正交群幺模群和Euler转动课件

正交群幺模群和Euler转动16、云无心以出岫，鸟倦飞而知还。17、童孺纵行歌，斑白欢游诣。18、福不虚至，祸不易来。19、久在樊笼里，复得返自然。20、羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。SU(2)与SO(3)的关系n虽然SU(2)与SO(3)均表征转动，但非同构，即SU(2)与SO(3)不是一一对应的。其实，SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2对应于-1，转4对应于1，但SO(3)中转2和4都对应于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，则可认为SO(3)与SU(2)局部同构。三、Euler转动n三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征：1)将刚体绕z轴转角.空间坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的,转动后刚体y轴变为y轴2)使刚体绕y轴转角，刚体z轴变为z轴3)使刚体绕z轴转角，y轴变为y轴。用33正交矩阵描述这三个Euler转动，结果为:ny与y差角，绕y转角可等价为：先用Rz(-)将y转回到y，然后绕y转角,再将y转回到y轴，即n上式左右两边对y轴效果自然相同，对zz(z)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。n类似可证：n于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为：n即：化关于刚体轴y、z的操作为关于空间固定轴的操作对应于Euler转动的转动算符n与正交矩阵的乘积对应，存在相应转动算符的乘积：n对自旋1/2体系为n该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。n上式的exp(-i2)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。n 是转动算符D(,)的j=1/2的不可约表示，其矩阵元记为3.4 密度算符与混合系综一、极化与非极化粒子束n前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢|表征。n对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子，其自旋朝向是随机的。n按前描述任意态的方法，所描述的态有特定自旋方向，其极角和方位角由 决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综。二、分数分布n自旋朝向无规的系综可看作由50%|+和50%|-的粒子组成，可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述n注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-组成。n2）几率权重(w+，w-)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。n3）不能混淆w+(w-)和|c+|2(|c-|2)，|c+|2(|c-|2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。nw+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。三、非极化、部分极化和完全极化nSG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子，原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。n经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的，自旋有特定朝向。n完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混合系统中有70%的态由|描述，而30%由|描述，则称为部分极化的。这里|和|不一定要正交。例如，|是|Sx+，而|是|Sz-。n非纯系综必须用分数分布数描述（分布数一般不唯一，但要满足描述系综总体性质的要求）四、系综平均n混合系综可看作纯系综|(i)的混合叠加。1)分数分布要满足归一条件:2)不同态|(i)不必正交3)i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40%|Sz+、30%|Sx-和30%|Sy-组成.n对混合系综测量A，测量的统计结果是A的系综平均n这里|a是A的本征矢。由于是A在态|(i)的期望值，系综平均要对期望值作权重平均，即几率概念出现两次:一是在态|(i)找到A本征态的量子力学几率，二是|(i)在系综的几率权重。五、密度算符n利用一般基求A的系综平均：n对b或b的求和项数是态矢空间的维数，而i的项数则与混合系统被看作由怎样的纯态混合而成有关。n定义与特定观测量A无关的系综密度算符：n其矩阵表示即密度矩阵的矩阵元为n密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。n观测量的系综平均n由于迹与表象无关，可在任意方便的基中计算，因而上式是非常有用的。六、密度算符的基本性质1）厄米性：+=2）满足归一化条件：由于厄米性及归一条件，对自旋1/2的体系，密度算符的矩阵表示由3个独立参量描述，这是因为厄米矩阵由四实数表述，而归一性将独立参数数降为3。所需三个参数是Sx,Sy和Sz。七、纯态系综的密度算符n纯系综由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，对应的密度算符为：n纯系综的具有等幂性:2=(故Tr(2)=1),(-1)=0n对角化时有ii(ii-1)=0，即ii=1或ii=0，具有形式：n由于 n纯系综的Tr(2)=1为极大，任何混合系统的Tr(2)和50%|-的非相干组合，则：4）由75%|Sz+与25%|Sx+组成的部分极化系综容易求得：注：给定，其对纯态的分解可以是多样化的（可从矢量模型理解）。S=0九、系综的时间演化n对 ，若系综不受干扰，则wi不变，系综的时间演化由态矢|(i)的时间演化决定，n这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛盾，因不是Heisenberg绘景中的动力学观测量。其实，是由Schrdinger绘景中的态矢组成的，而态矢则是按Schrdinger方程演化的。n的时间演化方程的经典对应正是统计力学中关于相空间态密度时间演化的刘维方程。十、连续谱空间中的密度算符n对应于连续本征谱的态矢，则n此时密度矩阵实际上是x和x的函数，即ni(x)是对应于|(i)的波函数。n的对角元素是几率密度的权重和。n混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包的叠加）十一、密度算符与量子统计力学n对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象任何表象中均有：n该与纯系综的很不相同。n为定量表征不同系综的，定义为：n在本征态为基矢时 关于算符函数矩阵的运算n若X为对角矩阵，,则X函数的矩阵亦对角n例如：n若 ,则 n例十二、熵n由于 ，是半正定的（0）。n对完全随机系综n对纯系综，=0n可见可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是的最大值。n在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与的关系为，S=k，k为Boltzmann常数。nS=k可看作是量子统计力学中熵的定义。十三、热平衡系综的密度矩阵n对具有确定H的系综,热平衡时 取极大:=0.n因/t=0,与H可同时对角化,可用H的本征态为基.n粒子的平均内能：H=Tr(H)=Un由约束条件n用Lagranger乘子法可得n其解为，n利用归一化条件有n对应于能量本征态Ek的几率分布。n上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定n若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任意k）：kk=1/Nn对应于完全随机的系综，与-0（即T）的正则系综分布相同十四、配分函数nkk的分母为 是统计力学中的配分函数，可写为n在能量本征态基中可写为n据此可得体系的所有性质，n对A=H，有n与统计力学的对应知=1/kT.应用举例：均匀磁场中的电子系综nBrillouin磁化率公式：n负温度（如晶格排列磁矩体系）：n(温度序列：0+，正温，正无穷，负无穷，负温，0-)作业n3.5、3.9、3.10、3.11、3.1226、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。卢梭27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。罗曼罗兰28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。孔子29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。达芬奇30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。叔本华谢谢！谢谢！31