各以铰链A,D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知AC=CB;杆杆DC与水平线与水平线成成45角角;载荷载荷F=1OKN,作用于作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计处。设梁和杆的重量忽略不计,求铰链求铰链A的约束力和杆的约束力和杆DC所受的力所受的力 解解:选取横梁选取横梁AB为研究对象。横梁在为研究对象。横梁在B处受载荷处受载荷F作用。作用。DC为为二力杆二力杆,它对横梁它对横梁C处的约束力处的约束力FC的作用线必沿两铰链的作用线必沿两铰链D、C中中心的连线。铰链心的连线。铰链A的约束力的约束力FA的作用线可根据三力平衡汇交定的作用线可根据三力平衡汇交定理确定理确定,即通过另两力的交点即通过另两力的交点E,如图所示。如图所示。11平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法根据平面汇交力系平衡的几何条件根据平面汇交力系平衡的几何条件,这三个力应组成一封闭的力三这三个力应组成一封闭的力三角形。按照图中力的比例尺角形。按照图中力的比例尺,先画出已知力矢先画出已知力矢ab,再由点再由点a作直线平作直线平行于行于AE,由点由点b作直线平行作直线平行CE,这两直线相交于点这两直线相交于点d,由力三角形由力三角形abd封闭封闭,可确定可确定FC和和FA的指向。在力三角形中的指向。在力三角形中,线段线段bd和和da分别分别表示力表示力FC和和FA的大小的大小,量出它们的长度量出它们的长度,按比例换算即可求得力按比例换算即可求得力FC和和FA的大小。但一般都是利用三角公式计算的大小。但一般都是利用三角公式计算 根据作用力和反作用力的关系根据作用力和反作用力的关系,作用于杆作用于杆DC的的C端的力端的力F;与与Fc的的大小相等大小相等,方向相反。由此可知杆方向相反。由此可知杆DC受压力受压力 12平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法 例例 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,P=20kN,r=60cm,欲拉过欲拉过h=8cmh=8cm的障碍物。的障碍物。求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F F的大小和碾子对障碍物的压力的大小和碾子对障碍物的压力。几何关系几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时N NA A=0,=0,拉力拉力F F最大最大,这时拉力这时拉力F F和自重及支反力和自重及支反力N NB B构成一平衡力系。由平衡的构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故几何条件，力多边形封闭，故F=11.5kN,NB=23.1kN由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物碾子对障碍物的压力等于的压力等于23.1kN13平面汇交力系合成与平衡几何法平面汇交力系合成与平衡几何法通过以上例题通过以上例题,可总结几何法解题的主要步骤如下可总结几何法解题的主要步骤如下:(1)选取研究对象。根据题意选取研究对象。根据题意,选取适当的平衡物体作为研究对象选取适当的平衡物体作为研究对象,并并画出简图。画出简图。(2)画受力图。在研究对象上画受力图。在研究对象上,画出它所受的全部已知力和未知力画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束力包括约束力)。(3)作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺,作出该力系的封闭作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意力多边形或封闭力三角形。必须注意,作图时总是从已知力开始。作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点根据矢序规则和封闭特点,就可以确定未知力的指向。就可以确定未知力的指向。(4)求出未知量。按比例确定未知量求出未知量。按比例确定未知量,或者用三角公式计算出来。或者用三角公式计算出来。几何法解题不足：几何法解题不足：精度不够，误差大；精度不够，误差大；作图要求精度高；作图要求精度高；不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法解析法解析法。14平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法平衡的解析法又叫坐标法平衡的解析法又叫坐标法一一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 X=Fx=Fcosa ：Y=Fy=Fsina=F cosb15平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法二二.平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法因为因为合力的大小合力的大小合力的方向合力的方向作用点为力的汇交点作用点为力的汇交点16平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。上投影的代数和。例：已知图示平面共点力系例：已知图示平面共点力系求：此力系的合力求：此力系的合力解：用解析法解：用解析法17平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法例：已知系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，例：已知系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆AB、BC受力。受力。解：解：AB、BC杆为二力杆，杆为二力杆，取滑轮取滑轮B（或点（或点B），画受力图。），画受力图。用解析法，建图示坐标系用解析法，建图示坐标系建立这种坐标系的好处建立这种坐标系的好处18平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法已知：已知：F=3kN,l=1500mm,h=200mm.忽略自重；忽略自重；求：平衡时，求：平衡时，ABAB杆杆、BCBC杆杆受力。受力。解：解：ABAB、BCBC杆为二力杆。取杆为二力杆。取销钉销钉B B为研为研究对象。究对象。用解析法用解析法19平面汇交力系合成与平衡解析法平面汇交力系合成与平衡解析法1.一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几 何何法（解力三角形）比较简便。法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3.3.投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。