理论力学-第六章-课件

第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡(Simplification and Equilibrium of force systems)返回总目录Theoretical M echanics 第二篇第二篇 动力学动力学 Theoretical Mechanics引引 言言引引 言言 力系的简化力系的简化:把复杂力系用与其等效的较简把复杂力系用与其等效的较简单的力系代替。单的力系代替。力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体上的一群力（称为力系）必须满足的条件。上的一群力（称为力系）必须满足的条件。平衡力系：平衡时的力系。平衡力系：平衡时的力系。返回首页 Theoretical Mechanics 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡 返回首页6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡Theoretical Mechanics6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡6.1.1 几何法几何法 设汇交于A点的力系由n个力Fi（i=1,2,n）组成,记为F1、F2、Fn。根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为 汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。的矢量和确定，作用线通过汇交点。返回首页Theoretical MechanicsF1FRFR2FR1F4F3F2例：用力多边形法则，例：用力多边形法则，例：用力多边形法则，例：用力多边形法则，求四个力组成的平面求四个力组成的平面求四个力组成的平面求四个力组成的平面汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系的合力。的合力。的合力。的合力。使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。6.1.1 几何法几何法 返回首页O6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡Theoretical Mechanics几点讨论几点讨论 合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。各分力矢必须首尾相接。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。6.1.1 几何法几何法 返回首页6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡Theoretical Mechanicsv 结结 论论 平面汇交力系合成的结果是一个合力，平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。作用线通过各力的汇交点。6.1.1 几何法几何法 返回首页6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡Theoretical Mechanics汇交力系各力汇交力系各力Fi和合力和合力FR在直角坐标系中的解析表达式在直角坐标系中的解析表达式由合力投影定理由合力投影定理得到汇交力系合力的大小和方向余弦得到汇交力系合力的大小和方向余弦 合力作用线过汇交点。合力作用线过汇交点。6.1.2 解析法解析法 返回首页6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡6.1.2 解析法解析法 6.1 汇交力系的简化与平衡汇交力系的简化与平衡汇交力系平衡的充分必要条件汇交力系平衡的充分必要条件汇交力系的合力为零汇交力系的合力为零各力在三个坐标轴上的各力在三个坐标轴上的投影代数和分别等于零投影代数和分别等于零对于各力作用线都在同一平面内的平面汇交力系（设平面对于各力作用线都在同一平面内的平面汇交力系（设平面为为Oxy平面），平面），Fz0，则其平衡方程为则其平衡方程为 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.2 力偶系的简化与平衡力偶系的简化与平衡 设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、Mn，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图中的任一点A，力偶系合成结果为一合力偶。Theoretical Mechanics6.2 力偶系的简化与平衡力偶系的简化与平衡 返回首页Theoretical Mechanics合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影 其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和 对于平面力偶系M1、M2、Mn，合成结果为该力偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩的代数和 返回首页6.2 力偶系的简化与平衡力偶系的简化与平衡力偶系平衡的充分必要条件力偶系平衡的充分必要条件力偶系的合力偶矩力偶系的合力偶矩为零为零合力偶矩矢在三个坐标合力偶矩矢在三个坐标轴上的投影分别等于零轴上的投影分别等于零对于平面力偶系（设平面为对于平面力偶系（设平面为Oxy平面），平面），Mx0，My0，则其平衡方程为则其平衡方程为6.2 力偶系的简化与平衡力偶系的简化与平衡 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化6.3.1 力的平移定理力的平移定理 M+M力的平移定理 返回首页Theoretical Mechanics结结 论论 力的平移定理：作用于刚体上的力F，可以平移至同一刚体的任一点O，但必须增加一个附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即 M=rF=MO(F)返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 逆过程逆过程：当一个力与一个力偶的力偶矩矢垂直时，该力与力偶可合成为一个力，力的大小和方向与原力相同，但其作用线平移。力 平移的方向为 M的方向，平移的距离为 。