高等数学(下册)课件

高 等 数 学“十三五”普通高等教育规划教材GAODENGSHUXUE高等数学“十三五”普通高等教育规划教材 GAODENG1向量代数与空间解析几何6.空间直角坐标系6.向量的概念及线性运算6.向量的数量积与向量积6.曲面方程与空间曲线方程6.平面方程与空间直线方程6.常见的二次曲面06向量代数与空间解析几何6.空间直角坐标系062一、空间直角坐标系在空间中取定一点O，过点O作三条两两相互垂直的数轴Ox、Oy、Oz，给它们取相同的长度单位，则称点O为坐标原点，分别称三条数轴为x轴（或横轴）、y轴（或纵轴）、z轴（或竖轴）各坐标轴的正向按右手系法则确定，即右手展开四指所指方向为Ox轴的正方向，四指与掌心成角时的方向为Oy轴的正方向，这时大拇指的指向就是Oz轴的正方向（图-），这样就建立了空间直角坐标系，常记这个坐标系为Oxyz一、空间直角坐标系在空间中取定一点O，过点O作三条两两相互垂3三个坐标平面将空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限，这八个卦限用下述方法规定其顺序，如图-所示第一卦限x，y，z；第二卦限x，y，z；第三卦限x，y，z；第四卦限x，y，z；第五卦限x，y，z；第六卦限x，y，z；第七卦限x，y，z；第八卦限x，y，z三个坐标平面将空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限，这八个4二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),为空间中两点，如图-所示，过M1M2点分别作垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1M2为体对角线的长方体，其长、宽、高分别为因此，有即二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,5例例1 1 在空间直角坐标系Oxyx中，若点P（x，y，x）的坐标满足xyx0，则点P可能在哪几个卦限内？解 由已知条件xyx0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反.（3）当=0时，a=0（零向量）第二节 向量的概念及线性运算向量的加法满足：2.向量的减法9三、向量的代数表示1.1.向量的坐标表示向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，设任一点M（x，y，z），则起点在原点O、终点在点M的向量a=OM，称为点M的向径（图6-10）.由向量的线性运算中数与向量的乘法运算，有OA=xi,OB=yj,OC=zk,由向量加法的三角形法则，有OM=ON+NM=(OA+AN)+NM =xi+yi+zk,即a=OM=xi+yj+zk由以上叙述可知，有序数组（x，y，x）与向量a之间存在一一对应关系，故可用它来表示向量a，记作a=OM=（x，y，z）上式称为向量a的坐标表示式，数x，y，x称为向量a的坐标.第二节 向量的概念及线性运算三、向量的代数表示1.向量的坐102.2.向量向量M M1 1M M2 2的坐标表示的坐标表示 在空间直角坐标系中，设两点M1（x1，y1，z1），M2（x2，y1，z2），则对于以M1为起点，以M2为终点的向量M1M2（图6-11），有M1M2=OM2-OM1 =(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，则向量M1M2的坐标表达式为M1M2=(x2-x1，y2-y1，z2-z1）.3.3.向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示 利用向量的坐标表示，可以将向量的线性运算转化为坐标间的代数运算.设向量a=（x1，y1，z1），b=（x2,y2,z2），则有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）；（2）a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）；（3）a=（x1，y1，z1）.（为实数）第二节 向量的概念及线性运算2.向量M1M2的坐标表示M1114.4.向量的模及方向余弦的坐标表示向量的模及方向余弦的坐标表示（1）向量的模 在空间直角坐标系中，设点M(ax，ay，az)，以原点O为起点，以M为终点的向径OM为向量a，由空间两点间的距离公式，可知向量a=(ax，ay，az)的模，即为 （2）向量的方向角及方向余弦 向量a=（ax，ay，az）的方向可以用a与x轴、y轴、z轴的正方向的夹角来确定，如图6-12所示.定义 非零向量a与Ox轴、Oy轴、Ox轴正向的夹角称为向量a的方向角，分别记作,（其中，0a，0，0），则方向角的余弦cos a，cos，cos称为非零向量a的方向余弦.第二节 向量的概念及线性运算4.向量的模及方向余弦的坐标表12一、两向量的数量积1.1.数量积的定义及性质数量积的定义及性质 定义：设两个向量a、b，其夹角为（a，b），则称数|a|b|cos（a，b）为向量a与b的数量积（或点积），记作ab，即ab=|a|b|cos(a,b)(0(a,b).性质：两个非零向量a与b垂直（记作ab）的充要条件是ab=0.不难证明，数量积满足以下运算规律：（1）交换律：ab=ba；（2）结合律：（a）b=a（b）=（ab），其中为实数；（3）分配律：a（b+c）=ab+ac.第三节 向量的数量积与向量积一、两向量的数量积1.数量积的132.2.数量积的坐标表示数量积的坐标表示 设向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则有 ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx(ii)+axby(ij)+axbz(ik)+aybx(ji)+ayby(jj)+aybz(jk)+azbx(ki)+azby(kj)+azbz(kk)于是可得 ab=axbcx+ayby+azbz.上述公式称为数量积的坐标表示式.由此可知，两个非零向量a与b垂直的充要条件是特别地，当a=b时，有由数量积的坐标表示式还可得到两个非零向量a与b的夹角余弦的坐标表示式第三节 向量的数量积与向量积2.数量积的坐标表示于是可得 143.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 如图6-14所示，PR=b，PQ=a，RPQ=，S是点R在直线PQ上的垂足，那么PS就称为向量b在向量a上的投影向量，记作projab.