第2.1节-随机变量-第2.2节-离散型随机变量课件

一、随机变量一、随机变量第第2.12.1节节 随机变量随机变量1.定义定义:取值具有随机性的变量称为随机变量取值具有随机性的变量称为随机变量,它是定它是定义在义在样本空间上样本空间上样本空间上样本空间上的单值实函数的单值实函数.随机变量一般用随机变量一般用X,Y,Z等表示。等表示。非离散型非离散型 分类分类离散型离散型连续型连续型 奇异型奇异型重点研究的随机变量是：重点研究的随机变量是：注注 离散型随机变量、连续型随机变量离散型随机变量、连续型随机变量.引例引例一、随机变量第2.1节 随机变量1.定义:取值具有随引例引例1 (1)某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击,直至直至射中为止，射中为止，表示射击次数表示射击次数，则，则:射击射击1次次 射击射击 2 次次 .射击射击 n 次次 .X():1 2 .n .(2)某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,乘客在任意乘客在任意时间到达车站时间到达车站,表示该乘客的候车时间表示该乘客的候车时间,:候车时间候车时间X():0,10返回返回引例1 (1)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至（3 3）从一批产品中任意抽取一件产品，）从一批产品中任意抽取一件产品，抽到正品抽到正品抽到次品抽到次品（3）从一批产品中任意抽取一件产品，抽到正品抽到次品二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 定义定义:取有限个或可列个值的随机变量称为取有限个或可列个值的随机变量称为离散型离散型随机变量随机变量.2.概率分布概率分布:设离散型随机变量设离散型随机变量 X 一切可能取值为一切可能取值为 ,则称则称为为X的概率函数或的概率函数或 概率分布概率分布.或者用或者用分布列分布列来表示来表示X x1 x2 .xn .P p1 p2 .pn .二、离散型随机变量的概率分布第1.3节 随机变量及其分布 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 3.性质性质:(2)p1+p2+.+pn+.=1(3)P(aXb)=4.离散型随机变量的分布列有四个用途离散型随机变量的分布列有四个用途:1）验证所得结果是否正确？）验证所得结果是否正确？2）待定常数；）待定常数；3）判断给定的一个数列是否可构成某一个）判断给定的一个数列是否可构成某一个离散型随机变量的分布列？离散型随机变量的分布列？4）计算随机变量在任一范围取值的概率。）计算随机变量在任一范围取值的概率。(1)pn0,n=1,2,.注：满足性质注：满足性质(1)(2)的数列都可以作为某个随机变量的数列都可以作为某个随机变量的概率分布的概率分布.二、离散型随机变量的概率分布第1.3节 随机变量及其分布 例例1 已知随机变量的分布列为已知随机变量的分布列为X -2 -1 0 1 2 3 P 0.16 0.1c 0.2c 0.2 0.1 求常数求常数 c。解：解：例1 已知随机变量的分布列为X -2 例例2 判断下面各数列是否可成为某随机变量的分布列？判断下面各数列是否可成为某随机变量的分布列？（1）（2）例2 判断下面各数列是否可成为某随机变量的分布列？（1）例例3 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 b 4 0.3 3 0.2 2 a 1问：问：返回返回例3 设随机变量 X 的分布列为 b 4 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布5.离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值;(2)计算取每个值的概率；计算取每个值的概率；(3)列出随机变量的概率分布列列出随机变量的概率分布列.二、离散型随机变量的概率分布第1.3节 随机变量及其分布5三、四种重要的离散型随机变量的概率分布三、四种重要的离散型随机变量的概率分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布X 0 1P 1-p p 1、0-1分布分布 P(X=k)=qk-1p,(k=1,2,.)q=1-p 2、几何分布、几何分布 记为记为 XB(n,p)。3、二项分布、二项分布 4、Possion分布分布记为记为XP().