流体力学课件和习题

流体力学基本知识飞机为什么能飞上天？齐头并进的船为什么会相撞为什么在站台上不能离或者道太近撑雨伞时，为什么雨伞容易向上翻？运动中的“香蕉球”“弧圈球”“飘球”汽车阻力来自于前部还是后部？蔡增基蔡增基重庆大学重庆大学城市建设与环境工程学院城市建设与环境工程学院 第一章第一章 绪论第二章第二章 流体静力学流体静力学 第三章第三章 一元流体一元流体动力学基力学基础第四章第四章 流流动阻力和能量阻力和能量损失失第五章第五章 孔口管嘴管路流孔口管嘴管路流动第六章第六章 气体射流气体射流第七章第七章 不可不可压缩流体流体动力学基力学基础第八章第八章 绕流运流运动第九章第九章 一元气体一元气体动力学基力学基础第十章第十章 相似性原理和因次分析相似性原理和因次分析下篇下篇 泵与与风机机第十一章第十一章 叶片式叶片式泵与与风机的理机的理论基基础第十二章第十二章 叶片式叶片式泵与与风机在管路上的工作分析及机在管路上的工作分析及调节第十三章第十三章 泵或或风机的安装方法与机的安装方法与选择第十四章第十四章 其他常用其他常用泵及及压气（气（缩）机）机类别名称符号中文单位 英文缩写基本关系式1.基本单位长度L米mm质量m千克kgkg时间t秒ss温度T开尔文KK2.辅助单位平面角弧度rad3.导出单位力F牛顿Nkgm/s2压强p帕(斯卡)PaN/m2密度千克/米3kg/m3kg/m3粘度帕秒Paskg/ms运动粘度米2/秒m2/sm2/s能量Q焦尔Jkg m2/s2功率P瓦WJ/s常用词头吉109G兆106M千103k厘10-2c毫10-3m微10-6纳10-9n绪论流体力学是研究流体机械运动规律及其应用的科学，是力学的一个重要分支。流体力学研究的对象液体和气体。16世纪文艺复兴以后世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段学科的基础阶段1586年斯蒂芬水静力学原理1650年帕斯卡“帕斯卡原理”1612年伽利略物体沉浮的基本原理1686年牛顿牛顿内摩擦定律1738年伯努利理想流体的运动方程即伯努利方程1775年欧拉理想流体的运动方程即欧拉运动微分方程n工程技术快速发展，提出很多经验公式1769年谢才谢才公式（计算流速、流量）1895年曼宁曼宁公式（计算谢才系数）1732年比托比托管（测流速）1797年文丘里文丘里管（测流量）n理论1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动方程组（N-S方程）理论分析与试验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用1883年雷诺雷诺实验（判断流态）1903年普朗特边界层概念（绕流运动）1933-1934年尼古拉兹尼古拉兹实验（确定阻力系数）流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科成很多新分支和交叉学科作用在流体上的力1.质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比重力惯性力单位质量力重力2.表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外 表面，与表面积大小成正比应力应力切线方向：切线方向：切向应力切向应力剪切力剪切力内法线方向：内法线方向：法向应力法向应力压强压强FAFnF表面力具有传递性表面力具有传递性流体相对运动时因粘流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力性而产生的内摩擦力流体的主要物理性质流体的主要物理性质一、密度一、密度 lim M kg/m3 V0 V 流体密度是空间位置流体密度是空间位置 和时间的函数。和时间的函数。V.M P(x,y,z)zxy P=kg/m3 对于均质流体：对于均质流体：常见的密度（在一个标准大气压下）：常见的密度（在一个标准大气压下）：44时的水时的水2020时的空气时的空气容重（重度）容重（重度）比容比容二、压缩性二、压缩性可压缩性可压缩性 流体随其所受压强的变化而发生流体随其所受压强的变化而发生 体积（密度）变化的性质。体积（密度）变化的性质。(m2/N)式中：式中：dV 流体体积相对于流体体积相对于V 的增量；的增量；V 压强变化前压强变化前(为为 p 时时)的流体体积；的流体体积；dp 压强相对压强相对于于p 的增量。的增量。体积压缩率（体积压缩系数）：体积压缩率（体积压缩系数）：三、液体的粘性三、液体的粘性1、粘性的概念及牛顿内摩擦定律粘性的概念及牛顿内摩擦定律流体分子间的流体分子间的内聚力内聚力流体分子与固体壁面流体分子与固体壁面间的间的附着力附着力。内摩擦力内摩擦力 相邻相邻流层间，平行于流层流层间，平行于流层表面的相互作用力。表面的相互作用力。定义：定义：流体在运动时，其内部相邻流层间要产流体在运动时，其内部相邻流层间要产 生抵抗相对滑动（抵抗变形）的内摩擦力的性生抵抗相对滑动（抵抗变形）的内摩擦力的性质称为流体的粘性。质称为流体的粘性。yx v。v+dvvy dy v0F 内摩擦力：内摩擦力：以切应力表示：以切应力表示：式中：式中：与流体的种类及其温度有关的比例与流体的种类及其温度有关的比例 常数；常数；速度梯度（流体流速在其法线方速度梯度（流体流速在其法线方 向上的变化率）。向上的变化率）。牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律 2、粘度及其表示方法、粘度及其表示方法粘度粘度 代表了粘性的大小代表了粘性的大小 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的大小。大小。常用粘度表示方法有三种：常用粘度表示方法有三种：动力粘度动力粘度 单位单位：Pa s（帕（帕 秒）秒）1 Pa s=1 N/m2 s运动粘度：运动粘度：单位：单位：m2/s 工程上常用：工程上常用：10 6 m2/s (厘斯厘斯)mm2/s油液的牌号：摄氏油液的牌号：摄氏 40C 时油液运动粘度的时油液运动粘度的平均厘斯平均厘斯(mm2/s)值。值。