变化率导数概念课件

3.1.1变化率问题变化率问题 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1.1变化率问题 第三章 1创设情景创设情景 一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体求物体在任意时刻的速度与加速度等在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数导数是微积分的是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、变概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产生了，随着对函数的研究，产生了微积分微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：创设情景 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物2 在吹气球的过程中在吹气球的过程中,可发现可发现,随着气球内空随着气球内空气容量的增加气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢.从从数学的角度数学的角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量3变化率导数概念课件4播放暂停停止播放暂停停止5变化率导数概念课件6探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)=4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，的图像，结合图形可知，所以，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为 ，但实际情况是运动员仍然，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态能精确描述运动员的运动状态thO探究过程：如图是函数h(t)=4.9t2+6.5t+10的7在例在例2中：对于函数中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在计算运动员在0s到到0.5s内的内的 平均速度平均速度为：为：在例在例1中：对于函数中：对于函数 当空气容量从当空气容量从 增加到增加到 时时,气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为：为：一般地，函数一般地，函数f（x）在区间）在区间 上的上的平均变化率平均变化率为：为：在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员8所以，平均变化率可以表示为：所以，平均变化率可以表示为：平均变化率所以，平均变化率可以表示为：92、式子中、式子中 x、y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的 x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为03、若函数、若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 理理解解4、变式、变式:2、式子中x、y 的值可正、可负，但 3、若函数f 10 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考 观察函数f(x)的图象平均变化率xyoBx2f(x211直线直线AB的斜率的斜率AB思考由上面的讨论可知：函数曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。直线AB的斜率AB思考由上面的讨论可知：函数12例例 1 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2(2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2 题型一：求函数的平均型一：求函数的平均变化率化率例 1 (1)计算函数 f(x)=2 x+1在13练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.Ax+2x0练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,14 比如，比如，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单（单位：位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？我们先考察我们先考察2附近的情况。附近的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是是时间改变量，可以是正值，也时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为可以是负值，但不为0.当当 0时，在时，在2之前；之前；当当 0时，在时，在2之后。之后。2hto 0时时2 0时时2 在高台跳水运动中，运动员在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。瞬时速度。运动员的运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何求求运动员运动员的瞬时速度呢？的瞬时速度呢？问题问题 3 比如，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度15当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当t趋近于趋近于0时时,平均速度有平均速度有什么变化趋势什么变化趋势?当t=0.01时,当t=0.01时,当t 16思考：思考：当当趋近于近于0时，平均速度又怎，平均速度又怎样的的变化化势？结论：当趋近于结论：当趋近于0 0时，即无论时，即无论t t从小于从小于2 2的一边，还是从的一边，还是从大于大于2 2的一边趋近于的一边趋近于2 2时，平均速度都趋近于一个确定时，平均速度都趋近于一个确定的值的值-13.1-13.1.思考：当趋近于0时，平均速度又怎样的变化势？结论：当趋近于017瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从18、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：、函数的平均变化率怎么表示？思考：19定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变20导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关关于体积于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬瞬时膨膨胀率率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数的作用：在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的在例121 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x022例例2.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平附近的平均变化率，并求出在该点处的导数均变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.典例分析典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例2.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数23例例2.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.典例分析典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例2.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.典例分析题型24例例2.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 典例分析典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例2.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变25例例2.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.典例分析典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例2.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时26变化率导数概念课件27变化率导数概念课件28计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大原油温度大约以以3的速率上升。的速率上升。练习：计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时这说明:练习：29小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:30小结：小结：3.3.求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限4.由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限小结：3.求物体运动的瞬时速度：4.由导数的定义可得求导数31