数值|b|cos 称为b在a上的投影，记作compab.当0 0；当 0 x时，projab与a反向，compab0；当 =时，即ba，projab=0，compab=0.由于ab=abcos =a（bcos ）=acompab，所以，a与b的数量积又可解释为b在向量a上的投影与a的模的乘积.又因为所以b在向量a上的投影可由b与a方向上的单位向量作数量积而得.第三节 向量的数量积与向量积3.向量在轴上的投影当0 15二、两向量的向量积1.1.向量积的定义及性质向量积的定义及性质 定义：已知向量a与b，若向量c按下列方式给出：的正方向按右手系法则确定，即当右手的四指从a的正向转向b的正向时，大拇指所指方向即是c的正方向，则向量c称为向量a与b的向量积（或叉积，或外积），记作ab，即c=ab.2.2.向量积的坐标表示向量积的坐标表示 设向量a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则有 ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx(ii)+axby(ij)+axbz(ik)+aybx(ji)+ayby(jj)+aybz(jk)+azbx(ki)+azby(kj)+azbz(kk),所以 ab=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,上式称为向量积的坐标表示式.第三节 向量的数量积与向量积二、两向量的向量积1.向量积的16一、曲面方程1.1.曲面方程曲面方程 定义：如果曲面S与三元方程F（x，y，z）=0有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程，（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，则称方程F（x，y，x）=0是曲面S的方程，而曲面S就是方程F（x，y，z）=0的图象.由上述定义可知，作为点的几何轨迹的曲面S可以用其上的点（x，y，x）的坐标间的方程F（x，y，x）=0来表示.反过来，三个变量x，y，x之间的方程F（x，y，x）=0表示点（x，y，x）的轨迹所形成的曲面S.由此，方程F（x，y，2）=0与空间曲面S建立了对应关系.空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：（1）已知曲面S作为点M（x，y，x）的几何轨迹，建立该曲面的方程F（x，y，x）=0；（2）已知关于x，y，x的方程F（x，y，x）=0，研究该方程所表示的曲面S的几何特征.第四节 曲面方程与空间曲线方程一、曲面方程1.曲面方程172.2.母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程在xOy坐标平面上，方程F（x，y）=0表示一条曲线C.在空间直角坐标系中，方程F（x，y）=0表示一个曲面.在曲线C上任取一点M0（x，y，0），过该点作平行于Oz轴的直线L，在该直线上任取一点M（x，y，z），则点M的坐标必定满足方程F（x，y）=0，可知过点M0且与Ox轴平行的直线L落在曲面F（x，y）=0上.由于M0的任意性，可理解为由平行于Oz轴的直线L沿曲线C移动，所得到的曲面上的点必满足方程F（x，y）=0.具有这种特性的曲面称之为柱面.相应的平面曲线C称为柱面的准线，平行于Oz轴移动的直线L称为柱面的母线.3.3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面以坐标轴为旋转轴的旋转曲面平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的旋转轴.若给定yOz平面上的一条曲线C：将C绕Oz轴旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，称Oe轴为旋转曲面的旋转轴（图6-18）.第四节 曲面方程与空间曲线方程2.母线平行于坐标轴的柱面方18二、空间曲线方程1.1.曲线的一般式方程曲线的一般式方程 一般地，空间两曲面相交，它们的交线为一条曲线.设F1（x，y，z）=0和F2（x，y，x）=0 为空间两曲面的方程，若它们的交线为曲线C，则C上任一点的坐标必定满足这两个曲面的方程.反之，坐标同时满足这两个曲面的方程的点也必定在它们的交线C上因此空间曲线的方程为此方程称为曲线的一般式方程.2.2.曲线的参数方程曲线的参数方程 在平面中，常用参数方程x=x(t),y=y(t)表示一条平面曲线.同理，也可以用参数方程表示一条空间曲线.一般地，空间曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t).其中变量t称为参数.第四节 曲面方程与空间曲线方程二、空间曲线方程1.曲线的一193.3.空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程 设空间曲线C的方程为 过曲线C上的每一点作xOy面的垂线，这些垂线在xOy面上的垂足所形成的曲线就是曲线C在xOy平面上的投影.而过曲线C上的每一点作xOy面的垂线就相当于作一个母线平行于Oz轴的柱面，使曲线C位于该柱面上，此柱面称为投影柱面，则这个投影柱面与xOy平面的交线就是曲线C在xOy平面上的投影.第四节 曲面方程与空间曲线方程3.空间曲线在坐标平面上的投20一、平面方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程 设非零向量n垂直于平面，则称n为平面的法向量.显然，平面的法向量有无数个且相互平行.设平面过点M0（x0，y0，z0），n=（A，B，C）为其法向量，下面利用向量运算建立平面的方程.设M（x，y，z）是平面上的任意一点，则M0M在平面上，由于n，所以，有nM0M，则nM0M=0,而 M0M=（x-x0，y-y0，z-z0），因此 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(1)由于平面上任一点的坐标都满足方程（1），而不在平面上的点的坐标都不满足方程（1），因此，方程（1）就是过点M0（x0，y0，z0）且法向量为n=（A，B，C）的平面的点法式方程.第五节 平面方程与空间直线方程一、平面方程1.平面的点法式212.2.