物理光学电子课件402

4.2.2 4.2.2 光在晶体中传播的光在晶体中传播的 几何法描述几何法描述1.1.折射率椭球折射率椭球(光率体光率体)2.2.折射率曲面和波矢曲面折射率曲面和波矢曲面3.3.菲涅耳椭球菲涅耳椭球4.4.射线曲面射线曲面.光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。当以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。当然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。.在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、折射率在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面。限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介六种三维曲面。限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介绍折射率椭球、折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面。绍折射率椭球、折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面。.1.1.折射率椭球折射率椭球(光率体光率体)(1).(1).折射率椭球方程折射率椭球方程(2).(2).折射率椭球的性质折射率椭球的性质(3).(3).利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定 D,E,k,sD,E,k,s方向的几何方法方向的几何方法(4).(4).应用折射率椭球讨论晶体的光学性质应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 .（1).1).折射率椭球方程折射率椭球方程 由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为：储能密度为：故有故有 在给定能量密度在给定能量密度w we e的情况下，该方程为的情况下，该方程为D D(D D1 1、D D2 2、D D3 3)空空间的椭球面。间的椭球面。.若令：若令：则有则有或者或者 .图图 4-10 4-10 折射率椭球折射率椭球(光率体光率体).图图 4-11 4-11 确定折射率和确定折射率和D D振动方向的图示振动方向的图示 .（2).2).折射率椭球的性质折射率椭球的性质 若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k k，再过坐标，再过坐标原点作一平面原点作一平面(称为中心截面称为中心截面)(k k)与与k k垂直垂直(图图 4-11)4-11)，(k k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作分别记作rara(k k)和和rbrb(k k)，则可以证明折射率椭球具有下面两，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质：个重要的性质：与波法线方向与波法线方向k k相应的两个特许线偏振光的折射率相应的两个特许线偏振光的折射率n n和和n n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即：，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即：.与波法线方向与波法线方向k k相应的两个特许线偏振光相应的两个特许线偏振光D D的振动方的振动方向向d d和和d d，分别平行于，分别平行于r ra a和和r rb b，即：，即：这里，这里，d d是是D D矢量方向上的单位矢量。矢量方向上的单位矢量。这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量图法定出与波法线矢量k k相应的两个特许线偏振光的折射率相应的两个特许线偏振光的折射率和和D D的振动方向的振动方向(图图4-11)4-11)。.（3).3).利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D,E,k,sD,E,k,s方向的几何方法方向的几何方法 利用折射率椭球除了确定相应于利用折射率椭球除了确定相应于k k的两个特许线偏振光的两个特许线偏振光D D矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定确定D,E,k,sD,E,k,s各矢量的方向。各矢量的方向。