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谨小慎微，水到渠成谨小慎微，水到渠成 -说说20152015年中考选择题年中考选择题 谨小慎微，水到渠成1:1:1:1:说背景说背景说背景说背景2:2:说题目说题目说题目说题目3:3:说解法说解法说解法说解法4:4:说思想说思想说思想说思想5:5:说反思说反思说反思说反思6:6:6:6:说小结说小结说小结说小结1:说背景2:说题目3:说解法4:说思想5:说反思6:说小结在直线上摆放着三个正方形在直线上摆放着三个正方形在直线上摆放着三个正方形在直线上摆放着三个正方形.如图如图如图如图1 1 1 1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.a,b.a,b.a,b.斜着放置斜着放置斜着放置斜着放置的正方形的面积的正方形的面积的正方形的面积的正方形的面积S=_S=_S=_S=_，两个直角三角形的面积和为，两个直角三角形的面积和为，两个直角三角形的面积和为，两个直角三角形的面积和为_；（均用；（均用；（均用；（均用a,ba,ba,ba,b表示）表示）表示）表示）如图如图如图如图2 2 2 2，小正方形的面积，小正方形的面积，小正方形的面积，小正方形的面积S S S S1 1 1 1=1=1=1=1，斜着放置的正方形的面积，斜着放置的正方形的面积，斜着放置的正方形的面积，斜着放置的正方形的面积S=4S=4S=4S=4，求，求，求，求图中两个钝角三角形的面积图中两个钝角三角形的面积图中两个钝角三角形的面积图中两个钝角三角形的面积m m m m1 1 1 1和和和和m m m m2 2 2 2，并给出图中四个三角形的面积，并给出图中四个三角形的面积，并给出图中四个三角形的面积，并给出图中四个三角形的面积关系；关系；关系；关系；图图图图3 3 3 3是由五个正方形所搭成的平面图，是由五个正方形所搭成的平面图，是由五个正方形所搭成的平面图，是由五个正方形所搭成的平面图，T T T T与与与与S S S S分别表示所在三角形分别表示所在三角形分别表示所在三角形分别表示所在三角形和正方形的面积，试写出和正方形的面积，试写出和正方形的面积，试写出和正方形的面积，试写出T T T T与与与与S S S S的关系式，并利用的关系式，并利用的关系式，并利用的关系式，并利用和和和和的结论说的结论说的结论说的结论说明理由明理由明理由明理由.原题再现原题再现:在直线上摆放着三个正方形.原题再现:这两题是温州市这两题是温州市这两题是温州市这两题是温州市2015201520152015年中考中的第年中考中的第年中考中的第年中考中的第9 9 9 9、第、第、第、第10101010题题题题考试大纲中模拟卷一的第考试大纲中模拟卷一的第考试大纲中模拟卷一的第考试大纲中模拟卷一的第26262626题（即最后一题）。题（即最后一题）。题（即最后一题）。题（即最后一题）。此题主要考察了学生对直角三角形，勾股定理，此题主要考察了学生对直角三角形，勾股定理，此题主要考察了学生对直角三角形，勾股定理，此题主要考察了学生对直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应用，及读图，分析，归纳，类比等能力。用，及读图，分析，归纳，类比等能力。用，及读图，分析，归纳，类比等能力。用，及读图，分析，归纳，类比等能力。此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环环紧扣，符合环紧扣，符合环紧扣，符合环紧扣，符合的要求。的要求。的要求。的要求。说背景说背景说背景说背景 这两题是温州市2015年中考中的第9、第10题考试大说题目说题目说题目说题目 本题第本题第1 1问，已知两小问，已知两小正方形的边长，求大正方形正方形的边长，求大正方形的面积及两直角三角形的面的面积及两直角三角形的面积和。积和。本题第本题第本题第本题第2 2 2 2问，已知两正问，已知两正问，已知两正问，已知两正方形面积，求新建两钝角方形面积，求新建两钝角方形面积，求新建两钝角方形面积，求新建两钝角三角形面积及图中四个三三角形面积及图中四个三三角形面积及图中四个三三角形面积及图中四个三角形之间的面积关系。角形之间的面积关系。角形之间的面积关系。角形之间的面积关系。m2m1S2S1图图2S图图1baS说题目 本题第1问，已知两小正方形的边长，求大正方形的说解法说解法说解法说解法解析：以解析：以解析：以解析：以m m m m1 1 1 1为例：过为例：过为例：过为例：过A A A A作高作高作高作高AH,AH,AH,AH,易证易证易证易证ADHDKP(AAS)ADHDKP(AAS)ADHDKP(AAS)ADHDKP(AAS)易证易证易证易证m m m m1 1 1 1=m=m=m=m2 2 2 2=S=S=S=SDKPDKPDKPDKP=S=S=S=SEPQEPQEPQEPQ=本题第本题第本题第本题第1 1 1 1问，求问，求问，求问，求S S S S及两三角形面积和。及两三角形面积和。