平面的一般式方程平面的一般式方程将平面的点法式方程（1）展开，得Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,令D=-Ax0-By0-Cz0，则有 Ax+By+Cz+D=0（A，B，C不全为零）.(3)设（x0，y0，z0）为方程（3）的一组解，则有 Ax0+By0+Cz0+D=0,(4)方程（3）减去方程（4）得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(5)这正是过点（x0，y0，z0）且以n=（A，B，C）为法向量的平面方程.而式（5）与式（3）同解，所以，式（3）代表一平面方程，其中n=（A，B，C）为平面的法向量.式（3）称为平面的一般式方程.第五节 平面方程与空间直线方程2.平面的一般式方程223.3.两平面的位置关系两平面的位置关系 为了描述平面之间的位置关系，先引入两平面夹角的定义.两平面的法向量之间的夹角称为这两个平面间的夹角.设两平面1、2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.它们的法向量分别为n1=（A1，B1，C1），n2=（A2，B2，C2）.设这两个平面的法向量的夹角，即两平面的夹角为（090），则两平面夹角的余弦为即 为两平面夹角的余弦公式.第五节 平面方程与空间直线方程3.两平面的位置关系即 234.4.点到平面的距离点到平面的距离已知点M0（x0，y0，z0），平面：Ax+By+Cz+D=0，现推寻点M0到平面的距离公式.设点M（x，y，z）是平面上的任意一点，则 Ax+By+Cz=-D.若点M0不在平面上，过点M0作平面的垂线，记垂足为N，则M0到平面的距离d等于向量M0M在法线n上的投影的绝对值，即d=compnM0M.即 为点到平面的距离公式.因而 d=compnM0M=第五节 平面方程与空间直线方程4.点到平面的距离即 24二、空间的直线方程1.1.直线的点向式方程直线的点向式方程 若非零向量s与直线L平行，则称s为直线L的方向向量.显然，一条直线的方向向量有无数个且相互平行.直线上的任一向量都平行于该直线的方向向量.已知直线上一点以及直线的方向向量能确定直线方程.设直线L过点M0（x0，y0，z0），非零向量s=（m，n，p）是直线L的一个方向向量，现推导直线L的方程.设M（x，y，z）是直线L上的任意一点.由于向量M0M=（x-x0，y-y0，z-z0）在直线L上，因此M0Ms，即有上式称为直线的点向式方程，或称为标准式方程，或称为对称式方程.m，n，p称为方向数.第五节 平面方程与空间直线方程二、空间的直线方程1.直线的252.2.直线的参数式方程直线的参数式方程对于直线的点向式方程如果令其比值为t，即则有 （2）上式（2）称为直线的参数式方程，t称为参数.3.3.直线的一般式方程直线的一般式方程空间直线还可以看作是两个不平行平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示一条直线，即用两个系数不成比例的三元一次方程构成的方程组第五节 平面方程与空间直线方程2.直线的参数式方程如果令其26表示一条直线，称上式（3）为直线的一般式方程.（3）4.4.两直线的位置关系两直线的位置关系设两直线的方程为则它们的方向向量分别为s1=（m1，n1，p1），s2=（m2，n2，p2）.由两直线的方向向量的夹角余弦公式可知，这两直线的夹角（090）满足第五节 平面方程与空间直线方程表示一条直线，称上式（3）为275.5.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系已知直线L与平面，其方程分别为过直线L作一个与平面垂直的平面1，则称山与I的交线L是直线L在平面上的投影线.直线L与它在的投影线L有两个交角，现定义（090）为直线与平面的夹角，如图6-22所示.直线L与平面的法向量n之间的夹角为 或 .设直线L的方向向量为s=（m，n，p），由于故由两向量间的夹角余弦公式，可得上述公式称为直线与平面的夹角公式第五节 平面方程与空间直线方程5.直线与平面的位置关系过直281.1.椭球面椭球面 由方程所确定的曲面称为椭球面，其中a，b，c分别为椭球面的半长轴、半中轴及半短轴.如图6-23所示.当a=b=c时，椭球面即为球面.通常对所给的曲面方程使用平行截痕法研究其曲面的几 何特征.所谓“平行截痕法”，即是用三组平行于坐标 面的平面截割所给曲面，通过所得截痕，分析曲面的几 何特征.用xOy面（x=0）来截椭球面，其截痕为xOy平面上的椭圆第六节 常见的二次曲面1.椭球面所确定的曲面称为椭球面，其292.2.单叶双曲面单叶双曲面 由方程所表示的曲面称为单叶双曲面.3.3.双叶双曲面双叶双曲面 由方程所表示的曲面称为双叶双曲面.4.4.二次锥面二次锥面 由方程所表示的曲面称为二次锥面.第六节 常见的二次曲面2.单叶双曲面所表示的曲面称为单叶双305.5.椭圆抛物面椭圆抛物面 由方程所确定的曲面称为椭圆抛物面.6.6.双曲抛物面双曲抛物面 由方程所确定的曲面称为双曲抛物面.第六节 常见的二次曲面5.椭圆抛物面所确定的曲面称为椭圆抛31多元函数微分学7.多元函数的极限与连续7.偏导数与高阶偏导数7.全微分7.复合函数与隐函数的微分法7.方向导数与梯度7.多元函数微分法在几何上的应用7.7多元函数的极值07多元函数微分学7.多元函数的极限与连续0732一、多元函数的概念1.1.多元函数的定义多元函数的定义 定义：设有三个变量x，y和x，D是xOy坐标面上的非空点集，如果对任意点（x，y）D，变量z按照一定的法则f，总有唯一确定的值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数.记作 x=f(x,y),(x,y)D.2.2.二元函数的定义域二元函数的定义域 二元函数的定义域是二维平面R2上的非空点集.三元函数的定义域是三维空间R3上的非空点集.类似地，n元函数的定义域是n维空间Rn上的非空点集.求二元函数的定义域与求一元函数定义域的方法相类似.二元函数z=f（x，y）的定义域就是使得表达式f（x，y）有意义的点的集合.对于实际问题，定义域还应当根据问题的实际意义来确定.一、多元函数的概念第一节 多元函数的极限与连续1.多元函数333.3.二元函数的几何意义二元函数的几何意义 在平面直角坐标系中，一元函数y=f（x）的图形，通常表示xOy坐标平面上的一条曲线.对于二元函数x=f（x，y），则需要在空间直角坐标系中研究它的几何意义.