灰色系统模型课件

灰色系灰色系统模型模型 概述概述概述概述一、灰色系一、灰色系一、灰色系一、灰色系统统统统定定义义：部分信息已知，部分信息未知的系部分信息已知，部分信息未知的系部分信息已知，部分信息未知的系部分信息已知，部分信息未知的系统统统统统统统统称灰色系称灰色系称灰色系称灰色系统统统统。黑箱信息缺乏黑箱信息缺乏白箱信息充足白箱信息充足例：人体是个灰色系例：人体是个灰色系统统，人体某些外形参数：身高，体重，以及某些内部参数：血，人体某些外形参数：身高，体重，以及某些内部参数：血压压，脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温场场，人体的信息网，人体的信息网络络等等此外，社会系此外，社会系统统，经济经济系系统统，生，生态态系系统统，农业农业系系统统，商，商业业系系统统等抽象系等抽象系统统没有物理原型，又没有物理原型，又不清楚系不清楚系统统的作用机理，很的作用机理，很难难判断信息的完判断信息的完备备性，性，难难以以对对系系统统关系，关系，结结构做精确地描述人构做精确地描述人们们只能凭只能凭逻辑逻辑推理，凭某些推理，凭某些观观念意念意识识，凭某种准，凭某种准则对则对系系统统的的结结构，关系构，关系进进行行论证论证，然后再建立某，然后再建立某种模型种模型这这累抽象系累抽象系统统我我们们称称为为特征性灰色系特征性灰色系统统严严格格说说来，灰色系来，灰色系统统是是绝对绝对的，而白色与黑色系的，而白色与黑色系统统是相是相对对的。的。社会，社会，经济经济，农业农业等系等系统统的的预测预测，都属于特征性灰色系，都属于特征性灰色系统统的的预测预测。灰色系灰色系灰色系灰色系统统统统的的的的应应应应用情况用情况用情况用情况例年，例年，邓邓聚聚龙龙接受了我国粮食接受了我国粮食发发展决策中的一个展决策中的一个课课 题题，即粮食，即粮食发发展展预测预测与粮食与粮食发发展的展的长长期期规规划建立（，）模型，划建立（，）模型，预测预测年粮食年粮食产产量，年量，年预测值预测值与与统计统计值误值误差差仅为仅为。例例对对湖北省年宏湖北省年宏观经济观经济的的发发展展趋势进趋势进行行预测预测，提出自己的，提出自己的结论结论和建和建议议，受到湖北省科，受到湖北省科协协的的奖奖励。励。例河南省人民例河南省人民胜胜利渠利用灰色系利渠利用灰色系统统理理论论制定最佳灌制定最佳灌溉溉方案，使全流区方案，使全流区农农田得到大丰收。田得到大丰收。二、灰色系二、灰色系二、灰色系二、灰色系统统统统的研究内容的研究内容的研究内容的研究内容灰色系灰色系统统的分析，建模，的分析，建模，预测预测，决策，控制等多个内容。，决策，控制等多个内容。（一）系（一）系（一）系（一）系统统统统分析分析分析分析现现有系有系统统分析的量化方法，大都是数理分析的量化方法，大都是数理统计统计方法，如：回方法，如：回归归分析，主成分分析，方差分析分析，主成分分析，方差分析不足：不足：要求大要求大样样本本要求要求样样本有本有较较大的分布大的分布规规律律计计算工作量大算工作量大.可能出可能出现现量化的量化的结结果与定性分析的果与定性分析的结结果不符果不符.说说明回明回归归分析有分析有较较大的局限性，特大的局限性，特别别是是对对我国的我国的经济经济分析局限性就更大分析局限性就更大灰色系灰色系统统理理论论提出了一种新的分析方法，称提出了一种新的分析方法，称为为系系统统的关的关联联度分析方法度分析方法这这是根据因素之是根据因素之间发间发展展态势态势的相似或相异程度，来衡量因素的相似或相异程度，来衡量因素间间关关联联程度的方法。程度的方法。由于关由于关联联度的分析方法是按度的分析方法是按发发展展趋势趋势作分析，因此作分析，因此对样对样本量的多少没有本量的多少没有过过分要求，也不需要典型分要求，也不需要典型的分布的分布规规律，律，计计算量小，且不致出算量小，且不致出现现关关联联度的量化度的量化结结果与定性分析不一至的果与定性分析不一至的现现象。象。关关联联度分析的度分析的应应用情况：用情况：农业经济农业经济，水利，材料科学，宏，水利，材料科学，宏观经济观经济等等对对抽象系抽象系统统，社会，社会现现象等象等进进行关行关联联度分析，首先要找准数据序列，而用什么数据才能反映系度分析，首先要找准数据序列，而用什么数据才能反映系统统的行的行为为特征，是首先要研究的用特征，是首先要研究的用某种数据来某种数据来间间接地表征系接地表征系统统行行为为，称，称为为找映射量即找系找映射量即找系统统行行为为的映射量。的映射量。如：如：.法国人口学家曾法国人口学家曾统计统计和研究和研究过过中国的宋朝，元朝，明朝，清朝的人口中国的宋朝，元朝，明朝，清朝的人口这这些人口数字都不些人口数字都不是直接是直接统计统计的，而是根据中国食的，而是根据中国食盐盐的的销销售量折算得到的。（食售量折算得到的。（食盐盐作作为为人口的映射量是恰当的）。人口的映射量是恰当的）。.照相行照相行业业的收入反映社会精神面貌的的收入反映社会精神面貌的变变化。化。.用学生人数来反映教育的用学生人数来反映教育的发发达程度，用大达程度，用大专专以上文化程度的人数来反映教育水平的高低。以上文化程度的人数来反映教育水平的高低。以上以上这这些是各种社会些是各种社会现现象的一些可能的映射量当有了系象的一些可能的映射量当有了系统统行行为为的数据列（即各的数据列（即各时时刻的数据）后，刻的数据）后，根据关根据关联联度度计计算公式便可算出关算公式便可算出关联联程度。程度。关关联联度不度不仅仅是一种系是一种系统统分析方法，而且分析方法，而且进进一步可拓广一步可拓广为为关关联联空空间间这这将将为为离散数学的分析学奠定基离散数学的分析学奠定基础础。（二）系（二）系（二）系（二）系统统统统模型的建立模型的建立模型的建立模型的建立微分方程模型的不足：微分方程中的系微分方程模型的不足：微分方程中的系统统数据的出数据的出现现是是输输入入输输出的出的导导数，他数，他们们一般是不能量一般是不能量测测得到的；得到的；实际实际上，由于上，由于导导数信号数信号难获难获得，所以解不存在。