注解注解注解注解注解注解注解注解三、四种重要的离散型随机变量的概率分布第1.3节 随机变量1 1、0-10-1分布分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 解解:设随机变量设随机变量 X 表示试验出现表示试验出现“成功成功”的次数的次数,则则“X=0”表示试验出现表示试验出现“失败失败”,“X=1”表示试验出表示试验出现现“成功成功”，P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以所以X 的概率分的概率分布为布为:X 0 1 P 1-p p0-1分布分布背景：背景：某试验出现某试验出现“成功成功”的概率为的概率为 p,出现出现“失败失败”的概率为的概率为 1 p，现只进行一次试验，现只进行一次试验,求求“成功成功”出出现次数的概率分布现次数的概率分布.特别特别:X x0 x1 P 1-p p两点分布两点分布注意注意:若一次若一次试验只有两个试验只有两个对立结果：对立结果：“成功成功”和和“失失败败”，且，且“成成功功”概率为概率为 p，则，则“成功成功”次数的概率分次数的概率分布为布为0-1分布分布.1、0-1分布第1.3节 随机变量及其分布 解:例例1.3.1 袋内有袋内有5个黑球，个黑球，3个白球，每次抽取一个，不个白球，每次抽取一个，不 放回，直到取得黑球为止。放回，直到取得黑球为止。X 为取到白球的数目，为取到白球的数目，Y为为抽取次数抽取次数，求，求 X、Y 的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3次的概率。次的概率。解解:(1)X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3,X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3/8)(5/7)=15/56,类似有类似有P(X=2)=(3/8)(2/7)(5/6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以所以 X 的概率分布为的概率分布为例1.3.1 袋内有5个黑球，3个白球，每次抽取一个，不 (2)Y 的可能取值为的可能取值为 1,2,3,4,Y 1 2 3 4P 5/8 15/56 5/56 1/56(3)P(Y 3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y的概率分布为的概率分布为返回返回 (2)Y 的可能取值为 1,2,3,4,Y 2 2、几何分布、几何分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布背景：背景：假定一个试验成功的概率为假定一个试验成功的概率为 p(0 p 1),不断独立不断独立重复进行试验重复进行试验,直到首次成功出现为止直到首次成功出现为止,求试验次数的概求试验次数的概率分布率分布.解解:设设 X 表示试验次数表示试验次数,X 取值为取值为1,2,.,n,.,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,.,P(X=k)=(1-p)k-1p,.,记记 q=1-p,则则 X 的概率分布为的概率分布为:P(X=k)=qk-1p,(k=1,2,.)几何分布几何分布2、几何分布第1.3节 随机变量及其分布背景：假定一个试验2、几何分布、几何分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布实际中有不少随机变量服从几何分布，比如：实际中有不少随机变量服从几何分布，比如：(1)某产品的不合格率为某产品的不合格率为0.05，有放回方式抽查产品，有放回方式抽查产品，首次首次查到不合格品时的检查次数；查到不合格品时的检查次数；(2)某射手的命中率为某射手的命中率为0.8，首次首次击中目标的射击次数；击中目标的射击次数；(3)掷一颗骰子，掷一颗骰子，首次首次出现出现6点的投掷次数；点的投掷次数；(4)同时掷两颗骰子，同时掷两颗骰子，首次首次达到两个点数之和为达到两个点数之和为8的投的投(5)掷次数；掷次数；等等等等.返回返回2、几何分布第1.3节 随机变量及其分布实际中有不少随机变3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布背景：背景：一般地一般地,若在一次试验中成功的概率为若在一次试验中成功的概率为 p(0p1),独立重复进行独立重复进行n次次,这这n次中试验成功的次数次中试验成功的次数 X 服从的分服从的分布为布为:记为记为 XB(n,p)。注注:(1)随机变量随机变量X所服从的分布称为所服从的分布称为二项分布二项分布,n为试验次数为试验次数;(2)该试验模型称为该试验模型称为 n 次独立重复试验模型次独立重复试验模型或或 n 重重 Bernoulli概率模型概率模型;3、二项分布第1.3节 随机变量及其分布背景：一般地,若在3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 如如:一批产品的合格率为一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取有放回地抽取4次次,每次每次一件一件,取得合格品件数取得合格品件数 X,以及取得不合格品件数以及取得不合格品件数 Y 服服从分布为二项分布从分布为二项分布,X 对应的试验次数为对应的试验次数为n=4,“成功成功”即取得合格品，其概率即取得合格品，其概率p=0.8,所以所以,X B(4,0.8)类似类似,Y B(4,0.2)(3)若若A和和 是是n重重Bernoulli试验的两个对立结果试验的两个对立结果,“成功成功”是指我们感兴趣的特征是指我们感兴趣的特征,p是是“成功成功”的概率，的概率，q=1-p 是是“失败失败”的概率。