设函数x=f（x，y）的定义域是xOy坐标平面上的点集D，对于D内的任意一点P0（x0，y0），把所对应的函数值z0=f（.x0，y0）作为竖坐标，就得到空间直角坐标系中一个确定的点M0（x0，y0，z0）.当点P（x，y）取遍定义域D内所有的点时，对应的点M（x，y，z）的轨迹就形成了空间中的一张曲面（图7-4），这就是二元函数的几何意义.而二元函数的定义域D就是此空间曲面在xOy平面上的投影.三元或三元以上的多元函数没有直观的几何意义.第一节 多元函数的极限与连续3.二元函数的几何意义三元或三34二、二元函数的极限 定义：设二元函数z=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）D，且在P0（x0，y0）的任一去心邻域内都有使f（x，y）有定义的点.如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于满足不等式的一切点P（x，y），都有或恒成立，则称常数A为函数z=f（x，y）当xx0，yy0时的极限.记作其中二、二元函数的极限第一节 多元函数的极限与连续 定义：35三、二元函数的连续性类似于一元函数连续的定义，给出二元函数连续的定义.定义1：设函数z=f（x，y）的定义区域为D，P0（x0，y0）D，如果则称函数x=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.点P0称为x=f（x，y）的连续点.定义2：设函数z=f（x，y）的定义区域为D，且P0（x0，y0）D，P（x0+x，y0+y）D，如果则称函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.若函数z=f（x，y）在区域D上的每一点处都连续，则称x=f（x，y）在区域D上连续.二元连续函数x=f（x，y）的图形是一张曲面.三、二元函数的连续性第一节 多元函数的极限与连续类似于一元36一、偏导数的概念1.1.偏导数的定义偏导数的定义 定义：设函数x=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量zx（称为对x的偏增量），即zx=f(x0+x,y0)-f(x0,y0),它是平面y=y0上的一条曲线z=f（x，y0）.根据导数的几何意义，可知偏导数fx（x0，y0）就是曲线x=f（x，y0）在点M0（x0，y0，f（x0，y0）处的切线Tx关于Ox轴的斜率（图7-10）.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 几何上，二元函数z=f（x，y）的图形表示空间的一张曲面.当y=y0时，曲面z=f（x，y）与平面y=y0的交线方程为一、偏导数的概念第二节 偏导数与高阶偏导数1.偏导数的定义37二、偏导数的计算方法 从多元函数的偏导数的定义可知，多元函数对某一变量求偏导数时，其余变量均视为常量，所以多元函数求偏导数，实际上可视为一元函数求导数.这样，一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.例如，求二元函数z=f（x，y）的偏导数 ，可以将y看作常数，只需z对x求导数；求偏导数 时，可以将x看作常数，只需z对y求导数.因此利用一元函数的求导法则和公式求多元函数的偏导数即可.二、偏导数的计算方法第二节 偏导数与高阶偏导数 从多38三、高阶偏导数 设函数x=f（x，y）在区域D上有偏导数 一般地说，fx（x，y），fy（x，y）仍为x，y的函数.若这两个偏导数fx（x，y），fy（x，y）的偏导数仍然存在，则称fx（x，y），fy（x，y）的偏导数为函数z=f（x，y）的二阶偏导数.类似地，可以定义更高阶的偏导数，例如，对x的三阶偏导数是 对x的二阶偏导数，再对y求偏导数是 同样可得四阶、五阶乃至n阶偏导数.一个多元函数的（n-1）阶偏导数的偏导数称为原来函数的n阶偏导数.三、高阶偏导数第二节 偏导数与高阶偏导数 设函数x=39一、全微分的概念 定义:设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，若函数的全增量可表示为其中，A，B与x，y无关，当 0时，o（）是比 高阶的无穷小，则称Ax+By为z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全微分，记作 ，即并称函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微.一、全微分的概念第三节 全微分 定义:设函数z=f（40二、全微分存在的必要条件和充分条件 定理定理1 1（全微分存在的必要条件）（全微分存在的必要条件）:若函数z=f（x，y）在点（.x0，y0）处可微，则它在点（x0，y0）处必连续，且两个偏导数fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，并有 定理定理2 2（全微分存在的充分条件）（全微分存在的充分条件）:若函数z=f（x，y）在点（x，y）处的偏导数fx（x，y），fy（x，y）存在且连续，则z=f（x，y）在点（x，y）处可微.二、全微分存在的必要条件和充分条件第三节 全微分 定41三、全微分在近似计算中的应用设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则函数在该点的全增量可以表示为其中 由全微分的定义知，当 0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全增量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，因此，当|x|和|y|都很小时，有如下的近似计算公式：或写为利用上述公式，可以计算函数f（x，y）在点（x0，y0）处的全增量z和点（x0，y0）附近的函数值 f（x0+x，y0+y）的近似值.三、全微分在近似计算中的应用第三节 全微分设函数z=f（x42一、复合函数微分法 1.1.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 定理定理：若函数u=（x，y），v=（x，y）在点（x，y）处有偏导数，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处有连续偏导数，则复合函数z=f（x，y），（x，y）在点（x，y）处的偏导数 存在，且有 2.2.全微分形式不变性全微分形式不变性 我们已经知道，一元函数有微分形式不变性.