得，所以解不存在。灰色系灰色系统统解决了解决了这这个一向个一向认为认为不能解决的不能解决的连续连续微分方程的建模微分方程的建模问题问题.为为什么灰色系什么灰色系统统理理论论能解决能解决这这个个问题问题呢呢?其重点是灰色系其重点是灰色系统统有一种新有一种新观观点点,即即1.1.任何随机任何随机过过程都是在一定幅程都是在一定幅值值范范围围,一定一定时时区内区内变变化的灰色量化的灰色量,我我们们称随机称随机过过程程为为灰色灰色过过程。程。2.2.在在处处理手法上理手法上,灰色灰色过过程是通程是通过过原始数据的整理来原始数据的整理来寻寻找数的找数的规规律的律的,叫数的生成叫数的生成,这这就是一种就数找数就是一种就数找数的的现实规现实规律的途径。律的途径。概率概率统计统计的随机的随机过过程程,则则是按是按统计规统计规律律,按先按先验规验规律来律来处处理理问题问题,作作这这种种处处理理,要求数据越多越好要求数据越多越好(大大样样本本).).事事实实上上,即使有了大即使有了大样样本也不一定能本也不一定能够够找到找到统计规统计规律律,即使有即使有统计规统计规律也不一定典型律也不一定典型,而非典型的而非典型的过过程程(如如非平非平稳稳,非高斯分布非高斯分布,非白噪音等非白噪音等)是是难处难处理的。理的。而灰色而灰色过过程程则则无此限制无此限制.事事实实上上,将将许许多原始数据累加多原始数据累加处处理后便出理后便出现现了明了明显显的指数的指数规规律律.为为什么能做到什么能做到这这一点呢一点呢?灰色系灰色系统认为统认为:尽管客尽管客观观系系统统表象复表象复杂杂,数据离散数据离散,但它但它们总们总是有整体功能的是有整体功能的,总总是有序的是有序的.因此因此,它必然它必然潜藏着某种内在潜藏着某种内在规规律律.关关键键在于要用适当方式去挖掘它在于要用适当方式去挖掘它,然后利用它。然后利用它。由于生成数据列有了由于生成数据列有了较较强强的的规规律律,有可能有可能对变对变化化过过程做程做较长时间较长时间的描述的描述,因此因此,有可能建立微分方有可能建立微分方程程.建立微分方程模型建立微分方程模型,还还要利用到灰色理要利用到灰色理论论的其他成果的其他成果,如如:关关联联空空间间的知的知识识,离散函数的收离散函数的收敛敛,根据根据,离散函数的光滑度离散函数的光滑度,灰灰导导数数,灰微分方程灰微分方程,平蛇等概念。平蛇等概念。以例以例说说明灰色明灰色过过程如何通程如何通过过生成数来生成数来寻寻找找规规律律例例:记记x x(0)(0)(1),x(1),x(0)(0)(2),x(2),x(0)(0)(3),x(3),x(0)(0)(4)(4)其其值值如下：如下：序号序号数据数据.x x(0)(0)(1)(1)x x(0)(0)(2)(2)x x(0)(0)(3)(3)x x(0)(0)(4)(4)无规律，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，已将个累加生成数为x(1)(k),并且X(1)(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)+X(0)(2)=1+2=3X(1)(3)=X(0(1)+X(0)(2)+X(0)(3)=1+2+1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)+X(0)(4)=7.5序号序号生成数生成数.x x()(1)(1)x x()()x x()()x x()()无无规规律的原始数据生成后，得到律的原始数据生成后，得到较规较规律的数据，即无律的数据，即无摆动摆动的的递递增增规规律数据。律数据。在建立系在建立系统统各要素的关各要素的关联联模型模型时时，灰色理，灰色理论论是五步建立的，分是五步建立的，分别别是：是：语语言模型言模型网网络络模型模型量化模型量化模型动态动态量化模型量化模型优优化模型化模型五步建立模型的思路与模型的特点如下：五步建立模型的思路与模型的特点如下：.定性分析是建立模型的前提定性分析是建立模型的前提.定量模型是定性分析的具体化，定量模型是定性分析的具体化，规规格化，关系化，数量化格化，关系化，数量化.定性与定量定性与定量紧紧密密结结合合.明确系明确系统统潜在的潜在的显显露的因素，弄清要素露的因素，弄清要素间间的因果关系，是系的因果关系，是系统统研究的基本任研究的基本任务务，建模的基，建模的基础础.要素要素间间的关系：的关系：事理系事理系统统中，是中，是“前因、后果前因、后果”关系关系技技术术系系统统中，是中，是“输输入、入、输输出出”关系关系经济经济系系统统中，是中，是“投入、投出投入、投出”关系关系要素间的关系是相对的、多重的要素分析，系统行为研究，不应该停留在一种关系上，而应 该考虑其发展变化，即动态变化。为了将控制理论中卓有成效的方法、成果推广到社会、经济等系统，模型应控制化。要通过模型了解系统的基本控制性能，如是否可控，变化过程是否可以观测。应从模型获得尽可能多的信息，特别是发展变化的信息。建立模型要为使用先进的实验科学手段，使用自然科学方法研究社会、经济等系统提供基础，特别要为电子计算机对抽象系统进行数字仿真模拟提供条件。建立模型常用的数据：科学实验数据、统计数据、经验数据、生产数据（实验室化验分析）、决策数据。前三种数据有较大局限性；生产数据较易获得，包涵难以用语言文字描述的全部因素，有丰实的内涵。建模的目的不仅仅是为了认识世界，更重要的是为了改造世界。五步建模的基本任务，是沟通社会科学与自然科学，使社会科学研究做到数学化、计算机化、自然科学化。五步建模的灰色建模思路（如下图说明），用原始数据，经生成得到，对按GM建模，得模型计算值，将与进行比较，得到残差，用残差对模型GM作修正。残差=-，min，通过；max，修正GM。