返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics6.3.2 力系向一点简化力系向一点简化主矢和主矩主矢和主矩 设刚体上作用一任意力系F1、F2、Fn。返回首页 任选一点O称为力系的简化中心简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移。得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、F n和一力偶系M1、M2、Mn。6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 将汇交力系与力偶系合成，得到作用于简化中心O的力矢FR与力偶矩矢MO 称为该力系的主矢MO称为该力系对简化中心O的主矩。6.3.2 力系向一点简化力系向一点简化主矢和主矩主矢和主矩 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanicsv 结结 论论 任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。主矢的大小、方向与简化中心无关，称为力系的第一不变量。主矩的大小、方向与简化中心有关。6.3.2 力系向一点简化力系向一点简化主矢和主矩主矢和主矩 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 1.力系简化为合力偶M其大小、方向与简化中心无关2.力系简化为合力(1)力系简化为通过简化中心O的合力FR FR=0，MO0 力偶矩M=MO=MO(Fi)FR0，MO=0 FR=FR=Fi 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics(2)进一步合成为一合力FR0，MO0，且FR MO=0，即FRMO 合力作用线沿FRMO方向偏离简化中心O一段距离OO=d=6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 如果在简化中心O点上建立直角坐标系Oxyz，合力FR作用点O的矢径用r表示。由MO=rFR 可确定合力FR的作用线。其解析表达式为 6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化xyzOxyzOTheoretical Mechanics3.力系简化为力螺旋力系简化为力螺旋FR0，MO0，且FR与MO成任意角 将 正交分解为 和 可看成是可看成是 与与 的组合的组合 与 是二平衡力，可移去。6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 返回首页xyzOO 6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics简化结果为力螺旋。将 移到 O作用线沿FRMO偏移d，d=6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 简化过程图 返回首页xyzOO xyzOO d6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 力螺旋也是一种最简单的力系。如果FR与MO同向，即FR MO0，称为右力螺旋；如果FR与MO反向，即FR MO0时，称为左力螺旋。力FR的作用线称为力螺旋的中心轴。4.力系平衡FR=0，MO=0 6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanicsv 结结 论论力系的简化结果力系的简化结果：力系简化为一合力偶M。力系简化为作用于简化中心O的合力FR。力系简化为作用于O的合力FR。力系简化为力螺旋。平衡力系。6.3.3 力系的简化结果分析力系的简化结果分析 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics例例 题题 例例 图示力系中F1100N，F2F3100N，F4300N，a2m，试求此力系合成结果。解：以O为简化中心主矩则力系主矢，方向沿z轴向下2m 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics所以力系简化为左螺旋，2m例例 题题 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics6.3.4 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。主矢FR与主矩MO视为代数量，而且FRMO。平面任意力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力三种情形。返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 当MO0时，力系有合力FR=FR，其偏移O点的距离OO =d=，偏移的方向由MO的转向来确定。合力作用线方程：6.3.4 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics 例 胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来的力偶矩M=4.65 kNm，紧边带张力F T 119 kN，松带张力F T 24.7 kN，带包角为210，坐标位置如图 a)所示，试将此力系向点O简化。解：（1）先求主矢量 例例 题题 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics主矢量的大小为 主矢量的方向（2）再求主矩 由于主矩为零，故力系的合力FR即等于主矢量，即合力FR的作用线通过简化中心 例例 题题 返回首页6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics例例 题题 返回首页 例 为校核重力坝的稳定性，需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线，并限制它和坝底水平线的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2/3，即 。重力坝取1m长度，坝底尺寸b18 m，坝高 H=36 m，坝体斜面倾角 70。已知坝身自重W=9.0103 kN，左侧水压F1=4.5103 kN，右侧水压力F2=180103 kN，F2力作用线过E点。各力作用位置的尺寸a6.4 m，h10 m，c12 m。试求坝体所受主动力的合力、合力作用线方程，并判断坝体的稳定性。F26.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化Theoretical Mechanics例例 题题 返回首页 解：选O为简化中心，建立图示坐标系Oxy。