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波的几何描述与特征现象1 波的几何描述波的几何描述在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前点的轨迹称为波前.振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面 方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线球面波球面波平面波平面波波面波面o波线波线波面波面波线波线波前波前波前波前介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前新的波前 波的知识提升 波的几何描述波前在波传播的介质中作出的某2解释衍射现象3反射定律反射定律MNABAB 两种介质界面上的波现象两种介质界面上的波现象反射定律MNABAB 两种介质界面上的波现象4折射定律折射定律MNABAB折射定律MNABAB5A1BA2B2AB1专题专题13-例例1一平面波遇到两种介质的界面时发生反射，设入射一平面波遇到两种介质的界面时发生反射，设入射波与反射波的振动方向相同如果入射波是一纵波，要使反射波是波与反射波的振动方向相同如果入射波是一纵波，要使反射波是一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍问入射一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍问入射角为多少？角为多少？A1BA2B2AB1专题13-例1解:6专题专题13-例例2ACB弹道波的几何描述如示弹道波的几何描述如示:设人在设人在C处处:子弹与人的距离即为子弹与人的距离即为CB=10m子弹在离人子弹在离人5m处以速度处以速度680m/s水平飞过，当人听水平飞过，当人听到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为340m/s.专题13-例2ACB弹道波的几何描述如示:设人在C处:子7飞机超音速飞行，引起飞机超音速飞行，引起圆锥面波，故飞机速度圆锥面波，故飞机速度 vV/sin37站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但听站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成37角时，才听到轰呜声，角时，才听到轰呜声，若飞机沿水平直线飞行，当时声速为若飞机沿水平直线飞行，当时声速为336m/s，飞机的速度是多少？，飞机的速度是多少？=560m/s飞机超音速飞行，引起圆锥面波，故飞机速度 vV/sin378专题专题13-例例3依据惠更斯原理求解依据惠更斯原理求解:MNr0rO实际的地表大气密度满足实际的地表大气密度满足假设大气折射率假设大气折射率n与空气的密度有关系与空气的密度有关系式中式中a为为常数，常数，0为地球表面的大气密度，为地球表面的大气密度，r06400km，c=8772m，大气折射率随高度的，大气折射率随高度的增加而递减为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气密度应是增加而递减为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率n0=1.0003 专题13-例3依据惠更斯原理求解:MNr0rO实际的地表大气9依据惠更斯原理求解依据惠更斯原理求解:MNh0hOR某行星上大气的折射率随着行星表面的高度某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照按照nn0ah的规律而减小，行星的半径为的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0依据惠更斯原理求解:MNh0hOR 10 驻波驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波叠加时，形成驻波 静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，不向任何方向移动，从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式振动模式 弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波 示例示例规律规律 驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时11 拍拍两个同方向的简谐运动合成时，由于频率两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频的极大值出现的次数叫做拍频 拍两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生12tT/4t0,TtT/2t3T/4tT/4t0,TtT/2t3T/4驻波的形成13t0tT/2tT/4t3T/4tT返回返回t0驻波的形成tT/2tT/4t3T/4tT返回14行波15 如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其R点和点和S点，另一端通过定滑轮吊一个点，另一端通过定滑轮吊一个1.6kg的重物，弹拨弦的的重物，弹拨弦的RS部分，使其振动，则部分，使其振动，则R、S点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为278Hz的音的音叉发音，则叉发音，则5s内可听到内可听到10次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小测得次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小测得RS75.0cm，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度 