所建立的模型是多要素的、关联的、整体的，决定系统发展态势，不是某个因素，而是所有因素协调发展的结果。（三）灰色（三）灰色（三）灰色（三）灰色预测预测预测预测预测预测方法有方法有300300种，通常用回种，通常用回归归分析分析法、德法、德尔尔菲法、菲法、趋势趋势外推法、最小方差外推法、最小方差预测预测法、法、马马尔尔克夫克夫预测预测法、模型法、指数平滑法、模型法、指数平滑法、残差辨法、残差辨识识方法等。方法等。三种三种类类型：回型：回归归马马尔尔可夫称可夫称统计统计型型灰色灰色预测预测与模型法属与模型法属连续连续型型指数平滑与残差辨指数平滑与残差辨识则识则属属递递推型推型灰色系灰色系统统模型的模型的预测预测，称灰色，称灰色预测预测。灰色灰色预测预测可分可分为为五五类类：数列预测对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。灾变预测对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变银行存款超出某个值是经济跃变灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。季节灾变预测若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时区，则这种预测称为季节灾变预测。云南春雨是在春天出现临西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现洪水是在汛期出现季节灾变预测，是一种特定时区内的灾变预测。其特点是：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段。拓扑拓扑预测预测（亦称波形（亦称波形预测预测、整体、整体预测预测）拓扑拓扑预测预测是是对对一段一段时间时间内行内行为为特征数据波形的特征数据波形的预测预测。拓。拓扑扑预测预测在不同的在不同的场场合有不同的意合有不同的意义义。n n对对水利方面年径流量曲水利方面年径流量曲线线来来说说，拓扑，拓扑预测预测意味着在意味着在对对未来某段未来某段时间时间内内总总径流量的径流量的预测预测。n n对对气象方面年平均降水量曲气象方面年平均降水量曲线线来来说说，拓扑，拓扑预测预测是是对对某几年某几年总总降水量的降水量的预测预测。n n对对生生产产系系统统来来说说，拓扑，拓扑预测预测可以是可以是对对几年内生几年内生产总产值产总产值、总产总产量的量的预测预测。而从本而从本质质来看，拓扑来看，拓扑预测则预测则是是对对一个一个变变化不化不规则规则的行的行为为数据数列的整体数据数列的整体发发展展进进行行预测预测。系系统综统综合合预测预测将某一系将某一系统统各种因素的各种因素的动态动态关系找出，建立系关系找出，建立系统动态统动态框框图图。系。系统统的行的行为为特征量是系特征量是系统统的的输输出。出。总总系系统统行行为为特征量是系特征量是系统总输统总输出，系出，系统统中各中各环节环节的行的行为为特征量是系特征量是系统统的中的中间输间输出。出。系系统综统综合合预测预测，是控制系，是控制系统动态统动态研究的内容。其研究的内容。其预测预测模型与前述数列模型与前述数列预测预测、灾、灾变预测变预测的不的不同。它不是一个孤立的同。它不是一个孤立的GMGM（1 1，1 1）模型，而是一串相互关）模型，而是一串相互关联联的的GMGM（1 1，N N）模型，即控制理）模型，即控制理论论中的状中的状态态模型，或者模型，或者传递传递函数模型，函数模型，这这是一种是一种输输出出输输入关系，不是入关系，不是单单一数列的一数列的变变化关系；化关系；它不但可以了解整个系它不但可以了解整个系统统的的变变化，化，还还可以了解系可以了解系统统中各个中各个环节环节的的发发展展变变化，一般属于系化，一般属于系统统的的综综合研究，因此称合研究，因此称为为系系统综统综合合预测预测。作系。作系统综统综合合预测时预测时，必，必须须有某些量是自主的，是可以用有某些量是自主的，是可以用GMGM（1 1，1 1）表征的。）表征的。（四）灰色决策（四）灰色决策（四）灰色决策（四）灰色决策所所谓谓决策，是指决策，是指选选定一个合适的定一个合适的对对策，去策，去对对付某个事件的付某个事件的发发生，以取得最佳效果。事件与生，以取得最佳效果。事件与对对策的配合称策的配合称为为局局势势。例：作物的合理布局。例：作物的合理布局问题问题、农业农业中的区划中的区划问题问题，运筹学中的整数，运筹学中的整数规规划划问题问题。又例：区域。又例：区域劳动劳动力、力、资资金、金、资资源如何源如何调调配，使配，使劳动劳动力、力、资资金、金、资资源得到有效利用，得源得到有效利用，得到最大效益，到最大效益，这这也是局也是局势势。在。在农业农业上是上是产业结产业结构构调调整的整的问题问题，在数学上是，在数学上是线线性性规规划的划的问题问题，这这些称灰色决策，是因些称灰色决策，是因为规为规划模型都是按划模型都是按GMGM得到的。得到的。例：例：对对局局势势决策作决策作简简要介要介绍绍：下雨是一个事件，：下雨是一个事件，为为了了对对付下雨，可以付下雨，可以带带雨雨伞伞、穿雨衣、戴、穿雨衣、戴斗笠。三个目斗笠。三个目标标：经济经济、美、美观观、方便。、方便。（五）灰色控制（五）灰色控制（五）灰色控制（五）灰色控制决策的执行称为控制。所谓灰色控制是指本征性灰色系统的控制，或系统中含灰参数的控制，或用GM（1，1）模型构成的预测控制。第二第二节节关关联联分析分析一、关一、关一、关一、关联联联联分析分析分析分析关关联联分析是分析是动态过动态过程程发发展展态势态势的量化分析。的量化分析。说说的确切一点，是的确切一点，是动态发动态发展展态势态势的量化比的量化比较较分分析。析。灰色关灰色关联联分析，从其思想方法上来看，属于几何分析，从其思想方法上来看，属于几何处处理的范畴，其理的范畴，其实质实质是是对对反映各因素反映各因素变变化化特征的数据序列所特征的数据序列所进进行的集合比行的集合比较较。