图示=90 20。力系向O点简化为 F2F RMO主矢FR 主矩MO6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化F2F RMOTheoretical Mechanics例例 题题 返回首页力系的合力FRF R。合力作用线方程y=0，得x=11.40，即合力作用线与坝底交点E至坝底左端点O的距离OE=x=11.40m 。所以该重力坝的稳定性满足设计要求。FR6.3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 Theoretical Mechanics6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 空间一般力系平衡的充分必要条件空间一般力系平衡的充分必要条件 结结论论：各各力力在在三三个个坐坐标标轴轴上上投投影影的的代代数数和和以以及及各各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。力系的主矢力系的主矢 和对任意和对任意点的主矩点的主矩 MO 均等于零均等于零 F R=0 返回首页Theoretical Mechanics 例 水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮。带轮所受到的紧边胶带拉力FT1沿水平方向，松边胶带拉力FT2与水平线成30角，如图所示。齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮合，受到后者作用的圆周力F和径向力Fn。已知带轮直径d20.2 m，啮合角20，b0.2 m，ce0.3 m，F 2 kN，零件自身重量不计，并假设FT12FT2。转轴可以认为处于平衡状态。试求支承转轴的向心轴承A、B的约束力。例例 题题 返回首页6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 Theoretical Mechanics解：画出转轴的受力图。取直角坐标系Axyz。列平衡方程 例例 题题 返回首页6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 Theoretical Mechanics解：画出转轴的受力图。取直角坐标系Axyz。列平衡方程 例例 题题平衡方程Fy0成为恒等式 返回首页6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 Theoretical Mechanics胶带拉力间有题设的关系：圆周力与径向力间有如下关系将已知数据代入得 例例 题题 返回首页6.4 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 返回首页 作用在刚体上的力系作用线处于同一平面内时，此力系作用在刚体上的力系作用线处于同一平面内时，此力系成为成为平面任意力系平面任意力系。取力系所在平面为取力系所在平面为Oxy平面，则主矢必在平面，则主矢必在Oxy平面内，主平面内，主矩必垂直与矩必垂直与Oxy平面内。空间力系平衡方程中平面内。空间力系平衡方程中Fz0,My0,Mx0，因此平面任意力系的平衡方程为因此平面任意力系的平衡方程为结结论论：平平面面力力系系各各力力在在任任意意两两正正交交轴轴上上投投影影的的代代数数和和等等于于零零，对对任一点之矩的代数和等于零。任一点之矩的代数和等于零。Theoretical Mechanics6.5.2平面一般力系平程方程的其它形式平面一般力系平程方程的其它形式二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程 条件：条件：连线连线AB不垂直不垂直投影轴投影轴 x 返回首页FRxAB6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程条件：条件：A、B、C是平面内是平面内不共线的任意三点不共线的任意三点 6.5.2平面一般力系平程方程的其它形式平面一般力系平程方程的其它形式 返回首页FRABC6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 平面平行力系平衡方程 充充要要条条件件是是：力力系系中中所所有有各各力力的的代代数数和和等等于于零零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的作用线平行。6.5.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 平面力偶系平衡方程 平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。m=0 6.5.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics例例 试求图示两外伸梁的约束力试求图示两外伸梁的约束力F FR RA A、F FR RB B，其中，其中F FP P=10 kN=10 kN，F FP1P1=20 kN=20 kN，q q=20 kN/m=20 kN/m，d d=0.8 m=0.8 m。解：解：解：解：1.1.选择研究对象选择研究对象选择研究对象选择研究对象以解除约束后的以解除约束后的以解除约束后的以解除约束后的ABCABCABCABC梁为研究对象梁为研究对象梁为研究对象梁为研究对象2.2.根据约束性质分析约束力根据约束性质分析约束力根据约束性质分析约束力根据约束性质分析约束力 A A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力F FAyAy和和和和F FAxAx ；B B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未知的，可以假设为向上的知的，可以假设为向上的知的，可以假设为向上的知的，可以假设为向上的F FB B 。3.3.应用平衡方程确定未知力应用平衡方程确定未知力应用平衡方程确定未知力应用平衡方程确定未知力FAyFBFAx例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical MechanicsF FB B=21 kN=21 kN（）F FA A y y=15 kN=15 kN（）计算结果的校核计算结果的校核FAyFBFAx例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 例例 在刚架在刚架B点受一水平力点受一水平力作用。设作用。