复变函数与积分变换（全套ppt课件）

复变函数与积分变化复变函数与积分变化复变函数与积分变化 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性第一章复数与复变函数1 1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算一、复数的概念一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中为虚数单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。1.1复数及其运算一、复数的概二、复数的表示法二、复数的表示法1 1、(复平面上的复平面上的)点表示点表示-用坐标平面上的点用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。二、复数的表示法1、(复平面上的)点表示-用坐标2 2、(复平面上的复平面上的)向量表示向量表示-（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角()与 轴正向的夹角 (周期性)2、(复平面上的)向量表示-（1）模的辐角主值辐角主值:注注注注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示）式或借助复数向量表示.辐角主值:注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借3 3、三角（或极坐三角（或极坐标）表示）表示-由由得得欧拉公式5、代数表示-3、三角（或极坐标）表示-由得欧拉公式5、代数表示-复数的各种表示可相互转换，复数的各种表示可相互转换，在不同的运算中可选择不同表在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。示式进行运算。复数的各种表示可相互转换，在不同的运算中可选择不同表示式三、复数的运算三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相四、复数的四、复数的n n次方根次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。四、复数的n次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0 0和和i i加以讨论：加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为什么？、复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小可比较大小。答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？典型例典型例题例例1 1、判断下列命、判断下列命题是否正确？是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）（）（）（）典型例题例1、判断下列命题是否正确？（1）（）（例例2 2、求下列复数的模与、求下列复数的模与辐角角（1）（2）（3）（4）例2、求下列复数的模与辐角（1）解（解（1 1）（2 2）解（1）（2）（3）(4)（3）(4)例例3 3、求满足下列条件的复数、求满足下列条件的复数z z：（1）（3）（2）且且例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）（2）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）例例4 4 求方程求方程的根。并将的根。并将分解因式。分解因式。解 ，则的其余三个根即为所求得由例4求方程的根。并将分解因式。解，则的其余三个根即复变函数与积分变换（全套ppt课件）1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。1.2复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程平面曲线由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式 。由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线三、区域三、区域 1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域连通的开集。三、区域1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域连属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。注：注：闭区域闭区域，它不是区域。，它不是区域。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为交的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，的内部；无界区域，称为称为 C C的外部；的外部；C C，称为内部与外部的边界。，称为内部与外部的边界。（典型例题见教材（典型例题见教材例例1.2.1，例，例1.2.2）属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成1.3 1.3 复变函数复变函数一、复变函数的概念一、复变函数的概念1、定、定义对于集合于集合G中中给定的定的 ，总有一个（或几个）确定的复数，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称与之对应，并称G为定义集合，而为定义集合，而称为函数值集合称为函数值集合(值域值域).分类分类1.3复变函数一、复变函数的概念1、定义对于集合G中2、复变函数、复变函数 与实函数的关系与实函数的关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3 3、复变函数的单值性讨论、复变函数的单值性讨论2、复变函数与实函数的关系讨论一个复变函数研究两个实二教材教材P12（例（例1.3.2)1.3.2)是否是否为单值函数函数 令令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。故 教材P12（例1.3.2)是否为单值函数令则均为单值教材(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方法二、见教材教材(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方二、映射二、映射复变函数的几何图形表示复变函数的几何图形表示二、映射复变函数的几何图形表示 函数函数在几何上可以看着是把在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点平面上的一个点集集 G（定义域）（定义域）变到到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 G*（值域）的一个映射（或映照）。域）的一个映射（或映照）。与 G 中的点为一一对应映射为双射映射为双射函数在几何上可以看着是把z平面上的一个点集典典 型型 例例 题题例例1、求、求z 平面上的下列平面上的下列图形在映射形在映射下的象。下的象。典型例题例1、求z平面上的下列图形在映射下的象。解解(1)(1)乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理解(1)乘法的模与辐角定理uv4i图a虚虚轴上从点上从点0到到4i的一段（的一段（见图a）。）。(1)记，则即即w平面内平面内4图b（3）见教材教材例例1.3.4（3）uv4i图a虚轴上从点0到4i的一段（见图a）。