如前所述，如前所述，D D、E E、k,sk,s矢量都与矢量都与H H矢量垂直，因而同处矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆，于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆，如图如图 4-12 4-12 所示。所示。如果相应于波法线方向如果相应于波法线方向k k的一个电位移矢量的一个电位移矢量D D确定了，与确定了，与该该D D平行的矢径端点为平行的矢径端点为B B，则椭球在，则椭球在B B点的法线方向平行于与点的法线方向平行于与该该D D矢量相应的矢量相应的E E矢量方向。矢量方向。.图图 4-12 4-12 由给定的由给定的D D确定确定E E、k k、s s方向图示方向图示.（4).4).应用折射率椭球讨论应用折射率椭球讨论 晶体的光学性质晶体的光学性质.各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 .单轴晶体单轴晶体.双轴晶体双轴晶体.各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数1 1=2 2=3 3 ，主折射率，主折射率n n1 1=n n2 2=n n3 3=n n0 0，折射率椭球方程为：，折射率椭球方程为：这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为半径为n n0 0的球。因此，不论的球。因此，不论k k在什么方向，垂直于在什么方向，垂直于k k的中心截面的中心截面与球的交线均是半径为与球的交线均是半径为n n0 0的圆，不存在特定的长、短轴，因而的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。光学性质是各向同性的。.单轴晶体单轴晶体 在单轴晶体中，在单轴晶体中，1 1=2 23 3，或，或n n1 1=n n2 2=n no o，n n3 3=n ne en no o，因此折射率椭球方程为：，因此折射率椭球方程为：显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x x3 3轴。若轴。若n ne e n no o称为称为正单轴晶体正单轴晶体(如石英晶体如石英晶体)，折射率椭球是沿着，折射率椭球是沿着x x3 3轴拉长了的轴拉长了的旋转椭球；若旋转椭球；若n ne e n no o，称为负单轴晶体，称为负单轴晶体(如方解石晶体如方解石晶体)，折，折射率椭球是沿着射率椭球是沿着x x3 3轴压扁了的旋转椭球。轴压扁了的旋转椭球。.图图 4-13 4-13 单轴晶体折射率椭球作图法单轴晶体折射率椭球作图法 .图图 4-14 4-14 两个坐标系的关系两个坐标系的关系 .双轴晶体双轴晶体a.a.双轴晶体中的光轴双轴晶体中的光轴b.b.光在双轴晶体中的传播特性光在双轴晶体中的传播特性.a.a.双轴晶体中的光轴双轴晶体中的光轴 对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即1 12 23 3，因而，因而n n1 1n n2 2n n3 3，所以折射率椭球方程，所以折射率椭球方程为：为：若约定若约定n n1 1 n n2 2 n n3 3，则折射率椭球与，则折射率椭球与x x1 1OxOx3 3平面的交线是椭平面的交线是椭圆圆(图图4-15)4-15)，它的方程为：，它的方程为：.式中，式中，n n1 1和和n n3 3分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任意一点的矢径意一点的矢径r r与与x x1 1轴的夹角为轴的夹角为，长度为，长度为n n，则上式可写成，则上式可写成或或 n n的大小随着的大小随着在在n n1 1和和n n3 3之间变化。由于之间变化。由于n n1 1 n n2 2 n no o，球面内切于椭球；，球面内切于椭球；对于负单轴晶体，对于负单轴晶体，n ne e n no o ，球面外切于椭球。两种情况的切，球面外切于椭球。两种情况的切点均在点均在x x3 3轴上，故轴上，故x x3 3轴为光轴。当与轴为光轴。当与x x3 3轴夹角为轴夹角为的波法线的波法线方向方向k k与折射率曲面相交时，得到长度为与折射率曲面相交时，得到长度为n no o和和n ne e()的矢径，的矢径，它们分别是相应于它们分别是相应于k k方向的两个特许线偏振光的折射率，其中方向的两个特许线偏振光的折射率，其中n ne e()可由可由(4-102)(4-102)式求出：式求出：.对于双轴晶体，对于双轴晶体，n n1 1n n2 2n n3 3,前面所述的四次曲面在三前面所述的四次曲面在三个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的方程分别是方程分别是:x2Ox3面 x3Ox1面 x1Ox2面.图图 4-21 4-21 双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线.