电动力学-第二章讲义课件

北京大学信息科学技术学院北京大学信息科学技术学院 区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室李正斌李正斌理科楼理科楼2424 Tel：62754815 Email：2010年年910月月动动电电力力 学学2问题：在问题：在给定自由电荷分布以及周围空间的介质状况、导体分布给定自由电荷分布以及周围空间的介质状况、导体分布状况的前状况的前提下，提下，如何如何用麦克斯韦方程组或前述的电磁理论来用麦克斯韦方程组或前述的电磁理论来描述静电场描述静电场概念：概念：标势（电势）、势的叠加原理标势（电势）、势的叠加原理泊松方程和边值关系泊松方程和边值关系静电场的能量静电场的能量唯一性定理唯一性定理拉普拉斯方程拉普拉斯方程静电问题的格林函数方法静电问题的格林函数方法镜像法镜像法分离变量法分离变量法*电多极矩电多极矩第二章第二章 静电场静电场3dlP1P2C1C2E首先在静电情况下，电场不随时间变化，也无电流分布产生，由麦克斯韦方程组可首先在静电情况下，电场不随时间变化，也无电流分布产生，由麦克斯韦方程组可知，电场仅是静电荷产生的场。此时，描述电磁场的方程组仅为知，电场仅是静电荷产生的场。此时，描述电磁场的方程组仅为这三个关系式是解决静电问题的基础这三个关系式是解决静电问题的基础静电场的无旋性静电场的无旋性电荷从电荷从P1点移到点移到P2点，电场对它做的功与路径点，电场对它做的功与路径无关，仅与两端点有关。功的大小为无关，仅与两端点有关。功的大小为称为两点之间的电势差称为两点之间的电势差静电场的标势静电场的标势电势电势电势的定义、叠加性、电势参考点电势的定义、叠加性、电势参考点电场对电荷作正功，电荷的电势下降电场对电荷作正功，电荷的电势下降电势差有物理意义电势差有物理意义写成微分的形式写成微分的形式4电场强度电场强度E是电势的负梯度是电势的负梯度注：由于静电场是无旋场，也叫保守场，同时梯度的旋度恒等于零，因注：由于静电场是无旋场，也叫保守场，同时梯度的旋度恒等于零，因此实际上可以直接将电场用标量场的梯度来表示。此实际上可以直接将电场用标量场的梯度来表示。电势参考点电势参考点，其上的电势为零，从而整个空间的电势被单值地确定或描述。参，其上的电势为零，从而整个空间的电势被单值地确定或描述。参考点的选择是任意的，对有限区域内电荷分布的场，常选取无限远为参考点。考点的选择是任意的，对有限区域内电荷分布的场，常选取无限远为参考点。在直流电路、数字电路实验中，常取大地（接地）为参考点在直流电路、数字电路实验中，常取大地（接地）为参考点再改写成全微分的形式再改写成全微分的形式可以令可以令用电场强度和静电势来描述静电场是等效的。静电势是标量函数，对求解静电用电场强度和静电势来描述静电场是等效的。静电势是标量函数，对求解静电场问题更加方便。场问题更加方便。标势表达式：标势表达式：真空中真空中r处的电荷处的电荷Q。在空间。在空间r处激发的电场强度为处激发的电场强度为5点电荷的电势点电荷的电势由由电场的叠加性电场的叠加性，可以推出，可以推出电势也具有叠加性电势也具有叠加性。注意：注意：电场的叠加是电场的叠加是矢量叠加矢量叠加，而，而电势的叠加是电势的叠加是标量叠加标量叠加。这正是引入电势概念最大的好处。这正是引入电势概念最大的好处。点电荷系、电荷连续分布的电势表示式点电荷系、电荷连续分布的电势表示式即用标势表示的库仑定律的普遍表达式，与矢量的表示形式包含的物理意义是等价即用标势表示的库仑定律的普遍表达式，与矢量的表示形式包含的物理意义是等价的，但是更加简便。的，但是更加简便。静电学的核心问题静电学的核心问题：给定电荷空间分布，由库仑定律确定空：给定电荷空间分布，由库仑定律确定空间任意一点的电势。