第3章：极限与导数课件

第第3章：极限与导数章：极限与导数3.1微积分的基础：极限微积分的基础：极限极限是一个可无限趋向却永远不可达到的目标，可极限是一个可无限趋向却永远不可达到的目标，可以曼妙的遐想去无限的接近她，你永远可望而不可即。以曼妙的遐想去无限的接近她，你永远可望而不可即。你可以永无休止的的追逐，直到你疲倦了，暂时的休你可以永无休止的的追逐，直到你疲倦了，暂时的休息一下。甚至多少时候，人们并不知道这个极限的常息一下。甚至多少时候，人们并不知道这个极限的常数究竟是多少，她永远云笼雾罩着她的身影，飘飘缈数究竟是多少，她永远云笼雾罩着她的身影，飘飘缈缈，让你永远也看不清楚，但有时好像有近在咫尺，缈，让你永远也看不清楚，但有时好像有近在咫尺，你唾手可得；有时又好像远在天边，你望尘莫及。人你唾手可得；有时又好像远在天边，你望尘莫及。人们跌跌撞撞踉踉跄跄一点一点往前走着，人们憧憬的们跌跌撞撞踉踉跄跄一点一点往前走着，人们憧憬的眼神里闪烁着一丝的光亮，充满了婴儿般天真的的期眼神里闪烁着一丝的光亮，充满了婴儿般天真的的期待。人们好像相信那个点终究会到达的，即便连蜗牛待。人们好像相信那个点终究会到达的，即便连蜗牛也相信这一点。这正是人类最为可贵的地方。于是身也相信这一点。这正是人类最为可贵的地方。于是身上充满了无穷的力量，产生了许多灵感。朝那个极限上充满了无穷的力量，产生了许多灵感。朝那个极限方向逐渐接近。方向逐渐接近。爬泰山，在山顶上，有个游客拒绝了同伴的在那块爬泰山，在山顶上，有个游客拒绝了同伴的在那块登峰造极的石刻前留影邀请。任凭同伴死啦硬拽，他登峰造极的石刻前留影邀请。任凭同伴死啦硬拽，他还是不肯摄影。他独自一个人站在旁边远望着云海茫还是不肯摄影。他独自一个人站在旁边远望着云海茫茫，仰看着苍穹，目光很深邃。我妄自猜想他一定是茫，仰看着苍穹，目光很深邃。我妄自猜想他一定是不愿意就此一摄成谶。他内心还有更高的极巅有待攀不愿意就此一摄成谶。他内心还有更高的极巅有待攀登，山外青山楼外楼。他可能一生里始终在追寻着一登，山外青山楼外楼。他可能一生里始终在追寻着一个高度。但没有最高，只有更高，没有最好，只有更个高度。但没有最高，只有更高，没有最好，只有更好。好。路漫漫而修远兮，吾将上下而求索路漫漫而修远兮，吾将上下而求索，在自己的理，在自己的理想惶惑靡宁而跃跃欲试。最后在选择了自己的既定的想惶惑靡宁而跃跃欲试。最后在选择了自己的既定的目标后将坚定不移的信念与洞若观火的智慧结合起来，目标后将坚定不移的信念与洞若观火的智慧结合起来，以血肉之躯开始了漫长的人生之旅。以血肉之躯开始了漫长的人生之旅。世界无极限，吾世界无极限，吾将何以为？将何以为？作为这个大千世界的匆匆过客，不甘于庸作为这个大千世界的匆匆过客，不甘于庸碌无为，不甘于行尸走肉。每个人都想活出精彩。中碌无为，不甘于行尸走肉。每个人都想活出精彩。中国文化里的虚怀若谷的格言激励着无数人始终保持谦国文化里的虚怀若谷的格言激励着无数人始终保持谦虚谨慎，以使自己永远蹭蹬在爬坡的某一个台阶上步虚谨慎，以使自己永远蹭蹬在爬坡的某一个台阶上步履蹒跚，而不是自我感觉登峰造极。他们把自己毫不履蹒跚，而不是自我感觉登峰造极。他们把自己毫不犹豫的交给了那个遥远的坐标。在那个永不可及的坐犹豫的交给了那个遥远的坐标。在那个永不可及的坐标神秘的无限光环下，他们在波涛汹涌的的航程里无标神秘的无限光环下，他们在波涛汹涌的的航程里无数次将内心暗淡的灯塔一一点亮，航船侥幸绕过一个数次将内心暗淡的灯塔一一点亮，航船侥幸绕过一个个暗礁。甚至就在到达彼岸的一瞬，他们同时颓然崩个暗礁。甚至就在到达彼岸的一瞬，他们同时颓然崩溃，像一个突然的爆炸，在沉沉黑夜里最后闪烁耀眼溃，像一个突然的爆炸，在沉沉黑夜里最后闪烁耀眼的光芒。的光芒。