用于度量因素之。用于度量因素之间间关关联联程度的灰色关程度的灰色关联联度，就是通度，就是通过对过对因素之因素之间间的关的关联联曲曲线线的比的比较较而得到的。而得到的。例：某地区例：某地区1998200419982004年年总总收入，工收入，工业业收入，收入，农业农业收入收入（单单位：位：亿亿元）元）年份年份19981998199919992000200020012001200220022003200320042004总总收入收入1818202022224040444448486060工工业业收入收入1010151516162424282840405050农业农业收入收入3 32 25 5101012128 81010将表反映在将表反映在图图上上分析上分析上图图的基本思想：根据曲的基本思想：根据曲线间线间相似程度来判断关相似程度来判断关联联程度程度n n曲曲线线2 2的形状与曲的形状与曲线线1 1的形状相近，而曲的形状相近，而曲线线3 3与曲与曲线线1 1相差相差较较大。因此，大。因此，该该地区地区对对收入影响收入影响较较直直接的可以接的可以说说是工是工业业，而不是，而不是农业农业。在制定。在制定该该地区地区经济发经济发展展规规划划时时，显显然然应应着重着重发发展工展工业业。n n这这种因素分析的比种因素分析的比较较，实质实质上是几种曲上是几种曲线间线间几何形状的分析比几何形状的分析比较较，即，即认为认为几何形状越接近，几何形状越接近，则发则发展展变变化化态势态势越接近，关越接近，关联联程度越大。因此按程度越大。因此按这这种种观观点作因素分析，至少不会出点作因素分析，至少不会出现现异常的。异常的。此外，此外，对对数据量也没有太高的要求。不数据量也没有太高的要求。不过过直直观观分析并不能算作是一种方法，只能分析并不能算作是一种方法，只能说说是一种是一种观观点。点。具体存在的具体存在的问题问题：1.1.如果好几条曲如果好几条曲线线形状相差不大，有些形状相差不大，有些虽虽有差有差别别，然而各区段情况不一，然而各区段情况不一，难难以用直接以用直接观观察察方法来判断个曲方法来判断个曲线间线间的关的关联联程度。程度。2.2.这这种直种直观观的几何形状的判断比的几何形状的判断比较较，是不能量化的。，是不能量化的。3.3.因此，因此，应寻应寻找一种衡量因素找一种衡量因素间间关关联联程度大小的量化方法。程度大小的量化方法。二、关二、关二、关二、关联联联联系数与关系数与关系数与关系数与关联联联联度度度度1.1.数据列的表示方式数据列的表示方式作关作关联联分析首先要指定参考数据列，参考数据列常分析首先要指定参考数据列，参考数据列常用用x x0 0表示。不同表示。不同时时刻数据表示刻数据表示为为：2.2.x xo o=x x0 0（1 1），），x x0 02 2，x x0 0n n 序号序号1 12 23 34 45 56 6数据数据1 11.11.12 22.252.253 34 4符号符号x x0 0 x x0 01 1x x0 02 2x x0 03 3x x0 04 4x x0 05 5x x0 06 6表中的数据：表中的数据：第一个第一个时时刻刻x x0 0的的值值x x0 01 1=1=1第二个第二个时时刻刻x x0 0的的值值x x0 02 2=1.1=1.1第六个第六个时时刻刻x x0 0的的值值x x0 06 6=4=4将将x x0 01 1到到x0 x06 6集合起来，得序列：集合起来，得序列：Xo=Xo=x x0 01 1，x xo o2 2，x x0 03 3，xxo o4 4，x x0 05 5，x x0 06 6=1 1，1.11.1，2 2，2.252.25，3 3，4 4关关联联分析中的被比分析中的被比较较数列常数列常记为记为x x1 1，x x2 2，x xn n，若，若给给定第个被比定第个被比较较数列数列X X1 1=1 1，1.1661.166，1.8341.834，2 2，2.342.34，3 3再再给给出其它两个数列出其它两个数列x x2 2与与x x3 3，分，分别为别为：X2=X2=1 1，1.1251.125，1.0751.075，1.3751.375，1.6251.625，1.751.75X3=X3=1 1，1 1，0.70.7，0.80.8，0.90.9，1.21.2有了有了这样这样几个数列，就几个数列，就为为关关联联度分析准度分析准备备了了条件。条件。2.2.关关联联系数系数计计算公式算公式关关联联性性实质实质上是曲上是曲线间线间几何形状的差几何形状的差别别，因此将以曲，因此将以曲线间线间差差值值的大小，作的大小，作为为关关联联程度的衡量尺程度的衡量尺度。度。对对于一个参考数列于一个参考数列x x0 0，有好几个比，有好几个比较较数列数列x x1 1，x x2 2，x xn n的情况，可以用下述关系表示各比的情况，可以用下述关系表示各比较较曲曲线线与参考曲与参考曲线线在各点（在各点（时时刻）的差。刻）的差。(1)(1)式中，式中，ij ij(t)(t)为为因素因素x xj j对对x xi i在在t t时时刻的关刻的关联联系数；系数；ij ij(t)=(t)=x xi i(t)-x(t)-xj j(t)(t)，maxmax=maxmax=maxmax ij ij(t)(t)，称两称两级级最大差，最大差，minmin=minmin=minmin ij ij(t)(t)，称两，称两级级最小差；最小差；k k为为介于介于0 0，1 1区区间间上的灰数。不上的灰数。