间任意一点的电势。6线性介质中静电场情况下，没有磁场，电磁场的总能量为线性介质中静电场情况下，没有磁场，电磁场的总能量为被积函数并不表示电荷体系的能量密度，因为能量分布在电场内，不仅仅在电荷分被积函数并不表示电荷体系的能量密度，因为能量分布在电场内，不仅仅在电荷分布的区域内，因此该式表达的布的区域内，因此该式表达的应是静电场的总能量大小应是静电场的总能量大小静电场的能量静电场的能量静电场的总能量、静电能的两种表示方法静电场的总能量、静电能的两种表示方法当全空间为均匀介质时，由连续分布电荷分布产生的场的总能量为当全空间为均匀介质时，由连续分布电荷分布产生的场的总能量为静电场之所以能够用电荷分布来表示电场能量，在于电荷决定电场，同时场静电场之所以能够用电荷分布来表示电场能量，在于电荷决定电场，同时场区内没有独立的运动，场的能量仅有电荷分布来决定。区内没有独立的运动，场的能量仅有电荷分布来决定。7例题例题2、均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为、均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势，求电势例题例题1、求均匀电场的电势，见教材、求均匀电场的电势，见教材P.55注意参考电势的选取注意参考电势的选取场点场点P、距导线的距离为、距导线的距离为R，电荷元电荷元 dz到场点的距离为到场点的距离为电荷沿无线长导线分布，不是有限区域。电荷沿无线长导线分布，不是有限区域。可以考虑场内任意两点的电势差可以考虑场内任意两点的电势差8选选P0为电势参考点，即为电势参考点，即该电势的梯度为该电势的梯度为还可以用高斯定理得出结果还可以用高斯定理得出结果思考：思考：利用叠加原理求电偶极子在远处产生的电势和偶极子轴线上的电场利用叠加原理求电偶极子在远处产生的电势和偶极子轴线上的电场例题例题3、求半径为、求半径为a、带电量、带电量Q的导电球的静电场总能量，见教材的导电球的静电场总能量，见教材P.569静电势的微分方程和边值关系静电势的微分方程和边值关系泊松方程、拉普拉斯方程；静电边值问题；静电场的能量密度泊松方程、拉普拉斯方程；静电边值问题；静电场的能量密度静电场用静电势静电场用静电势标量函数的梯度描述的仅是它的一部分规律或者特征，标量函数的梯度描述的仅是它的一部分规律或者特征，其另一部分规律则由高斯定理的微分形式来决定：其另一部分规律则由高斯定理的微分形式来决定：得到得到泊松方程泊松方程，静电势满足的偏微分方程；区域内无电，静电势满足的偏微分方程；区域内无电荷，荷，泊松方程泊松方程变成变成拉普拉斯方程；拉普拉斯方程；解静电场问题变解静电场问题变成求解静电势的成求解静电势的偏微分方程问题偏微分方程问题介质不均匀，化成分区均匀的小区域，静电势都满介质不均匀，化成分区均匀的小区域，静电势都满足泊松方程，在分界面上应满足边值关系。足泊松方程，在分界面上应满足边值关系。得到用电势表示的边值关系得到用电势表示的边值关系n由介质1指向介质2特别注意：特别注意：导体构成静电场的边界条件为导体构成静电场的边界条件为10静电边值问题静电边值问题由泊松方程、边值关系、边界条件构成静电边值问题由泊松方程、边值关系、边界条件构成静电边值问题称为第一类静电边值问题，称为第一类静电边值问题，Dirichlet边界条件，边界条件，Dirichlet问题。问题。三类边值问题，方程和边值关系都相同，边界条件不同三类边值问题，方程和边值关系都相同，边界条件不同第一类边界条件第一类边界条件给定边界上的电势值给定边界上的电势值第二类边界条件第二类边界条件给定边界上的电势的法向微商即电场值给定边界上的电势的法向微商即电场值又叫又叫Neuman边界条件，边界条件，Neuman问题问题第三类第三类混合边界条件，即部分边界给定电势值，部分边界给定电势的法向微商。