运动员旋风般的在向终点百米高速冲刺的时候，那运动员旋风般的在向终点百米高速冲刺的时候，那无穷的力量来自于人类为之着迷的速度的极限，于是无穷的力量来自于人类为之着迷的速度的极限，于是人类不停的奔跑着；宇航员精灵般的在茫茫的太空隐人类不停的奔跑着；宇航员精灵般的在茫茫的太空隐秘游弋的时候，那不懈的探索来自于人类为之神秘的秘游弋的时候，那不懈的探索来自于人类为之神秘的宇宙的极限，于是梦想不停的飞翔着；歌唱家天籁般宇宙的极限，于是梦想不停的飞翔着；歌唱家天籁般的在音乐的世界吐珠漱玉的时候，那婉转的旋律来自的在音乐的世界吐珠漱玉的时候，那婉转的旋律来自于人类为之共振的和谐的极限，于是人类不停的歌唱于人类为之共振的和谐的极限，于是人类不停的歌唱着；书法家神鬼般的用抽象的线条龙飞凤舞的时候，着；书法家神鬼般的用抽象的线条龙飞凤舞的时候，那符号的变幻来自于人类为之具象的还原的极限，于那符号的变幻来自于人类为之具象的还原的极限，于是椽笔不停地挥毫着；画家魔术般的在空白的平面上是椽笔不停地挥毫着；画家魔术般的在空白的平面上点染描绘的时候，那奇葩的馨香，此时不由自主会想点染描绘的时候，那奇葩的馨香，此时不由自主会想到百米飞人博尔特在激烈的挥舞着手臂试图抓住那个到百米飞人博尔特在激烈的挥舞着手臂试图抓住那个跑在他前边不远冲他微笑那个无人可及的世界记录。跑在他前边不远冲他微笑那个无人可及的世界记录。在对极限无休无止追求的过程中，人类创造了在对极限无休无止追求的过程中，人类创造了无数绝美。而从古到今远远欣赏着他们的人们，也无数绝美。而从古到今远远欣赏着他们的人们，也在历史的滚滚长河里无数次幸运的纵横领略着一个在历史的滚滚长河里无数次幸运的纵横领略着一个又一个的极致，永远无法看清那个朦胧绰约的美人又一个的极致，永远无法看清那个朦胧绰约的美人脸上一颗微小的几乎可以忽略的美人痣。脸上一颗微小的几乎可以忽略的美人痣。世界潮流，浩浩荡荡。世界潮流，浩浩荡荡。“江山代有才人出，各江山代有才人出，各领风骚五百年领风骚五百年”，人类对极限的追求是世界精彩的，人类对极限的追求是世界精彩的根本原因。根本原因。极限：极限：limx?af(x)?A含义是只要可通过取足够接近于含义是只要可通过取足够接近于a的的x使使f(x)任意的接近任意的接近A说明说明(1)Lim是极限的运算符号，英语取极限是极限的运算符号，英语取极限limit的前的前3个字母个字母(2)xa的方式是任意的，可小于的方式是任意的，可小于a趋于趋于a又可大于又可大于a趋于趋于a，更，更多的是从两边趋于多的是从两边趋于a(3)极限既是无限的过程又是确定的结果极限既是无限的过程又是确定的结果(4)古代人早有极限的概念，如两千年前庄子提出古代人早有极限的概念，如两千年前庄子提出“一日之椎，一日之椎，日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭”。例3.12n?n?1lim2n?n?3n?22例3.2xlimx?1x?1例3.3考察下列函数当x接近于 1 时函数值的变化情况?x?1 x?1x?1(1)f(x)=x+1;(2)g(x)=;h(x)?x?1?x?1 x?12x?0sinxxlim?125页，课堂练习，求下列函数的极限2(1)lim2x?1x?12x?1;2(3)limx?3x?2x?1x?1;3n2?2n?1n?2n2?3n?1;(4)limsin3xx?02x;(2)lim26页，A组第1题1-6小题计算下列极限(1)lim(x2x?0?2x?1);2x2(3)lim?xx?x2?2x?1;(5)limsin2xx?0 x;x2?2n?31x?1x?1;(4)limx?1x?1x2?1;(6)lim(n?1)2n?n?1(2)lim3.2关键概念：导数关键概念：导数牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹人类精神的最高胜利！人类精神的最高胜利！站在巨人的肩膀上！站在巨人的肩膀上！1dm2dm3.2.1如何求瞬时速度如何求瞬时速度1.瞬时速度瞬时速度平均速度的概念平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为这段时间内汽车的平均速度为经过的路程 s 150v?15(m/s)?54(km/h)所用的时间 t10平均速度反映了汽车在前平均速度反映了汽车在前 10秒内的快慢程度，秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度刻的速度瞬时速度瞬时速度要精确地描述非匀速直线运动，就要知道要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻 t的的瞬时速度瞬时速度v，就是物体在就是物体在t到到 t+Dt这段时间内，当这段时间内，当 Dt?0 时平时平均速度均速度v的极限的极限.