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射影几何的初等应用1目录仿仿 射射 变变 换换交比的应用交比的应用DesarguesDesargues透视定理透视定理123提纲提纲目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理1232其中其中(x,y)与与(x,y)为任为任一对对应一对对应点点P,P 的坐标的坐标,矩阵矩阵满足满足|A|0,称称为仿射仿射变换 的矩的矩阵.仿射仿射变换变换 明显，明显，椭圆椭圆在仿射变换下可变换为在仿射变换下可变换为圆圆，平行四边形在仿射变换下，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形可变换为正方形其中(x,y)与(x,y)为任一对对应点P,P 3 仿射变换的基本性质仿射变换的基本性质:(1)保持直线的平行线；保持直线的平行线；(2)保持同素性和结合性；保持同素性和结合性；(3)保持共线三点的单比保持共线三点的单比,从而保持两平行线段的比值不变从而保持两平行线段的比值不变.仿射仿射变换变换 定理：定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；两个三角形的面积之比是仿射不变量；推论推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；两个多边形的面积之比是仿射不变量；推论推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；仿射变换的基本性质:仿射变换 定理：两个三角4 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线切线变换为切线，直线与直，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（比不变（单比不变单比不变），从而），从而线段的中点保持不变线段的中点保持不变，面积之比在变换面积之比在变换下不变下不变，两直线斜率只比不变，等等；，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变则发生改变仿射仿射变换变换 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下5仿射变换仿射变换 例例1 在平行四边形在平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别在线段分别在线段BC、CD上，上，且且EF/BD,求证：求证：仿射变换 例1 在平行四边形ABCD中，点6仿射变换仿射变换 例例2 求椭圆的求椭圆的 面积面积仿射变换 例2 求椭圆的 7仿射变换仿射变换 半径为半径为a a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接接n n边形的面积的最大值多少呢？边形的面积的最大值多少呢？例例3 求椭圆求椭圆 内接内接ABCABC的面积的最大值的面积的最大值思考一思考一思考二思考二 一般的，椭圆的外切一般的，椭圆的外切n n边形的面积的最小值是多少呢？边形的面积的最小值是多少呢？仿射变换 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值8 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线切线变换为切线，直线与直，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（比不变（单比不变单比不变），），面积之比在变换下不变面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不，两直线斜率只比不变，等等；变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变则发生改变仿射仿射变换变换 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下9仿射变换仿射变换 例例5 设设A、B是椭圆长轴的两个端点，是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在是椭圆的中心，椭圆在其上的一点其上的一点P处的切线与点处的切线与点A处的切线相交于点处的切线相交于点Y，则，则CY/BP仿射变换 例5 设A、B是椭圆长轴的两个端10仿射变换仿射变换 例例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦仿射变换 例4 求证：椭圆的任意一组平行弦11仿射变换仿射变换 例例6 （2009年辽宁卷数学理第年辽宁卷数学理第20题）题）已知椭圆的方程为已知椭圆的方程为 ，点，点A的坐标为（的坐标为（1,3/2），右），右焦点为焦点为F，设，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与的斜率与AN 的斜率互为相反数，证明直线的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值的斜率为定值，并求出这个定值仿射变换 例6 （2009年辽宁卷数学理第12仿射变换仿射变换仿射变换13目录仿仿 射射 变变 换换交比的应用交比的应用DesarguesDesargues透视定理透视定理123提纲提纲目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理12314交比的初等几何意义交比的初等几何意义 注注：如果如果P4=P,而而P1,P2,P3为通常点为通常点,则可合理地规定：则可合理地规定：于是有于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为为前三个通常点的前三个通常点的简单比比.交交 比比交比的初等几何意义 注：如果P4=P,而P1,15 定理定理1 平面上五点平面上五点(其中无三点共线其中无三点共线)唯一确定一条非退化唯一确定一条非退化二阶曲线。二阶曲线。定理定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。的交比为定值。注注：定理定理2 2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义二次曲线的射影定义二次曲线的射影定义二次曲线的射影定义 定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一16 例例7 过圆的弦过圆的弦AB的中点的中点O任作另外两弦任作另外两弦CE,DF，连结，连结EF,CD交交AB于于G,H。求证：。求证：GO=OH。