混合边界条件，即部分边界给定电势值，部分边界给定电势的法向微商。边值关系边值关系反映界面上电荷对空间场的影响，反映界面上电荷对空间场的影响，边界条件边界条件反映求解（研究）区域外面的反映求解（研究）区域外面的场对研究区域的影响（即通过界面传递）。场对研究区域的影响（即通过界面传递）。静电问题就归结为解三类边值问题，步骤为：边值问题、解偏微分方程静电问题就归结为解三类边值问题，步骤为：边值问题、解偏微分方程11讨论：由泊松方程讨论：由泊松方程和静电能量表达式和静电能量表达式可以得可以得静电场的能量密度静电场的能量密度12静电问题就归结为解三类边值问题，一般是泊松方程和拉普拉斯方程。静电问题就归结为解三类边值问题，一般是泊松方程和拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是齐次线性二阶偏微分方程，即有两个线性无关的特解，是任意函数，拉普拉斯方程是齐次线性二阶偏微分方程，即有两个线性无关的特解，是任意函数，其任意组合仍然是微分方程的解，从数学上讲，通解就有无穷多个。其任意组合仍然是微分方程的解，从数学上讲，通解就有无穷多个。泊松方程是非齐次线性偏微分方程，除拉普拉斯方程的通解外，还有一个满足方程非泊松方程是非齐次线性偏微分方程，除拉普拉斯方程的通解外，还有一个满足方程非齐次项的特解。齐次项的特解。问题描述问题描述静电问题中的物理数学描述静电问题中的物理数学描述要确定解需要用边值关系和边界条件。要确定解需要用边值关系和边界条件。首先将给定的研究区域首先将给定的研究区域V分成若干均匀的子区域分成若干均匀的子区域Vi介质的分界面分别为介质的分界面分别为S1、S2等等等等唯一性定理唯一性定理满足边值关系和边界条件的解是否只有一个，即解是否是唯一的。满足边值关系和边界条件的解是否只有一个，即解是否是唯一的。或者说，在解决实际问题中，哪些因素可以完全确定静电场；以及根据给定的条件或者说，在解决实际问题中，哪些因素可以完全确定静电场；以及根据给定的条件如何分析，提出满足微分方程的尝试解，并使该解为唯一解。如何分析，提出满足微分方程的尝试解，并使该解为唯一解。13已知已知V内的电荷分布和内的电荷分布和V边界上的电势值边界上的电势值(第一类第一类)或或d /dn 值（第二类），或部分边界给定值（第二类），或部分边界给定 部部分给定分给定d /dn（第三类）则（第三类）则V内的电势分布，除内的电势分布，除一附加的常量外，由泊松方程以及介质界面上的一附加的常量外，由泊松方程以及介质界面上的边值关系唯一地确定边值关系唯一地确定转换成数学问题转换成数学问题设区域设区域V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布（x），在，在V的边界的边界S上给定如下条件上给定如下条件（i）、电势值）、电势值（ii）、电势的法向导数）、电势的法向导数则则V内的电场唯一地确定内的电场唯一地确定即：即：V内存在唯一解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两个均匀区域界面内存在唯一解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两个均匀区域界面上满足边值关系，并在上满足边值关系，并在V的边界上满足给定的边界条件。的边界上满足给定的边界条件。