映为（4 4）将直将直线建立建立所所满足的象曲足的象曲线方程方程，消，消，是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物点，开口向左的抛物线（见图c1)c1)vu图c12其是以原点其是以原点为焦点，焦点，开口向右的抛物线（见图开口向右的抛物线（见图c2c2）。）。将将线映映为，消，消x 得得映为（4）将直线建立所满足的象曲线方程，消，是以例例2 2、求下列曲求下列曲线在映射在映射下的象下的象解法一解法一（1 1）消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程例2、求下列曲线在映射下的象解法一（1）消（2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。（2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。解法二解法二代入原象方程得代入原象方程得 化化为实方程形式方程形式 （2 2）留作）留作练习。解法二代入原象方程得化为实方程形式（2）留作复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性1.4复变函数的极限和连续性复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）本章难点与重点本章难点与重点本章难点与重点注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是看作是z z平面上集合平面上集合G G与与w w平面上集合平面上集合G*G*之间的一种对应。之间的一种对应。注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；在复变第二章第二章 解析函数解析函数2.1 解析函数的概念2.2 函数解析的充要条件2.3 初等函数第二章解析函数2.1解析函数的概念一一.复变函数的导数复变函数的导数1.1.导数定义导数定义形式上与一元实函数相同形式上与一元实函数相同(见教材见教材P21)P21)；2.2.求导举例求导举例关键是复变函数的理解、掌握和计算；关键是复变函数的理解、掌握和计算；3.3.求导法则求导法则类似一元函数类似一元函数(见见P22)P22)；4.4.可导与连续的关系可导与连续的关系可导可导 连续。连续。一.复变函数的导数1.导数定义形式上与一元实函数相同(见可微 可导 连续 有定义极限存在 二二.复变函数的微分复变函数的微分1 1、定义、定义2 2、微分与导数的区别与联系、微分与导数的区别与联系“同生死，共存亡同生死，共存亡”。可微可导连续有定义极限存在二三、解析函数的概念三、解析函数的概念三、解析函数的概念三、解析函数的概念3、函数解析与可导的关系 区别概念不同 联系解析点必是可导点，反之不然。三、解析函数的概念3、函数解析与可导的关系四、求导举例四、求导举例 解解当当 时，时，不存在，即处处不可导。当当 时，时，四、求导举例解当例例2 2 判断下列命题正确性判断下列命题正确性(1)若函数在某点不可导，则该点必为函数的奇点。()(2)若点为函数的奇点，则点必为函数的不可导点。()(3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件。()例2判断下列命题正确性(1)若函数在某点不可导，则该点必五、解析函数的运算性质五、解析函数的运算性质 解析函数的、解析函数的、及复合函数及复合函数仍为解析函数。仍为解析函数。五、解析函数的运算性质复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）方程方程 称为称为 柯西柯西黎曼黎曼(CauchyCauchyRiemanRiemann)n)方程方程(简称简称C C-R R方程方程)反反之之，我我们们自自然然要要问问是是否否满满足足以以上上条条件件的的函函数数必必在在点点可可导导呢呢？事事实实上上，该该条条件件也也是是充充分分的，于是有的，于是有-方程且此时：且此时：复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）二、举例-两种判别法(定义法，C R条件判可导）二、举例-两种判别法(定义法，CR条件判可导）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）拓展练习拓展练习拓展练习复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）第3 3章 复变函数的积分3.1 复变函数积分的概念和性质3.2 柯西积分定理及其应用3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系第3章复变函数的积分3.1复变函数积分的概念和性质复习、引入复习、引入3.1 3.1 复变函数积分的概念和性质 一、定义-化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上,按从 到Z的次序排列的。3.1复变函数积分的概念和性质一、定义-化如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记 如果是到的弧上任意一点，那么下列和式的与实函数中第二型线积分类比与实函数中第二型线积分类比C C的参数方程的参数方程线积分线积分dz与实函数中第二型线积分类比C的参数方程线积分dz复积分复积分一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二型线积分两个实二型线积分复积分一个复积分的实质是二、积分存在的条件及其计算方法 1)C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。3)化为参变量的定积分来计算。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。二、积分存在的条件及其计算方法1)C为连续函数且是光滑(例1 1 计算 其中 为以 为圆心，为半径的正向圆周,为整数.例1计算其中为以三、积分的性质三、积分的性质例2 2 计算 的值，其中 为沿从（0 0，0 0）到（1 1，0 0）的线段与从（1 1，0 0）到（1 1，1 1）的线段所连结成的折线。解:例2计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，例3计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段：解解 :例3计算的值，其中为沿例4 4 计算 其中 为从原点到点 的直线段。解 直线的方程可写成例4计算其中为从原点到点的直线 练习:对例4中的积分沿下列路径计算 (1)当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;(2)当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?观察例观察例3 3、例、例4 4两个线积分的结果，分析两种两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？被积函数的特征，你会得出怎样的结论？练习:对例4中的积分沿下列路径计算观察例3、例43.2 3.2 柯西积分定理及其应用回顾回顾3.2柯西积分定理及其应用回顾一、一、柯西积分定理柯西积分定理一、柯西积分定理二、解析函数的原函数与等价定理定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那么积分 与连结从起点到终点的路径无关.定 理 二 如 果 函 数 在 单 连 域 B内 处 处 解 析，那 末 函 数 必为B内的解析函数,且 ，其中F(z)称为f(z)的原函数.二、解析函数的原函数与等价定理定理一如果函数 利用原函数的这个关系，推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。