不难难看出，看出，ij ij(t)(t)的最小的最小值值是是 minmin，当它取最小，当它取最小值时值时，关，关联联系数系数 ij ij(t)(t)取最大取最大值值maxmaxij ij(t)=1(t)=1；ij ij(t)(t)的最大的最大值值 n n在在实际计实际计算算时时，取，取 minmin=0=0，这时这时有有n n0.50.5ij ij(t)1(3)(t)1(3)n n作出函数作出函数 ij ij=ij ij(t)(t)随随时间变时间变化的曲化的曲线线，它就被称之，它就被称之为为关关联联曲曲线线。图图中的水平中的水平线线，说说明任何明任何时时刻的关刻的关联联系数系数为为1 1，它代表，它代表x xi i与与xi xi本身的关本身的关联联曲曲线线 ij ij11，因，因为为自己与自己自己与自己总总可以可以认为认为是密切关是密切关联联的。的。例例1.1.给给出下列数列出下列数列x x0 0=2020，2222，4040X X1 1=3030，3535，5555X X2 2=4040，4545，4343试试求两求两级级最小差与两最小差与两级级最大差。最大差。解：先求两解：先求两级级最小差最小差对对于于i=1i=1时时t=1t=1，x x0 0(1)-x(1)-x1 1(1)(1)=20-3020-30=10=10t=2t=2，x x0 0(2)-x(2)-x1 1(2)(2)=22-3522-35=13=13t=3t=3，x x0 0(3)-x(3)-x1 1(3)(3)=40-5540-55=15=15minminx x0 0(k)-x(k)-x1 1(k)(k)=min=min（1010，1313，1515）=10=10对对于于i=2i=2时时，t=1t=1，x x0 0(1)-x(1)-x2 2(1)(1)=20-4020-40=20=20t=2t=2，x x0 0(2)-x(2)-x2 2(2)(2)=22-4522-45=23=23t=3t=3，x x0 0(3)-x(3)-x2 2(3)(3)=40-4340-43=3=3minminx x0 0(k)-x(k)-x2 2(k)(k)=min=min（2020，2323，3 3）=3=3minminminminx x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=min=min（1010，3 3）=3=3求两求两级级最大差最大差对对于于i=1i=1maxmaxx x0 0(k)-x(k)-x1 1(k)(k)=max=max（x x0 0(1)-x(1)-x1 1(1)(1)，x x0 0(2)-x(2)-x1 1(2)(2)，x x0 0(3)-x(3)-x1 1(3)(3)）=max=max（1010，1313，1515）=15=15对对于于i=2i=2maxmaxx x0 0(k)-x(k)-x2 2(k)(k)=max=max（x x0 0(1)-x(1)-x2 2(1)(1)，x x0 0(2)-x(2)-x2 2(2)(2)，x x0 0(3)-x(3)-x2 2(3)(3)）=max=max（2020，2525，3 3）=25=25maxmaxmaxmax（x x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)）=max=max（1515，2525）=25=253.3.关关联联系数系数计计算算 从以上分析可以看出，从以上分析可以看出，显显然，然，x xi i与与x xj j的量的量纲纲不同，作不同，作图图比例尺就会不同，因而关比例尺就会不同，因而关联联曲曲线线的空的空间间相相对对位置也会不同，位置也会不同，这这就会影响就会影响计计算算结结果。果。为为了消除量了消除量纲纲的影响，增的影响，增强强不同量不同量纲纲的因素之的因素之间间的可的可比性，就需要在比性，就需要在进进行关行关联联系数系数计计算之前，首先算之前，首先对对各要素的原始数据作初各要素的原始数据作初值变换值变换或均或均值变换值变换，然后，然后利用利用变换变换后所得到的新数据作关后所得到的新数据作关联联系数系数计计算。算。初初值变换值变换的的计计算公式算公式为为 例例22计计算关算关联联系数系数给给出初出初值值化的序列如下化的序列如下:x xo o=(1,1.1,2,2.25,3,4)(1,1.1,2,2.25,3,4)X X11=(1,1.166,1.834,2,2.314,3)(1,1.166,1.834,2,2.314,3)X X22=(1,1.125,1.075,1.375,1.625,1.75)(1,1.125,1.075,1.375,1.625,1.75)x x33=(1,1,0.7,0.8,0.9,1.2)(1,1,0.7,0.8,0.9,1.2)分三步分三步计计算算:(1)(1)求差序列求差序列各个各个时时刻刻x x1 1与与x x0 0的的绝对绝对差差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差 1 10 00.0660.0660.1660.1660.250.250.6860.6861 1各个各个时时刻刻x x2 2与与x x0 0的的绝对绝对差差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差 2 20 00.0250.0250.9250.9250.8750.8751.3751.3752.252.25各个各个时时刻刻x x3 3与与x x0 0的的绝对绝对差差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差 3 30 00.10.11.31.31.451.452.12.12.82.8(2)(2)求两求两级级最小差与两最小差与两级级最大差最大差minminminminx x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0=0maxmaxmaxmaxx x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=2.8=2.8(3)(3)计计算关算关联联系数得系数得 