14证明：证明：设有两个不同的解设有两个不同的解 和和 都满足唯一性定理的条件都满足唯一性定理的条件令因此在每一子区域因此在每一子区域Vi上同时有上同时有在两个分区均匀的边界面上在两个分区均匀的边界面上在整个在整个V的边界面上的边界面上在第在第i个均匀的个均匀的Vi界面上界面上设有一个辅助函数为矢量函数设有一个辅助函数为矢量函数其通量为其通量为即即15在整个研究的区域内有在整个研究的区域内有均匀区域均匀区域Vi和和Vj的界面上的界面上 和和 的法向分量分别相等，但是的法向分量分别相等，但是dSidSj，积分后，积分后互相抵消，仅剩下整个互相抵消，仅剩下整个V的界面的界面S上的积分上的积分即即对于被积函数对于被积函数即有即有从而从而 和和 至多差一个常量，但是电势附加的常量对电场没有影响，这至多差一个常量，但是电势附加的常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。就证明了唯一性定理。16有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理在静电场中的导体具有如下特点在静电场中的导体具有如下特点1、每个导体上分布的电荷的总和等于所加置的电荷、每个导体上分布的电荷的总和等于所加置的电荷2、导体内部不带电，内部电场为零，电荷仅以面电荷的形式分布在导体表面、导体内部不带电，内部电场为零，电荷仅以面电荷的形式分布在导体表面3、每个导体都是等势体，整个导体的电势相等，导体表面的电场必沿法线方向、每个导体都是等势体，整个导体的电势相等，导体表面的电场必沿法线方向在在V内有若干导体，其边界也分为三类内有若干导体，其边界也分为三类A、给定各导体上的电势、给定各导体上的电势B、给定各导体上的总电荷、给定各导体上的总电荷C、部分导体给定电势，部分导体给定总电荷、部分导体给定电势，部分导体给定总电荷因此在导电体系中，通常有两种类型的静电问题因此在导电体系中，通常有两种类型的静电问题1、给定空间的电荷分布、给定空间的电荷分布、导体上的电势值导体上的电势值及区域边界上的电势或电势的及区域边界上的电势或电势的梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布2、给定空间的电荷分布、给定空间的电荷分布、导体上的总电荷导体上的总电荷及区域边界上的电势或及区域边界上的电势或电势的梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布电势的梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布17有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理已知区域已知区域V内的电荷分布内的电荷分布，其边界上的电势，其边界上的电势 或或d/dn值，再给定每个导体上的电值，再给定每个导体上的电势值势值 i或每个导体上的总电荷或每个导体上的总电荷Qi，或部分给定电势值，部分给定总电荷，则，或部分给定电势值，部分给定总电荷，则V内的内的电势分布由泊松方程及介质面上的边值关系唯一确定电势分布由泊松方程及介质面上的边值关系唯一确定泊松方程泊松方程证明：证明：设有两个的解设有两个的解 和和 都满足上述条件都满足上述条件令令则在区域则在区域Vi内内 满足满足或或辅助函数辅助函数f并求其通量并求其通量18即即 和和 