即即Dss(t?Dt)?s(t)v?lim?limDt?0DtDt?0Dt平均变化率的定义如果上述两个问题中的函数关系用如果上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，那么问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)x2?x1上式称为函数上式称为函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率。习惯上记：习惯上记：x=x2-x1y=f(x2)-f(x1)12s?gt例例1物体作自由落体运动，运动方程为：物体作自由落体运动，运动方程为：其中位移单位是其中位移单位是m，时间，时间单位是单位是s，g=10m/s2求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间 2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在 t=2(s)时的瞬时时的瞬时速度速度.2v?Ds?2g?1g?(1).将 Dt=0.1Dt代入上式，得2(Dt)v?2.05g?20.5 m/s(2).将 Dt=0.01代入上式，得v?2.005g?20.05 m/s(3).当Dt?0,2?Dt?2平均速度平均速度v的极限为的极限为:v?DsDlimt?0v?Dlimt?0Dt?2g?20(m/s)Os(2)s(2+Dt)Dss导数的定义导数的定义定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x=x0处的瞬时变化率处的瞬时变化率叫做函数叫做函数y=f(x)在点在点x=x0处的导数处的导数记作记作f?(x0)或y?|x?x0即即f(x0?Dx)?f(x0)Dylim?limDx?0DxDx?0Dx记作：f?(x0)或y?|x?x0dy或|x?x0dx例3.8 求函数y=x 在x?5处的导数2练习：求函数y?3x在x?2处的导数如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a，b)内每一点都可导，内每一点都可导，就说函数就说函数yf(x)在区间在区间(a，b)内可导这时，对内可导这时，对每一个每一个x x?(a,b)(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应，都有唯一确定的导数值与它对应，这样在区间这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数这个内就构成一个新的函数这个新的函数叫做函数新的函数叫做函数 f(x)在区间在区间(a，b)内的内的导函数导函数，dy记作记作y?,f?(x)或.dx把x0换成x，即得y=f(x)的导函数Dyf(x?Dx)?f(x)y?f?(x)?lim?limDx?0DxDx?0Dx即f?(x0)?f?(x)x?x0例例3.9 求函数求函数yf(x)=x2的导数的导数解解:(1)求函数的改变量求函数的改变量:D y?f(x?D x)?f(x)?(x?D x)?x?2x?D x?(D x)(2)算比值算比值,(3)求导数求导数,222Dy2x?Dx?(Dx)?2x?DxDxDx2Dyy?lim?lim(2 x?Dx)?2xDx?0DxDx?0(x)?2x(x是未知数）2例例3.10 求函数求函数y=f(x)C（C是常数）的导数是常数）的导数解解:(1)求函数的改变量求函数的改变量:Dy?f(x?Dx)?f(x)?C?C?0Dy0(2)算比值算比值,?0DxDx(3)求导数求导数,Dyy?lim?lim 0?0Dx?0DxDx?0(C)?0(C是常数）即常数的导数等于即常数的导数等于 0例例3.11求函数求函数yf(x)=x的导数的导数解解:(1)求函数的改变量求函数的改变量:Dy?f(x?Dx)?f(x)?