例：汽缸内壁的直径例：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径，活塞的直径d=11.96cm，活塞长度活塞长度L=14cm，活塞往复运动的速度为，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑，润滑油的油的=0.1Pas。求作用在活塞上的粘性力。求作用在活塞上的粘性力。解：解：dDL4、理想流体的概念、理想流体的概念理想流体理想流体假想的没有粘性的流体。假想的没有粘性的流体。=0 =0实际流体实际流体事实上具有粘性的流体事实上具有粘性的流体。第二章第二章 流体静力学流体静力学 平衡（静止）平衡（静止）绝对平衡绝对平衡 流体整体流体整体对于地球无相对运动。对于地球无相对运动。相对平衡相对平衡 流体整体流体整体对于地球有相对运动，但对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。流体质点间无相对运动。平衡流体内不显示粘性，所以不存在切应力平衡流体内不显示粘性，所以不存在切应力 。2-1 平衡流体上的作用力平衡流体上的作用力一、质量力一、质量力质量力质量力 与流体的质量有关，作用在某一体积与流体的质量有关，作用在某一体积 流体的所有质点上的力。（如重力、惯性力）流体的所有质点上的力。（如重力、惯性力）fx、fy、fz 单位质量力在直角坐标系中单位质量力在直角坐标系中 x、y、z 轴上的投影。轴上的投影。单位质量力单位质量力 单位质量流体所受到的质量力。单位质量流体所受到的质量力。单位质量力（数值等于流体加速度）。单位质量力（数值等于流体加速度）。二、表面力二、表面力表面力表面力 由于由于 V 流体与四周包围它的物体相流体与四周包围它的物体相 接触而产生，分布作用在该体积流体的表面。接触而产生，分布作用在该体积流体的表面。单位面积上的表面力（应力）：单位面积上的表面力（应力）：法向分量法向分量 lim Fn A0 A 压强压强 KPa，MPa=pP二、静压强分布规律二、静压强分布规律 取流体中任意一点取流体中任意一点 A，考察该点处静压强。，考察该点处静压强。对对A点和液面上的一点点和液面上的一点C列写出静压强基本公式：列写出静压强基本公式：或或 gz+p=gz0+p0 整理得：整理得：p=p0+g(z0 z)=p0+gh 式中：式中：h A点处的液深点处的液深。上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的压强分布规律，是流体静力学中最常用的公式。压强分布规律，是流体静力学中最常用的公式。静压强分布规律静压强分布规律2 4 静压强的计算静压强的计算一、静压强的计算标准（表示方法）一、静压强的计算标准（表示方法）绝对压强绝对压强 以绝对零值（绝对真空）为计以绝对零值（绝对真空）为计算标准，所表示的压强。算标准，所表示的压强。计示压强计示压强（相对压强、表压强）（相对压强、表压强）以当地以当地大气压为计算标准，所表示的压强。大气压为计算标准，所表示的压强。真空度真空度以当地大气压为计算基准，小于以当地大气压为计算基准，小于大气压的部分。大气压的部分。三者之间的关系如图三者之间的关系如图 或归纳如下：或归纳如下：绝对压强绝对压强=大气压强大气压强+计示压强计示压强 计示压强计示压强=绝对压强绝对压强 大气压强大气压强 真空度真空度=大气压强大气压强 绝对压强绝对压强P=0P=0P=PP=PD DP=PP=PJ JP PB BP PB B=0=0P PZ Z二、静压强的计量单位二、静压强的计量单位1、应力单位：、应力单位：Pa(N/m2),kPa,MPa（法定计（法定计 量单位）量单位）2、液柱高单位、液柱高单位 ：国外：国外：bar(巴巴)1 bar=105 Pa psi(巴斯巴斯)1 psi=6.89 KPam H2O,mm Hg 等等用不同介质的液柱高表示压强时的换算关系：用不同介质的液柱高表示压强时的换算关系：压力力单位位帕帕(Pa)N/m2，国国际单位位兆帕兆帕(MPa)106Pa工程大气工程大气压，kgf/cm2，98070 Pa 约等于一个大气等于一个大气压（1.013e+5 Pa)，通常所，通常所说的的“贮气罐中气罐中还有有5个个压力力”，“自来水自来水压头是是5公斤公斤”，用的都是，用的都是这个个单位。位。mmH2O，9.81 PammHg，133 Pa压力单位转换对照表压力单位转换对照表 三、压力检测方法三、压力检测方法平衡法平衡法 使用重力平衡压力，测量使用重力平衡压力，测量重力重力，推算压力。推算压力。变形法变形法 在压力作用之下弹性元件发生变在压力作用之下弹性元件发生变形，测量形，测量变形量变形量，推算压力，推算压力电气法电气法 在压力作用之下材料的某种电性质在压力作用之下材料的某种电性质发生变化，测量该电量，推算压力发生变化，测量该电量，推算压力金属式压力表金属式压力表 机械式机械式压力传感器压力传感器 电测法电测法液柱式测压计液柱式测压计 基于以静压强基本公式基于以静压强基本公式液柱式压力计液柱式压力计h h1 1h h2 2PP=P=Px x-P-Pd dPP=g g(h h1 1+h h2 2)U U形管压力计形管压力计形管压力计形管压力计单管压力计单管压力计P Px xP Pd d直管直管h h h hP Px x=g g g ghhhh斜管式压力计（微压差计）斜管式压力计（微压差计）水银压力计水银压力计 差压计差压计液柱式压力计常用液体液柱式压力计常用液体水水酒精酒精四氯化碳四氯化碳水银水银液柱式压力计特点液柱式压力计特点优点优点 可测微压，精度较高可测微压，精度较高 简单可靠简单可靠缺点缺点 不能测过高压力不能测过高压力 测量结果难以转成电量，因而难测量结果难以转成电量，因而难 以以远传、自动记录和用于动态测量远传、自动记录和用于动态测量弹簧管式压力表结构 第三章第三章 流体动力学流体动力学动力学比静力学多了两个参数：粘度和速度动力学比静力学多了两个参数：粘度和速度3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。描述流体的运动参数在流场中各个不同描述流体的运动参数在流场中各个不同空间空间位置上位置上随随时间时间 连续变化的规律。连续变化的规律。