至多相差一个常量，因而电场唯一确定至多相差一个常量，因而电场唯一确定通过对唯一性定理的证明过程，可以看出电场与电荷的相互制约关系通过对唯一性定理的证明过程，可以看出电场与电荷的相互制约关系电荷电荷激发激发作用作用电场电场导导体体静止导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面，因此由导体上的总电荷和静止导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面，因此由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上的电荷面密度导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上的电荷面密度不论是分区均匀介质还是导电系，或介质、导体混和存在的情况，对于给定的三不论是分区均匀介质还是导电系，或介质、导体混和存在的情况，对于给定的三类边界条件，类边界条件，V内的电势分布除差一个常数外由泊松方程、边值关系和各导体上内的电势分布除差一个常数外由泊松方程、边值关系和各导体上电势值或各导体上的总电荷唯一确定，与电势值或各导体上的总电荷唯一确定，与V外面的情况无关。外面的情况无关。唯一性定理的直接应用是静电屏蔽的解释：接地导体壳，由于封闭边界上电唯一性定理的直接应用是静电屏蔽的解释：接地导体壳，由于封闭边界上电势值固定，内域的解只与内部电荷分布和介质决定，与外面的情况无关。势值固定，内域的解只与内部电荷分布和介质决定，与外面的情况无关。19例题：两个同心导体球壳之间充以两种介质，左半的电例题：两个同心导体球壳之间充以两种介质，左半的电容率为容率为 1，右半部的电容率为，右半部的电容率为 2，设内球壳带总电荷为，设内球壳带总电荷为Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布两个介质分界面上的边值关系为两个介质分界面上的边值关系为假设尝试解假设尝试解E仍然保持球对称性仍然保持球对称性左边左边右边右边A1、A2为待定常数，为待定常数，1、分界面电场与界面相切，、分界面电场与界面相切，2、分界面上没有自由电荷，故：、分界面上没有自由电荷，故：从而有从而有E的球对称使得其在导体球面上处处与球面垂直，从而保证导体球为等势面。的球对称使得其在导体球面上处处与球面垂直，从而保证导体球为等势面。通过求内导体球上的积分来利用总电荷通过求内导体球上的积分来利用总电荷Q这个条件这个条件20S1、S2分别为左右半球面，有分别为左右半球面，有左边左边右边右边此解满足唯一性定理的所有条件，因此其解是唯一的此解满足唯一性定理的所有条件，因此其解是唯一的E保持球对称，但保持球对称，但D因为左右半球的电容率不一样使得导体球面上左右因为左右半球的电容率不一样使得导体球面上左右的面电荷密度分布不对称的面电荷密度分布不对称左边左边右边右边思考：思考：如何解释两半球上面电荷密度分布的不同，却能使电场保持球对称性如何解释两半球上面电荷密度分布的不同，却能使电场保持球对称性21拉普拉斯方程拉普拉斯方程分离变量法分离变量法镜像法镜像法直角坐标系中的通解柱坐标系中的通解球坐标系中的通解平面反射镜球面反射镜平面半透镜格林等效层22问题：引入静电势之后，静电学的基本问题归结为满足边界条件的泊松方问题：引入静电势之后，静电学的基本问题归结为满足边界条件的泊松方程。在静电场问题中场多为带电导体决定，带电导体外的空间不存在自由程。在静电场问题中场多为带电导体决定，带电导体外的空间不存在自由电荷分布，静电问题简化为电荷分布，静电问题简化为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。产生静电场的电荷都分布在区域的边界上，通过边界条件反映出来。当研究区域的产生静电场的电荷都分布在区域的边界上，通过边界条件反映出来。当研究区域的边界与正交曲面坐标系的坐标面相吻合时，如平面、圆柱面、球面、椭球面，拉普边界与正交曲面坐标系的坐标面相吻合时，如平面、圆柱面、球面、椭球面，拉普拉斯方程可以通过分离变量法来获得解析解拉斯方程可以通过分离变量法来获得解析解边界条件不论如何给定，边界面总是与一定的坐标曲面相对应，因此边界条件可以边界条件不论如何给定，边界面总是与一定的坐标曲面相对应，因此边界条件可以方便的给出。