(x?Dx)?x?DxDyDx(2)算比值算比值,?1DxDx(3)求导数求导数,Dyy?lim?lim 1?1Dx?0DxDx?0(x)?1(x是未知数）又如：y?x函数改变量函数改变量:Dy=x+Dx?x算比值算比值,Dy?Dxx?Dx?x(x?Dx?x)(x?Dx?x)?DxDx(x?Dx?x)(x?Dx)?x?Dx(x?Dx?x)1x?Dx?xDy11lim?lim?取极限取极限,Dx?0DxDx?0 x?Dx?x2 x11所以(x)?(x2)?2 x1例例3.12 求函数求函数y?f(x)?的导数的导数x11?Dx?解解:(1)函数改变量函数改变量Dy=x(x?Dx)x?DxxDx?1Dyx(x?Dx)?(2)算比值算比值,?x(x?Dx)DxDx(3)求导数求导数,Dy11y?lim?lim?2Dx?0DxDx?0 x(x?Dx)x11?1所以所以()?(x)?2xx归纳归纳(x)?2x22?1?2x11?1?1?1()?(x)?(?1)x?2xx1(x)?(x)?x2121?121?x2?12?12 x;可以归纳出它们的规律，即幂函数可以归纳出它们的规律，即幂函数 y=xa的求导的求导公式为公式为(x)?x?1(?是任意实数）例例 求下列幂函数的导数求下列幂函数的导数3?25(1)y?x(2)y?x(3)y?x解解:利用幂函数的导数公式，得利用幂函数的导数公式，得(x)?x?1(1)y?(x)?5x?255?1?5x;?2?1?34(2)(3)y?(x)?2x?2x;11?131?33y?x?(x)?x321?31?x?3;233 x?例例5 求求 y=sinx 的导数的导数DxDx)sin解Dy?sin(x?Dx)?sinx?2cos(x?22DxsinDyDx2?cos(x?)DxDx22Dyy?(sinx)?limDx?0DxDxsin2又因为又因为lim?1,Dx?0Dx2DxsinDx?2?lim cos?x?lim?cosx.Dx?02?Dx?0Dx?2y=sinxy=sinx的导数为的导数为(sinx)?cosx同理可得，同理可得，y=cosxy=cosx的导数为的导数为(cosx)?sinx问题问题:如图如图,当点当点Pn(xn,f(xn)(n?1,2,3,4)沿着曲线沿着曲线f(x)趋近趋近于点于点P(x0,f(x0)时时,割线割线PPn的变化趋势是什么的变化趋势是什么?y=f(x)当点当点 Pn 趋近于点趋近于点 P 时时,割线割线PPn趋近于确定的位置趋近于确定的位置,这个确定的直这个确定的直线线 PT 称为过点称为过点 P 的的切线切线.yP1P2P3f(xn)?f(x0)kn?xn?x0令令Dx?xn?x0,则则xn?x0?DxoPx0P4xnTxf(xn)?f(x0)f(x0?x)?f(x0)k?lim?lim?f?(x0)xn?x0Dx?0 xn?x0D x即当即当x无限趋近于无限趋近于0时时,kn无限趋近于点无限趋近于点P(x0,f(x0)处的处的斜率斜率.导数的几何意义函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，即k?f?(x0)曲线 y=f(x)在点 x0处的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0)求曲线 y=x2在点 x=1处的切线方程和法线方程解：y?(x2)?2xy=x2在点x=1处切线斜率为k?y?x?1?2所以切线方程为y-1=2(x-1)即2xy-1=0.yy=x2T3N21Px-1O123-133页1.利用导数的定义，求y?2x在x?1 处的导数值y2.设f(x)?2x,试用导数定义求f(2)3.求下列函数的导数(1)y=x;(2)y?x;(3)y?xx;(4)y?321.6352x?1xxx523233页5.设y?x?2x?1，求在点(1,2)处的切线方程6.设y?x，求在点(4,2)处的切线方程17.求曲线 y?x?在点(1,0)处的切 线方程。x2