结论：的任何两个原函数相差一个常数.此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用定理三定理三 如果函数f(z)在单连域单连域 B B内处处解析,G(z)为 的一个原函数,那么利用原函数的这个关系，推得与牛顿莱布尼兹公式解解:例5 5 计算 解:例5计算例 6 6 计算 解：例6计算解：例7 7 计算 解：例7计算解：三、复合闭路定理三、复合闭路定理柯西定理在多连域的推广柯西定理在多连域的推广所围成的多连通区域，(互不包含且互不相交互不包含且互不相交)，定理四：定理四：三、复合闭路定理柯西定理在多连域的推广所围成的多连通区域，复变函数与积分变换（全套ppt课件）四、闭路变形原理四、闭路变形原理复合闭路定理的特例复合闭路定理的特例四、闭路变形原理复合闭路定理的特例证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。区域内作连续变形而改变它的值。-闭路变形原理闭路变形原理证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连例8 8试求 的值，C C为包含0 0和1 1在内的任何一条正向简单闭曲线。解：闭路变形原理闭路变形原理例8试求的值，C为包含0和1在内的任何一条正复变函数与积分变换（全套ppt课件）3.3 3.3 柯西积分公式柯西积分公式若 f(z)在D内解析，则分析：分析：3.3柯西积分公式若f(z)在D内解析，则分析一、柯西积分公式一、柯西积分公式(3.3.1)上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。一、柯西积分公式(3.3.1)上述公式称为柯西积分公式例9 9 计算 (沿圆周正向)解 由公式(3.3.1)得例9计算(沿圆周正向)解例例1010 解：例10解：复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）推论 如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具是研究解析函数的有力工具-一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为二、解析函数的高阶导数二、解析函数的高阶导数其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。二、解析函数的高阶导数其中为函数的解析区域例例11 11 求下列积分的值求下列积分的值,其中其中C C为正向圆周为正向圆周:|z|=r 1.例11求下列积分的值,其中C为正向圆周:高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分而在于利用求导计算积分.高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于3.4 3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义1 1 若若(称此为调和方程或Laplace方程)3.4解析函数与调和函数的关系定义1若(称此为调定理定理1 1：证明：同样可得 且u,v有任意阶连续偏导数定理1：证明：同样可得且u,v有任意阶连续偏导数注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数不一定是解析函数.例如：注：逆定理显然不成立，即对区域D内的任意两个调和函数不一定定义定义2 2 定理定理2 2：在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。定义2定理2：在区域D内解析解析函数的虚部必为例例1 1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由 C-R 方程例1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由C-R方程于是于是（法二）（法二）(0,0)(x,y)(x,0)(0,0)(x,y)(x,0)（法三）（法三）例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。证证 由于由于例2证明：函数所以故 是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。所以故是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，则 不是调和函数。证 因为 为调和函数，所以又又同理同理例3证明：若为调和函数且不等于常数，证因例例4 4求形如求形如 的最一般的调和函数。的最一般的调和函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。令令例4求形如的最一般的调和函故故 即 的一般形式的调和函数为其中 为任意常数。因为因为故即的一般形式的调和函数为其中为任意常所以令 ，得即知即知于是于是所以令，得即知于是例例5 5查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案例5查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换（全套ppt课件）查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题查看原题例例6 6 设设 满足下列关系，求解析函数满足下列关系，求解析函数例6设满足下列关系，求解析函数复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）第四章第四章 级数级数复习、引入复习、引入4.1 4.1 复数项级数复数项级数4.2 4.2 幂级数幂级数4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数 4.4 4.4 洛朗级数洛朗级数第四章级数复习、引入4.1复数项级数复习、引入收敛的本质无限项和差是否为一个确定值？如何完成这种计算？定义若存在，称级数收敛，否则级数发散复习、引入收敛的本质无限项和差是否为一个确定值？如何完成定理一4.1 复数项级数二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念一、复数列的极限一、复数列的极限 定理一4.1复数项级数二、复数项级数的概念一、复数列的极三、复数项级数的审敛法三、复数项级数的审敛法复变函数与积分变换（全套ppt课件）4.2 4.2 幂级数一、函数项级数一、函数项级数4.2幂级数一、函数项级数二、幂级数及其收敛性正幂项级数2.2.收敛特征收敛特征AbelAbel定理定理定理一定理一二、幂级数及其收敛性正幂项级数2.收敛特征Abel定理定xyO.xyO.证明证明复变函数与积分变换（全套ppt课件）三、收敛圆与收敛半径 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围，对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设 (正实数)时,级数收敛,(正实数)时,级数发散.i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除 z=0 外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.三、收敛圆与收敛半径利用阿贝尔定理，不难确定幂级数bCbaCaRCROxy显然显然 时时,将收敛域染成红色将收敛域染成红色,发散域为蓝色发散域为蓝色.bCbaCaRCROxy显然时,将收敛域染成红色 当 由小逐渐变大时,必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以 为中心的圆域.