在直角、柱和球坐标系中用分离变量法求拉普拉斯方程的方法在一般方便的给出。在直角、柱和球坐标系中用分离变量法求拉普拉斯方程的方法在一般数理方程中有详细推导数理方程中有详细推导直角坐标系直角坐标系中的通解中的通解组合成实线性、指数、三角和（或）双曲函数的各种乘积组合成实线性、指数、三角和（或）双曲函数的各种乘积23为任意常量通解形式为通解形式为柱坐标系柱坐标系中通解中通解24通解形式为通解形式为为任意常量为任意常量Jn(mr)和和Nn(mr)为第一类和第二类柱贝塞尔函数为第一类和第二类柱贝塞尔函数以上解中的系数需要根据边界条件确定以上解中的系数需要根据边界条件确定25例例1：只求圆柱内域的解：只求圆柱内域的解由于解应该有界，故由于解应该有界，故例例2：解与：解与z轴无关时，通解中轴无关时，通解中m=0与与Z无关，即（无关，即（AnzBn）=const26解为单值，解为单值，n为整数，为整数，A0=0，且，且B0=0故当问题是对故当问题是对z轴对称时，拉普拉斯方程的通解为轴对称时，拉普拉斯方程的通解为在柱坐标系中，通解中相对应的还有另一种形式的解在柱坐标系中，通解中相对应的还有另一种形式的解In(x)和和Kn(x)分别称为第一、二类修正的（或虚宗量）柱贝塞尔函数，其特点是分别称为第一、二类修正的（或虚宗量）柱贝塞尔函数，其特点是In(x)在在x=0处为有限值，而在处为有限值，而在 x 时时 In(x)；Kn(x）在在 x=0 处趋于处趋于 27球坐标系球坐标系中通解中通解通解形式为通解形式为 是是n阶第一类连带（关联、缔合）勒让德函数，称为球面调和函数阶第一类连带（关联、缔合）勒让德函数，称为球面调和函数28对轴对称问题，取对称轴为极轴，对轴对称问题，取对称轴为极轴，与与 无关，通解变为无关，通解变为 为勒让德多项式为勒让德多项式29例例3、一个内径和外径分别为、一个内径和外径分别为R2和和R3的导体球壳，带电荷的导体球壳，带电荷Q同心地包围着一个半同心地包围着一个半径为径为R1的导体球（的导体球（R10的空间充满介电常数为的的空间充满介电常数为的 1介质，在介质，在z=0的半空间，将的半空间，将 2看成是看成是 1，则，则电势可以看作是电势可以看作是q和和q在整个空间在均匀介质在整个空间在均匀介质 1的无界空间中产生的的无界空间中产生的在在z=0的半空间，将的半空间，将 1看成是看成是 2，则，则电势可以看作是电势可以看作是q和和q在整个空间在均匀介质在整个空间在均匀介质 2的无界空间中产生的的无界空间中产生的上述两式自然满足无穷远处的边界条件，上述两式自然满足无穷远处的边界条件，q和和q是待定的参数。利用是待定的参数。利用z=0时时r1=r2以以及边界条件及边界条件46再利用第二个边界条件再利用第二个边界条件从而得47点电荷密度的点电荷密度的 函数表示函数表示泊松方程泊松方程格林函数的定义格林函数的定义格林函数法格林函数法48对点电荷的边值问题的讨论，不仅可以解决点电荷的特殊问题，还可以借对点电荷的边值问题的讨论，不仅可以解决点电荷的特殊问题，还可以借助点电荷简单的边值问题来解决复杂的边值问题。助点电荷简单的边值问题来解决复杂的边值问题。点电荷在电动力学中具有重要的地位。不仅带电粒子以及线度很小的带电点电荷在电动力学中具有重要的地位。不仅带电粒子以及线度很小的带电体可以作为点电荷来处理（数学模型），而且连续分布电荷所产生的电场体可以作为点电荷来处理（数学模型），而且连续分布电荷所产生的电场也可以借助点电荷的场通过积分（叠加）表达出来。也可以借助点电荷的场通过积分（叠加）表达出来。