未知数。2.一般对于受多个力作用的物体，角度不特殊或特殊，都用解一般对于受多个力作用的物体，角度不特殊或特殊，都用解析法。析法。对力的方向判定不准的，一般用解析法。对力的方向判定不准的，一般用解析法。4.4.解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。果求出负值，说明物体受压力。20平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）力对物体可以产生力对物体可以产生:移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向O为矩心，为矩心，h为力臂为力臂力矩作用面力矩作用面两个要素：两个要素：1.大小：力大小：力F与力臂的乘积与力臂的乘积2.方向：转动方向方向：转动方向-+21平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算 是代数量。是代数量。当当F=0或或h=0时，时，=0=0。是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。=2AOB=h d,2,2倍倍形面积。形面积。说明：说明：单位单位N m或者或者kN m力的作用线通过矩心时，力矩为零力的作用线通过矩心时，力矩为零22平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和各分力对同一点的矩的代数和 即：即：二、合力矩定理二、合力矩定理证证由合力投影定理有由合力投影定理有证毕)()()(21FmFmFmooo+=23平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理平面汇交力系平面汇交力系三、力矩与合力矩的解析表达式三、力矩与合力矩的解析表达式24平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算例：如图圆柱直齿轮，受到齿合力的作例：如图圆柱直齿轮，受到齿合力的作用，计算力对轴心的矩用，计算力对轴心的矩解：按照力矩的定义解：按照力矩的定义按合力矩定理按合力矩定理径向力通过矩心，力矩为零径向力通过矩心，力矩为零25平面力偶平面力偶一一.力偶和力偶矩力偶和力偶矩定义：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称定义：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作为力偶，记作力偶既没有合力力偶既没有合力（如果一定要找合力作用点，作用点在无穷远（如果一定要找合力作用点，作用点在无穷远处），处），本身又不平衡，力和力偶是静力学两个基本力学量。本身又不平衡，力和力偶是静力学两个基本力学量。26平面力偶平面力偶力偶两个力之间的垂直距离称为力偶臂力偶两个力之间的垂直距离称为力偶臂力偶所在的平面称为力偶的作用面力偶所在的平面称为力偶的作用面力偶是由两个力组成的特殊力系力偶是由两个力组成的特殊力系,它的作用只改变物体的转动状它的作用只改变物体的转动状态。因此态。因此,力偶对物体的转动效应力偶对物体的转动效应,可用力偶矩来度量可用力偶矩来度量力偶矩的大小为力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和力偶矩的大小为力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和,或者说力偶是代数量，其值等于力与力偶臂的乘积即或者说力偶是代数量，其值等于力与力偶臂的乘积即Fd,与矩心与矩心位置无关。位置无关。力偶矩力偶矩两个要素两个要素a.大小：力与力偶臂乘积大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向方向：转动方向力偶矩力偶矩单位单位N.m27平面力偶平面力偶力偶与力偶矩的性质力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。力偶在任意坐标轴上的投影等于零。2.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。28平面力偶平面力偶力偶矩的符号力偶矩的符号 M力矩的符号力矩的符号力偶矩不因矩心的改变力偶矩不因矩心的改变而改变而改变,不强调矩心不强调矩心29平面力偶平面力偶3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转移，对只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转移，对刚体的作用效果不变，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位刚体的作用效果不变，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置没有关系置没有关系=只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。的长短，对刚体的作用效果不变。30平面力偶平面力偶只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。的长短，对刚体的作用效果不变。31平面力偶平面力偶=4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。32平面力偶平面力偶三三.平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件已知：已知：任选一段距离任选一段距离d=33平面力偶平面力偶=平面力偶系平面力偶系:作用在物体作用在物体同一平面的许多力偶叫同一平面的许多力偶叫平面力偶系平面力偶系平面力偶系合成结果还平面力偶系合成结果还是一个力偶是一个力偶,其力偶矩为其力偶矩为各力偶矩的代数和。各力偶矩的代数和。平面力偶系平衡的充要条件平面力偶系平衡的充要条件M=034平面力偶平面力偶例题已知：例题已知：求平衡时，求平衡时，CD杆的拉力。杆的拉力。解：解：CD为二力杆，取为二力杆，取A为矩心为矩心CD杆的拉力。杆的拉力。也可以取其它点，比如踏板为矩心也可以取其它点，比如踏板为矩心35平面力偶平面力偶已知：已知：q,l；求：合力及合力作用线位置求：合力及合力作用线位置解：解：合力及分布力对合力及分布力对A点的力矩效点的力矩效应该是一样的应该是一样的取微元如图取微元如图合力矩定理合力矩定理36平面力偶平面力偶已知：已知：求：光滑螺柱求：光滑螺柱AB所受水平力。所受水平力。解：由力偶只能由力偶平衡的性质，解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为其受力图为解得解得37平面力偶平面力偶已知已知求求:平衡时的平衡时的M2 及铰链及铰链O,B处的约束力处的约束力解：取轮为研究对象解：取轮为研究对象,由力偶只能由力偶平由力偶只能由力偶平衡的性质衡的性质,画受力图。画受力图。取杆取杆BC,画受力图画受力图38平面汇交力系与平面力偶系作作 业业习题习题 2-3；2-5；2-6；2-10；2-12；2-14；2-16