一、拉格朗日法（随体法）一、拉格朗日法（随体法）着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。变化规律。二、欧拉法（局部法、当地法）二、欧拉法（局部法、当地法）着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律。上的流体质点的运动规律。广泛采用。广泛采用。N 流体的运动参数。流体的运动参数。N=N(x,y,z,t)=N x(t),y(t),z(t),t (x,y,z,t)欧拉变数欧拉变数 用初始时刻用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐标某流体质点具有的空间坐标(a,b,c)来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐标标(a,b,c)和时间变量和时间变量 t 共同表达流体质点的运动规律共同表达流体质点的运动规律 x=x(a,b,c,t)、y=y(a,b,c,t)、z=z(a,b,c,t)。3-2 流体运动中的一些基本概念流体运动中的一些基本概念 一、定常（恒定）流动：一、定常（恒定）流动：流体的运动参数（物流体的运动参数（物 理量）理量）N 仅仅是空间坐标的函数，而与时间无仅仅是空间坐标的函数，而与时间无关的流动。关的流动。即即 N=N(x,y,z)或或二、控制体：二、控制体：流场中人为选定的，相对于坐标流场中人为选定的，相对于坐标系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。三、物理量三、物理量(运动参数运动参数)的质点导数的质点导数(随体导数随体导数)：物理量的质点导数（全导数）物理量的质点导数（全导数）N 是时间是时间 t 的复合函数，由多元复合函数的复合函数，由多元复合函数 求导法则可求导法则可得：得：时变导数时变导数(当当地导数地导数)：在某一固定空在某一固定空间点上物理量间点上物理量N对时间对时间 t 的的变化率。变化率。流体质点所在空间位置流体质点所在空间位置变化，所引起的物理量变化，所引起的物理量N对时间对时间 t 的变化率。的变化率。位变导数位变导数(迁移导数迁移导数)：对于定常流动：对于定常流动：（时（时变导数为零）变导数为零）对于均匀流动：对于均匀流动：（位变导数为零）位变导数为零）对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：(全全导数为零）导数为零）四、一元（维）流动：四、一元（维）流动：运动参数仅沿着流动运动参数仅沿着流动 方向变化的流动。方向变化的流动。五、流线五、流线：在某一瞬时，液流中的一条条光滑在某一瞬时，液流中的一条条光滑 曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质 点的速度方向与流线相切。点的速度方向与流线相切。流线的性质：流线的性质：流线是一个瞬时概念。定常流动下，流流线是一个瞬时概念。定常流动下，流线形状不随时间变化。线形状不随时间变化。流线不能相交，也不能突然转折。流线不能相交，也不能突然转折。六、流束六、流束：过液流中由封闭曲线过液流中由封闭曲线 l 围成的面积围成的面积 A 上上 的每一点作流线，所作流线的集合称为流束。的每一点作流线，所作流线的集合称为流束。微小流束微小流束 当面积当面积 A 无限缩小趋于零时的无限缩小趋于零时的 流流 束。束。七、过流断面七、过流断面：流束中与所有流线相垂直的截面流束中与所有流线相垂直的截面。缓变流动缓变流动 流线间基本平行的流动。流线间基本平行的流动。缓变流动下的过流断面可近似为一平面。缓变流动下的过流断面可近似为一平面。八、流量八、流量：单位时间内流过某一过流断面的流单位时间内流过某一过流断面的流 体体积。体体积。q m3/s l/min dq=v dA 微小流束过流断面的流量。微小流束过流断面的流量。q=A v dA 流束过流断面的流量。流束过流断面的流量。九、断面平均流速九、断面平均流速：假想的过流断面上各点处假想的过流断面上各点处 都相等的流速。都相等的流速。3-3 连续方程式（一元流动）连续方程式（一元流动）物理本质：物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于控制体中流体质量的增量，必然等于同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差。同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差。沿如图所示的流束表沿如图所示的流束表面及两个过流断面面及两个过流断面 A1、A2取出控制体。取出控制体。流体的连续方程式流体的连续方程式则：则：单位时间内流入、流出控制体的流体质量之单位时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。一、定常流动一、定常流动 二、对于不可压缩流体流动二、对于不可压缩流体流动 =Const 则：则：即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面积成反比。流断面积成反比。则：则：直角坐标系下微分形式的连续性方程直角坐标系下微分形式的连续性方程1、连续性微分方程的一般形式、连续性微分方程的一般形式 在流场中取一微元平行六面体作为控制体在流场中取一微元平行六面体作为控制体边长分别为边长分别为dx、dy、dz。中心点中心点 A(x,y,z)流速为流速为vx、vy、vz，密度为，密度为(x,y,z,t)考察在考察在 dt 时间内流入、时间内流入、流出控制体的流体质流出控制体的流体质量与控制体内流体质量与控制体内流体质量变化的关系。量变化的关系。首先考察沿首先考察沿 y 方向流入、流出控制体的流体质量。方向流入、流出控制体的流体质量。流入质量：流入质量：流出质量：流出质量：在在 dt 时间内自垂直于时间内自垂直于 y 轴的两个面流出、流入的轴的两个面流出、流入的流体质量之差为：流体质量之差为：dt 时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时间控制体内流体质量的减少（由质量守恒定律）。