点电荷密度的点电荷密度的 函数表示函数表示2a单位点电荷的密度单位点电荷的密度表示表示49 函数的定义和性质函数的定义和性质格林格林函数函数取取格林函数格林函数G（r,r）代表在代表在 r 处一个单位正电荷在处一个单位正电荷在r处产生的电势处产生的电势，因此，因此格林函数的物理实质是单位点电荷源产生的势。满足泊松方程格林函数的物理实质是单位点电荷源产生的势。满足泊松方程501、无界空间中的格林函数、无界空间中的格林函数2、第一类格林函数、第一类格林函数 G1（r,r）满足）满足第一类边界条件第一类边界条件3、第二类格林函数、第二类格林函数G2（r,r）满足）满足第二类边界条件第二类边界条件在第二类格林函数中，不能简单取在第二类格林函数中，不能简单取利用高斯定理利用高斯定理格林函数有对称性，体现互易原理格林函数有对称性，体现互易原理不同的边界条件下格林函数的形式不同的边界条件下格林函数的形式静电普遍公式静电普遍公式不同边界条件下的格林函数不同边界条件下的格林函数51在利用格林函数解边值问题之前，先复习矢量积分定理在利用格林函数解边值问题之前，先复习矢量积分定理高斯定理高斯定理格林第一恒等式格林第一恒等式格林定理格林定理斯托克斯定理斯托克斯定理利用格林函数求解静电问题利用格林函数求解静电问题52若在区域若在区域V内给定电荷分布内给定电荷分布（r)，而且在边界面，而且在边界面S上给定第一类边值上给定第一类边值 S值或第二值或第二类边值类边值 ，则根据泊松方程，则根据泊松方程求求V内的电势分布内的电势分布利用格林定理利用格林定理其中其中边界条件边界条件或或 还不是电势还不是电势 解的最后显示表达，仅是一个积分方程，可以利用解的最后显示表达，仅是一个积分方程，可以利用 G(r,r)作为杠杆，作为杠杆，来解出现的问题来解出现的问题53对第一类边值问题（对第一类边值问题（Dirichlet问题）（给定电势），选择问题）（给定电势），选择由于由于第一类边值问题静电公式第一类边值问题静电公式对第二类边值问题（对第二类边值问题（Neuman问题）（给定电势在边界导数值），选择问题）（给定电势在边界导数值），选择第二类边值问题静电公式第二类边值问题静电公式通常，第二类边值问题都是所谓的外域问题：一个有限的封闭曲面与一个无限大封通常，第二类边值问题都是所谓的外域问题：一个有限的封闭曲面与一个无限大封闭曲面之间区域的电势分布，如导体外空间的电势分布，此时曲面积闭曲面之间区域的电势分布，如导体外空间的电势分布，此时曲面积把求解给定区域把求解给定区域V内给定电荷分布内给定电荷分布（r)，而且在边界面，而且在边界面S上给定第一类边值上给定第一类边值 S值或第值或第二类边值二类边值(/n)|S 的普遍静电问题归结为求格林函数：的普遍静电问题归结为求格林函数：同样区域和边界中，在满足同样区域和边界中，在满足G0 或者或者G/n=const的条件下，一个单位正电荷所产生的电势的条件下，一个单位正电荷所产生的电势。54典型空间解静电问题的格林函数方法典型空间解静电问题的格林函数方法1、无界空间的格林函数为、无界空间的格林函数为证明它满足证明它满足在在r0的空的空间先取先取 G(r,0)，令，令 r=0 即位于原点即位于原点的单位点电荷，在球坐标系中的单位点电荷，在球坐标系中相应满足相应满足在在r=0 处处1/r是奇异的。取一小球面是奇异的。