材料力学第14章课件

第第1414章章 梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介.第14章 梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介.l在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组合变形问题进行分析。合变形问题进行分析。l如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太小，则小，则纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线性的性的，这类问题称为，这类问题称为纵横弯曲纵横弯曲。14.1 梁的纵横弯曲梁的纵横弯曲.在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。梁柱。1.轴向压力与横向载荷联合作用的梁轴向压力与横向载荷联合作用的梁QxClABavPPyx.受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。1.轴向 记记 通解分别为通解分别为.记 通解分别为.u由两端挠度为零的边界条件，可以求出由两端挠度为零的边界条件，可以求出u 由由C截面的连续条件截面的连续条件.由两端挠度为零的边界条件，可以求出 由C截面的连续条件.对于集中力对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，作用在跨度中点的特殊情况，记记 放大系数放大系数.对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，记 放大系数.Q1xlABa1vPPyxQml-amQnan.Q1xlABa1vPPyxQml-amQnan.例例14-1试试分分析析受受轴轴向向压压力力与与均均匀匀载载荷荷共共同同作作用用的的简简支支梁的变形，并计算最大弯矩。梁的变形，并计算最大弯矩。解解：xlABvPPyxq.例14-1试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支梁的变形通解为通解为u由两端挠度为零的边界条件，可求出由两端挠度为零的边界条件，可求出.通解为由两端挠度为零的边界条件，可求出.同前，记同前，记，则，则.同前，记，则.xlABvPPyxMB例例14-2图图示示简简支支梁梁受受轴轴向向压压力力并并在在一一端端有有集集中中力力偶偶作作用，试分析其变形。用，试分析其变形。解解：通解为通解为利用两端挠度为零的边界条件求得利用两端挠度为零的边界条件求得.xlABvPPyxMB例14-2图示简支梁受轴向压力并在一于是于是.于是.放大系数放大系数.放大系数.利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁问题。问题。lABPPqxABPPyxqMoMo利用上两例结果，有利用上两例结果，有.利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷lABPPqx由由，得，得.由，得.QxClABavPPyx2.轴向拉力与横向载荷联合作用的梁轴向拉力与横向载荷联合作用的梁受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为系杆系杆或或系梁系梁。与受轴向压力的情况解法类似，可得与受轴向压力的情况解法类似，可得.QxClABavPPyx2.轴向拉力与横向载荷联合作用的梁.在梁柱问题中以在梁柱问题中以-P代替代替P，以，以ki代替代替k，以，以ui代替代替u，并利用下列，并利用下列关系：关系：就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。.在梁柱问题中以-P代替P，以ki代替k，以ui代替u，并利xlABvPPyxq例例14-3 试试求求图图示示均均布布横横向向载载荷荷作作用用的的系系杆杆的的最最大大挠挠度和两端转角。度和两端转角。解解：利用例14-1的结果，得.xlABvPPyxq例14-3 试求图示均布横向载荷作用的14.2 弹性基础上的无限长梁弹性基础上的无限长梁 具有密集或连续弹性支撑特点的梁具有密集或连续弹性支撑特点的梁，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。弹性基础梁弹性基础梁 假设：假设：梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠 度成正比度成正比。（德国科学家（德国科学家E.Wenkler于于1867年提出。）年提出。）xv(x)xyq(x).14.2 弹性基础上的无限长梁 1.微分方程及其通解微分方程及其通解 xv(x)xyq(x)基础支反力基础支反力 弹性基础系数，量刚为弹性基础系数，量刚为力力/长度长度2 挠度挠度.1.微分方程及其通解 xv(x)xyq(x)基础支反力 弹xv(x)xyq(x).xv(x)xyq(x).引进记号引进记号对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程.