1 1(1)=1(1)=1 1 1(2)=0.955(2)=0.955 1 1(3)=0.894(3)=0.894 1 1(4)=0.848(4)=0.848 1 1(5)=0.679(5)=0.679 1 1(6)=0.583(6)=0.583 1 1=(=(1 1(1)(1)，1 1(2)(2)，1 1(3)(3)，1 1(4)(4)，1 1(5)(5)，1 1(6)(6)=(1=(1，0.9550.955，0.8940.894，0.8480.848，0.6790.679，0.583)0.583)同理得同理得 2 2=(=(2 2(1)(1)，2 2(2)(2)，2 2(3)(3)，2 2(4)(4)，2 2(5)(5)，2 2(6)(6)=(1=(1，0.9820.982，0.6020.602，0.6150.615，0.7970.797，0.383)0.383)3 3=(=(3 3(1)(1)，3 3(2)(2)，3 3(3)(3)，3 3(4)(4)，3 3(5)(5)，3 3(6)(6)=(1=(1，0.9330.933，0.520.52，0.490.49，0.40.4，0.34)0.34)4.4.关关联联度度关关联联系数的数很多，信息系数的数很多，信息过过于分散，不便于比于分散，不便于比较较，为为此有必要将各个此有必要将各个时时刻关刻关联联系数集中系数集中为为一一个个值值，求平均，求平均值值便是便是这这种信息集中种信息集中处处理的一种方法。理的一种方法。在在实际计实际计算中，常用近似公式算中，常用近似公式或者或者说说r rij ij是曲是曲线线x xi i对对参考曲参考曲线线x xj j的关的关联联度度.从以上关从以上关联联度的定度的定义义可以看出，它主要取决于各可以看出，它主要取决于各时时刻的关刻的关联联系数系数 ij ij(t)(t)的的值值，而，而 ij ij(t)(t)又取决于各又取决于各时时刻刻x xi i与与x xj j观测值观测值之差之差 ij ij(t)(t)。显显然，然，x xi i与与x xj j的量的量纲纲不同，作不同，作图图比例尺就会不同，因而关比例尺就会不同，因而关联联曲曲线线的空的空间间相相对对位置也会不同，位置也会不同，这这就会影响关就会影响关联联度度(r(rij ij)的的计计算算结结果。果。为为了消除量了消除量纲纲的影响，增的影响，增强强不同量不同量纲纲的因素之的因素之间间的可比性，就的可比性，就需要在需要在进进行关行关联联度度计计算之前，首先算之前，首先对对各要素的原始数据作初各要素的原始数据作初值变换值变换或均或均值变换值变换，然后利用，然后利用变换变换后所得到的新数据作关后所得到的新数据作关联联度度计计算。算。5.5.数列的增数列的增值值性性有两个数列：有两个数列：X X11=（2 2，3 3，2 2，4 4，5 5）X X2 2=（1 1，2 2，1 1，3 3，4 4）由由图图可以看出曲可以看出曲线线形状是一致的，几何关系是平行的，形状是一致的，几何关系是平行的，理理应应关关联联度是度是1 1，可是初，可是初值值化后却不是化后却不是这样这样。初初值值后后X X1 1=（1 1，1.51.5，1 1，2 2，2.52.5）X X2 2=（1 1，2 2，1 1，3 3，4 4）初初值值化后，初化后，初值值大的大的发发展展态势变态势变慢；初慢；初值值小的小的发发展展态态势势相相对对大拉。大拉。这这种情况称种情况称为为增增值值性，所性，所谓谓增增值值性是：性是：（1 1）作）作为经济为经济序列，增序列，增值值性指性指“初初值值”放在放在银银行里，行里，经过经过一段一段时间时间后，由利息引起的增后，由利息引起的增值值。（2 2）作）作为资为资金序列，指在正常金序列，指在正常经营经营下，下，资资金周金周转转一定一定时间时间后后带带来的利益。来的利益。（3 3）作）作为为价格上价格上涨涨的情况，指初的情况，指初值值的折算的折算货货物物经经一定一定时间时间后价格上后价格上涨涨所所带带来的增来的增值值。（4 4）作）作为为其它序列，增其它序列，增值值性指不同初性指不同初值经值经一定一定时间时间后引起的不同效果。后引起的不同效果。比如微分方程的解，在相同指数下，初始比如微分方程的解，在相同指数下，初始值值大的，曲大的，曲线线可能衰减而初始可能衰减而初始值值小的，小的，则则曲曲线线是是上升的。因此增上升的。因此增值值性大的数列，要保持相性大的数列，要保持相对对的的发发展速率，展速率，则应则应有更大的有更大的绝对发绝对发展速率。展速率。例例1.1.山西省汾河上游山西省汾河上游输输沙量与降水径流的灰色关沙量与降水径流的灰色关联联分析分析xxoo-1954-1954年以来每年的年以来每年的输输沙量沙量xx11-年径流量年径流量x x22-平均年降水量平均年降水量x x33-平均汛期降水量平均汛期降水量rr11=0.41=0.41 r r22=0.21=0.21 r r3 3=0.23=0.23数据，数据，过过程（省）程（省）例例2.2.粮食粮食单产单产x xo oXX11-田田间间管理技管理技术术XX22-农农肥肥XX33-浇浇水水xx44-农药农药rr11=0.818=0.818r r22=0.832=0.832 r r3 3=0.706=0.706rr4 4=0.855=0.855 结结果分析（省）果分析（省）6.6.优势优势分析分析当参考数列不止一个，被比当参考数列不止一个，被比较较因素也不止一个因素也不止一个时时，可，可进进行行优势优势分析。分析。例例.某地区有某地区有5 5个母因素个母因素y yi i（i=1i=1，2 2，5 5）。）。又有又有6 6个子因素个子因素X Xi i（i=1i=1，2 2，6 6）。分）。