由驻波成因知该波波长为由驻波成因知该波波长为:专题专题13-例例6弦振动频率与音叉振动频率差产生拍弦振动频率与音叉振动频率差产生拍:mgRS规律规律试手试手18 16 问题问题 一个脉冲波在细绳中传播，一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为若绳的线密度为，绳中张力为，绳中张力为T试求试求脉冲波在绳上的传播速度脉冲波在绳上的传播速度 vvvTT返回返回 问题 一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为，17 将一根长为将一根长为100多厘米的均匀弦线沿水平的多厘米的均匀弦线沿水平的x轴轴放置，拉紧并使两端固定现对离固定的右端放置，拉紧并使两端固定现对离固定的右端25cm处（取该处为原处（取该处为原点点O，如图，如图1所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即y轴方向）轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图的扰动，其位移随时间的变化规律如图2所示该扰动将沿弦线传播所示该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）已知该波在弦线中的传播速度为而形成波（孤立的脉冲波）已知该波在弦线中的传播速度为2.5cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失，且波在传播和反射过程中都没有能量损失试在图试在图1中准确地画出自中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在点沿弦线向右传播的波在t2.5s时的时的波形波形该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播反射该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播反射点总是固定不动的这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠点总是固定不动的这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零由此观点出发，试在图加，使反射点的位移始终为零由此观点出发，试在图1中准确地画中准确地画出出t12.5s时的波形图时的波形图图13-12-2图图1解答解答图图2 186.25波到达右端经波到达右端经再经再经2.5S,即即t=12.5s时时y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.05018.75再经再经0.5S,即即t=10.5s时时18.756.25y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.050脉冲波形成经脉冲波形成经23.756.25波到达右端经再经2.5S,即t=12.5s时y/cm19 一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波反射时波长、频率、振幅射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波反射时波长、频率、振幅均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于原波损失半个波再反射在图中已画出某时刻入射波原波损失半个波再反射在图中已画出某时刻入射波B，试用虚线，试用虚线画出反射波画出反射波C，用实线画出驻波，用实线画出驻波A BCA 20当声波频率当声波频率f7Hz时，波长时，波长:那么井深至少为波长四分之一即那么井深至少为波长四分之一即12.4m时，空气柱与音叉可发生共鸣时，空气柱与音叉可发生共鸣 这样一个井的深度，还可能与频率大于这样一个井的深度，还可能与频率大于7Hz、波长短于波长短于49.6m、但波长的但波长的倍恰等于倍恰等于12.4m的某些声波发生共鸣的某些声波发生共鸣!有一口竖直井，井底有水，它可与有一口竖直井，井底有水，它可与fHz的某些的某些频率发生共鸣若声波在该井里的空气中的传播速度为频率发生共鸣若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2m/s，试问这口井至少有多深？试问这口井至少有多深？当声波频率f7 Hz时，波长:那么井深至少为波长四分之一21标准声频率为标准声频率为250 Hz250 Hz，拍频，拍频1.5 Hz1.5 Hz，粘上橡皮后音，粘上橡皮后音叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频率为比标准声频率低，为率为比标准声频率低，为248.5 Hz248.5 Hz 由共鸣时空气柱长度知由共鸣时空气柱长度知 音叉与频率为音叉与频率为250Hz的标准声源同时发音，产生的标准声源同时发音，产生1.5Hz的拍音当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频增大了将的拍音当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频增大了将该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当空该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当空气柱高度相继为气柱高度相继为0.34m和和1.03m时发生共鸣求声波在空气中的声时发生共鸣求声波在空气中的声速，画出空气柱中的驻波波形图速，画出空气柱中的驻波波形图 标准声频率为250 Hz，拍频1.5 Hz，粘上橡皮后音叉频22 