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第一章第一章 向量与坐标向量与坐标 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 1.2 1.2 向量的加法向量的加法 1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量 1.4 1.4 向量的线性向量的线性 关系与分解关系与分解 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积第一章 向量与坐标 1.1 向量的概念 1.2 向1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 定义定义1.4.11.4.1 由由 与实数与实数 所组成的向量所组成的向量 叫做叫做 的线性组合的线性组合.(.(也称向量也称向量 可可以用向量以用向量 线性表示线性表示,或或 可以分解可以分解成成 的线性组合的线性组合.).)1.4 向量的线性关系与向量的分解 定义1.4.1 由 定理定理1.4.11.4.1 如果向量如果向量 ,则则 与与 共线共线的充分必要条件是的充分必要条件是 可以用向量可以用向量 线性表示线性表示,或者说或者说 是是 的线性组合的线性组合,即即 并且系数并且系数 被被 惟一确定惟一确定.这时这时 称为用线性组合来表示共线向量的称为用线性组合来表示共线向量的基底基底.定理1.4.1 如果向量 ,则 与 共线的充 必要性必要性 若若 与与 共线共线,当当 同向时同向时,取取 ;当当 反向时反向时,取取 ,则有则有 下证下证 惟一惟一.如果如果 ,则则 ,即即 ,但但 ,则则 .即即 证明证明:充分性充分性 若若 ,则由数乘的定义则由数乘的定义可知可知 与与 共线共线.必要性 若 与 共线,当 同向时,取 下证 定理定理1.4.21.4.2 如果向量如果向量 不共线不共线,则向量则向量 与与 共面的充分必要条件是共面的充分必要条件是 可以用向可以用向量量 线性表示线性表示,即即并且系数并且系数 被被 唯一确定唯一确定.这时这时 叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底.定理1.4.2 如果向量 不共线,则向量 证明证明:因为因为 不共线不共线,所以所以 .共线共线,则有则有 (或或 ).).只要取只要取 (或或 ),),则有则有 .若若 与与 都不共线都不共线,把把 归结到共同始点归结到共同始点 ,并设并设过点过点 作作 ,分别交分别交所在直线于所在直线于 两点两点.必要性必要性 若若 与与 共面共面,若若 与与 (或或 )证明:因为 不共线,所以 .共线 充分性充分性 若若 ,当当 时时,例如例如 ,则有则有 与与 共线共线,所以所以 共面共面.当当 时时,则则 ,即即 平行平行 确定之平面确定之平面.而而 ,所以所以 共面共面.由于由于 与与 共线共线,与与 共线共线,则由定理则由定理1.4.11.4.1有有 充分性 若 ,当 时,例如 下证下证 惟一惟一.如果如果 ,则则 .若若 ,则有则有由定理由定理1.4.11.4.1可知可知 共线共线,矛盾矛盾.同理有同理有 .下证 惟一.如果 定理定理1.4.31.4.3 如果向量如果向量 不共面不共面,那么那么空间任意向量空间任意向量 可以由向量可以由向量 线性表示线性表示,或说空间任意向量或说空间任意向量 可以分解成向量可以分解成向量 的线性组合，即的线性组合，即并且其中系数并且其中系数 被被 唯一确定唯一确定.这时这时 叫做空间向量的基底叫做空间向量的基底.定理1.4.3 如果向量 不共面,那么空间任 证明证明:因为因为 不共面不共面,则由定义则由定义1.1.51.1.5知知 ,且它们彼此不共线且它们彼此不共线.如果如果 和和 之中的两个向量共面之中的两个向量共面,例例如如 ,则由定理则由定理1.4.21.4.2有有 ,则则结论成立结论成立.如果如果 和和 中任意两个都不共面中任意两个都不共面.将将 归结为到共同始点归结为到共同始点 ,并设并设 ,证明:因为 不共面,则由定义1.1.5知 相交于相交于 三点三点,如图如图.,过过 的终点作三平面分别与的终点作三平面分别与 平面平面 平行平行,且分别和直线且分别和直线 所以有所以有再由定理再由定理1.4.1,1.4.1,有有则有则有 相交于 三点,如图.下证下证 被被 唯一确定唯一确定.若若则则 .如果如果 ,则则则由定理则由定理1.4.21.4.2可知可知 共面共面,故故 .同理可得同理可得 下证 被 唯一确定.若 例例1 1 已知已知 ,分别是分别是两边两边 上的点上的点,且有且有 ,.设设 与与 交于交于,如图如图.试试把向量把向量 分解成分解成 的线性组合的线性组合.例1 已知 ,分 解解:因为因为而而 解:因为而因为因为 不共线不共线,由定理由定理1.4.2,1.4.2,有有即即因为 不共线,由定理1.4.2,有即 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分且互相平分.解解:设四面体设四面体 一组对边一组对边 的中的中点点 的连线为的连线为 ,它的中它的中点为点为 ,其余两组对边中点分其余两组对边中点分别为别为 ,下只需证三下只需证三点重合就可以了点重合就可以了.