间控制体内流体质量的减少（由质量守恒定律）。即：即：同理可得自垂直于同理可得自垂直于 x、z 轴的平面流出、流入的轴的平面流出、流入的流体质量之差分别为：流体质量之差分别为：不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体的连续性微分方程：=Const2、不同适用范围的使用形式、不同适用范围的使用形式定常流动的连续性微分方程：定常流动的连续性微分方程：于是可得流体连续性微分方程的一般形式为：于是可得流体连续性微分方程的一般形式为：物理意义：物理意义：不可压缩流体在单位时间内，不可压缩流体在单位时间内，流出、流入单位空间的流体体积之差等于零。流出、流入单位空间的流体体积之差等于零。适用范围：理想、实际，定常流或非定常流的适用范围：理想、实际，定常流或非定常流的不可压缩流体。不可压缩流体。3-4 流体微团的运动分析流体微团的运动分析一、流体微团运动的组成一、流体微团运动的组成亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的运动可以分解亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的运动可以分解为三个运动：为三个运动：1、随同任一基点的平移；、随同任一基点的平移；2、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动；、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动；3、变形运动（包括角变形和线变形）。、变形运动（包括角变形和线变形）。按二维情况按二维情况平平 动动平移平移+线变形线变形平移平移+角变形角变形平移平移+旋转运动旋转运动实际的流体运动多为平动、转动和变形三种基本运实际的流体运动多为平动、转动和变形三种基本运动形式或两种基本运动形式的组合。动形式或两种基本运动形式的组合。3-5 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 (欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程)仍采用微元体积法：在流场中取出一个正平行仍采用微元体积法：在流场中取出一个正平行六面体六面体 流体微团。流体微团。dV=dxdydz.在某瞬时在某瞬时 t 形心形心A(x,y,z)处的压强为处的压强为 pA(x,y,z,t)，形心形心A(x,y,z)处的速度为处的速度为 vx,vy,vz ，作用在微元平行六面体上的力有质量力和表作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力。面力。以以 y 方向为例分析受力。方向为例分析受力。pAdzdydxdFm一、一、y 方向的质量力方向的质量力 dFmy=dx dy dz fy二、二、y方向的表面力方向的表面力左表面：左表面：右表面：右表面：式中：式中：压强沿压强沿 y 方向的变化率。方向的变化率。三、三、y方向的运动方程（力平衡关系式）方向的运动方程（力平衡关系式）由牛顿第二定律，在由牛顿第二定律，在 y 方向上有：方向上有：Fy=may 即：即：所以：所以：得：得：单位质量流体在单位质量流体在 y方向上运动规律的数学方向上运动规律的数学表达式表达式同理，可推得在同理，可推得在 x、z 方向有：方向有：理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）（欧拉运动微分方程）3-5 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用一、理想流体沿流线的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体单位质量的流体质点经质点经 dt 时间沿流线时间沿流线产生微小位移产生微小位移 。dx=vxdtdy=vydtdz=vzdt 在三个坐标方向上的分量。在三个坐标方向上的分量。将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：表达式的两边相乘，然后分别相加可得：引入以下限制条件，对上式中的三类项分引入以下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简别进行化简。流体为不可压缩的；流体为不可压缩的；流体作定常流动；流体作定常流动；流体所受的质量力仅为重力流体所受的质量力仅为重力。1、质量力（由条件、质量力（由条件3）fxdx+fydy+fzdz=gdz2、表面力（由条件、表面力（由条件2）3、惯性力、惯性力于是化简后可得：于是化简后可得：积分上式，并考虑条件积分上式，并考虑条件 1，=常数常数 得：得：对于同一流线上的任意两点对于同一流线上的任意两点 1、2，上式可写成：，上式可写成：在重力作用下，理想不可压缩流体作在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程定常流动时，沿流线的伯努利方程(能量方程能量方程)。单位重力流体的动能单位重力流体的动能（速度水头）（速度水头）除以除以 g,则：则：物理意义：物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。二、理想流体总流（流束）的伯努利方程二、理想流体总流（流束）的伯努利方程 总流总流 流体通过有限过流断面的流动。流体通过有限过流断面的流动。表达了两个过流断面处流体能量的关系，但表达了两个过流断面处流体能量的关系，但要以过流断面上的平均值表示。要以过流断面上的平均值表示。式中：式中：动能修正系数。动能修正系数。1、动能项、动能项 以断面平均流速将动能表示为：以断面平均流速将动能表示为：过流断面上速度分布越均匀，过流断面上速度分布越均匀，1。2、势能项、势能项若将若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上，坐标平面取在缓变过流断面上，则有：则有：vx=v ，vy=vz=0于是欧拉运动微分方程于是欧拉运动微分方程可写成：可写成：与平衡微分方程相同与平衡微分方程相同即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下静止流体的压强分布规律。