设F=20 kN，刚架的重，刚架的重量略去不计。求量略去不计。求A、D处的约束处的约束力力。画受力图 选刚架为研究对象例题例题 返回首页FFFDFA6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 FTheoretical Mechanics选坐标轴如图所示 例题例题 返回首页解：解析法解：解析法 画受力图 选刚架为研究对象 列平衡方程FFDFA6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。解：画受力图例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 例 起重机的自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P为多少？解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=50 kN。列平衡方程：P=200 kN 如为空载，仍应处于平衡状态，故 例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics几点讨论：几点讨论：根据题意选择研究对象。根据题意选择研究对象。分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力。的性质表示约束反力。正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位。约束反力的方位。例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。用用几几何何法法求求解解时时，按按比比例例尺尺作作出出闭闭合合的的力力多多边边形形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。用用解解析析法法求求解解时时，应应适适当当地地选选取取坐坐标标轴轴。为为避避免免解解联联立立方方程程，可可选选坐坐标标轴轴与与未未知知力力垂垂直直。根根据据计计算算结结果果的正负判定假设未知力的指向是否正确。的正负判定假设未知力的指向是否正确。例题例题 返回首页6.5 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统。静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目。6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics独立的平衡方程数：3未知力数：3独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：3未知力数：4未知力数独立的平衡方程数静定问题超静定问题 返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics独立的平衡方程数：6未知力数：6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：6未知力数：7未知力数独立的平衡方程数静定问题超静定问题 返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics求解过程中应注意以下几点 首先判断物体系统是否属于静定问题 恰当地选择研究对象 在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念求解刚体系统平衡问题的方法求解刚体系统平衡问题的方法 Theoretical Mechanics受力分析受力分析 首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。不画研究对象的内力。两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量 列列出出恰恰当当的的平平衡衡方方程程，尽尽量量避避免免在在方方程程中中出出现现不不需需要要求求的的未未知知量量。为为此此可可恰恰当当地地运运用用力力矩矩方方程程，适适当当选选择择两两个个未未知知力力的交点为矩心，的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。判判断断清清楚楚每每个个研研究究对对象象所所受受的的力力系系及及其其独独立立方方程程的的个个数数及物体系独立平衡方程的总数，及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。避免列出不独立的平衡方程。解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。校校核核。求求出出全全部部所所需需的的未未知知量量后后，可可再再列列一一个个不不重重复复的的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics例例 题题 例 图中ADDB2 m，CDDE1.5 m，Q120 kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。解：解除约束，画整体受力图列平衡方程 返回首页 6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics可用 ，验算FAy如下 例例 题题 返回首页 6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程 F=150 kN，说明BC杆受压力。例例 题题 返回首页 6.8 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 Theoretical Mechanics 求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。例例 题题 返回首页 6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 例 某厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，。刚架上的载荷已简化为两个集中力F1及F2。试求C处的约束力。分别取AC及BC两部分为研究对象，画受力图。解：本题是静定问题，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未数，而且不可能联立求解。例例 题题 返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 取AC为研究对象，画受力图。取BC为研究对象，画受力图。