及两三角形面积和。及两三角形面积和。本题第本题第本题第本题第2 2 2 2问，求两钝角三角形面积问，求两钝角三角形面积问，求两钝角三角形面积问，求两钝角三角形面积以及图中四个三角形之间的面积以及图中四个三角形之间的面积以及图中四个三角形之间的面积以及图中四个三角形之间的面积关系关系关系关系.图图1baSPHEDQFCKGBAm2m1S2S1图图2AH=KP=EQ,AH=KP=EQ,得得得得 mm1 1=解析：由全等三角形可知，解析：由全等三角形可知，解析：由全等三角形可知，解析：由全等三角形可知，S=aS=aS=aS=a2 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2 两直角三角形面积和两直角三角形面积和两直角三角形面积和两直角三角形面积和=ab=ab=ab=ab说解法解析：以m1为例：过A作高AH,易证ADHDKP说题目说题目说题目说题目 第第第第3 3 3 3问，建立在问，建立在问，建立在问，建立在1,21,21,21,2小题图形基础上再构造，已小题图形基础上再构造，已小题图形基础上再构造，已小题图形基础上再构造，已知知知知5 5 5 5个正方形，个正方形，个正方形，个正方形，1,21,21,21,2小题的结论和证明过程，以及图小题的结论和证明过程，以及图小题的结论和证明过程，以及图小题的结论和证明过程，以及图形中的直角关系，求三角形形中的直角关系，求三角形形中的直角关系，求三角形形中的直角关系，求三角形T T T T和正方形和正方形和正方形和正方形S S S S的面积关系。的面积关系。的面积关系。的面积关系。说题目 第3问，建立在1,2小题图形基础上再构造，已知说反思说反思说反思说反思KQFGP本题本题本题本题1,21,21,21,2小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些作出了高却依然想不到类比第作出了高却依然想不到类比第作出了高却依然想不到类比第作出了高却依然想不到类比第1 1 1 1小题的全等思路。小题的全等思路。小题的全等思路。小题的全等思路。说反思KQFGP本题1,2小题，重点考察用全等三角形，难度不解析：连接解析：连接解析：连接解析：连接BCBCBCBC，思路：先证思路：先证思路：先证思路：先证S S S SABCABCABCABC=S,=S,=S,=S,再证再证再证再证S S S SABCABCABCABC=T,=T,=T,=T,则则则则T=ST=ST=ST=S说解法说解法说解法说解法第第第第3 3 3 3问，求三角形问，求三角形问，求三角形问，求三角形T T T T和正方形和正方形和正方形和正方形S S S S的面积关系。的面积关系。的面积关系。的面积关系。解析：连接BC，说解法第3问，求三角形T和正方形S的面积关系先证先证先证先证S S S SABCABCABCABC=S =S =S =S S S S SABC=ABC=ABC=ABC=S S S S由由由由(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)小题可知：小题可知：小题可知：小题可知：说解法说解法说解法说解法FGKPQABCNMT图图3Saabb通过面积计算可得通过面积计算可得通过面积计算可得通过面积计算可得,先证SABC=S SABC=S由(1)(2)小题WRFGKPQABCNMT图图3S说解法说解法说解法说解法1 1 1 1再证再证再证再证T=ST=ST=ST=SABCABCABCABC 过过过过N N N N作作作作NRAM,NRAM,NRAM,NRAM,过过过过B B B B作作作作BWAC,BWAC,BWAC,BWAC,易证易证易证易证ANRABW(AAS)ANRABW(AAS)ANRABW(AAS)ANRABW(AAS)NR=BWNR=BWNR=BWNR=BW又又又又AM=AC,SAM=AC,SAM=AC,SAM=AC,SAMNAMNAMNAMN=S=S=S=SABCABCABCABC 即即即即T=ST=ST=ST=SABCABCABCABC 解法解法解法解法1 1 1 1：作高，证全等：作高，证全等：作高，证全等：作高，证全等 S S S SABCABCABCABC=S T=S=S T=S=S T=S=S T=SWRFGKPQABCNM图图3ST双三角模型双三角模型双三角模型双三角模型-面积相等面积相等面积相等面积相等WRFGKPQABCNMT图3S说解法1再证T=SABC 倍长中线法倍长中线法倍长中线法倍长中线法证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等易知易知易知易知ADNABC(SAS)ADNABC(SAS)ADNABC(SAS)ADNABC(SAS)(理由理由:NAM+DNA=180NAM+DNA=180NAM+DNA=180NAM+DNA=180 NAM+BAC=180 NAM+BAC=180 NAM+BAC=180 NAM+BAC=180 DNA=BAC DNA=BAC DNA=BAC DNA=BAC 