类似地，多元函数也有微分形式不变性，即对于函数z=f（u，v），无论u，v是自变量，或是中间变量，它的微分形式都是一样的，亦即 这一性质称为全微分形式不变性.一、复合函数微分法第四节 复合函数与隐函数的微分法 43二、隐函数微分法 1.1.由二元方程由二元方程F F（x x，y y）=0=0所确定的一元隐函数所确定的一元隐函数y=fy=f（x x）的求导公式）的求导公式 设隐函数关系y=f（x）由二元方程F（x，y）=0确定，那么，必然有Fx,f(x)=0.其左端可以看作是x的一个复合函数，若F（x，y）有连续偏导数，等式两端对x求全导数，有 2.2.由三元方程由三元方程F F（x x，y y，z z）=0=0所确定的二元隐函数所确定的二元隐函数z z=f=f（x x，y y）的求导公式）的求导公式 与一元隐函数的概念类似，把由三元方程F（x，y，x）=0所确定的隐函数z=f（x，y）称为二元隐函数.由方程F（x，y，x）=0可以直接求出所确定隐函数z=f（x，y）的偏导数.二、隐函数微分法第四节 复合函数与隐函数的微分法 144一、方向导数 定义定义：设函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某一邻域内有定义，自点P引一条射线l，它与Ox轴正向的夹角为a，与Oy轴正向的夹角为（图7-19），在射线l上任取一点P（x+x，y+y），则P与P之间的距离为 定理定理:如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微，则函数在该点沿任一方向l的向导数存在，且其中，cos，cos是l方向的方向余弦.一、方向导数第五节 方向导数与梯度 定义：设函数z=45二、梯度 定义定义：定义设函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某一邻域内有连续偏导数 ，则称向量 为函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的梯度，记作gradgradz，即梯度的概念可以推广到三元函数.设函数u=f（x，y，z）在点P（x，y，z）处可微，称向量 为函数u=f（x，y，z）的梯度，记作gradgrad u，即 与二元函数的梯度类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与方向导数取得最大值的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.二、梯度第五节 方向导数与梯度 定义：定义设函数z=46一、空间曲线的切线与法平面 利用多元函数的微分法，可以求出空间曲线上任一点M处的切线方程与法平面方程.设空间曲线L由参数方程给出 假设x（t），y（t），z（t）都可导，且导数不同时为零.当参数t=t0时，对应于曲线L上的点M0（x0，y0，z0），当参数t=t0+t时，对应于曲线L上的点M（x0+x，y0+y，z0+z）.由空间解析几何可知，割线M0M的方程为 曲线L在点M0处的法平面方程为一、空间曲线的切线与法平面第六节 多元函数微分法在几何上的47二、空间曲面的切平面与法线 1.1.空间曲面空间曲面S S由方程由方程F F（x x，y y，z z）=0=0给出给出 设曲面S上的点M0（x0，y0，z0），且在点M0处有不同时为零的连续偏导数.任取曲面S上一条过点M0（x0，y0，z0）的曲线L（图7-21），设曲线L的参数方程为二、空间曲面的切平面与法线第六节 多元函数微分法在几何上的48 2.2.空间曲面空间曲面S S由显函数由显函数z z=f=f（x x，y y）给出）给出 如果空间曲面S由函数z=f（x，y）给出，令则有于是，当函数f（x，y）在点（x0，y0）处有连续偏导数时，曲面S在点M0（x0，y0，z0）处的切平面方程为 fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0.即 z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).曲面S在点M0（x0，y0，z0）处的法线方程为在点M0处的法线向量为n=（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1）.第六节 多元函数微分法在几何上的应用 2.空间曲面S49一、多元函数的极值 定义定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义.如果对于该邻域内任一异于P0的点P（x，y），恒有如下不等式成立：f（x，y）f（x0，y0）（或f（x，y）f（x0，y0），则称函数x=f（x，y）在点P0（x0，y0）处取得极大值（或极小值）f（x0，y0），并称点P0（x0，y0）为函数f（x，y）的极大值点（或极小值点）.函数的极大值和极小值统称为极值，函数的极大值点、极小值点统称为极值点.定理（极值存在的必要条件）定理（极值存在的必要条件）:设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，且在点P0（x0，y0）处的偏导数存在，则必有 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.定理（极值存在的充分条件）定理（极值存在的充分条件）:设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内具有连续的一阶、二阶偏导数，且点（x0，y0）是函数f（x，y）的驻点，即fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0.记A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），则一、多元函数的极值第七节 多元函数的极值 定义：设函50（1）当B2-AC0时，函数具有极值fxx（x0，y0），且A0时，（x0，y0）为极小值点，f（x0，y0）为极小值.（2）当B2-AC0时，f（x0，y0）不是极值.（3）当B2-AC=0时，f（x0，y0）可能是极值，也可能不是极值，此法失效，需另行判别.第七节 多元函数的极值（1）当B2-AC0时，函数具有极51二、多元函数的最大值与最小值 由连续函数的性质知，如果函数f（x，y）在有界闭区域上连续，则它在该区域上一定能取得最大值和最小值，并且函数的最值只可能在有界区域内部的极值点处或区域的边界上取得.