图图 4-22 4-22 双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图 .3.3.菲涅耳椭球菲涅耳椭球 上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方向向k k而言的。由于晶体中的而言的。由于晶体中的k k与与s s可能分离，而在有些应用中给可能分离，而在有些应用中给定的是定的是s s方向，所以利用相对方向，所以利用相对s s而言的曲面讨论光的传播规律而言的曲面讨论光的传播规律比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向s s引入的几何曲面。引入的几何曲面。由折射率椭球方程并利用矢量对应关系，可得：由折射率椭球方程并利用矢量对应关系，可得：.式中，式中，v vr1r1、v vr2r2、v vr3r3表示三个主轴方向上的光线主速表示三个主轴方向上的光线主速度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭球。在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完球。在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完全相同，只是以光线方向全相同，只是以光线方向s s取代波法线方向取代波法线方向k k。对于任一给定。对于任一给定的光线方向的光线方向s s，过菲涅耳椭球中心作垂直于，过菲涅耳椭球中心作垂直于s s的平面，它与菲的平面，它与菲涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示与与s s方向相应的二特许线偏振光电场强度方向相应的二特许线偏振光电场强度E E的振动方向，半轴的振动方向，半轴长度表示该二光的光线速度。如果把长、短半轴矢径记作长度表示该二光的光线速度。如果把长、短半轴矢径记作rara(s s)和和rbrb(s s)，则有：，则有：.e e表示与光线方向表示与光线方向s s相应的相应的E E矢量振动方向上的单位矢矢量振动方向上的单位矢量。菲涅耳椭球可记为量。菲涅耳椭球可记为(e,ve,vr)r)曲面。曲面。.4.4.射线曲面射线曲面 射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与晶体中光线方向晶体中光线方向s s相应的两个光线速度的分布。射线曲面上的相应的两个光线速度的分布。射线曲面上的矢径方向平行于给定的矢径方向平行于给定的s s方向，方向，矢径的长度等于相应的两个矢径的长度等于相应的两个光线速度光线速度v vr r，因此可简记为，因此可简记为(s,vs,vr)r)曲面。实际上，射线曲面曲面。实际上，射线曲面就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面。就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面。射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是：射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是：.图图 4-23 4-23 单轴晶体的射线曲面单轴晶体的射线曲面(a)(a)正单轴晶体；正单轴晶体；(b)(b)负单轴晶体负单轴晶体.图图 4 24 4 24 双轴晶体射线曲面双轴晶体射线曲面 在三个主轴截面上的截线在三个主轴截面上的截线 .图图 4-25 4-25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图 .4.34.3平面光波在晶体界面上平面光波在晶体界面上 的反射和折射的反射和折射4.3.1 4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射光在晶体界面上的双反射和双折射4.3.2 4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的光在晶体界面上反射和折射方向的 几何作图法描述几何作图法描述.4.3.1 4.3.1 光在晶体界面上的光在晶体界面上的双反射和双折射双反射和双折射 众所周知，一束单色光入射到各向同性介质的界面上众所周知，一束单色光入射到各向同性介质的界面上时，将分别产生一束反射光和一束折射光，并且遵从熟知的时，将分别产生一束反射光和一束折射光，并且遵从熟知的反射定律和折射定律。人们在实验中发现，一束单色光从空反射定律和折射定律。人们在实验中发现，一束单色光从空气入射到晶体表面气入射到晶体表面(例如方解石晶体例如方解石晶体)上时，会产生束同频率上时，会产生束同频率的折射光的折射光(图图4-26)4-26)，这就是双折射现象；当一束单色光从晶，这就是双折射现象；当一束单色光从晶体内部体内部(例如方解石晶体例如方解石晶体)射向界面上时，会产生两束同频率射向界面上时，会产生两束同频率的反射光的反射光(图图 4-27)4-27)，这就是双反射现象。