点线面(画几二)课件

3 3、两直线的相对位置、两直线的相对位置（1）平行两直线VHOXAaabbBCccddDXO性质性质1：平行两直线在同一投影面平行两直线在同一投影面上的投影仍互相平行上的投影仍互相平行反之，若两直线在同一投影面上反之，若两直线在同一投影面上的投影的投影都互相平行都互相平行，则该两直线，则该两直线平行平行证明如下证明如下：ababccdd已知已知 abcd，abcd且有投射线且有投射线Aa Cc，Aa Cc则平面则平面AaBb平面平面 CcDd 平面平面AaBb平面平面 CcdD两对平行平面的交线必然相互平行两对平行平面的交线必然相互平行即有即有 ABCD性质性质2：平行两线段之比等于其投影之比平行两线段之比等于其投影之比即：即：AB：CD=ab：cd=ab：cd=ab：cd必须指出：这条投影特性反过来不一定成立必须指出：这条投影特性反过来不一定成立XOdedefgfgYZfdge因此，在利用这条投影特性时，还必须检查两线段的倾斜方向是否相同因此，在利用这条投影特性时，还必须检查两线段的倾斜方向是否相同如果不利用第如果不利用第三投影如何判三投影如何判断断DE和和FG的的平行平行Y1VHOXAaabbBCccddDXOdedefgfg若两线段的倾斜方向是相同的，不利用第三投影，判断方法有二：若两线段的倾斜方向是相同的，不利用第三投影，判断方法有二：方法一：方法一：平行平行方法二：方法二：平行平行dedeffgg321方法二作图过程：在de上量取d1=de,然后过d任作一直线，在其上量取d2=fg、d3=fg连接1和2、e和3；若12/e3,则de:de=fg:fg所以可以判断DE/FG（2）相交两直线VHOXABCDaabbccddXOaabccdbd性质：性质：相交两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点同属于相交两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点同属于两直线两直线KkkKK反之，若两直线在同一投影面上的反之，若两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点同属于两投影均相交，且交点同属于两直线直线，则该两直线相交（请自证），则该两直线相交（请自证）（3）交叉两直线VHOXABCDaabbcddcMNm(n)GHg(h)XOaabbmddcc(n)mng(h)hg性质：性质：交叉两直线在空间既不平行又不相交交叉两直线在空间既不平行又不相交交叉两直线在同一投影面上投影的交点为对该投影面交叉两直线在同一投影面上投影的交点为对该投影面的一对重影点的投影，的一对重影点的投影，即交叉两直线必产生可见性即交叉两直线必产生可见性。4 4、直角投影定理、直角投影定理（1）垂直相交两直线的投影HABCabcXOaabbcc定理：定理：垂直相交的两直线，其中一垂直相交的两直线，其中一条直线平行于一投影面时，则两直条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角线在该投影面上的投影仍反映直角证明如下：证明如下：逆定理：逆定理：相交直线在同一投影面上相交直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线垂直行于该投影面，则空间两直线垂直可参图自证之可参图自证之AB AC,且且ABH面面AC不平行于不平行于H面面显然显然,直线直线AB平面平面AaCc又又abAB，则则ab平面平面AaCc即即abac（2）交叉垂直两直线的投影HABCabcNMmnXOaabbnmnm定理：定理：互相垂直交叉的两直线，其互相垂直交叉的两直线，其中一条直线平行于一投影面时，则中一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映两直线在该投影面上的投影仍反映直角直角证明如下：证明如下：AB MN,且且ABH面面MN不平行于不平行于H面。面。