如果函数f（x，y）在有界闭区域D内的偏导数存在，且只有唯一驻点（x0，y0），而根据问题的实际意义可以判定函数f（x，y）在D内一定存在最大值（或最小值），那么f（x0，y0）就是实际问题所要求的最大值（或最小值）.三、条件极值 求函数z=f（x，y）在约束条件（x，y）=0下的极值的方法称为拉格朗日乘数法.具体求解步骤如下：（1）构造辅助函数（称为拉格朗日函数）F（x，y，）=f（x，y）+（x，y），其中为待定常数，称为拉格朗日系数，将原条件极值问题化为求三元函数F（x，y，）的无条件极值问题；二、多元函数的最大值与最小值第七节 多元函数的极值 52 （2）求F（x，y，）的偏导数，并建立方程组解方程组，得出可能的极值点（x，y）和；（3）判断求出的点（x，y）是否为极值点，通常可根据问题的实际意义判定.拉格朗日乘数法，对于多于两个变量的函数，或约束条件多于一个的情况也有类似的结果.例如，求函数u=f（x，y，z）在条件 (x,y,z)=0,(x,y,z)=0下的极值.构造辅助函数 F(x,y,z,1,2)=f(x,y,z)+1 (x,y,z)+2 (x,y,z)求F（x，y，z，1，2）的一阶偏导数，并令其为零，建立并求解方程组，得出驻点（x，y，z）就是可能的极值点.第七节 多元函数的极值 （2）求F（x，y，）的偏53重积分8.二重积分的概念与性质8.二重积分的计算8.三重积分08重积分8.二重积分的概念与性质0854一、两个引例 引例引例1 1（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）设函数z=f（x，y）在有界闭区域D上非负且连续，以曲面z=f（x，y）为顶、xOy平面上的区域D为底，以D的边界曲线为准线、母线平行于Oz轴的柱面为侧面的立体图形称为曲顶柱体（图8-1）.求曲顶柱体的体积.引例引例2 2（非均匀物质的平面薄板的质量）（非均匀物质的平面薄板的质量）已知一平面薄板，在xOy平面上占有区域D，其质量分布的面密度u=u（x，y）为D上的连续函数，求平面薄板D的质量.如图8-2所示.由于质量分布非均匀，求平面薄板D的质量也通过“分割，近似替代，求和，取极限”四个步骤来解决.一、两个引例第一节 二重积分的概念与性质 引例1（曲55二、二重积分的定义 定义定义：设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n个小区域i（i=1，2，n），并以i，表示第i个小区域的面积，在每个小区域i上任取一点（，），作乘积f（，）i（i=1，2，n），并作和式 定理（二重积分存在定理）定理（二重积分存在定理）在有界闭区域上的连续函数f（x，y）一定可积.三、二重积分的物理意义与几何意义1.1.二重积分的物理意义二重积分的物理意义二重积分的物理意义是非均匀密度的平面薄板的质量等于其面密度u=u（x，y）在区域D上的二重积分二、二重积分的定义第一节 二重积分的概念与性质 定义56 2.2.二重积分的几何意义二重积分的几何意义 （1）若在区域D上恒有f（x，y）0，则二重积分 表示以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积V，即 （2）若在区域D上恒有f（x，y）0，则上述曲顶柱体在xOy平面的下方，二重积分 的值是负数，用 表示以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积V，即 （3）若f（x，y）在D的某些子区域上为正，在D的另一些子区域上为负，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和.第一节 二重积分的概念与性质 2.二重积分的几何意义57性质性质1 1 有限项可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即四、二重积分的性质性质性质2 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即（k为常数）.性质性质3 3（积分区域可加性）（积分区域可加性）如果闭区域D被连续曲线分成两个闭区域D1和D2，D1和D2除边界外无公共点，则性质性质4 4 若在区域D上，f（x，y）=1，且区域D的面积为，则性质性质5 5 若在区域D上，f（x，y）g（x，y），则第一节 二重积分的概念与性质性质1 有限项可积函数代数和58性质性质6 6（估值定理）（估值定理）设M和m分别为函数f（x，y）在有界闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则性质性质7 7（二重积分的中值定理）（二重积分的中值定理）设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，是区域D的面积，则在D上至少存在一点（,），使得第一节 二重积分的概念与性质性质6（估值定理）设M和m分别59一、在直角坐标系下计算二重积分 1.D1.D为为X X形区域形区域 若积分区域D为X形区域，即D可表示为：axb，（x）y （x），其中函数 （x），（x）在闭区间a，b上连续（图8-4）.如图8-6所示，在a，b上任取一微元小区间x，x+dx，其上的立体薄片近似看作以S（x）为底，dx为高的小直柱体，就得到体积微元为一、在直角坐标系下计算二重积分第二节 二重积分的计算 60 于是所求曲顶柱体的体积为 从而得到二重积分的计算公式 2.D2.D为为Y Y形区域形区域 若积分区域D为Y形区域，即D可表示为：cyd，（y）x （y），其中函数 （y），（y）在闭区间c，d上连续（图8-7）.第二节 二重积分的计算 于是所求曲顶柱体的体积为 61 如果D是Y形区域，在c，d上任意取定一点y0，过y0作垂直于Oy轴（或平行于xOz坐标面）的平面，该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间（y0），（y0）为底，曲线z=f（x，0）为曲边的曲边梯形，其面积为 一般地，过c，d上任一点y且垂直于Oy轴（或平行于zOx坐标面）的平面截曲顶柱体所得的截面面积为 在c，d上任取一微元小区间y，y+dy，其上的立体薄片近似看作以S（y）为底，dy为高的小直柱体，就得到体积微元为 于是所求曲顶柱体的体积为 从而得到二重积分的计算公式第二节 二重积分的计算 如果D是Y形区域，在c，d62二、在极坐标系下计算二重积分 1.1.