并且，在界面上这就是双反射现象。并且，在界面上所产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光，它们的振所产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光，它们的振动方向相互垂直。显然，这种双折射和双反射现象都是晶体动方向相互垂直。显然，这种双折射和双反射现象都是晶体中光学各向异性特性的直接结果。中光学各向异性特性的直接结果。.图图4-26 4-26 方解石晶体的双折射现象方解石晶体的双折射现象.图图 4-27 4-27 方解石晶体中的双反射现象方解石晶体中的双反射现象.由光的电磁理论可得：若设 分别为入射角、反射角和折射角.4.3.2 4.3.2 光在晶体界面上反射和折射光在晶体界面上反射和折射 方向的几何作图法描述方向的几何作图法描述1.1.惠更斯作图法惠更斯作图法2.2.斯涅耳作图法斯涅耳作图法.1.1.惠更斯作图法惠更斯作图法 惠更斯作图法是利用射线曲面惠更斯作图法是利用射线曲面(即波面即波面)确定反射光、折确定反射光、折射光方向的几何作图法。对于各向同性介质，惠更斯原理曾射光方向的几何作图法。对于各向同性介质，惠更斯原理曾以次波的包迹是新的波阵面的观点，说明了光波由一种介质以次波的包迹是新的波阵面的观点，说明了光波由一种介质进入另一种介质时为什么会折射，并通过作图法利用次波面进入另一种介质时为什么会折射，并通过作图法利用次波面的单层球面特性，确定了次波的包迹的单层球面特性，确定了次波的包迹波阵面，从而确定波阵面，从而确定了折射光的传播方向。了折射光的传播方向。.图图 4-28 4-28 惠更斯作图法惠更斯作图法.图图 4-29 4-29 正入射时晶体中的折射现象正入射时晶体中的折射现象(负单轴晶体负单轴晶体).2.2.斯涅耳作图法斯涅耳作图法 利用折射率曲面也可以确定与入射光相应的反射光、折利用折射率曲面也可以确定与入射光相应的反射光、折射光的传播方向。但为了简明起见，通常是采用波矢曲面进射光的传播方向。但为了简明起见，通常是采用波矢曲面进行。斯涅耳作图法就是利用波矢曲面确定反射光、折射光传行。斯涅耳作图法就是利用波矢曲面确定反射光、折射光传播方向的几何作图法。播方向的几何作图法。图图4-30 4-30 给出了以界面给出了以界面上任一点上任一点A A为原点，在晶体一侧为原点，在晶体一侧按同一比例画出的入射光所在介质中的波矢面和晶体中的波按同一比例画出的入射光所在介质中的波矢面和晶体中的波矢面矢面(双壳层曲面双壳层曲面)。自。自A A点引一直线平行于入射光波法线方点引一直线平行于入射光波法线方向，与入射光所在介质的波矢面交于向，与入射光所在介质的波矢面交于N Ni i，该，该ANANi i即为入射光即为入射光波波k ki i。以。以N Ni i点作点作面的垂线交晶体中的波矢面于面的垂线交晶体中的波矢面于N Nt t和和N Nt t,ANANt t和和ANANt t就是与入射光就是与入射光k ki i相应的两个折射光波矢相应的两个折射光波矢k kt t和和k kt t。每一个折射光对应着一个光线方向和一个光线速度，。每一个折射光对应着一个光线方向和一个光线速度，这就是双折射现象。这就是双折射现象。.对于晶体内部的双反射现象，可以类似处理：以界面上对于晶体内部的双反射现象，可以类似处理：以界面上任一点为原点，在界面任一点为原点，在界面两侧画出晶体的波矢面，其中入射两侧画出晶体的波矢面，其中入射光的波矢面画在晶体外侧，自原点引出与入射光波法线方向光的波矢面画在晶体外侧，自原点引出与入射光波法线方向平行的直线，确定出入射波矢平行的直线，确定出入射波矢k ki i，过，过k ki i末端作末端作的垂线，在的垂线，在晶体内侧交反射光波矢面于两点，从而可定出两个反射波矢晶体内侧交反射光波矢面于两点，从而可定出两个反射波矢k krr和和k krr。应当指出的是，由这个作图法所确定的两个反射波矢和应当指出的是，由这个作图法所确定的两个反射波矢和两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢，至于实际上两两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢，至于实际上两个波矢是否同时存在，要看入射光是否包含有各反射光或各个波矢是否同时存在，要看入射光是否包含有各反射光或各折射光的场矢量方向上的分量。折射光的场矢量方向上的分量。.图图 4-30 4-30 斯涅耳作图斯涅耳作图 .图图 4-31 4-31 平面波正入射，光轴与晶面斜交平面波正入射，光轴与晶面斜交.图图 4-32 4-32 平面波正入射，光轴平行于表面平面波正入射，光轴平行于表面 .图图 4-33 4-33 平面波正入射，光轴垂直于晶体表面平面波正入射，光轴垂直于晶体表面 .图图 4-34 4-34 平面波在主截面内斜入射平面波在主截面内斜入射 .图图 4-35 4-35 光轴平行于晶面，入射面与主截面垂直光轴平行于晶面，入射面与主截面垂直 .