又又又又DN=AM=AC,NA=AB)DN=AM=AC,NA=AB)DN=AM=AC,NA=AB)DN=AM=AC,NA=AB)构造平行四边形构造平行四边形构造平行四边形构造平行四边形AMDNAMDNAMDNAMDN说解法说解法说解法说解法2 2 2 2ODABCNM又又又又 DNODNOAMOAMO S S NAMNAM=S=S ABCABC倍长中线法易知ADNABC(SAS)构造平行四边形AM易证易证易证易证AHEABD;AFGADCAHEABD;AFGADCAHEABD;AFGADCAHEABD;AFGADC作高，两次全等作高，两次全等作高，两次全等作高，两次全等证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等证明：双三角模型面积相等作作作作ADBCADBCADBCADBC并延长交并延长交并延长交并延长交HGHGHGHG于点于点于点于点P P P P，作作作作HEAP,FGAP,HEAP,FGAP,HEAP,FGAP,HEAP,FGAP,PEFDGHCBA说解法说解法说解法说解法3 3 3 3 HE=AD=FGHE=AD=FGHE=AD=FGHE=AD=FG又证又证PHEPFGPHEPFGPHEPFGPHEPFG S S S SHAGHAGHAGHAG=S=S=S=SABCABCABCABC解法解法解法解法4 4：三角函数面积公式：三角函数面积公式：三角函数面积公式：三角函数面积公式易证AHEABD;AFGADC作高，两次全等作A已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图RtMDF,RtDEFRtMDF,RtDEFRtMDF,RtDEFRtMDF,RtDEF，点点点点A A A A和点和点和点和点O O O O分别是所在三角形内心，分别是所在三角形内心，分别是所在三角形内心，分别是所在三角形内心，S S S SADOFADOFADOFADOF=5=5=5=5，求，求，求，求S S S SHDPNFGHDPNFGHDPNFGHDPNFG解析：作解析：作解析：作解析：作DB=DHDB=DHDB=DHDB=DH，FC=FGFC=FGFC=FGFC=FG，由内心可知，由内心可知，由内心可知，由内心可知，A A A A，O O O O是角平分线交点，是角平分线交点，是角平分线交点，是角平分线交点，则则则则HAG=PON=135HAG=PON=135HAG=PON=135HAG=PON=135，由全等三角形得由全等三角形得由全等三角形得由全等三角形得HAB=GAC=90HAB=GAC=90HAB=GAC=90HAB=GAC=90 S SHDPNFGHDPNFG=2S=2SADOFADOF=10=10说应用说应用说应用说应用l双三角模型双三角模型EPNCBOGHMFDABGHCA甬真重高甬真重高甬真重高甬真重高已知：如图RtMDF,RtDEF，点A和点O分别是所在引申引申引申引申1 1 1 1：ABABABAB=kAD,=kAD,=kAD,=kAD,ACACACAC=kAE=kAE=kAE=kAE则则则则S S S SADEADEADEADE：S S S SABABABAB C C C C=1 1 1 1：k k k k2 2 2 2说引申说引申说引申说引申1 1 1 1l双三角模型双三角模型双三角模型双三角模型-变：边长成比例变：边长成比例变：边长成比例变：边长成比例将双三角模型证明面将双三角模型证明面将双三角模型证明面将双三角模型证明面积相等中的积相等中的积相等中的积相等中的全等三角全等三角全等三角全等三角形形形形方法转化为方法转化为方法转化为方法转化为证明证明证明证明相似三角形相似三角形相似三角形相似三角形。CBCBEDACBEDA2011201120112011盐城中考最后压轴题盐城中考最后压轴题盐城中考最后压轴题盐城中考最后压轴题引申1：AB=kAD,AC=kAE说引申1双三角模型-说引申说引申说引申说引申2 2 2 2双三角模型双三角模型双三角模型双三角模型-变：角度变：角度变：角度变：角度条件：条件：HAB+GAC=180 HAB+GAC=180 结论：结论：S SAHGAHG=S=SABCABCH HGGA AC CB B说引申2双三角模型-变：角度条件：HAB+GAm2m1S2S1图图2ST图图3S再回首再回首再回首再回首说思想说思想说思想说思想 本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的数学思想方法，且有效地考查了学生对知识的迁移、数学思想方法，且有效地考查了学生对知识的迁移、数学思想方法，且有效地考查了学生对知识的迁移、数学思想方法，且有效地考查了学生对知识的迁移、重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。m2m1S2S1图2ST图3S再回首说思想 本题的设计相比来说，本题第相比来说，本题第相比来说，本题第相比来说，本题第3 3 3 3小题，则小题，则小题，则小题，则是以能力立意的试题。