静止流体的压强分布规律。因此对于同一过流断面上有：因此对于同一过流断面上有：则：对于沿总流的任意两个过流断面上的则：对于沿总流的任意两个过流断面上的 单位重力流体有：单位重力流体有：沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程(重力、理想、不可压、定常重力、理想、不可压、定常)三、实际流体总流的伯努利方程三、实际流体总流的伯努利方程 用能量的观点把用能量的观点把“理想理想”拓广到拓广到“实际实际”中。中。粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部分机械粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部分机械能去克服，使机械能能去克服，使机械能 热能，沿流动方向机械能热能，沿流动方向机械能降低。降低。式中：式中：hf 单位重力流体沿总流从单位重力流体沿总流从1 断面流断面流 到到 2 断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，称为能量损失或水头损失。称为能量损失或水头损失。所以：所以：应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点以下几点：1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量力只有重力作用。力只有重力作用。2、往往与连续方程联合使用。、往往与连续方程联合使用。3、在选取适当的位置势能为零的水平、在选取适当的位置势能为零的水平基准面基准面后，后，可选择可选择过流断面过流断面上任意高度为上任意高度为已知点已知点 z1 和和 z2 列列出伯努利出伯努利方程方程。（三选一列）。（三选一列）4、所选用的过流断面必须是缓变过流断面。且、所选用的过流断面必须是缓变过流断面。且其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个断面应选在各参数已知处。断面应选在各参数已知处。5、压强、压强 p 可取绝对压强或计示压强。但两个断可取绝对压强或计示压强。但两个断面必须采用同一种表示方法。面必须采用同一种表示方法。6、一般取、一般取 1=27、沿流程若有能量输入或输出时（经水泵、通沿流程若有能量输入或输出时（经水泵、通风机等），风机等），式中：式中：H 单位重力流体流经流体机械获得单位重力流体流经流体机械获得(+)或失去或失去()的能量。（水泵的扬程）的能量。（水泵的扬程）四、伯努利方程的应用（文丘里流量计）四、伯努利方程的应用（文丘里流量计）文丘里流量计由进出口过流断面积分别为文丘里流量计由进出口过流断面积分别为A1和和A2的一段渐缩管组成。并在进出口处接入水银差压的一段渐缩管组成。并在进出口处接入水银差压计（或测压管）。根据伯努利方程，只要读出计（或测压管）。根据伯努利方程，只要读出 h 或或 h 即可由即可由 A1和和 A2（或（或 d1和和 d2）求得管中流量）求得管中流量 q。取基准面取基准面0-00-0，另，另在缓变流动区取在缓变流动区取断面断面1-11-1，2-22-2，断面形心为计算断面形心为计算点。考虑理想流点。考虑理想流体（暂不计流动体（暂不计流动的能量损失）。的能量损失）。对两过流断面对两过流断面1-11-1，2-22-2列出伯努利方程：列出伯努利方程：(取取 =1)由连续方程知：由连续方程知：解出：解出：代入伯努利方程得：代入伯努利方程得：解得：解得：对于测压管：对于测压管：对于对于U 型差压计型差压计:文丘里流量计若用测压管测压，则文丘里流量计若用测压管测压，则推导：推导：则：则：同除以同除以 g 有有：则：则：3-6 动量方程及其应用动量方程及其应用质点系的动量定理：质点系的动量定理：即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上 所有外力的矢量和。所有外力的矢量和。在某一瞬时在某一瞬时 t，从，从流场中取出一控制流场中取出一控制体（如虚线所示），体（如虚线所示），其一部分控制表面其一部分控制表面与要计算作用力的与要计算作用力的固体壁面相重合。固体壁面相重合。按照作用力与反作按照作用力与反作用力大小相等、方用力大小相等、方向相反的原理，向相反的原理，讨讨论运动流体对固体论运动流体对固体壁面的作用力。壁面的作用力。t+dt 时刻，流体质点系的时刻，流体质点系的动量为动量为:(mv)t+dt+(mv)t+dt 而而 (mv)t+dt=(mv)t+dt (mv)t+dt 一、分析流体质点系的动量变化一、分析流体质点系的动量变化 在在 t 时刻，流体质点系的动量与控制体内流时刻，流体质点系的动量与控制体内流体的动量相等，均为体的动量相等，均为(mv)t 。则在则在dt 时间内流体质点系运动到新的空间位置后，时间内流体质点系运动到新的空间位置后，其动量的增量为：其动量的增量为：d(mv)=(mv)t+dt (mv)t+dt+(mv)t+dt (mv)t =(mv)t+dt (mv)t +(mv)t+dt (mv)t+dt 式中：式中：项项 控制体内流体动量在控制体内流体动量在dt 时间内时间内 的增量。的增量。项项 在在dt 时间内通过控制表面时间内通过控制表面A2 流流 出控制体的流体动量。出控制体的流体动量。项项在在dt 时间内通过控制表面时间内通过控制表面A1 流流 入控制体的流体动量。入控制体的流体动量。讨论流体在管道中的流动状态，速度分布规律，讨论流体在管道中的流动状态，速度分布规律，流量计算和流动中所产生的能量损失流量计算和流动中所产生的能量损失 hf (重点重点)。5-1 雷诺实验雷诺实验一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态）动状态）层流层流 流体质点无横向运动，互不混杂，层流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。次分明地沿管轴流动。