例2 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.取不共面的三向量取不共面的三向量 ,下证下证 重合重合.又又 为为 中点中点,则有则有连接连接 ,由于由于 为为 的中点的中点,则有则有 取不共面的三向量 ,而而 ,所以所以同理可得同理可得所以所以,重合重合.而 ,所以同理可得所以,定义定义1.4.21.4.2 对于对于 个向量个向量 ,如果存在不全为零的如果存在不全为零的 个数个数 使得使得那么那么 个向量个向量 叫做线性相关叫做线性相关,不是不是线性相关的向量叫做线性无关线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就即线性无关就指指:只有当只有当 时时,上式成立上式成立.推论推论 一个向量一个向量 线性相关线性相关 定义1.4.2 对于 个向量 定理定理1.4.41.4.4 在在 时时,向量向量 线性线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合量的线性组合.证明证明:必要性必要性 设设 线性相关线性相关,则则存在不全为存在不全为0 0的的 ,使得使得因为因为 不全为不全为0,0,不妨设不妨设 ,则则 定理1.4.4 在 时,向量 线性 充分性充分性 设设 中有一个向量是其中有一个向量是其设这个向量为设这个向量为 ,即即因为因为 ,所以所以 线性相关线性相关.则则余向量的线性组合余向量的线性组合.设这个向量为 ,即因为 ,所以 线 定理定理1.4.51.4.5 如果一组向量中的一部分向量如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关线性相关那么这一组向量就线性相关.证明证明:设有一组向量设有一组向量 ,其中一部分其中一部分,如如 线性相关线性相关,即存在不即存在不全为全为0 0的的 ,使得使得则则 定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这其中其中 不全为不全为0,0,所以所以 线性相关线性相关.定理定理1.4.61.4.6 两向量共线两向量共线 它们线性相关它们线性相关.证明证明:充分性充分性 设设 线性相关线性相关,则存在不则存在不全为全为0 0的的 ,使得使得 .不妨设不妨设 ,推论推论 一组向量如果含有零向量一组向量如果含有零向量,那么这组那么这组向量必线性相关向量必线性相关.其中 不全为0,所以 则则 .如果如果 ,由定理由定理1.4.11.4.1知知,共共线线.若若 ,则则 共线共线.必要性必要性 设设 共线共线,若若 ,则任取则任取 ,有有 ,即即 线性相关线性相关.若若 ,由定由定理理1.4.1,1.4.1,存在存在 ,使使 ,即即 ,所所以以 线性相关线性相关.则 .如果 ,由定理1.4.1知,共 定理定理1.4.71.4.7 三个向量共面三个向量共面 它们线性相关它们线性相关.证明证明:必要性必要性 设设 共面共面,由定理由定理1.4.2,1.4.2,存在存在 ,使得使得 ,即即 .以以 线性相关线性相关.充分性充分性 设设 线性相关线性相关,则存在不全为则存在不全为0 0不全为不全为0,0,不妨设不妨设 ,则有则有 .由定理由定理1.4.21.4.2知知 共面共面.所所的的 ,使得使得 .由于由于 定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关.定理定理1.4.81.4.8 空间任何四个向量总线性相关空间任何四个向量总线性相关.证明证明:设空间任意四向量设空间任意四向量 ,若若共面共面,由定理由定理1.4.71.4.7知知 线性相关线性相关,理理1.4.51.4.5知知 线性相关线性相关.若若 不共面不共面,由定理由定理1.4.31.4.3可设可设 ,1.4.41.4.4知知 线性相关线性相关.推论推论 空间四个以上向量总是线性相关空间四个以上向量总是线性相关.再由定再由定再由定理再由定理 定理1.4.8 空间任何四个向量总线性相关.证 例例3 3 设设 ,试证三点试证三点 共共线的充要条件是存在不全为线的充要条件是存在不全为0 0的实数的实数 使得使得 且且 证明证明:必要性必要性 设设 共线共线,则则 共线共线,由定由定理理1.4.61.4.6知知 线性相关线性相关,即存在不全为即存在不全为0 0的的 ,使得使得 例3 设 ,试证三点 即即 .可得可得令令 ,即有即有 不全不全为为0,0,使使 且且 .令 ,即有 不妨设不妨设 ,代入整理得代入整理得 充分性充分性 设有不全为设有不全为0 0的的 ,使使即即 .可知可知 不全为不全为0,0,共线共线,即即 共线共线.所以所以由由且且不妨设 ,代入整理得 充分性 设有 例例4 4 设设 为两不共线向量为两不共线向量,证明证明 共线的充要条件是共线的充要条件是 证明证明:由定理由定理1.4.6,1.4.6,共线共线 存在不全存在不全为为0 0的数的数 ,使得使得 例4 设 为两不共线向量,证明 证即即又又 不共线不共线,即即 线性无关线性无关而而 不全为不全为0 0即又 不共线,即 线性无关而 不全为0问题解答问题解答?问题解答?
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