在收敛圆上的收敛性,则不一定.当由小逐渐变大时,必定逐渐接近一个以原点为中复变函数与积分变换（全套ppt课件）例1 1 求幂级数解解:级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范围与和函数.例1求幂级数解:级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范复变函数与积分变换（全套ppt课件）收敛半径的求法收敛半径的求法复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）例2 2 求下列幂级数的收敛半径例2求下列幂级数的收敛半径复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）四、幂级数的运算和性质 在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.四、幂级数的运算和性质在以原复变函数与积分变换（全套ppt课件）更为重要的是代换(复合)运算 这种代换运算这种代换运算,在把函数展开成幂级数时在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用有着广泛的应用.更为重要的是代换(复合)运算这种代换运算,在把函数复变函数与积分变换（全套ppt课件）Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛复变函数与积分变换（全套ppt课件）4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数z0Kzrz4.3泰勒级数z0Kzrz按柯西积分公式,有且z0Kzrz按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0Kzrzz0Kzrz在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0q1.z0Kzrz在K内成立,即f(z)可在K内q与积分变量 K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数 M 使|f(z)|M.K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,因此,下面的公式在K内成立:称该等式为f(z)在z0点的泰勒展开式,它右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.因此,下面的公式在K内成立:称该等式为f(z)在z0点的定理定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,注注：如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a-z0|.定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一唯一的.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把 f(z)在z0点展开成幂级数,称此为直接展开法yz0ax任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数例如,求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez 除直接法外,也可以借助这些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:除直接法外,也可以借助这些已知函数的展开式,利用解 由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以可在|z|1内展开成z的幂级数.因为 例1 把函数 展开成z的幂级数.解由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|R1,即|t|R 时,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和.正幂项z0R1R2例如级数z0R1R2例如级数在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。例如,上述级数在收敛环域内其和函数是解析的,而且可以逐项积分和逐项求导。现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。例如,上述其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级定理定理 设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。Cz0R1R2定理设f(z)在圆环域R1|z-z0|R称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1|z-z0|R2内的洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)展开式展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数洛朗级数.一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1|z-z0|R解解：函数f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2解：函数f(z)在圆环域i)0|z|1;ii)先把f(z)用部分分式表示:先把f(z)用部分分式表示:ii)在1|z|2内：ii)在1|z|2内：iii)在2|z|+内:iii)在2|z|+内:例例2 把函数解解：由例2把函数解：由函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数。在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;O-ii例如在z=i和z=-i处将函数在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式;2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析。特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算例例解：解：例解：例例4 4 解：解：例4解：故c-1=-2,故c-1=-2,本章重点与难点洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法关于 的洛朗级数“惟一性”的理解与运用 函数所展泰勒级数的收敛半径确定方法本章重点与难点洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用第五章留数及其应用5.1孤立奇点 5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.5.1孤立奇点函 将函数 f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：1.可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则称孤立奇点z0为 f(z)的可去奇点.f f(z z)=)=c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.+)+.+c cn n(z z-z z0 0)n n+.,0|+.,0|z z-z z0 0|d d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f(z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.