湍流湍流 流体质点具有无规则的横向脉动。引流体质点具有无规则的横向脉动。引 起流层间流体质点的紊乱，相互混杂起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。的流动。第四章第四章 管中流动管中流动二、雷诺数（流态的判定）二、雷诺数（流态的判定）临界雷诺数：临界雷诺数：Re c=13800 层层湍湍（上）（上）（金属圆管）（金属圆管）Rec=2320 湍湍层层（下）（下）对于非圆截面管道：对于非圆截面管道：水力直径水力直径式中：式中：雷诺数雷诺数(无量纲）无量纲）式中：式中：S 湿周，即过流断面的周界长度。湿周，即过流断面的周界长度。用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：当当 Re 2320 湍流湍流雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性 力与粘性力之比。力与粘性力之比。雷诺判据雷诺判据 5-2 圆管中的层流圆管中的层流 讨论层流状态下圆管过流断面上的速度分布、讨论层流状态下圆管过流断面上的速度分布、流量计算及沿程水头（压强）损失流量计算及沿程水头（压强）损失 hl(pl)的计算。的计算。一、过流断面上的速度分布一、过流断面上的速度分布 水平放置的等径直圆管内流体作定常层流。水平放置的等径直圆管内流体作定常层流。从中取出一轴心与管轴重合的微小圆柱流体，分从中取出一轴心与管轴重合的微小圆柱流体，分析其在水平方向（析其在水平方向（x方向）上的受力。方向）上的受力。红血球在毛细红血球在毛细血管中的流动血管中的流动粘性流体层流流动现象圆柱后部发生的圆柱后部发生的流动分离形成一流动分离形成一对涡旋对涡旋 猫眼猫眼高尔夫球飞行高尔夫球飞行中承受阻力中承受阻力质量力：只有重力，无此方向上的分力质量力：只有重力，无此方向上的分力表面力：表面力：(1)两端面上的压力：两端面上的压力：（p1 p2)r2=p r2 由由 Fx=0 得：得：(2)圆柱体侧表面上的粘性摩擦力圆柱体侧表面上的粘性摩擦力 整理后可得：整理后可得：对上式积分：对上式积分：所以过流断面上的流速分布为：所以过流断面上的流速分布为：由圆管边界条件：当由圆管边界条件：当 r=R时时 v=0于是：于是：上式说明：圆管层流下过流断面上的流速随上式说明：圆管层流下过流断面上的流速随 半径半径 r 呈二次旋转抛物面分布。呈二次旋转抛物面分布。最大流速发生在轴线处（即最大流速发生在轴线处（即 r=0 处）处）故：故：二、流量计算二、流量计算 用圆管内径表示：用圆管内径表示：哈根哈根 泊肃叶公式泊肃叶公式 上式反映了流量上式反映了流量 q、压强差、压强差 p 与管径与管径 d 的关的关系。同时也是工业上测定液体粘度的依据。系。同时也是工业上测定液体粘度的依据。三、圆管层流的断面平均流速三、圆管层流的断面平均流速四、沿程能量损失四、沿程能量损失、管流中能量损失的类型、管流中能量损失的类型沿程能量损失沿程能量损失流（液）体在等径直圆管中流（液）体在等径直圆管中流动时，沿流程克服摩擦阻力，使液体能量沿流动流动时，沿流程克服摩擦阻力，使液体能量沿流动方向逐渐降低，造成的能量损失（可用沿程方向逐渐降低，造成的能量损失（可用沿程压强压强 损损失失 pl 或沿程或沿程 水头水头 损失损失 hl 表示）。表示）。局部能量损失局部能量损失流（液）体流动时克服过流流（液）体流动时克服过流断面突然改变等局部阻力造成的能量损失（同样可断面突然改变等局部阻力造成的能量损失（同样可用局部用局部 压强压强 损失损失 p 或局部或局部 水头水头 损失损失 h 表示）。表示）。2、沿程压强损失、沿程压强损失 pl 的计算的计算 层流、湍流均适用层流、湍流均适用 密度为密度为 的液体以速度的液体以速度 v 流经长度为流经长度为 l，内径为内径为 d 的一段圆管时所产生的压强损失。的一段圆管时所产生的压强损失。=f(Re,/d)沿程阻力系数沿程阻力系数式中：式中：/d 相对粗糙度。相对粗糙度。绝对粗糙度。绝对粗糙度。不同流动状态下计算不同流动状态下计算 的方法不同的方法不同。对于层流：对于层流：由流量计算公式可得：由流量计算公式可得：则：则：只与雷诺数只与雷诺数 Re 有关有关3、沿程水头损失、沿程水头损失 hl沿程能量损失亦可用水头损失表示：沿程能量损失亦可用水头损失表示：同样，上式对于层流、湍流均适用。同样，上式对于层流、湍流均适用。对于层流对于层流4、功率损失、功率损失流体功率：流体功率：P=pq功率损失：功率损失：P=pq=ghl q 5-3 圆管中的湍流圆管中的湍流一、湍流运动参数的脉动现象及其时均化一、湍流运动参数的脉动现象及其时均化 二、过流断面上的速度分布二、过流断面上的速度分布 湍流的脉动性，流体质点相互混杂、碰撞，造湍流的脉动性，流体质点相互混杂、碰撞，造成动量交换，使得过流断面上的时均速度趋于均匀成动量交换，使得过流断面上的时均速度趋于均匀化。化。时均压强时均压强 时均速度时均速度v=(0.8 0.9)vmax因而湍流时：因而湍流时：=1，=1 图中：图中：粘性底层（层流边界层）粘性底层（层流边界层）管中湍流时，靠近管中湍流时，靠近管壁以很大的速度梯度作层流运动的流体薄层。管壁以很大的速度梯度作层流运动的流体薄层。粘性底层的厚度粘性底层的厚度 管壁绝对粗糙度管壁绝对粗糙度(管壁凹凸差值的平均值管壁凹凸差值的平均值)。若若 称为水力光滑管（称为水力光滑管（淹没淹没 ）若若 称为水力粗糙管（称为水力粗糙管（突出在突出在 之外）之外）湍流属于湍流属于“水力光滑管水力光滑管”或或“水力粗糙管水力粗糙管”取决于取决于 Re（影响（影响 的大小）和的大小）和 。三、湍流的沿程阻力系数三、湍流的沿程阻力系数 =(Re,/d)在工程设计计算中，圆管湍流求取在工程设计计算中，圆管湍流求取 的的方法有方法有以下两种：以下两种：1、查莫迪（、查莫迪（Moody）图）图 （根据雷诺数（根据雷诺数Re和管壁相对粗糙度和管壁相对粗糙度 /d）2、按经验公式求取（根据不同的、按经验公式求取（根据不同的Re和和/d值，值，判断流动阻力区域后，选用适用的经验公式）判断流动阻力区域后，选用适用的经验公式）1临界区临界区 2320 Re 4000 =0.0025Re1/3 2光滑管湍流区光滑管湍流区3过渡区过渡区 过渡区的过渡区的 既与既与 Re 又与又与 /d 有关。