过直线过直线AB上任意一点作上任意一点作ACMN逆定理：逆定理：交叉直线在同一投影面上交叉直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线垂直行于该投影面，则空间两直线垂直可参图自证之可参图自证之则则AC AB,所以所以abac现现ACMN,acmn,故故abmn例题例题1:1:过点过点A A作直线作直线AB,AB,使平行与直线使平行与直线DE;DE;作直线作直线ACAC与直与直线线DEDE相交相交,其交点距其交点距H H面为面为2020mmmmXOeddaeabcbc2020XOanncc例题例题2:2:完成等腰直角三角形完成等腰直角三角形ABCABC的两面投影的两面投影;已知为已知为ACAC斜边斜边,定点在直线定点在直线NCNC上上abbbc=ABab例题例题3:3:在在ABAB线上求一点线上求一点C C，使点使点C C与面与面V、H等距等距baabbaccc450例题例题4:4:已知正平线已知正平线CD与直线与直线AB 相交与点相交与点K,AK 的长度的长度为为20mm.且且CD与与H 面的夹角为面的夹角为60,60,求求CD 的投影的投影XOabba2020kk6060cdcd例题例题5:5:已知线段直线已知线段直线AB 的实长为的实长为30mm，且且=45=45，=30,=30,求求AB 的投影的投影ZZabYYab=45=45=30=3030ZZZZaaYYYYbbbbbbbb八个解八个解例题例题6:6:求线段求线段的侧面的侧面投影，并对线段做出分析投影，并对线段做出分析bbaacc(d)d(e)effgghh(i)(i )eab(c)(d)fg(h)(i)例题例题7 7端点的水平投影端点的水平投影a，试完成菱形的投影图试完成菱形的投影图bdadboocca平面的投影平面的投影1 1、平面的表示法、平面的表示法（1）用几何元素表示平面XO XOXOXO XOaabbcc不属于同一不属于同一直线的三点直线的三点aabbcc一直线和不一直线和不属于该直线属于该直线的一点的一点aabbccaabbccaabbccdd两条平两条平行直线行直线两条相两条相交直线交直线任意平面图任意平面图形（如三角形（如三角形、圆等）形、圆等）（2）用迹线表示平面OVHXYZWpv pw pH OYXZY1pw pH pv 空间的平面与投影面相交，其交线称为平面的交线。如图所示：平面与V面的交线称为正面迹线（pv）平面与H面的交线称为水平迹线（pH）；平面与W面的交线称为侧面迹线（pw）。迹线在投影图上的位置形象地反映着该平面在空间对投影面的倾斜状况迹线在投影图上的位置形象地反映着该平面在空间对投影面的倾斜状况XOpH pv XOQv pH 一个平面二个平面例题例题:求平面求平面BCDEBCDE的迹线的迹线dbcebedcMBC MDE NBC NDE 2 2、平面对投影面的相对位置、平面对投影面的相对位置（1）一般位置平面VHOXYZWaabbccOYXZY1abc投影特性投影特性：1 1、与三个投影面均倾斜、与三个投影面均倾斜 2 2、三个投影具有类似性、三个投影具有类似性 3 3、迹线对平面都倾斜，、迹线对平面都倾斜，且两条迹线分别相交且两条迹线分别相交 于投影轴上的同一点于投影轴上的同一点ABCOYXZY1pw pH pv VHOXYZW（2）特殊位置平面侧垂面（侧垂面（V面）面）aabbcabABCccOYXZY1投影特性：投影特性：1 1、正面投影和水平投影具有相似性、正面投影和水平投影具有相似性 2 2、侧面投影积聚、侧面投影积聚 3 3、反映倾角、反映倾角、投影图投影图迹线表示法迹线表示法OYXZY1Sw 其余两类垂直面请自学其余两类垂直面请自学正平面正平面（V面）面）VHOXYZWOYXZY1投影图投影图DABCabbcabccaddd迹线表示法迹线表示法OYXZY1Qw QH 投影特性：投影特性：1 1、侧面投影和水平投影积聚、侧面投影和水平投影积聚 2 2、正面投影反映实形、正面投影反映实形其余两类平行面请自学其余两类平行面请自学3 