将函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z复变函数与积分变换（全套ppt课件）2.2.极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个如果在洛朗级数中只有有限多个z z-z z0 0的负幂项的负幂项,且其中关于且其中关于(z z-z z0 0)-1-1的最高幂为的最高幂为(z z-z z0 0)-m m,即即f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2-2(z z-z z0 0)-2-2+c c-1-1(z z-z z0 0)-1-1+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.()+.(m m 1,1,c c-m m 0),0),则称孤立奇点则称孤立奇点z z0 0为函数为函数 f f(z z)的的m m级极级极点点.上式也可写成上式也可写成:其中其中 g g(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0 0)+)+c c-m m+2+2(z z-z z0 0)2 2+.,+.,在在|z z-z z0 0|d d 内是解析的函数内是解析的函数,且且 g g(z z0 0)0.0.反过来反过来,当任何一个函数当任何一个函数 f f(z z)能表示为能表示为(*)(*)的形式的形式,且且g g(z z0 0)0 0 时时,则则z z0 0是是 f f(z z)的的m m级极点级极点.2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,上如果如果z z0 0为为 f f(z z)的极点的极点,由由(*)(*)式知式知如果z0为f(z)的极点,由(*)式知3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 ,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.4.函数的零点与极点的关系例如当f(z)=z(z-1 因为,若 f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0,cm0,等价于 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。例如 z=1是f(z)=z3-1的零点,由于 f(1)=3z2|z=1=3 0,从而知z=1是f(z)的一级零点.因为,若f(z)在z0解析,就必能在z0的邻 所以 在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.由于 中的 在z0解析,且 故 必在z0连续,所以给定所以在z0的去心邻域内该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.复变函数与积分变换（全套ppt课件）例例3 3对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。处的性态。例3对讨论函数在5.2 5.2 留数留数1.1.留数的定义留数的定义2.如果函数如果函数f f(z z)在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析,那么根据柯西积分定那么根据柯西积分定理理 但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)5.2留数留数的定义但是,如两端沿C逐项积分:定义定义 两端沿C逐项积分:定义Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则2.留数定理留数定理Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一设函数f(z)证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意检查定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。证明把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可.但如果知道奇点的类型,对求留数会更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0 是本性奇点,则只好将其展开成洛朗级数.如果z0 是极点,则有如下规则:求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展3.(3.(极点极点)留数的计算规则留数的计算规则规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m级极点级极点,则则事实上事实上,由于由于f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2-2(z z-z z0 0)-2-2+c c-1-1(z z-z z0 0)-1-1+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.,)+.,(z z-z z0 0)m m f f(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0 0)+.+)+.+c c-1-1(z z-z z0 0)m m-1-1+c c0 0(z z-z z0 0)m m+.,+.,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的一级极点的一级极点,则则3.(极点)留数的计算规则规则2如果z0为f(z)的m令令 z zz z0 0,右端的极限是右端的极限是(m m-1)!-1)!c c-1-1,两端除以两端除以(m m-1)!-1)!就是就是ResResf f(z z),),z z0 0,即得即得规则规则2 2,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。令zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-复变函数与积分变换（全套ppt课件）即得 规则规则3 3。即得规则3。复变函数与积分变换（全套ppt课件）由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:比用规则比用规则1 1更简单更简单!由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:比用规则1更简单!复变函数与积分变换（全套ppt课件）复变函数与积分变换（全套ppt课件）例 4 解：z=0为一级极点。例4解：z=0为一级极点。例 5 解：原式=例5解：原式=*5.3.*5.3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数f f(z z)在圆环域在圆环域 R R|z z|内解析：内解析：理解为圆环域内绕理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分*5.3.在无穷远点的留数f(z)在圆环域R|z|这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R|z|定理二定理二 如果如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么那么f(z)在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数总和必等于零的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么复变函数与积分变换（全套ppt课件）所以规则4 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.