的概率。3、二项分布第1.3节 随机变量及其分布 如:一批产关于二项分布关于二项分布随机变量随机变量 X 取什么值时，概率最大？取什么值时，概率最大？一个特殊问题一个特殊问题 （最可能成功次数）（最可能成功次数）关于二项分布随机变量 X 取什么值时，概率最大？一个特殊问题当当为整数时，取为整数时，取同时达到最大；同时达到最大；的正整数的正整数当当不为整数时，满足不为整数时，满足达到最大；达到最大；分析：分析：当为整数时，取同时达到最大；的正整数当不为整数时，满足达到最3 3、二项分布、二项分布第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布二项分布是一种常见的离散型分布，比如：二项分布是一种常见的离散型分布，比如：(1)有放回方式检查有放回方式检查10个产品，个产品，10个产品中不合格品个产品中不合格品的个数的个数服从二项分布服从二项分布为不合格品率；为不合格品率；(2)在一个庞大的人群中随机调查在一个庞大的人群中随机调查50个人，个人，50个人中个人中患色盲的人数患色盲的人数服从二项分布服从二项分布是色盲率；是色盲率；等等。等等。是射手命中率是射手命中率.(3)射击射击5次，次，5次中命中次数次中命中次数服从二项布服从二项布3、二项分布第1.3节 随机变量及其分布二项分布是一种常见例例1.3.2 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95，今有，今有10人服用，人服用，求至少有求至少有8人治愈的概率人治愈的概率.例1.3.2 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人例例1.3.3 例1.3.3 例例1.3.4 甲、乙两棋手约定进行甲、乙两棋手约定进行10局比赛，比赢的局数局比赛，比赢的局数多者为胜。设在每局中甲赢的概率为多者为胜。设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率，乙赢的概率为为0.4.如果各局比赛是独立进行的，试问甲胜、乙胜、如果各局比赛是独立进行的，试问甲胜、乙胜、不分胜负、乙不输的概率各多少？不分胜负、乙不输的概率各多少？解：解：返回返回例1.3.4 甲、乙两棋手约定进行10局比赛，比赢的局数3、泊松分布、泊松分布(Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 1837年法国数学家泊松（年法国数学家泊松（D.Poisson,17811840）首次提出了泊松概率分布，它最初是作为二项分布的近首次提出了泊松概率分布，它最初是作为二项分布的近似而被发现的，但随着概率理论的发展和实践的检验，似而被发现的，但随着概率理论的发展和实践的检验，证实泊松分布对某一类随机现象有很贴切的描述，这类证实泊松分布对某一类随机现象有很贴切的描述，这类现象称为泊松试验，通俗地讲它具有两个重要特征：现象称为泊松试验，通俗地讲它具有两个重要特征：（1）所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生）所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生一次的机会均等；一次的机会均等；（2）所考察的事件在任何一个区间里，发生与否和在）所考察的事件在任何一个区间里，发生与否和在其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的。其他区间里发生与否没有相互影响，即是独立的。3、泊松分布(Possion分布)第1.3节 随机变量及3、泊松分布、泊松分布(Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松分布是一种常见的离散型分布，它常与单位时间泊松分布是一种常见的离散型分布，它常与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，比如：比如：在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；在单位时间内，一电路受到外界电磁波的冲击次数；在单位时间内，一电路受到外界电磁波的冲击次数；1平米内，玻璃上的气泡数；平米内，玻璃上的气泡数；一铸件上的砂眼数；一铸件上的砂眼数；在单位时间内，某种放射性物质分裂到某区域的质点数；在单位时间内，某种放射性物质分裂到某区域的质点数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数；3、泊松分布(Possion分布)第1.3节 