引进记号对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程.其通解为其通解为A、B、C、D为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。(14-31).其通解为A、B、C、D为积分常数，由边界条件确定。(14-3xyPvMQ2.无限长梁无限长梁（1）受集中载荷作用的无限长梁）受集中载荷作用的无限长梁 依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。.xyPvMQ2.无限长梁（1）受集中载荷作用的无限长梁.(14-35).(14-35).为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数 (14-37)(14-36).为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数 (14-37).xyMoy（2）受集中力偶作用的无限长梁）受集中力偶作用的无限长梁 依挠度的反对称性，依挠度的反对称性，仅研究原点右侧的一仅研究原点右侧的一半即可。半即可。.xyMoy（2）受集中力偶作用的无限长梁 依挠度的反对称性，对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶作用的两种结果，应用叠加原理求解。作用的两种结果，应用叠加原理求解。.对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶.xyxlqA例例14-4如如图图示示，集集度度为为q、分分布布长长度度为为l 的的均均布布载载荷荷作作用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。解解：.xyxlqA例14-4如图示，集度为q、分布长度为l 的均xyxlqA.xyxlqA.xy2mAPPPP2m2mBCD例例14-5弹弹性性基基础础上上的的无无限限长长梁梁受受四四个个等等值值且且等等间间距距的的集集中中力力作作用用，如如图图示示。梁梁为为20b20b工工字字钢钢，已已知知E=40MPa40MPa，I=2500cm=2500cm4 4，W=250cm=250cm3 3，基基础础系系数数k=30MPa30MPa 。若若集集中力中力P=100kN100kN，试求，试求B B截面的变形、内力及最大应力。截面的变形、内力及最大应力。解解：.xy2mAPPPP2m2mBCD例14-5弹性基础上的无限以以B点为原点，根据图中各集力到点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下表点的距离求得函数值如下表载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377根据根据(14-37)式和叠加原理，并考虑到式和叠加原理，并考虑到C、D处载荷在处载荷在B截面右侧，截面右侧，其产生的转角与剪力应改变符号，于是得其产生的转角与剪力应改变符号，于是得.以B点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下表载荷载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377.载荷作用点ABCDx2.202.24.410.02441载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377.载荷作用点ABCDx2.202.24.410.02441载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377.载荷作用点ABCDx2.202.24.410.02441B截面的最大弯曲正应力为截面的最大弯曲正应力为从从B截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有B点的集中力点的集中力影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。.B截面的最大弯曲正应力为从B截面的变形和内力的计算过程可以看xyPMo3.半无限长梁半无限长梁仍然利用通解仍然利用通解(14-31)式式积分常数积分常数A和和B可由梁左端的静力边界条件求出，即可由梁左端的静力边界条件求出，即.xyPMo3.半无限长梁仍然利用通解(14-31)式积分常.采用采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成式的函数表达式，上式还可写成(14-44)利用利用(14-44)式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂的问题。的问题。.采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成(14-44RMoxyqq/k例例14-6在在弹弹性性基基础础上上有有一一受受均均匀匀载载荷荷作作用用的的半半无无限限长长梁梁，梁梁的的左左端端固固定定，如如图图所所示示。试试求求固固定定端端反反力力和和任任意意一点的挠度一点的挠度。