极坐标系下二重积分的表达式极坐标系下二重积分的表达式 设二元函数f（x，y）在区域D上可积，若用极坐标来描述区域D，假定从极点O出发穿过区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点，用以极点为中心的一族同心圆和以极点为顶点的一族射线把区域D分成n个小区域（图8-16）.若第i个小区域i；是由r=ri，r=ri+ri，=i与=i+i所围成，由扇形面积公式可得忽略高阶无穷小 有 设是半径为r和r+dr的两圆弧与极角为和+d的两条射线所围成的小区域，则的面积可近似看作边长为r和r的小矩形域的面积，即 .因此，在极坐标系下的面积微元为 于是就可把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分二、在极坐标系下计算二重积分第二节 二重积分的计算 63 2.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，应注意以下问题：（1）将面积元素d=dxdy换为d=rdrd；（2）将x=rcos，y=rsin代入被积函数，即f（x，y）=f（rcos，rsin）；（3）将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式；（4）将极坐标系下的二重积分化为二次积分，一般情况下，先对r积分，后对积分，要根据积分区域的类型确定相应的积分限.三、二重积分的应用 1.求平面图形的面积求平面图形的面积 由二重积分的性质可知，当f（x，y）=1时，二重积分 表示平面区域D的面积，因此可以利用二重积分计算平面图形的面积.第二节 二重积分的计算 2.极坐标系下二重积分的计算64 2.求空间几何体的体积求空间几何体的体积 由二重积分的几何意义可知，当f（x，y）0时，二重积分 表示以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积V.因此可以利用二重积分求空间封闭曲面所围成的有界区域的体积.3.求空间曲面的面积求空间曲面的面积 设空间曲面S的方程为z=f(x,y),(x,y)Dxy,S在xOy平面上的投影区域为Dxy，并设f（x，y）在Dxy上有连续偏导数.首先，将区域Dxy任意分成n个小区域i（i=1，2，n），以每个i的边界线为准线，作母线平行于Oz轴的柱面，这些柱面把曲面S分成相应的n小块si.在si上任取一点（xi，yi，zi）.设曲面S在该点的切平面被相应的小柱面所截得的截面为Ai，则可用平面块A，的面积近似代替曲面块si的面积（图8-27）.因为第二节 二重积分的计算 2.求空间几何体的体积 65 其中 是曲面S在点（xi，yi，zi）处的法向量与Oz轴所成的夹角（取锐角），又曲面z=f（x，y）在点（xi，yi，zi）的法线向量为n=（-fx（xi，yi），-f，（xi，yi），1），所以于是因此曲面的面积元素为故曲面的面积A可以表示为第二节 二重积分的计算 其中 是曲面S在点（xi66 设平面D上有n个质点m1，m2，mn（其中mi表示第i个质点的质量），并设mi的坐标为（xi，yi）（i=1，2，n）.设它的质心为（，），则有故 4.求平面薄板的质量与质心求平面薄板的质量与质心 由二重积分的物理意义可知，若平面薄板D的面密度为 =（x，y），则D的质量为第二节 二重积分的计算 设平面D上有n个质点m1，m67一、三重积分的概念与性质 1.1.引例引例 设在空间直角坐标系中，一空间立体在点（x，y，x）处的密度为（x，y，z），这里的（x，y，z）非负且连续.为计算的质量，像引入定积分的定义那样，可分“分割、近似替代、求和、取极限”四个步骤来解决这个问题.2.2.三重积分的定义三重积分的定义 定义:设三元函数f（x，y，z）在空间有界闭区域上有定义且有界，将分割成至多只有公共界面的n个空间子区域v1，v2，vn，若在每一个子区域中任取一点（xi，yi，zi）（i=1，2，n），作积分和式一、三重积分的概念与性质第三节 三重积分 1.引例 68 3.3.三重积分的性质三重积分的性质 根据三重积分的定义，容易推出三重积分的一系列性质.最常用的有以下几点：设f（x，y，z），g（x，y，z）在空间有界闭区域上可积，则有 （3）（积分区域可加性）若f（x，y，z）在空间有界闭区域1，2上可积，且1与2除边界之外没有公共部分，则f（x，y，z）在=1U2上也可积，且有 （4）当f（x，y，z）=1时，则有 ，其中V是的体积.（5）若f（x，y，x）在空间有界闭区域上可积，且f（x，y，z）0，则第三节 三重积分 3.三重积分的性质 （3）（积69二、直角坐标系下计算三重积分 1.1.将三重积分化为先重后单的计算公式将三重积分化为先重后单的计算公式 设f（x，y，x）0，空间有界闭区域的边界面与穿越内且平行于坐标轴的直线至多有两个交点（当不能满足后一条件时，常将分成若干个符合条件的区域之和，利用积分区域可加性进行处理），函数f（x，y，z）在空间有界闭区域上可积.2.2.将三重积分化为先单后重的计算公式将三重积分化为先单后重的计算公式 设空间区域的边界曲面与平行于Ox轴的直线至多有两个交点，在xOy坐标面上的投影区域为D，过D内任意一点（x，y，0），作平行于Ox轴的直线与相交，可得到一个介于内的直线段.设其满足 z1(x,y)zz2(x,y),则此直线段的质量为 若将D内每一点都作出平行于Oz轴且介于内的直线段，并无限累加，得二、直角坐标系下计算三重积分第三节 三重积分 1.将70 3.3.将三重积分化为三次积分的计算将三重积分化为三次积分的计算 若选定先对z积分，可以先用平行于Oz轴的直线沿Oz轴的正方向穿越空间区域，入口曲面为z=z1（x，y），出口曲面为z=z2（x，y），则z1(x,y)zz2(x,y).再对y积分，将区域投影到xOy坐标面.设投影域为D，用平行于Oy轴的直线且沿Oy轴正方向穿越D，若入口曲线为y=y1（x），出口曲线为y=y2（x），则y1(x)yy2(x).最后对x积分，将D投影到Ox轴上，若投影区间为a，b，则axb.这样可得三重积分化为三次积分的积分公式第三节 三重积分 3.将三重积分化为三次积分的计算71三、利用柱面坐标计算三重积分 设点M（x，y，z）为空间一点，且点M在xOy坐标面上的投影为M1，点M1的极坐标为（r，），则点M对应三维有序数组（r，z），（r，z）称为点M的柱面坐标.这表示利用以Oz轴为轴的圆柱面r=常数，以过Oz轴的半平面=常数和平行于xOy坐标面的平面z=常数来确定空间中的一点.这种表示空间点的位置的方法称为柱面坐标系.如图8-32所示.点M的直角坐标（x，y，z）与柱面坐标（r，z）的关系为 要把三重积分 化为柱面坐标下的三重积分，关键在于体积元素如何表达.