联立求解以上两式，可得 例例 题题 返回首页6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 返回首页 桁架：桁架：由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构何形状不变的结构 。平面桁架：平面桁架：所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架；空间桁架：空间桁架：杆件轴线不在同一平面内的桁架。杆件轴线不在同一平面内的桁架。平面桁架及其内力计算平面桁架及其内力计算 例例 题题6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics节点节点 ：桁架中杆件与杆件相连接的铰链桁架中杆件与杆件相连接的铰链节点构造有节点构造有榫接（图榫接（图a）焊接（图焊接（图b）铆接（图铆接（图c）整浇（图整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链均可抽象简化为光滑铰链 返回首页例例 题题6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念例例 题题6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics力学中的桁架模型 构建桁架的基本原则：组成桁架的杆件只构建桁架的基本原则：组成桁架的杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲。承受拉力或压力，不承受弯曲。二力杆二力杆-组成桁架的基本构件。组成桁架的基本构件。桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念轴向拉压杆系的超静定问题轴向拉压杆系的超静定问题静定结构：静定结构：Statically Determinate Structure超静定结构：超静定结构：Statically Indeterminate StructureQingdao Gulf Bridge Rainbow Bridge,Daiba,Jan.27,2011Golden Gate Bridge,July 4,2008Cable 返回首页Theoretical Mechanics该桥（港口桥）位于浙江省长兴县港口镇附近，是中国首次建造的一座下承式预应力混凝该桥（港口桥）位于浙江省长兴县港口镇附近，是中国首次建造的一座下承式预应力混凝土斜拉式桁架桥。该桥全长土斜拉式桁架桥。该桥全长137.78，分跨，分跨307030(），上部结构为单悬臂加挂梁，），上部结构为单悬臂加挂梁，挂梁长挂梁长8.92，下部结构为双柱式墩、钻孔桩基础。，下部结构为双柱式墩、钻孔桩基础。斜拉桁架式刚架桥斜拉桁架式刚架桥桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics该桥（黄陵矶桥）位于湖北省汉阳。系预应力混凝土桁架式形刚构公路桥。桥长该桥（黄陵矶桥）位于湖北省汉阳。系预应力混凝土桁架式形刚构公路桥。桥长380.19,主孔长主孔长90，桥宽，桥宽8.5，沉井基础，箱式墩。，沉井基础，箱式墩。桁架式桁架式T形刚架桥形刚架桥桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics工程中的桁架结构工程中的桁架结构桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics工程中的桁架结构桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics工程中的桁架结构桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 返回首页Theoretical Mechanics 足够的强度足够的强度不发生断裂或塑性变形。不发生断裂或塑性变形。足够的刚度足够的刚度不发生过大的弹性变形。不发生过大的弹性变形。工程要求 足够的稳定性足够的稳定性不发生因平衡形式的突不发生因平衡形式的突然转变而导致的坍塌。然转变而导致的坍塌。良好的动力学特性良好的动力学特性抗震性。抗震性。桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics （1 1）各直杆两端均以光滑铰链连接；）各直杆两端均以光滑铰链连接；（2 2）所有载荷在桁架平面内，作用于节点上；）所有载荷在桁架平面内，作用于节点上；（3 3）杆杆自自重重不不计计。如如果果杆杆自自重重需需考考虑虑时时，也也将将其等效加于两端节点上。其等效加于两端节点上。计算桁架各杆受力时的几点假设计算桁架各杆受力时的几点假设满足以上假设条件的桁架称为满足以上假设条件的桁架称为理想桁架理想桁架。理想桁架中的各杆件都是二力杆。理想桁架中的各杆件都是二力杆。返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 简单桁架：简单桁架：桁架由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点，依次类推而构成。简单桁架组合桁架简单桁架与组合桁架都是静定桁架其杆件数简单桁架与组合桁架都是静定桁架其杆件数m及节点数及节点数n满足满足 2nm+3 组合桁架组合桁架：由几个简单桁架，按照几何形状不变的条件组成的桁架。返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics桁架杆件内力计算的桁架杆件内力计算的节点法节点法节点法适用于求解全部杆件内力的情况节点法适用于求解全部杆件内力的情况 以各个节点为研究对象的求解方法 求求解解要要点点1.逐个考虑各节点的平衡、画出它们的受力图。2.应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。3.在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics零杆：桁架某些不受力的杆件零杆：桁架某些不受力的杆件零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。在计算中，先判断零杆在计算中，先判断零杆 。最常见的零杆发生在图示的节点处 返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 例 一屋架的尺寸及载荷如图所示，求每根杆件的内力。