(蝴蝶定理蝴蝶定理)交交 比比 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE17交交 比比 如图：如图：ADAD平分平分BCBC于点于点O O，即，即OB=ODOB=OD，过，过O O的两条直线的两条直线EFEF和和GHGH，与四边交于，与四边交于E E、F F、G G、H H，连接，连接GFGF和和EHEH，分别交，分别交BDBD于点于点I I、J J则有则有OI=OJOI=OJ 椭圆的长轴与椭圆的长轴与x x轴平行，短轴在轴平行，短轴在y y轴上，轴上，中心在中心在y y轴的正半轴上轴的正半轴上,过原点的两条直线分过原点的两条直线分别交椭圆于点别交椭圆于点,D,D和点和点,设设CHCH交交X X轴于轴于点点P P，GDGD交交X X轴于点轴于点Q,Q,则有则有OP=OQ OP=OQ 交 比 如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两18 例例7 过圆的弦过圆的弦AB的中点的中点O任作另外两弦任作另外两弦CE,DF，连结，连结EF,CD交交AB于于G,H。求证：。求证：GO=OH。(蝴蝶定理蝴蝶定理)交交 比比 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE19 例例7 过圆的弦过圆的弦AB的中点的中点O任作另外两弦任作另外两弦CE,DF，连结，连结EF,CD交交AB于于G,H。求证：。求证：GO=OH。(蝴蝶定理蝴蝶定理)证明证明 因为因为A,F,C,B为圆上四定点为圆上四定点,则由二次曲线的定义，有则由二次曲线的定义，有以直线以直线AB截这两个线束，得截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有由交比的初等几何表示式，有所以所以同理可证，同理可证，GO=OH.交交 比比 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE20调和比是最重要的交比！调和比是最重要的交比！对于对于(P1P2,P3P4)=1,则称点组则称点组 为为调和点组调和点组此时此时,若若P4=P,而而P1,P2,P3为通常点为通常点,则则这表示这表示P3为为P1P2的中点的中点.定理定理 设设P1,P2,P为共线的通常点，为共线的通常点，P 为此直线上的无穷为此直线上的无穷远点，则远点，则P为为P1P2的中点的中点交交 比比利用初等几何意义利用初等几何意义,有有调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=1,21 定理定理 在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。比如在边比如在边AB上，有上，有完全四点形的调和性完全四点形的调和性比如在边比如在边CD上，有上，有考察完全四点形考察完全四点形ABCD 定理 在完全四点形的每条边上有一个调和点组，22 例例8 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。上下底。几何证明题几何证明题 证明证明 如图，如图，ABCD为梯形，为梯形，AD/BC,E,F分别为两腰和对角线的交分别为两腰和对角线的交点。点。EF交交AD,BC于于P,Q。只要证明。只要证明P,Q分别是分别是AD,BC的中点。的中点。考察完全四点形考察完全四点形ABCD。设。设AD BC=G，由上述定理，有由上述定理，有(BC,QG)=1，从而得，从而得出出Q为为BC的中点。的中点。同理有，同理有，(AD,PG)=1，所以，所以P为为AD的中点。的中点。完全四点形的调和性完全四点形的调和性 例8 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的23目录仿仿 射射 变变 换换交比的应用交比的应用DesarguesDesargues透视定理透视定理123提纲提纲目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理123242、Desargues透视定理透视定理DesarguesDesargues透视定理透视定理 迪沙格定理迪沙格定理 如果两个三点形对如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。的交点共线。注注:Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题定理与其逆定理实际是一对对偶命题.迪沙格定理的逆定理迪沙格定理的逆定理 如果两个如果两个三线形的对应边的交点共线，则对三线形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。应顶点的连线交于一点。2、Desargues透视定理Desargues透视定理 25作图题作图题 例例9.已知平面上二直线已知平面上二直线a,b,P为不在为不在a,b上的一点上的一点.不定出不定出a,b的交点的交点a b,过过P求作求作直线直线c,使使c经过经过a b.作法作法：(1)在在a,b外取异于外取异于P的一点的一点O.过过O作三作三直线直线l1,l2,l3.设设l1,l2,分别交分别交a,b于于A1,A2;B1,B2.(2)连连PA1,PB1分别交分别交l3于于A3,B3.(3)连连A2A3,B2B3交于交于Q.(4)PQ=c为所求直线为所求直线.证明证明：由作法由作法,三点形三点形A1A2A3,B1B2B3有透视中心有透视中心O.故其对故其对应边的交点应边的交点P=A1A3 B1B3,Q=A2A3 B2B3以及以及a b三点共线三点共线,即即c=PQ经过经过a b.DesarguesDesargues透视定理透视定理作图题 例9.已知平面上二直线a,b,P26例例10 已知直线已知直线 a,b,c,d 如图，试作一直线经过如图，试作一直线经过 ab 和和 cd。DesarguesDesargues透视定理透视定理例10 已知直线 a,b,c,d 如图，试作一直线27用笛沙格定理作图用笛沙格定理作图两次使用上例的思想思想两次使用上例的思想思想DesarguesDesargues透视定理透视定理用笛沙格定理作图两次使用上例的思想思想Desargues透视28 例例11 证明三角形的三条中线共点证明三角形的三条中线共点DesarguesDesargues透视定理透视定理 证明证明 如图，设如图，设ABCABC的三边中的三边中点分别是点分别是D,E,F,D,E,F,则则EF/BC,DE/AB,EF/BC,DE/AB,DF/ACDF/AC，对，对ABCABC和和DEF,DEF,它们的它们的对应边交点共无穷远直线，由对应边交点共无穷远直线，由DesarguesDesargues定理可知，其对应顶点定理可知，其对应顶点的连线的连线AD,BE,CFAD,BE,CF共点共点O O 例11 证明三角形的三条中线共点Desargues透29
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