设定：设定：波源相对于介质的速度波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的速度观察者相对于介质的速度v；波在介质中速度波在介质中速度V；观察者接收到的频率观察者接收到的频率f；波源频率波源频率f 波源固定，观察者以波源固定，观察者以v向着波源或背离波源运动向着波源或背离波源运动 波源以速度波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止 如图，此时相当于波长如图，此时相当于波长缩短或增长为缩短或增长为，故，故 波源与观察者同时相对介质运动波源与观察者同时相对介质运动此时相当于波以速度此时相当于波以速度Vv通过观察者，故通过观察者，故波源与观察者相对介质静止波源与观察者相对介质静止 多普勒效应多普勒效应u 设定：波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的23设设“哆哆”音频率为音频率为f1；低；低“咪咪”音频率为音频率为f2，有有对相向而行的乘客：对相向而行的乘客：对静止的路旁观察者：对静止的路旁观察者：对同向而行的乘客：对同向而行的乘客：专题专题13-例例4 车以车以80km/h速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔驶而去此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取驶而去此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取“哆哆”音，后来听到的则是降音，后来听到的则是降低的低的“咪咪”音（假定音（假定“哆哆”音和音和“咪咪”音的频率之比为音的频率之比为8/5）设声速为）设声速为1200km/h，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为80km/h的的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？设“哆”音频率为f1；低“咪”音频率为f2，有对相向而行的乘24观察者接收到的频率先高后低，观察者接收到的频率先高后低，说明声源与观察者先接近后远说明声源与观察者先接近后远离！作出示意图离！作出示意图:专题专题13-例例5AMBhvuAvuB由几何关系：由几何关系：代入数据后得代入数据后得 飞机在上空以速度飞机在上空以速度v200m/s做水平飞行，发出频率为做水平飞行，发出频率为f02000Hz的声波静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察者的声波静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察者s内测出的频率从内测出的频率从f12400Hz降为降为f21600Hz已知声波在空气中速度为已知声波在空气中速度为V330m/s试求飞机的飞行高度试求飞机的飞行高度 观察者接收到的频率先高后低，说明声源与观察者先接近后远离！作25这是测定宇宙中双星的一种方法这是测定宇宙中双星的一种方法 (1)由于由于B星发出的光波波长在星发出的光波波长在P点位比点位比Q点位短，可知在点位短，可知在P点位光源是朝着地球点位光源是朝着地球运动的，故运动的，故B星公转的方向为沿图中逆时星公转的方向为沿图中逆时针方向针方向 PQABPQBA可得可得v42km/s 有有A、B两个星球两个星球B星以星以A星为中心做匀速圆周运动，如图星为中心做匀速圆周运动，如图由于星球离地球非常远，而且地球位于由于星球离地球非常远，而且地球位于B星的轨道平面上，所以从地球上看过星的轨道平面上，所以从地球上看过去，去，B星好象在一条直线上运动测得星好象在一条直线上运动测得B星从星从P点移动到点移动到Q点需要点需要6.28107s由由于多普勒效应，在测定于多普勒效应，在测定B星发出的光的波长时发现，当星发出的光的波长时发现，当B星位于星位于P点时比位于点时比位于A点时短点时短0.6810-10m，位于，位于Q点时则比点时则比A点长同样的值若位于点长同样的值若位于A点时的波长测点时的波长测量值为量值为4861.3310-10m，光速，光速c3.0108m/s求求B星公转的方向星公转的方向;B星的公转速度是多少星的公转速度是多少km/s？圆周轨道的半径圆周轨道的半径 这是测定宇宙中双星的一种方法 (1)由于B星发出的26设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u，此即波源移动速度，由于波源向着观察者，此即波源移动速度，由于波源向着观察者运动，接收到的频率变大，由运动，接收到的频率变大，由可得可得 某人造地球卫星发出频率为某人造地球卫星发出频率为108Hz的无线电讯号，的无线电讯号，地面接收站接收到的讯号频率增大了地面接收站接收到的讯号频率增大了2400Hz已知无线电讯号在已知无线电讯号在真空中的传播速度为真空中的传播速度为c3.0108m/s，试估算人造卫星朝地面接，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运动速度收站方向的运动速度 设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u，此即波源移动速度，27接收到来自乐队的频率接收到来自乐队的频率 来自广播声的频率来自广播声的频率 U1m/s 