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2024青岛三模数学试题一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1已知复数满足，则的虚部为（）AiBC1D2已知命题 ，则（）ABCD3为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（）A向右平行移动 个单位长度B向左平行移动 个单位长度C向右平行移动 个单位长度D向左平行移动 个单位长度4某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（）A784B490C392D2945定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（）ABC 是偶函数D 是增函数6在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（）ABCD7已知函数，则满足不等式的取值范围为（）ABCD8已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（）ABCD二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量（万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量 （万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为，则（）AB2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为D从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为10已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（）A圆的半径为3B圆和圆相离C的最小值为D过点做圆的切线，则切线长最短为11若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（）A存在具有性质的B存在具有性质的C若具有性质，则中至少有两项相同D存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同三、填空题: 本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.12已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则 13如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，则函数的解析式为 .14已知长方体中，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15设三角形的内角、的对边分别为、且(1)求角的大小；(2)若，边上的高为，求三角形的周长16为了研究高三年级学生的性别和身高是否太于 的关联性，随机调查了某中学部分 高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人):性別身高合计低于 不低于 女14519男81018合计221537(1)依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?(2)从身高不低于 的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数 为，求 的分布列及期望 .(3)若低于 的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于 的10 名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数 和方差.附: .0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，其余棱长均为2.(1)证明:平面；(2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求.18在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.(1)求的方程;(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线19已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 .(1)求实数 的值;(2)若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值;(3)若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明: 附:ln2 0.693.1D【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.【详解】由，得，所以，所以，其虚部为.故选：D.2D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题 为全称量词命题，则为：.故选：D3A【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论【详解】，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A4C【分析】根据正态分布的性质求出，即可估计人数.【详解】因为，且，所以，所以，又因为高一有学生980人，所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为故选：C5B【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假.【详解】A选项，取，则，显然，所以A不正确；B选项，设表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正确；C选项，因为，所以，所以不是偶函数，故C错误；D选项，所以，所以不是增函数，故D错误.故选：B.6C【分析】该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得.【详解】体积最大的圆锥的母线为，则.故选：C.7B【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可【详解】函数的定义域为，且，所以，所以关于直线成轴对称，因为，当且仅当，时取等号，令，则，当时，单调递增，单调递增，所以，所以，所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，又当时，所以，当或时，所以，且，所以要使得成立，则，解得，故不等式的取值范围为故选：B8D【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率.【详解】以 为直径的圆的方程为，联立，解得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.故椭圆的离心率为.故选：D.9ACD【分析】由中位数定义可判断A；求得每年的产销率，可判断B；由B可得产销率大于的有2个年份，可得概率判断C；利用条件概率公式求解可判断D.【详解】对于A：由中位数的定义可知，故A正确；对于B：2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率依次为：所以2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误；对于C：由B可知，从2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率大于的有2个年份，所以从2015 2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为，对于D：设事件A表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于 m”， 事件B表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于”，所以所以故D正确.故选：ACD.10BD【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，圆的半径为，A错误；对于B，圆和圆相离，B正确；对于C，圆关于轴对称的圆为，连接交于点，连接，由圆的性质得，当且仅当点与重合，且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；对于D，设点，过点的圆的切线长，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD11ACD【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证；【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确；对B：假设存在数列具有性质，则，且，设中有个，则有个，则有，即，其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误；对C：设，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，下证：，可以取遍到之间所有的整数，假设存在正整数使得，中各项均不为，令集合，设是集合中元素的最大值，则有，这与矛盾，所以，可以取遍到之间所有的整数，若，则，的取值只能为，中的数，此时，中必有两项相同，若，则，的取值只能为，中的数，此时，中必有两项相同，若，则，中一定有异于和的正整数，再由，可以取遍到之间所有的整数，所以，中必有两项相同，当，同理可证：，可以取遍到之间所有的整数，从而，中必有两项相同，故C正确；对D：取数列，此时该数列具有性质，且中任意两项均不相同，即存在，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键.12105【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为，所以，即，解得或（不合题意，舍去）；所以故答案为：13【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式.【详解】由图可得，又，则，则，则，化简得，又，则，则有，解得，又，则，即.故答案为：.14【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积.【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，连接，则，由，则，又、平面，故，则，由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小，取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，则直线的方程为：，即，抛物线的方程为，则，由题意，令，得，代入，得，所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为：，因为，所以，所以三棱锥体积的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积.15(1)(2)【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.【详解】（1）因为，为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即，因为，解得：，即（2）由三角形面积公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周长为.16(1)可以认为性别与身高有关联(2)分布列见解析，1(3)平均数约为174，方差约为59【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；根据小概率值 的独立性检验，可以认为性别与身高有关联 （2）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解；（3）根据题意，求得18名男生身高数据的平均数和方差，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：零假设：性别与身高无关联根据列联表中的数据，经计算得，由此可知根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关联（2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为，可得所以随机变量的分布列为:0123所以，期望为，（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，18 名男生身高数据的方差 ，所以，该中学男生身高数据的平均数约为174，方差约为59.17(1)证明见解析(2)1【分析】（1）取中点，通过证明平面，平面平面，得证平面.（2) 以为原点，建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，利用向量法求出的值即可.【详解】（1）取中点，连接，则为的中点，因为侧面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是边长为2的等边三角形，得，所以四边形为等腰梯形，因为点为的中点，为的中点，所以.因为是等边三角形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，故平面.（2）在梯形中，等腰梯形中由勾股定理得，取中点，由（1）知，两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，得设，设直线与平面所成角为，所以.解得（负值舍去)，所以点为棱的中点，所以的长为1.18(1)(2)12(3)证明见解析【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.（3）利用给定条件和新定义证明即可.【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为（2）设，切线，代入得:故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故 .所以，所以，所以，所以（3）设，由，所以，故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2）知，所以由得 因为，所以直线为的等线 .【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可19(1) ， (2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则，则,利用导数可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，点在圆，再证直线与圆和曲线均相切，结合直线与圆的位置关系求解；（3）由对称性可知和分别关于直线对称，设，其中，所以，令，求导得到的单调性，进而证得.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，解得，所以在处的切线方程为:，所以在处的切线方程为:，所以，解得.（2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，所以，设且，所以,令，则，当时，设函数，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以在均单调递减，且，当时，所以在单调递增，所以.当时，;当时，所以，当点坐标为时，最大为.同理，函数与的图象关于直线对称，且也关于直线对称，所以最大为，所以与之和的最大值为.（法二）由（1）知:，点在圆上.下面证明：直线与圆和曲线均相切，因为圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，即，除点外，圆上的点均在直线下方,又因为，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，即，除点外，曲线上的点均在直线上方.所以，当点坐标为时，最大为，同理，函数与的图象关于直线对称，且也关于直线对称，所以最大为，综上知:与之和的最大值为.（3）因为曲线与与曲线与有唯一交点，且关于对称，并分居两侧，所以曲线的上的点到曲线上的点的最小距离，且此时这两点只能为，假设函数与函数的图象关于直线对称，则点关于的对称点在上，点关于的对称点在上，因为，所以与重合，与重合，所以是函数与函数的图象的唯一对称轴，所以和分别关于直线对称，设，其中，所以，即，又因为，即，所以为方程的根，即的零点为，因为，所以在单调递增，故，所以，令，则，所以在单调递增，所以【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是得到的表达式，从而有，则为方程的根，再利用导数和零点存在性定理即可证明不等式.
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