分别为别为yyi i 参考数列（母数列）参考数列（母数列）XXi i被比被比较较数列（子数列）数列（子数列）yy11 固定固定资产资产投投资资XX11 国民收入国民收入yy22 工工业业投投资资XX22 工工业业收入收入yy33 农业农业投投资资XX33 农业农业收入收入yy44 科技投科技投资资XX4 4 商商业业收入收入yy55 交通投交通投资资XX55 交通收入交通收入XX66 建筑建筑业业收入收入其数据列如下表其数据列如下表（单单位：万元）位：万元）1980198019811981198219821983198319841984y y1 1308.58308.58316316295295346346367367y y2 2195.4195.4189.9189.9187.2187.2205205222.7222.7y y3 324.624.6212112.212.215.115.114.5714.57y y4 4202025.625.623.323.329.229.23030y y5 518.9818.98191922.322.323.523.527.65527.655x x1 1170170174174197197216.4216.4235.8235.8X X2 257.5557.5570.7470.7476.876.880.780.789.8589.85X X3 383.5683.56707085.3885.3899.8399.83103.4103.4X X4 411.1911.1913.2813.2816.8216.8218.918.922.822.8X X5 54.034.034.264.264.344.345.065.065.785.78x x6 613.713.715.615.613.7713.7711.9811.9813.9513.95初初值值化的序列如下（无量化的序列如下（无量纲处纲处理）：理）：y y11=（1 1，1.021.02，0.960.96，1.121.12，1.191.19）y y22=（1 1，0.970.97，0.960.96，1.051.05，1.141.14）y y33=（1 1，0.850.85，0.500.50，0.610.61，0.590.59）y y44=（1 1，1.281.28，1.171.17，1.461.46，1.501.50）y y55=（1 1，1.001.00，1.171.17，1.241.24，1.461.46）X X11=（1 1，1.021.02，1.161.16，1.271.27，1.391.39）X X22=（1 1，1.231.23，1.331.33，1.401.40，1.561.56）X X33=（1 1，0.840.84，1.021.02，1.191.19，1.241.24）X X44=（1 1，1.191.19，1.501.50，1.691.69，2.042.04）X X55=（1 1，1.061.06，1.081.08，1.261.26，1.431.43）X X66=（1 1，1.141.14，1.011.01，0.870.87，1.021.02）（1 1）求差数列，两极最小差与两极最大差）求差数列，两极最小差与两极最大差minminminminy yi i(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0=0maxmaxmaxmaxyyi i(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0.85=0.85（2 2）计计算关算关联联度度r r1111=0.8198r=0.8198r1212=0.641r=0.641r1616=0.7949=0.7949：r r5151=0.92r=0.92r5252=0.6799r=0.6799r5656=0.613=0.613得关得关联联系数矩系数矩阵阵（省）（省）（3 3）结结果分析（将矩果分析（将矩阵阵写成表格的形式）写成表格的形式）x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6y y1 10.81980.81980.6410.6410.83860.83860.5630.5630.8190.8190.79490.7949y y2 20.76980.76980.6240.6240.82790.82790.55170.55170.77960.77960.81250.8125y y3 30.64820.64820.5780.5780.71940.71940.54220.54220.64880.64880.71390.7139y y4 40.74340.74340.8090.8090.5880.5880.6160.6160.7070.7070.5840.584y y5 50.920.920.67990.67990.73460.73460.5350.5350.8750.8750.6130.613从矩从矩阵阵中看出：中看出：第第4 4列（商列（商业业收入与各种投收入与各种投资资的关的关联联度列）几乎度列）几乎为为最小，最小，说说明商明商业业收入与各种投收入与各种投资资的关的关联联程度程度最小，即各种投最小，即各种投资对资对商商业业收入影响不大，表明商收入影响不大，表明商业业是一个不需要太依是一个不需要太依赖赖投投资资而能自行而能自行发发展的展的行行业业。从。从这这种少投种少投资资多收入的多收入的观观点看，商点看，商业业是是优势优势。从。从“消耗消耗”投投资资的能力看，的能力看，则则是是“劣劣势势”。所有元素中所有元素中r r5151最大，最大，r r5151=0.92=0.92这这表明交通投表明交通投资资的多少的多少对对国民国民总总收入影响最大。事收入影响最大。事实实上，交通上，交通不不发发展，展，则势则势必影响工必影响工业业收入，收入，农业农业收入，收入，总总收入。收入。农农村需要运村需要运输输工具。工具。