是以能力立意的试题。是以能力立意的试题。是以能力立意的试题。说反思说反思说反思说反思解决本题的关键在于解决本题的关键在于解决本题的关键在于解决本题的关键在于找到辅助找到辅助找到辅助找到辅助ABCABCABCABC，再运用模型和转化思想。再运用模型和转化思想。再运用模型和转化思想。再运用模型和转化思想。原题：正方形原题：正方形原题：正方形原题：正方形ABDQABDQABDQABDQ和和和和ACGF,ACGF,ACGF,ACGF,（1 1 1 1）若已知）若已知）若已知）若已知M M M M是是是是DFDFDFDF中点，中点，中点，中点，则则则则MAMAMAMA延长线与延长线与延长线与延长线与BCBCBCBC垂直。垂直。垂直。垂直。（2 2 2 2）其逆命题也成立。）其逆命题也成立。）其逆命题也成立。）其逆命题也成立。即已知即已知即已知即已知ANBC,ANBC,ANBC,ANBC,求证：求证：求证：求证：NANANANA反向延长线交于反向延长线交于反向延长线交于反向延长线交于DFDFDFDF中点中点中点中点M M M MFGACBNMDQ相比来说，本题第3小题，则是以能力立意的试题。说反思解决本题 本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及到的重点知识到的重点知识到的重点知识到的重点知识-全等三角形，相似三角形，图形全等三角形，相似三角形，图形全等三角形，相似三角形，图形全等三角形，相似三角形，图形变换，以及重要思想变换，以及重要思想变换，以及重要思想变换，以及重要思想-转化和类比，归纳总结等转化和类比，归纳总结等转化和类比，归纳总结等转化和类比，归纳总结等加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模型的重要性。型的重要性。型的重要性。型的重要性。一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模型，相信所有的题目都万变不离其宗型，相信所有的题目都万变不离其宗型，相信所有的题目都万变不离其宗型，相信所有的题目都万变不离其宗-就如此题。就如此题。就如此题。就如此题。本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，通过一模多说应用说应用说应用说应用2 2 2 2已知梯形已知梯形已知梯形已知梯形CDEF,CDEF,CDEF,CDEF,以以以以CD,EFCD,EFCD,EFCD,EF为边分别为边分别为边分别为边分别作正方形作正方形作正方形作正方形ABCDABCDABCDABCD和和和和EGGHEGGHEGGHEGGH，NPNPNPNP是是是是DEDEDEDE的的的的中垂线，过中垂线，过中垂线，过中垂线，过A A A A作作作作ANNP,ANNP,ANNP,ANNP,过过过过H H H H作作作作HMNP,HMNP,HMNP,HMNP,求证：求证：求证：求证：AN=MHAN=MHAN=MHAN=MH解析：过解析：过解析：过解析：过O O O O作作作作OS/CD,OT/EF,OS/CD,OT/EF,OS/CD,OT/EF,OS/CD,OT/EF,平移正方形平移正方形平移正方形平移正方形ABCD,EFGH,ABCD,EFGH,ABCD,EFGH,ABCD,EFGH,如图所如图所如图所如图所示，即证示，即证示，即证示，即证AN=MHAN=MHAN=MHAN=MH可以转化为证明可以转化为证明可以转化为证明可以转化为证明RN=MKRN=MKRN=MKRN=MKS ST TV VR RK KQQ易证易证ORNOSP;OMKOPTORNOSP;OMKOPTORNOSP;OMKOPTORNOSP;OMKOPT RN=OP=MK RN=OP=MK RN=OP=MK RN=OP=MK AN=MH AN=MH AN=MH AN=MHOO双三角模型双三角模型双三角模型双三角模型面积相等证法面积相等证法面积相等证法面积相等证法3 3 3 3说应用2已知梯形CDEF,以CD,EF为边分别作正方形ABCAdd Your TitleAdd Your Title说思想说思想说解法说解法说背景说背景说背景说背景说题目说题目说思想说思想说思想说思想说解法说解法说背景说背景说背景说背景Add Your Title说思想说解法说背景说题目说思想说6.6.6.6.说小结说小结说小结说小结1.说题目目2.2.2.2.说背景说背景说背景说背景3.3.3.3.说解法说解法说解法说解法4.4.4.4.说思想说思想说思想说思想5.5.5.5.说反思说反思说反思说反思6.说小结1.说题目2.说背景3.说解法4.说思想5.说反思1.1.说题目说题目说题目说题目2.2.说背景说背景说背景说背景3.3.说解法说解法说解法说解法4.4.说思想说思想说思想说思想6.6.说小结说小结说小结说小结5.5.说反思说反思说反思说反思1.说题目2.说背景3.说解法4.说思想6.说小结5.说反思 再 见 再 见
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