解解：根据根据(14-44)式之第一式并应用叠加原理，式之第一式并应用叠加原理，由边界条件由边界条件.RMoxyqq/k例14-6在弹性基础上有一受均匀载荷作用.MaxyPaQaxxyPaxyMaQa例例14-7半半无无限限长长梁梁上上作作用用一一集集中中力力P，P距距左左端端的的长长度为度为a a，如图示。试求梁的挠度表示式，如图示。试求梁的挠度表示式 。解解：+=(14-37).MaxyPaQaxxyPaxyMaQa例14-7半无限MaxyPaQax(14-37)(14-44)xyMaQa.MaxyPaQax(14-37)(14-44)xyMa14.3 弹性基础上的有限长梁弹性基础上的有限长梁1.克雷洛夫函数克雷洛夫函数.14.3 弹性基础上的有限长梁1.克雷洛夫函数.克雷洛夫克雷洛夫函数函数(14-49).克雷洛夫函数(14-49).2.用初参数表示的齐次微分方程的通解用初参数表示的齐次微分方程的通解 初参数初参数(14-53).2.用初参数表示的齐次微分方程的通解 初参数(14-5M0 xyPdQ0l3.用初参数法解有限长梁用初参数法解有限长梁(1)受集中力作用的有限长梁受集中力作用的有限长梁 集中力集中力P产生的附加挠度产生的附加挠度(14-54).M0 xyPdQ0l3.用初参数法解有限长梁(1)受集中力也应满足相同的齐次微分方程，故也应满足相同的齐次微分方程，故.也应满足相同的齐次微分方程，故.(14-57).(14-57).M0 xycQ0lMc(2)受集中力偶作用的有限长梁受集中力偶作用的有限长梁.M0 xycQ0lMc(2)受集中力偶作用的有限长梁.(14-60).(14-60).xyblaq(x)(3)受分布载荷作用的有限长梁受分布载荷作用的有限长梁 挠度表达式为挠度表达式为(14-53)式；式；：.xyblaq(x)(3)受分布载荷作用的有限长梁 挠度表达式M0 xyQ0q(x)bla：.M0 xyQ0q(x)bla：.M0 xyQ0q(x)bla可将三段挠度统一表示成可将三段挠度统一表示成(14-63).M0 xyQ0q(x)bla可将三段挠度统一表示成(14-6M0 xybQ0aq(x)cPMcdl(14-65).M0 xybQ0aq(x)cPMcdl(14-65).xyPl例例14-8弹弹性性基基础础上上的的有有限限长长梁梁左左端端受受集集中中力力作作用用，试试求梁的弯矩方程和剪力方程。求梁的弯矩方程和剪力方程。解解：，代入式（，代入式（14-53），有），有.xyPl例14-8弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试再由右端边界条件再由右端边界条件 将将(14-67)式代回式代回(14-66)式即得梁的弯矩方程和剪力方程。式即得梁的弯矩方程和剪力方程。(14-67)(14-66).再由右端边界条件 将(14-67)式代回(14-66)式即得例例 14-9 例例 14-814-8中中，设设 梁梁 长长 l=2m=2m，抗抗 弯弯 刚刚 度度 EI=30MPa30MPa，弹弹性性地地基基系系数数k=8MPa8MPa，P=30kN30kN。试试求求解解梁的剪力和弯矩。梁的剪力和弯矩。解解：lY1(l)Y2(l)Y3(l)Y4(l)2.0-1.56560.95581.64901.2325代入代入(14-67)式，求得式，求得.例14-9例14-8中，设梁长l=2m，抗弯刚度 EI=3代入代入(14-66)式，求得式，求得.代入(14-66)式，求得.xyP=30kN0.5m0.5m0.5m0.5mM/kNm6.558.107.842.35Q/kN0.65m7.337.964.1330.xyP=30kN0.5m0.5m0.5m0.5mM/kNxyPl/2l/2例例14-10弹弹性性基基础础上上的的有有限限长长梁梁的的中中点点有有一一集集中中力力作作用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。解解：代入代入(14-53)式，有式，有将将代入上式求得代入上式求得.xyPl/2l/2例14-10弹性基础上的有限长梁的中由由(14-49).由(14-49).讨论：讨论：即梁的抗弯刚度即梁的抗弯刚度EI很大或梁很短因而很大或梁很短因而l很小时，梁好像刚体很小时，梁好像刚体一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为P/lk，相当于集度为，相当于集度为P/l的的均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为短梁短梁。（1）当）当 时，时，；当；当 时，时，.讨论：即梁的抗弯刚度EI很大或梁很短因而l很小时，梁好像刚（2）当）当 时，时，对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式(14-35)）不难看出，按有限长梁与无限长梁计算的最大挠度和最大弯矩不难看出，按有限长梁与无限长梁计算的最大挠度和最大弯矩分别仅相差分别仅相差 4.4%和和 0.9%。在这种情况下，按无限长梁计算的。在这种情况下，按无限长梁计算的结果是可以满足工程要求的结果是可以满足工程要求的(误差误差5%)。.（2）当 时，对比受集中力作用的无限长根据以上讨论的结果，按照根据以上讨论的结果，按照l的值，对弹性基础梁可以这样的值，对弹性基础梁可以这样划分：划分：有限长梁：有限长梁：无限长梁：无限长梁：短梁：短梁：.根据以上讨论的结果，按照l的值，对弹性基础梁可以这样有限长