r r5555仅仅次于次于r r5151，r r5555=0.875=0.875表明交通收入自然主要取决于交通投表明交通收入自然主要取决于交通投资资，这说这说明今后明今后应该应该加加强强对对交通的投交通的投资资（这这有利于全面有利于全面发发展展经经）。）。第第4 4行中，行中，r r4242=0.809=0.809最大最大这这表明科技表明科技对对工工业业影响最大，在影响最大，在该该行行业业中中r r4343，r r4646都比都比较较小，小，这这表明从全面来衡量，表明从全面来衡量，还还没有使没有使科技投科技投资资与与农农村村经济经济挂上挂上钩钩，也就是，也就是说说科技投科技投资针对资针对的不是的不是农农村需要的科技。目前，当村需要的科技。目前，当务务之急之急应应加加强强农农村科技投村科技投资资，发发展展农农村科技。村科技。rr4646=0.584=0.584，这这表明科技表明科技对对建筑建筑业业的作用比的作用比对农业对农业的的还还差，差，这这一方面由于建筑一方面由于建筑业业目前机械化程目前机械化程度不高，度不高，还处还处于手工操作状况，另一方面表明建筑于手工操作状况，另一方面表明建筑业业的科技投的科技投资还资还不不够够。第第3 3列中，列中，r r1313=0.8386=0.8386，r r2323=0.8279=0.8279都比都比较较大，大，这这表明表明农业农业是一个是一个综综合性的行合性的行业业，它需要其他，它需要其他方面方面发发展的配合，其他方面的投展的配合，其他方面的投资资将将间间接地影响着接地影响着农业农业的的发发展。展。如如r r2323=0.8279=0.8279，表明工，表明工业业的的发发展能展能够够促促进农业进农业的的发发展。工展。工业业的投的投资资能能够间够间接地影响接地影响农业农业的的发发展。展。在第在第3 3列中，其次列中，其次为为r r5353=0.7346=0.7346表明表明农业发农业发展与交通展与交通发发展也是密切的，交通投展也是密切的，交通投资资也可也可间间接地促接地促进进农业农业收入。收入。3 3 3 3 生成数生成数生成数生成数一、概述一、概述一、概述一、概述研究抽象系研究抽象系统统，即社会系，即社会系统统、经济经济系系统统，将遇到随机干，将遇到随机干扰扰，大都用概率，大都用概率统计统计方法。但概率方法。但概率统计统计方法有如下不足：方法有如下不足：n n需要大量数据需要大量数据n n要求数据要求数据间间存在存在统计规统计规律律n n要求要求统计规统计规律是典型的（如正律是典型的（如正态态分布、平分布、平稳过稳过程）程）n n若信息量不足，若信息量不足，结论结论不直不直观观 灰色系灰色系统统的基本的基本观观点：点：一切随机量都看作是在一定范一切随机量都看作是在一定范围围内内变变化的灰色量。比如大气气温的化的灰色量。比如大气气温的变变化是随机量，气温高化是随机量，气温高低，可将它当作是在低，可将它当作是在5050范范围变围变化的灰色量。化的灰色量。对对灰色量的灰色量的处处理不是找概率分布、求理不是找概率分布、求统计规统计规律，律，而是用数据而是用数据处处理的方法来找数据理的方法来找数据间间的的规规律。我律。我们们称某种数据称某种数据处处理方式理方式为为一种数生成方式，数据一种数生成方式，数据生成即数据生成即数据处处理，理，这这就是一种就数找数的就是一种就数找数的规规律的途径律的途径为为什么可以什么可以这样这样来来处处理灰色量呢？理灰色量呢？客客观观世界尽管复世界尽管复杂杂，表述其行，表述其行为为特征的数据可能是特征的数据可能是杂杂乱无章的，然而它必然是有序的，有某种功能乱无章的，然而它必然是有序的，有某种功能的，有某种因果关系的，或者的，有某种因果关系的，或者说说任何系任何系统统本身都有某种内在本身都有某种内在规规律的，不律的，不过这过这些些规规律被律被纷缭纷缭的的现现象所掩象所掩盖，被数据盖，被数据间这间这种种杂杂乱无章的表象所迷惑，乱无章的表象所迷惑，对对系系统统的行的行为为特征数据特征数据进进行成，就是企行成，就是企图图从从杂杂乱无章的乱无章的现现象中去象中去发现发现内在内在规规律。律。灰色系灰色系统统常用的生成方式有三常用的生成方式有三类类：n n累加生成累加生成简记简记AGOAGO（AccumulatedGeneratingOperationAccumulatedGeneratingOperation）n n累减生成累减生成简记简记AGOAGO（InverseAccumulatedGeneratingOperationInverseAccumulatedGeneratingOperation）n n映射生成映射生成二、累加生成二、累加生成二、累加生成二、累加生成1 1、累加生成、累加生成、累加生成、累加生成若有原始数据若有原始数据XX0 0）=（x x0 0）（1 1），），x x0 0）（2 2），），x x（0 0）（n n），），记记生成数列生成数列为为X X（1 1）XX（1 1）=x=x（1 1）(k)(k)k=1k=1，2 2，nn）=(x=(x1 1）(1)(1)，x x1 1）(2)(2)，x x（1 1）(n)(n)若若X X（1 1）与与X X（0 0）之之间满间满足下述关系，即足下述关系，即 k=1k=1，2 2，n n则则称称为为一次累加生成。一次累加生成。xx（1 1）（k k）的上）的上标标（1 1）表示表示1 1次累加次累加生成，生成，记为记为1-AGO1-AGO。若若X X(2)(2)为为X X(0)(0)的二次累加生成，以此的二次累加生成，以此类类推，推，X X(r)(r)就是就是XX(0)(0)的的r r次累加生成，次累加生成，累加生成是一种运算，由于界定累加生成是一种运算，由于界定，所以累加生成函数所以累加生成函数X X(1)(1)是一个是一个递递增的离散增的离散函数，即函数，即 x x(1)(1)(k-1)x(k-1)x(1)(1)(k)k=1,2,(k)k=1,2,n,n 2 2、累加生成、累加生成、累加