有关。由由柯列布茹克公式柯列布茹克公式可绘制出莫迪图。可绘制出莫迪图。4粗糙管湍流区粗糙管湍流区 光滑管湍流区：光滑管湍流区：=(Re)粗糙管粗糙管湍流湍流区：区：=(/d)过渡区：过渡区：=(Re,/d)近似于近似于 5-5 管道中的局部阻力管道中的局部阻力局部阻力造成局部能量损失的原因：局部阻力造成局部能量损失的原因：1、局部装置（障碍）处存在流动旋涡区；、局部装置（障碍）处存在流动旋涡区；2、局部装置处存在速度重新分布、局部装置处存在速度重新分布(大小，方向大小，方向)。局部压强损失局部压强损失 局部水头损失局部水头损失式中：式中：局部阻力系数（不同局部装置的局部阻力系数（不同局部装置的 值值由实验确定）。由实验确定）。v 一般用局部装置（即局部损失）后的速度值。一般用局部装置（即局部损失）后的速度值。可写出：可写出：对照局部损失计算式：对照局部损失计算式：需将压强势能项以动能形式表示。需将压强势能项以动能形式表示。取控制体列出流动方向的动量方程：取控制体列出流动方向的动量方程：第四章第四章 相似理论和量纲分析相似理论和量纲分析 相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实验结果）验结果）。工程流体力学实验的两种类型：工程流体力学实验的两种类型：1、工程性的模型实验、工程性的模型实验预测即将建造的大型机预测即将建造的大型机 械或水工结构上的流体流动情况。械或水工结构上的流体流动情况。2、探索性的观察实验、探索性的观察实验寻找未知的流动规律。寻找未知的流动规律。指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要借助于量纲分析法。则要借助于量纲分析法。4-1 相似原理（应用于模型实验）相似原理（应用于模型实验）一、力学相似的基本概念一、力学相似的基本概念力学相似力学相似 实物流动实物流动与与模型流动模型流动在对应点上的在对应点上的 对应对应（同名）（同名）物理量都应该具有固物理量都应该具有固 定的比例关系。定的比例关系。几何相似几何相似 力学相似力学相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似1、几何相似、几何相似 模型流动与实物流动有相似模型流动与实物流动有相似 的边界形状，且一切对应的的边界形状，且一切对应的 线性尺度成比例。线性尺度成比例。则则:线性比例尺线性比例尺(基本比例尺之一基本比例尺之一)(几何相似常数几何相似常数)面积比例尺：面积比例尺：体积比例尺：体积比例尺：2、运动相似、运动相似 两个流动对应点、对应时刻两个流动对应点、对应时刻 的流动速度方向都一致，大的流动速度方向都一致，大 小都成同一比例。小都成同一比例。则则:速度比例尺速度比例尺(基本比例尺之二基本比例尺之二):时间比例尺：时间比例尺：加速度比例尺：加速度比例尺：（速度比例常数）（速度比例常数）流量比例尺流量比例尺：运动粘度比例尺：运动粘度比例尺：3、动力相似、动力相似 两个流动在对应点上，对应瞬两个流动在对应点上，对应瞬 时，质点受到同种性质的外力时，质点受到同种性质的外力 作用，且对应的同名力方向相作用，且对应的同名力方向相 同，大小成同一比例。同，大小成同一比例。其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺（纲由上述三个基本比例尺（l，v，）确定）确定。则则:密度比例尺密度比例尺(基本比例尺之三基本比例尺之三):（密度比例常数）（密度比例常数）如：质量比例尺：如：质量比例尺：力比例尺：力比例尺：上式中各同名力分别为压力上式中各同名力分别为压力P、粘性力、粘性力F、重力、重力G、惯性力、惯性力 I。对于惯性力根据牛顿定律有：对于惯性力根据牛顿定律有：I m a故：故：压强比例尺：压强比例尺：动力粘度比例尺：动力粘度比例尺：注意：注意：无量纲系数的比例尺无量纲系数的比例尺:c 1 单位质量重力的比例尺：单位质量重力的比例尺：g 1二、相似准则二、相似准则 两流动力学相似，则必须满足动力相似。而两流动力学相似，则必须满足动力相似。而动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力学相似判据，相似准数）的形式来表示。学相似判据，相似准数）的形式来表示。即：同名即：同名相似准数相似准数相等。相等。1、重力相似判据（佛劳德准则）、重力相似判据（佛劳德准则）流体所受重力为流体所受重力为 G mg Vg 即：即：l2 v2 l3 g 佛劳德准则（重力相似判据）佛劳德准则（重力相似判据）佛劳德相似准数佛劳德相似准数（佛劳德准数）（佛劳德准数）整理得：整理得：或：或：定义：定义：则：则：2、粘性力相似判据（雷诺判据）、粘性力相似判据（雷诺判据）作用于流体上的粘性力作用于流体上的粘性力 即即：雷诺相似准数雷诺相似准数(雷诺数雷诺数)定义：定义：整理得：整理得：或：或：则：则：Re Re 雷诺准则雷诺准则(粘性力相似判据粘性力相似判据)即：即：l2 v2 p l23、压力相似判据（欧拉准则）、压力相似判据（欧拉准则）作用在流体上的压力作用在流体上的压力 P p A整理得：整理得：定义：定义：则：则：Eu Eu 欧拉准则欧拉准则(压力相似判椐压力相似判椐)欧拉相似准数欧拉相似准数(欧拉数欧拉数)以上三个准则称为实际以上三个准则称为实际(粘性粘性)不可压缩流体不可压缩流体定常流动的力学相似准则。定常流动的力学相似准则。三、近似准则（近似相似）三、近似准则（近似相似）完全相似必须保持下列三个相互制约关系：完全相似必须保持下列三个相互制约关系：v2 g l v l p v2 这是相当困难甚至不可能的。这是相当困难甚至不可能的。例如：由式例如：由式得得：v l 1/2 （g 1）由式由式得得：l 1/2 l l 3/2 上述关系很难满足。上述关系很难满足。又如：若两流动使用同一种介质，又如：若两流动使用同一种介质，温度相同时：温度相同时：1 由佛劳德准则有由佛劳德准则有 ：v l1/2 二者矛盾，不可能同时满足。二者矛盾，不可能同时满足。