在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一方在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一方向前进乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，乐向前进乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，乐队正同时奏出频率为队正同时奏出频率为440Hz的音调在乐队前面街上有一固定广的音调在乐队前面街上有一固定广播设施做现场转播旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从播设施做现场转播旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四拍利用测广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四拍利用测速计可测出车速为速计可测出车速为18km/h试计算乐队行进的速度已知在这个试计算乐队行进的速度已知在这个寒冷的天气下，声速为寒冷的天气下，声速为330m/s 接收到来自乐队的频率 来自广播声的频率 U1 m/s 28一波源振动频率为一波源振动频率为2040Hz，以速度，以速度vs向墙壁接近，向墙壁接近，如图，观测者在如图，观测者在A点所得的拍频点所得的拍频=3Hz，设声速为，设声速为340m/s，求，求波源移动的速度波源移动的速度vs如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度以速度=0.2m/s向观察者向观察者A接近，所得到的拍频为接近，所得到的拍频为=4Hz，求波，求波源的频率源的频率 A点从声源直接接收到的声波频率点从声源直接接收到的声波频率 经墙反射后的声波频率经墙反射后的声波频率 观测者观测者 波源波源AS续解续解 29代入题给数据代入题给数据 若反射面移动，则若反射面移动，则A点点从声源直接接收到的声波频率从声源直接接收到的声波频率反射面接收到的波频率反射面接收到的波频率 反射到反射到A接收到的波频率接收到的波频率 代入题给数据 若反射面移动，则A点从声源直接接收30uR声源移动速度为声源移动速度为R，相对观察，相对观察者接近或背离速度设为者接近或背离速度设为u，当当时时有最值有最值,此时此时60或或300如图，音叉如图，音叉P沿着半径沿着半径r8m的圆以角速度的圆以角速度=4rad/s做匀速圆周运动音叉发出频率为做匀速圆周运动音叉发出频率为f0500Hz的声波，声波的速度的声波，声波的速度为为v330m/s观察者观察者与圆周共面，与圆心与圆周共面，与圆心的距离为的距离为d2r试问当角试问当角为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值 uR声源移动速度为R，相对观察者接近或背离速度设为u31专题专题13-例例7到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速温度随高度递增，这导致声速v随高度随高度y变化，假定变化规律为：变化，假定变化规律为：式中式中v0是地面（是地面（y处）的声速，处）的声速，a为比例系数今远方地面为比例系数今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成角假定在声波传播角假定在声波传播范围内范围内，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离最清晰的地点与声源的距离S 由于声速沿由于声速沿y轴轴递增，折射角递增，折射角i逐渐增大，开始逐渐增大，开始一段声传播的径一段声传播的径迹大致如图迹大致如图!夜间夜间寂静区寂静区白天白天xy第第i层层12第第i层层根据折射定律根据折射定律:声波波线即声传播轨迹声波波线即声传播轨迹!续解续解专题13-例7 32第第i层声波波线视为直线层声波波线视为直线,有有查阅查阅可得波线方程为可得波线方程为续续解解第i层声波波线视为直线,有查阅可得波线方程为续解33对待定方程对待定方程求斜率求斜率于是得声传播轨迹方程于是得声传播轨迹方程:可知地面上听得最清点距声源可知地面上听得最清点距声源比较比较对待定方程求斜率于是得声传播轨迹方程:可知地面上听得最清点距34在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化已知声速在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化已知声速随深度变化规律如图，最小声速出现在海洋表面与海底之间坐随深度变化规律如图，最小声速出现在海洋表面与海底之间坐标原点取在声速最小处，标原点取在声速最小处，za、zb分别表示海面和海底的坐标则声分别表示海面和海底的坐标则声速速v与与z的关系为的关系为其中其中b为常量今在为常量今在x=0，z=0处放置一声源处放置一声源S，在，在xz平面内，从平面内，从S发出发出的声波的传播方向用初始发射角的声波的传播方向用初始发射角0表示声速的不均匀将导致波表示声速的不均匀将导致波射线的弯曲试证明在射线的弯曲试证明在zx平面内声波的初始轨迹为圆，并求出其平面内声波的初始轨迹为圆，并求出其半径半径 Ozazbvovz在在xz平面将海水分成与平面将海水分成与x轴平行的轴平行的n薄层薄层(n)，各层的波速可视为不变，各层的波速可视为不变，波在各层传播时遵循折射定律，第波在各层传播时遵循折射定律，第i层层的波速为的波速为vi，波在该薄层两界面上的折，波在该薄层两界面上的折射角为射角为i，在下一层的折射角为，在下一层的折射角为i+1，每，每经过一薄层，声波传播方向改变经过一薄层，声波传播方向改变=i+1i续解续解 在海洋35由折射定律：由折射定律：zs对第对第i薄层海水有薄层海水有由折射定律：zs对第i薄层海水有 36设岸的坡度为设岸的坡度为m，水深，水深h，下限水深度为，下限水深度为h0，此，此处水波速率处水波速率v0并平行于岸，并平行于岸，y为离岸距离，又为离岸距离，又v=kh，波线设为如图，波线设为如图y岸岸0yv0根据折射定律根据折射定律:由几何关系由几何关系:vivi+1走在岸边，总可以看到水波平行于岸边滚滚而来设走在岸边，总可以看到水波平行于岸边滚滚而来设水波的速率与水深成正比，岸的斜度为常数，计算水波的轨迹水波的速率与水深成正比，岸的斜度为常数，计算水波的轨迹 S设岸的坡度为m，水深h，下限水深度为h0，此处水波速率v0并37
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