所以规则4成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲例 6解：例6解：复变函数与积分变换（全套ppt课件）证明证明：证明：留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量x定义在闭区间a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用 其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有 其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不例1 计算 的值.解:由于 ,被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的.例1计算复变函数与积分变换（全套ppt课件）在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在例2 计算 的值.解：令例2计算例3解：例3解：取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性,设为一已约分式.取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.复变函数与积分变换（全套ppt课件）例 4例4例 5 解：例5解：也可写为也可写为例6 计算 的值.解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例6计算例7 计算积分 的值.解:因为 是偶函数,所以例7计算积分的值.解:因为因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而而由于由于j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可在在r r充分小时充分小时,在r充分小时,本章重点与难点本章拓展思考拓展思考 复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处?拓展思考 复习、引入复习、引入 6.1 6.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 6.2 6.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 6.3 6.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 6.4 6.4 卷积卷积 6.5 6.5 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 第第6 6章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换复习、引入第6章拉普拉斯变复习、引入复习、引入函数的理解：函数的理解：复习、引入函数的理解：复变函数与积分变换（全套ppt课件）6.1 6.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念一一.定义定义是一个复参量）设函数 当 有定义,而且积分在 的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数（简称拉氏变换）记为或。称为 的拉普拉斯变换式6.1拉普拉斯变换的概念一.定义是一个复参量）设函数叫做的象函数.叫做的拉氏逆变换或象原函数,记为=叫做的象函数.叫做的拉氏逆变换或象原函数,记为=二二.求法举例求法举例例例1 1 求下列函数的拉普拉斯变换求下列函数的拉普拉斯变换二.求法举例例1求下列函数的拉普拉斯变换解：(1)模有界模有界解：(1)模有界（2）（3）两次分部积分两次分部积分（2）（3）两次分部积分三三.存在定理存在定理 若函数满足下列条件：在的任一有限区间上连续或分段连续,的增长速度不超过某一指数函 数,亦即存在常数 当时,使得数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数).成立(满足此条件的函三.存在定理若函数满足下列条件：在的任一有限则的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分在上绝对收敛而且一致收敛.并且在半平面内，为解析函数。则的拉氏变换在半平面例2 2 求单位脉冲函数 的拉氏变换。函数定义 满足例2求单位脉冲函数的拉氏变换。函复变函数与积分变换（全套ppt课件）解：类似地，可以得到另外两个性质解：类似地，可以得到另外两个性质例例3 3 周期函数的拉氏变换周期函数的拉氏变换设 是周期为的周期函数,即且在一个周期上是连续或分段连续的,证明:例3周期函数的拉氏变换设是周期为的周期函数,即且证明：证明：+=+=+=0)1(T)1(T2T00)()()()(L kTkk-stTkk-stT-stT-st-stdtetfdtetfdtf(t)edtf(t)edtetftf证明：+=+=+=复变函数与积分变换（全套ppt课件）课堂练习课堂练习课堂练习解：（1）解：（1）(2)(2)本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c，在证明性质时不再重述这些条件.6.2 6.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换例3 3 求 f(t)=sinkt (k k为实数)的拉氏变换同理可得解：例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变2.2.微分性质:此性质可以将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当 时，有2.微分性质:此性质可以将f(t)的微分方程转化例4 求 的拉氏变换（m为正整数）。例4求的拉氏变换（m为正整数）。象函数的微分性质象函数的微分性质:象函数的微分性质:例5 求 (k为实数)的拉氏变换.例5求(k为实数)的拉氏变换.3.3.积分性质积分性质:3.积分性质:例6 求 的拉氏变换.例6求的拉象函数积分性质:则象函数积分性质:则例7 求函数的拉氏变换.例7求函数的拉氏变换.函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而 f(t-t)是从t=t 开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从图象讲,f(t-t)是由f(t)沿 t 轴向右平移t 而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=例例8 8 求函数求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO例8求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO例9 求 的拉氏变换.例9求的拉氏变换.6.3Laplace逆变换逆变换 前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数 f(t).由拉氏变换的概念可知,函数 f(t)的拉氏变换,实际上就是 f(t)u(t)e-bt 的傅氏变换.6.3因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以ebt,则因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等