3、平面上的点和直线、平面上的点和直线（1）点在平面上DABCE确定平面上的点，要取自属于该平面的已知直线确定平面上的点，要取自属于该平面的已知直线XObbccadeade点点D在平面在平面ABC的直线的直线AB上上点点E在平面在平面ABC的直线的直线BC上上（2）直线在平面上确定平面上的直线，要取自属于该平面的已知两点；或经过属于该平确定平面上的直线，要取自属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点且平行于属于该平面的一已知直线面的一已知点且平行于属于该平面的一已知直线DABCEFXOXObbadeadeccffbbaaccsees取取平面上的直线平面上的直线判断点判断点S是否属于平面是否属于平面ABC点不在平面上点不在平面上直线直线DIDI在面上！在面上！d1d1ee距距H H面面2020de=10 DEDE为所求为所求 20XOacbabc例例5 5：在已知面上作一水平线，距：在已知面上作一水平线，距H H面面2020，长度，长度1010。XOadbabd例例6 6：试完成平行四边形：试完成平行四边形ABCDABCD的投影。的投影。ccDC ABDC AB，且过面上点且过面上点D,D,DCDC在在AB AB AD AD平面上平面上BC ADBC AD，且过面上点且过面上点B,B,BCBC在在AB AB AD AD平面上平面上20201010四边形四边形ABCDABCD即为所求即为所求XOacbabckk11例例7 7：求属于求属于的点的点K K的水平投影；的水平投影；求属于求属于的距的距V V面面10,10,距距H H面面 1515的点的点L L。1015XOacbabc 15 10 ll121234例例8 8：试完成四边形试完成四边形ABCDABCD的投影。的投影。XOacbabcd11d线上找点线上找点面上画线面上画线例题例题:判明判明A A、B B、C C、D D四点是否属于同一平面四点是否属于同一平面XOddbbaacceeA A、B B、C C、D D四点不属于同一平面四点不属于同一平面（3）过点线作面A A、过点作平面过点作平面XOssssQH PH Tv Sv 过点可作铅垂面和正垂面过点可作铅垂面和正垂面XOZv WH RH Rv 过点可作平行平面过点可作平行平面B B、过一般线作平面过一般线作平面OYXZY1baababPH Sv Rw 铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面过一般线总可作垂直面过一般线总可作垂直面C C、过过特殊线作平面特殊线作平面XOXOPH Sv QH Rv WH SH QH 过铅垂线可作一个正平过铅垂线可作一个正平面、一个侧平面、并可面、一个侧平面、并可作无穷多个铅垂面作无穷多个铅垂面过正平线可作一个正平过正平线可作一个正平面、一个正垂面面、一个正垂面（4）作平面的投影面平行线VOHX1 1、投影面平行线具有平行直线的投影性质，又与所属平面保、投影面平行线具有平行直线的投影性质，又与所属平面保持从属关系持从属关系PH pv pXOaabbccdede2 2、属于一般面或垂直面的投影面平行线方向是一致的、属于一般面或垂直面的投影面平行线方向是一致的作属于平面的水作属于平面的水平线和正平线平线和正平线4、属于平面的最大斜度线、属于平面的最大斜度线1 21)1)、平面上相对投影面倾角最大的直线称为该平面的最大斜度线、平面上相对投影面倾角最大的直线称为该平面的最大斜度线2)2)、最大斜度线是属于并垂直于该平面的投影面平行线的直线、最大斜度线是属于并垂直于该平面的投影面平行线的直线pDMNEH3)3)、最大斜度线对投影面的角度最大、最大斜度线对投影面的角度最大1 1、过点作任意直、过点作任意直DS,DS,它对它对H H面的角度为面的角度为S2 2、DEDEMN,SEMN,SEMN,MN,所以所以DESE,DESE,即即dEsEdEsE则则dSdS dEdE3 3、两直角三角形有相等、两直角三角形有相等的直角边的直角边DdDd，另一对直角另一对直角边边dSdS dEdE，则则 daabbccee对水平面的最大斜度线对水平面的最大斜度线最大斜度线的几何意义可以测定平最大斜度线的几何意义可以测定平面面对投影面的倾角对投影面的倾角aabbcc平面对正面的夹角平面对正面的夹角ee