解：首先求支座A、H的反力，由整体受力图 a，列平衡方程 FAyFNH20 kN 返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical MechanicsF6=30 kN(拉)，F3=0 (零杆)选取A节点画受力图，列平衡方程 F1=33.5 kN(压)F2=30 kN(拉)选取B节点画受力图，列平衡方程 返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics F4=22.4 kN(压)F5=11.2 kN(压)F8=22.4 kN(压)F7=10 kN(拉)选取D节点画受力图，列平衡方程 选取C节点画受力图，列平衡方程 返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 由由于于结结构构和和载载荷荷都都对对称称，所所以以左左右右两两边边对对称称位位置置的的杆杆件件内内力力相相同同，故故计计算算半半个个屋屋架架即即可可。现现将将各各杆杆的的内内力力标标在在各各杆杆的的旁旁边边，如如图图f所所示示。图图中中正正号号表表示示拉力，负号表示压力，力的单位为拉力，负号表示压力，力的单位为kN。可取可取H节点节点进行校核。进行校核。返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 求求桁桁架架各各杆杆内内力力，主要是在受力分析和选取平衡研究对象上要多加思考，然后是求解平面汇交力系与平面一般力系的问题。返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念Theoretical Mechanics 一般先求出桁架的支座反力。一般先求出桁架的支座反力。在在节节点点法法中中逐逐个个地地取取桁桁架架的的节节点点作作为为研研究究对对象象。须须从从两两杆杆相相交交的的节节点点开开始始（通通常常在在支支座座上上），求求出出两两杆杆未未知知力力。再再取取另另一一节节点点，一一般般未未知知力力不不多多于于两两个个。如如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核。此逐个地进行，最后一个节点可用来校核。在在截截面面法法中中，如如只只需需求求某某杆杆的的内内力力，可可通通过过该该杆杆作作一一截截面面，将将桁桁架架截截为为两两部部分分（只只截截杆杆件件，不不要要截截在在节节点点上上），但但被被截截的的杆杆数数一一般般不不能能多多于于三三根根。研研究究半半边边桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。在计算中，内力都假定为拉力在计算中，内力都假定为拉力 。解解 题题 思思 路路 返回首页桁架及其内力桁架及其内力6.6 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 静定与超静定概念静定与超静定概念 Theoretical Mechanics 返回首页 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 6.7.1 平行力系的简化平行力系的简化 平行力系的中心平行力系的中心 平行力系的简化也是空间力系简化的一种特殊情形平行力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力情形平行力系中的力可用代数量表示平行力系向一点简化时其主矢和主矩总是互相垂直 返回首页Theoretical Mechanics 在平行力系中的各力的作用点位置均已知的情形下，还可以求出合力作用点的具体位置。根据合力矩定理，得6.7.1 平行力系的简化平行力系的简化 平行力系的中心平行力系的中心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics 对于平面平行力系来说，简化后的主矢与主矩都退化为代数表达式 如果MO0，一定有合力FR，FR=FR，作用线偏离O点的距离OO=d=，偏移的方向由MO转向决定。6.7.1 平行力系的简化平行力系的简化 平行力系的中心平行力系的中心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics 沿直线的分布载荷是工程实际中常见的一种平行力系，需要知道这种分布载荷的合力大小及作用线位置。图中AB线段上作用垂直分布载荷其合力大小 即ABba载荷图形的面积。合力作用点即平行力系中心的x坐标 即ABba载荷图形形心的x坐标。6.7.1 平行力系的简化平行力系的简化 平行力系的中心平行力系的中心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics 由此可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则通过该图形的形心。例 求图示分布载荷的合力及对A点之矩。解：将分布载荷图形分成两个三角形，每个三角形载荷合力大小分别为 作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为 6.7.1 平行力系的简化平行力系的简化 平行力系的中心平行力系的中心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics由伐里农定理，总体分布载荷对A点之矩 例例 题题 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics6.7.2 物体的重心物体的重心 重心：物体所受的重力是重心：物体所受的重力是一种体积分布力。一种体积分布力。不论物不论物体如何放置，其重力的合体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个通过一个确定的点，这个点称为物体的重心点称为物体的重心 。重心C的矢径 式中的Pi可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics重力P对y轴之矩重力P对x轴之矩将物体连同坐标系统x轴逆时针转过90 重力P对z轴之矩重心坐标公式6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanicsv均质物体的重心或形心 v均质薄壳（或曲面）的重心或形心 v均质细杆（或曲线）的重心或形心 6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics连续分布的物体可用积分表示 Pi=gVi 写成dP=g dV,为物体的密度 6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanicsq 物体重心的求法物体重心的求法v简单几何形状的重心可通过手册查出v组合形体的重心 将复杂形状物体分割成几个形状简单的物体，用有限形式的重心坐标公式 例如组合面积的形心6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics例 求图所示振动器偏心块的重心。