取一小球面S包围原点，并在该包围原点，并在该球域内对球域内对 2(1/r)求体积分求体积分55一般情况下，点电荷在一般情况下，点电荷在r不在不在0 处，处，|r-r|为为 r 到到r的距离，的距离，因此无界空间的格林函数满足泊松方程因此无界空间的格林函数满足泊松方程有有相应由格林函数得到的的无界空间电势为相应由格林函数得到的的无界空间电势为562、半空间的格林函数、半空间的格林函数第一类边值问题，由镜像法得到格林函数第一类边值问题，由镜像法得到格林函数573、球外空间的格林函数、球外空间的格林函数对第一类边值问题，球面对第一类边值问题，球面 S0，由镜，由镜像法得到像法得到在上式中，令在上式中，令 q=1 于是得到格林函数于是得到格林函数镜像法可以用来求解格林函数镜像法可以用来求解格林函数58举例举例1、半径为半径为 的导电板电的导电板电势为势为V0，在，在 导电板接地，导电板接地，求上半空间的电势分布。求上半空间的电势分布。解：解：取圆心为柱坐标系的取圆心为柱坐标系的原点，原点，z轴垂直于导电板轴垂直于导电板59由于在上半空间无电荷分布，且是第一类边值问题，由第一类问题的静电普遍格式由于在上半空间无电荷分布，且是第一类边值问题，由第一类问题的静电普遍格式积分表面为积分表面为z=0的无穷大平面，法线沿的无穷大平面，法线沿z方向方向上半空间电势分布上半空间电势分布将被积函数展开将被积函数展开60举例举例2、半径为半径为a的导电球，被一极窄的绝缘环分的导电球，被一极窄的绝缘环分隔成两个半球，上半球的电势为隔成两个半球，上半球的电势为V，下半球的，下半球的电势为电势为-V，如图所示，求球外电势分布。，如图所示，求球外电势分布。解：该问题为第一类边值问题，且无空解：该问题为第一类边值问题，且无空间电荷，电势表示为间电荷，电势表示为球外空间的格林为球外空间的格林为在在r=a的球面上，的球面上，G10。因为本问题是球的外域问题，。因为本问题是球的外域问题，n和和r 的方向相反的方向相反61得到得到式中式中(r)是已知的，上半球为是已知的，上半球为V、下半球为、下半球为-V，代入上式在球面上积分就，代入上式在球面上积分就能求出球外空间的电势分布能求出球外空间的电势分布62格林函数法总结格林函数法总结A、静电边值问题可以归结为求格林函数，按下式、静电边值问题可以归结为求格林函数，按下式求出格林函数，可写出区域求出格林函数，可写出区域V内的电势分布，或用两个积分表示出来内的电势分布，或用两个积分表示出来B、求格林函数本身不是一件容易的事、求格林函数本身不是一件容易的事C、格林函数一般只能给出形式解，积分有的能积出来，有的积不出来（可以用数、格林函数一般只能给出形式解，积分有的能积出来，有的积不出来（可以用数值的方法）值的方法）D、格林函数方法的意义在于理论方面，它描述不同边界情况下点源与场的关系，、格林函数方法的意义在于理论方面，它描述不同边界情况下点源与场的关系，其物理意义非常清楚。不仅适合于静电问题，也适用于静磁问题和电磁波其物理意义非常清楚。不仅适合于静电问题，也适用于静磁问题和电磁波的问题。的问题。E、这里讲的是标量格林函数，还有矢量格林函数、并矢格林函数。、这里讲的是标量格林函数，还有矢量格林函数、并矢格林函数。F、静电边值问题既可以用微分方程的办法也可以用积分方程的办法、静电边值问题既可以用微分方程的办法也可以用积分方程的办法63电多极矩电多极矩电势的多极展开；电势的多极展开；电多极矩；电多极矩；电多极子在外场中的势能和力矩电多极子在外场中的势能和力矩64电电2n极矩极矩65是在原点的点电荷是在原点的点电荷q产生激发的电势，称为电势的零级近似，按产生激发的电势，称为电势的零级近似，按 1/r 规律衰减。规律衰减。是电偶极矩的电势，称为电势的一级修正，按是电偶极矩的电势，称为电势的一级修正，按 l/r2 规律衰减。规律衰减。电多极矩电多极矩是电四极矩修正项，按是电四极矩修正项，按 l2/r3 规律衰减。规律衰减。依次类推还有电八极矩、电十六极矩，后面的总是必前一项小依次类推还有电八极矩、电十六极矩，后面的总是必前一项小 l/r 量级。量级。