由雷诺准则有：由雷诺准则有：近似准则法：近似准则法：根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似准则准则 ），设计模型实验（流动）。），设计模型实验（流动）。1 1、佛劳德准则作为决定性相似准则。、佛劳德准则作为决定性相似准则。用于水利工程及明渠等无压流动中。用于水利工程及明渠等无压流动中。此类流动都是以水位落差形式表现的重力为此类流动都是以水位落差形式表现的重力为主要矛盾，支配流动。主要矛盾，支配流动。2 2、雷诺准则作为主要相似准则、雷诺准则作为主要相似准则 用于有压管流和大气中物体的运动等情况。用于有压管流和大气中物体的运动等情况。流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性质。质。四、模型流动的设计与数据换算（举例）四、模型流动的设计与数据换算（举例）例：在设计高例：在设计高h=1.5 m，最大速度为，最大速度为 v=200km/h的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的正面空气阻力。拟在风洞中进行模型实验，并的正面空气阻力。拟在风洞中进行模型实验，并假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度相同。相同。若风洞中模型流动的气流速度设计为若风洞中模型流动的气流速度设计为v =83m/s，求模型实验中的轿车高度，求模型实验中的轿车高度h；在在的的条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空气阻力气阻力F =1000N，求实物汽车在公路上以最大速，求实物汽车在公路上以最大速度度 200 km/h 行驶时，所受空气阻力行驶时，所受空气阻力 F 为多少？为多少？解：解：(1)影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力，影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力，应以雷诺准则作为决定性相似准则。应以雷诺准则作为决定性相似准则。即应使即应使或或因两流动是同种介质，且同温度，应有：因两流动是同种介质，且同温度，应有：将将 v=200 km/h，l=h=1.5 m，v =83 m/s 代入雷诺准则式代入雷诺准则式则模型实验中轿车的设计高度应为：则模型实验中轿车的设计高度应为：(2)模型设计时已知：模型设计时已知：（同温度下的同种介质）（同温度下的同种介质）则：则：可得实物汽车上的正面阻力为：可得实物汽车上的正面阻力为：4-2 定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用 量纲分析的目的是找出影响某一流动现象量纲分析的目的是找出影响某一流动现象（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并使得实验中所需测量和处理的变量数减少。使得实验中所需测量和处理的变量数减少。定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。一、一、量纲和谐性原理量纲和谐性原理 一个物理现象（或物理过程）用能正确反映一个物理现象（或物理过程）用能正确反映其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项的量纲应该是和谐的、一致的。的量纲应该是和谐的、一致的。若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称为物理方程的量纲齐次性原理。为物理方程的量纲齐次性原理。此原理是量纲分析法的理论依据。此原理是量纲分析法的理论依据。二二、定理定理 设影响某一个物理过程或某一物理现象设影响某一个物理过程或某一物理现象 N 的的 k 个因素个因素(物理量、变量物理量、变量)为为 n1，n2，ni，nk，则此物理现象可用函数式表示为：，则此物理现象可用函数式表示为：若从这（若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理）个物理量中确定出三个物理量量 n1，n2，n3 作为基本物理量，则这个物理现作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（象可以用由（k+1）个物理量构成的（）个物理量构成的（k+1 3）个无量纲参数个无量纲参数 i 表达的函数关系式来描述。表达的函数关系式来描述。即：即：f(4，5，i，k)三个基本物理量必须满足的要求：三个基本物理量必须满足的要求：基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包含基本量纲含基本量纲 M、L、T。其余其余（k+1 3）个物理量）个物理量的量纲都可以由的量纲都可以由这这 三个基本物理量的量纲表示（导出）三个基本物理量的量纲表示（导出）。应用应用 定理进行定理进行量纲分析的步骤：量纲分析的步骤：找出影响流动找出影响流动(物理物理)现象现象(规律规律)N 的全部的全部 k 个个物理量，将物理现象写成一般函数关系物理量，将物理现象写成一般函数关系 式：式：从从 k 个物理量中选出个物理量中选出 3 个符合要求（包含不个符合要求（包含不同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选 l、v、，分别包含长度、时间和质量）。，分别包含长度、时间和质量）。用这三个用这三个基本物理量的组合（通常是这三基本物理量的组合（通常是这三个变量指数乘积的形式）依次与其余的个变量指数乘积的形式）依次与其余的（k+1 3）个物理量中）个物理量中的任一个一起组成的任一个一起组成（k+1 3）个）个无无量纲的量纲的 项。项。即：即：；式中：式中：n1、n2、n3 为为基本物理量。基本物理量。i 4,5,k 确定确定无量纲无量纲的的 项中的各项中的各指数指数写出各变量的量纲，列出写出各变量的量纲，列出量纲关系式，依据量量纲关系式，依据量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边