已知R=10 cm，r=1.7 cm，b=1.3 cm。6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics偏心块重心坐标为 (0,4.001 cm)v实验方法测重心位置悬挂法 两直线相交于点C是重心 6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics称重法 量出汽车的重量P，测量出前后轮距l和车轮半径r。汽车重心必在对称面内，只需测定重心距地面的高度zC和距后轮的距离xC 6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics h为重心与后轮中心的高度差 计算高度zC的公式 6.7.2 物体的重心物体的重心 返回首页6.7 平行力系的简化平行力系的简化重心重心 Theoretical Mechanics 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 第六章第六章 力系的简化与平衡力系的简化与平衡Theoretical Mechanics 两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。这种现象称为这种现象称为摩擦摩擦，这种阻碍作用称为，这种阻碍作用称为摩擦阻力摩擦阻力。两种基本形式：两种基本形式：滑动摩擦：滑动摩擦：相应的摩擦阻力称为相应的摩擦阻力称为滑动摩擦力滑动摩擦力，简称，简称摩擦摩擦力力。滚动摩擦：滚动摩擦：相应的摩擦阻力实际上是一种力偶，称之为相应的摩擦阻力实际上是一种力偶，称之为滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶，简称，简称滚阻力偶滚阻力偶。返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 滑动摩擦滑动摩擦Theoretical Mechanics 滑动摩擦滑动摩擦静滑动摩擦力静滑动摩擦力当物体在外力作用下有运动当物体在外力作用下有运动趋势时，物体之间的摩擦力趋势时，物体之间的摩擦力作用线沿接触面公切线作用线沿接触面公切线，方向与滑动的趋势的方向相反。FFP最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力在临界平衡状态时，静在临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值摩擦力达到最大值Fmax 0FFmax Fmaxf sFN 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 全反力：法向反力FN与静摩擦力F合成为一全约束力全约束力FR。FQ：主动力FP与FW的的合力显然：显然：FR FQ 摩擦角摩擦角 ：当达到最大静摩擦力时，全反力FR与接触面法线的夹角达到最大值m，称之为两接触物体的摩擦角 4.2.3 摩擦角摩擦角 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即：物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即：m 摩擦锥摩擦锥：如过全反力作用点在如过全反力作用点在不同的方向作出在极限摩擦情况下不同的方向作出在极限摩擦情况下的全反力的作用线，则这些直线将的全反力的作用线，则这些直线将形成一个顶角为形成一个顶角为2m的圆锥。的圆锥。自锁：自锁：当物体所受主动力合力FQ作用线位于摩擦锥以内时，0m，无论主动力FQ的值增至多大，总有相应大小的反力FR与之平衡，使此物体恒处于平衡状态。4.2.4 自锁条件自锁条件 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 摩擦角在工程中应用摩擦角在工程中应用 静摩擦系数的测定 把要测定的两个物体的材料分别做成可绕O轴转动的平板OA和物块B，并使接触表面的情况符合预定的要求。当角较小时，由于存在摩擦，物体B在斜面上保持静止，逐渐增大倾角，直到物块刚开始下滑时为止，此时=m。返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 螺旋千斤顶的自锁条件螺旋千斤顶的自锁条件 螺纹的自锁条件是使螺纹的升角螺纹的自锁条件是使螺纹的升角 m小于或等于摩擦角小于或等于摩擦角 m。m摩擦角在工程中应用摩擦角在工程中应用 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 动滑动摩擦动滑动摩擦 动滑动摩擦力动滑动摩擦力：两接触物体之间相对滑动时，其接触面上产生阻碍对方滑动的阻力。动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正压力成正比 f 动滑动摩擦系数，它主要取决于物体接触表面的材料性质与物理状态（光滑程度、温度、湿度等等），还与相对滑动的速度有关，且有f f s。但一般情形下取 f f s。F df FN 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 静摩擦力的大小在零与极限值Fmax之间变化，因而相应地物体平衡位置或所受的力也有一个范围。极限摩擦力（或动摩擦力、滚动摩擦力）的方向总是与相对滑动或滚动趋势的方向相反，不可任意假定。静摩擦力（未达极限值时），可像一般约束力那样假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的方向是否正确。返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 例 图示为颚式破碎机，已知颚板与被破碎石料的静摩擦因数f0.3，试确定正常工作的箝制角 的大小。（不计滚动摩擦）解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自重。根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚板的条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此两力使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与半径间的最大角度应为m。例题 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡 Theoretical Mechanics 例题 返回首页6.8 考虑摩擦时的平衡考虑摩擦时的平衡