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2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置2全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效3考试结束后，将答题卡交回4考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则集合与集合的关系是（）ABCD2已知是实系数方程的一个复数根，则（）ABC1D93已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）ABCD4已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（）ABCD5已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（）ABC2D6已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（）A2BCD7中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，则的值可以是（）A2019B2020C2021D20228已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（）ABCD二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（）A2B3C4D510在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（）ABCD若，则B与C互斥11已知定义在上的函数满足，则（）A是奇函数B在上单调递减C是偶函数D在在上单调递增三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12已知，则 .13已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 14已知函数恰有3个零点，则的取值范围是 .四、解答题：（本题共5个小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，求A，C两点间距离；(2)求的值16全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场4045未上场3合计42(1)完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，(1)证明：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值18设函数.（1）当时恒成立，求k的最大值；（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立.19已知圆点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足(1)求点的轨迹的方程；(2)设点在直线上运动，直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点1C【分析】求出集合中函数的值域，集合中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数值域为，函数定义域为，即，所以有.故选：C.2A【分析】根据虚根成对原理也是实系数方程的一个复数根，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是实系数方程的一个复数根，则也是实系数方程的一个复数根，所以，解得，所以.故选：A3A【分析】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】因为：，所以，记；，记为因为是的必要不充分条件，所以A，所以，解得故选:A4D【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得.【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，则，由等差数列性质，得，所以.故选：D5B【分析】设，的夹角为，由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】设，的夹角为，由可得：，所以，在上的投影向量为，则，所以，即，则.故选：B.6C【分析】根据条件得是等边三角形，设的边长为，结合双曲线定义得，在中，由余弦定理求得离心率.【详解】因为是线段的中点，且，所以，又，所以是等边三角形，设的边长为，由双曲线的定义知，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，所以即，所以离心率.故选：C7A【分析】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余9，由此可得答案.【详解】,所以被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故选：A.8C【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与的外接圆半径的关系式；设，在中根据面积关系和正弦定理，得到是关于的函数；利用导数求出范围，进而得到范围.【详解】如图，连接，交于点，易得为的外心连接交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上设的外接圆圆心为平面，由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点，所以设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为则，设，又，设，则，设，则，在单调递增，又，所以在单调递减，在单调递增，又，所以故选：C【点睛】关键点点睛：本题第一个突破口是找出外接球半径与的外接圆半径的关系，第二步是根据面积关系和正弦定理，得到是关于的函数.9BD【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得.【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切，由，则以为直径的圆的圆心为，半径为，则有或，分别解得或，故或，故B、D正确，A、C错误.故选：BD.10BCD【分析】A与B相互独立，则,又因为可判断A选项；由条件概率的运算 判断B选项 ；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；，即B与C互斥判断D.【详解】对于A，A与B相互独立，则,，A错误；对于B，因为A与C互斥，所以,所以,所以,B正确；对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，所以,所以，C正确；对于D，显然，即，由，得，解得，所以B与C互斥，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查了互斥事件、独立事件的概念和条件概率的公式化简运算，关键在于理解和事件与积事件的求法，并于条件概率运算公式中的项相结合，进行化简，进而向各选项表达式靠拢判断正误.11AB【分析】令，求出，令，求出，再分别令和，即可求出函数的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在上的函数满足，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减.故选：AB.12【分析】将角度拆分成，再结合诱导公式转化即可得所求.【详解】因为，所以.故答案为：.13【分析】由与的关系求得，用裂项求和法求得.【详解】因为，所以，故时，两式相减得，即，因为，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案为:.14【分析】将函数零点问题转化为与的交点问题，数形结合即可求解范围.【详解】令，得或.作出的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为，因为，所以由图可知的取值范围是.故答案为：15(1)(2)【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；（2）设，利用正弦定理可得，展开化简即可得其正切值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，所以，则为等腰直角三角形，所以，则在中，由余弦定理得，故故A，C两点间距离为（2）设，则由题意可知，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，所以，解得，所以16(1)列联表见解析；有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解；（2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解；（ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，可得的列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场40545未上场235合计42850零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关此时，所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.（2）解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，则,所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：.（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率为.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据四边形是菱形，可得；在中，根据题意可证，又是的中点，得，即可得到结论.（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角公式即可.【详解】（1）设与交点为，连接四边形是菱形，是的中点在中，是等边三角形，在中，是的中点，又平面，平面（2）连接，是等边三角形，是线段的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为设直线与平面所成角大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18（1）k的最大值为2（2）证明见解析【解析】(1）由知,设,求出的导数，讨论得出的单调性，求出的最小值，从而得出答案.（2）当时，当且仅当时，等号成立，这个不等式等价于,由此能够证明不等式.【详解】解（1）由知，设，则令，得.当时，有成立，在单调递增，满足题意.当时，有，所以，于是有时，.所以在单调递减，结合，知时，舍去.综上，k的最大值为2.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，于是有：，累加可得：.证毕！【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，属于难题.19(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据得到向量模的关系，根据即可求解；（2）设点的坐标，根据三点共线得到平行关系，设出直线的方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，据此即可求解.【详解】（1），为的中点，又为的中点，则，点的轨迹是以为焦点的椭圆，而，点的轨迹的方程为；（2）由（1）得是椭圆的左右顶点，设，由三点共线，得，而，由三点共线，得，而，即，设的方程为，联立，得，则，由，得，即，恒成立，所在直线恒过定点【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于设点的坐标，根据三点共线得到平行关系.
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