特征值和特征向量课件

特征值和特征向量特征值和特征向量5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.2 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义内积的运算性质内积的运算性质定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质解解单位向量单位向量夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若若一非零一非零向量组中的向量两两正交，则称该向向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.向量空间的正交基向量空间的正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如例如 同理可知同理可知（1）正交化正交化，取，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法（2）单位化单位化，取，取例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例解解再把再把它们单位化，取它们单位化，取几何解释几何解释例例解解把把基础解系正交化，即合所求亦即取基础解系正交化，即合所求亦即取求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题解答5.2 特征值和特征向量特征值和特征向量说明说明一、特征值与特征向量的概念解解例例1 1 例例 解解例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为：得基础解系为：例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结思考题思考题解答将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化将线性无关向量组正交化解解一一先正交化，再单位化先正交化，再单位化