随机变量及3、泊松分布、泊松分布(Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布一定路段内，路面出现大损坏的次数；一定路段内，路面出现大损坏的次数；一定时间段内，放射性物质放射的粒子数；一定时间段内，放射性物质放射的粒子数；一定页数的书刊上出现的错别字的字数；一定页数的书刊上出现的错别字的字数；都服从泊松分布，因此泊松分布的应用面是十分都服从泊松分布，因此泊松分布的应用面是十分广泛的广泛的.3、泊松分布(Possion分布)第1.3节 随机变量及3、泊松分布、泊松分布(Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率分布为的概率分布为则称则称X服从参数为服从参数为的的 Possion分布分布,记为记为XP().X 表示一定时间段或一定空间区域或其它特定单位表示一定时间段或一定空间区域或其它特定单位内某一事件出现的次数。内某一事件出现的次数。3、泊松分布(Possion分布)第1.3节 随机变量及解：由题意，每解：由题意，每60分钟接到电话的平均次数是分钟接到电话的平均次数是42次，次，那么那么10分钟内接到电话的平均次数应为分钟内接到电话的平均次数应为次次定义随机变量定义随机变量可使用可使用中的统计函数中的统计函数 计算泊松分布计算泊松分布的概率，的概率，计算二项分布的概率。计算二项分布的概率。例例1.3.5 假定某航空公司预定票处平均每小时接到假定某航空公司预定票处平均每小时接到42次订票电话，那么次订票电话，那么10分钟内恰好接到分钟内恰好接到6次电话的概率是次电话的概率是多少？多少？解：由题意，每60分钟接到电话的平均次数是42次，那么10分例例1.3.6 一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊的泊松分布，试求此铸件上至多有一个砂眼（合格品）的松分布，试求此铸件上至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率个砂眼（不合格品）的概率.返回返回例1.3.6 一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的3、泊松分布、泊松分布(Possion分布分布)第第1.31.3节节 随机变量及其分布随机变量及其分布一般地一般地,对成功率为对成功率为p 的的 n 重重Bernoulli实验实验,只要只要n 比较比较大大,p 较小较小,(n 20,p0.05),有有二项分布的近似计算二项分布的近似计算3、泊松分布(Possion分布)第1.3节 随机变量及例例3.1.7.枪击飞机枪击飞机,每次命中目标的概率为每次命中目标的概率为0.001,连续射连续射击击5000次次,求击中求击中2弹或弹或2弹以上的概率弹以上的概率.解解:设命中次数为设命中次数为X,XB(5000,0.001),n 较较大大,p 较小较小,应用应用Possion定理定理,=np=5,所求为所求为P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)由由Excel可得可得:P(X=0)0.0067,P(X=1)0.0337所以所以,P(X2)1-0.0067-0.0337=0.9596例3.1.7.枪击飞机,每次命中目标的概率为0.001,例例1.3.8 有有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险保险公司的一项人寿保险.每个投保人在每年初需交纳每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险公司获得从保险公司获得100000元的赔偿费元的赔偿费.据生命表知这类人的据生命表知这类人的年死亡率为年死亡率为0.001.试求保险公司在这项业务上亏本的概试求保险公司在这项业务上亏本的概率和至少获利率和至少获利500000元的概率元的概率.解解:返回返回例1.3.8 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加练习练习 一接待中心有一接待中心有A、B、C、D 四部电话，已知某一四部电话，已知某一时刻电话时刻电话 A、B 占线的概率均为占线的概率均为 0.5，电话，电话 C、D 占线占线的概率均为的概率均为 0.4，各部电话是否占线是相互之间没有影，各部电话是否占线是相互之间没有影响响.假设该时刻有假设该时刻有 X 部电话占线，试求部电话占线，试求 X 的概率分布的概率分布.0.0440.230.3720.310.090练习 一接待中心有A、B、C、D 四部电话，已知某一时刻电