为此，我们用三组坐标面：r=常数（一组以Oz轴为轴的圆柱面）；=常数（一组过Oz轴的半平面）；z=常数（一组平行于xOy坐标面的平面）.三、利用柱面坐标计算三重积分第三节 三重积分 设点72 把区域分割成n个子区域，则每一个小体积微元可以近似地看作长为dr，宽为rd，高为dz的长方体，因此体积微元dv=rdrddz，如图8-33所示.如果f（x，y，z）在空间有界闭区域上连续，则有第三节 三重积分 把区域分割成n个子区域，则每一73四、利用球面坐标计算三重积分 设点M（x，y，z）为空间一点，点M的位置也可用三维有序数组（r，）来确定，其中，OM=r，OM与Oz轴的正方向的夹角为 ，自OA按逆时针方向到OP所成的角为，称（r，）为球面坐标，这种表示空间点的位置的方法称为球面坐标系.如图8-35所示.可规定r，的变化范围为0r+,0 ,02.点M的直角坐标（x，y，z）与球面坐标（r，）的关系为四、利用球面坐标计算三重积分第三节 三重积分 设点M74五、三重积分的应用 1.1.求空间几何体的体积求空间几何体的体积 根据三重积分的性质，有 ，其中V是的体积，所以可以利用三重积分求空间立体的体积.2.2.求空间物体的质量和质心求空间物体的质量和质心 由三重积分的物理意义可知，非均匀密度的空间物体的质量m等于其密度函数（x，y，z）在区域上的三重积分，即 3.3.求转动惯量求转动惯量 由力学知识可知，质点系m1，m2，mn，对于轴L的转动惯量为 ，其中ri是第i个质点mi到轴L的距离.五、三重积分的应用第三节 三重积分 1.求空间几何体75曲线积分与曲面积分9.曲线积分9.格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件9.曲面积分09曲线积分与曲面积分9.曲线积分0976一、对弧长的曲线积分 1.1.对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念 定义：设f（x，y）是定义在分段光滑曲线弧L（即AB）上的有界函数，用分点A=M0，M1，M2，Mn=B，将AB任意分割成n个子弧段Mi-1Mi（i=1，2，n），并记其长为si.在每个子弧段Mi-1M；上任取一点（，），作积分和式 2.2.对孤长的曲线积分的性质对孤长的曲线积分的性质 假定下列所讨论的对弧长的曲线积分总是存在的，与定积分的性质相类似，也有以下常用性质.（1），即对弧长的曲线积分与积分路径的方向无关。从物理上可以解释为曲线弧AB的质量与曲线弧BA的质量相等.（2）曲线弧AC由AB和BC两段光滑曲线弧组成，则 从物理上可以解释为整个弧段上的质量等于各分段弧的质量之和.第一节 曲面方程与空间曲线方程一、对弧长的曲线积分 77 （3）（4）（k为常数）.（5）（中值定理）设函数f（x，y）在光滑曲线弧AB上连续，s是AB的长度，则在AB上至少存在一点（，），使得 3.3.对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法 对弧长的曲线积分在一定条件下，可以转化为定积分的计算.根据微分法的思想，当小曲线弧长si很小时，可以用这段弧的弦长近似代替弧Mi-1Mi的长度si.第一节 曲面方程与空间曲线方程 （3）（4）78二、对坐标的曲线积分 1.1.对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念 定义：设L为xOy平面上从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P（x，y），Q（x，y）在L上有界，在曲线弧L上沿L的方向用分点A=M0，M1，M，Mn=B，将AB任意分割成n个子弧段Mi-1M（i=1，2.，n），并记xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1.在Mi-1M上任意取定一点（，），作积分和式当各子弧段长度的最大者0时，若极限总存在，且此极限与曲线弧AB的分法无关，也与每一个子弧段Mi-1Mi上点（，）的取法无关，则称此极限值为函数P（x，y）在有向弧段L上对坐标x的积分，记作 或 ，即第一节 曲面方程与空间曲线方程二、对坐标的曲线积分 79 2.2.对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 假定下列所讨论的对坐标的曲线积分总是存在的，由定义可以导出以下常用的性质.其物理意义可以解释为：合力所做的功等于每个分力所做的功之和.（2）曲线弧ABC由AB和BC两段光滑曲线弧组成，则 其物理意义可以解释为：力F对质点在某弧段上所做的功等于在各子弧段上所做的功之和.（3）其物理意义可以解释为：在力F的作用下，质点沿AB弧由点A到点B所做的功为I，则在力F的作用下，质点沿BA弧由点B到点A所做的功为-I.第一节 曲面方程与空间曲线方程 2.对坐标的曲线积分80 3.3.对坐标的曲线积分的计算方法对坐标的曲线积分的计算方法 （1）将对坐标的曲线积分化为对参数t的定积分的计算公式.（2）将对坐标的曲线积分化为对x的定积分的计算公式.（3）将对坐标的曲线积分化为对y的定积分的计算公式.第一节 曲面方程与空间曲线方程 3.对坐标的曲线积分81格林公式 定理定理1 1（格林公式）（格林公式）设闭区域D是由分段光滑曲线L围成，函数P（x，y），Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是区域D的边界曲线的正向.定理定理2 2 设区域D是一个单连通域，函数P（x，y），Q（x，y）在区域D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分 与路径无关（或沿D内任意闭曲线的曲线积分等于零）的充分必要条件是在D内恒成立.第二节 格柿公式、平面曲线积分与路径无关的条件格林公式 82 定理定理3 3 设区域D是一个单连通域，函数P（x，y），Q（x，y）在区域D上具有一阶连续偏导数，则P（x，y）dx+Q（x，y）dy在区域D内为全微分式的充分必要条件是在D内恒成立.第二节 格柿公式、平面曲线积分与路径无关的条件 定理83一、对面积的曲面积分 1.1.对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念 定义：设f（x，y，z）是定义在光滑曲面上的有界函数.将曲面任意分割成n个子区域S1，S2，Sn，并以Si（i=1，2，n）表示第i块子区域的面积.在每个子区域Si上任取一点（，），作积分