模糊综合评价课件

模糊数学建模方法模糊数学建模方法华北电力大学数学建模培训团队孔 倩2014.6.22引言引言用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。模糊现象与模糊概念e.g.“rain”is a nature phenomenon.mizzle downpour模糊现象与模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显 分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。模糊数学概念模糊数学概念l Fuzzy Mathematicsl 研究和处理模糊概念的数学方法。l 模糊概念：难以精确表达的概念。例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人 1e.g.2“请你十点左右在行政大楼附近等我一下”WhereWhen听不懂?e.g.2 电脑不如人脑 两岁的小孩 图像识别能力 语音识别能力IQEQ数学建模与模糊数学相关的问题数学建模与模糊数学相关的问题模糊数学模糊数学研究和处理模糊性现象的数学研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）线）与模糊数学相关的问题与模糊数学相关的问题模糊分类问题模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确糊概念来反映更合理准确模糊相似选择模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对象按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性具有边界不分明的模糊性模糊聚类分析模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系来确定其分类关系 模糊层次分析法模糊层次分析法两两比较指标的确定两两比较指标的确定模糊综合评判模糊综合评判综合评判就是对受到多个因综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果效果 一一模糊数学基本理论模糊数学基本理论二二二二模糊模式识别模糊模式识别三三三三模糊聚类模糊聚类四四四四模糊综合评价模糊综合评价第一部分第一部分:模糊数学基本理论模糊数学基本理论在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。普通集合美国控制论专家美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的教授正视了经典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念的差异常以那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊现象。的模糊现象。基于此，基于此，1965年，年，Zadeh教授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。1、模糊子集、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数，称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为可省略可省略（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：(4)解析表示法 例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一个模糊上的一个模糊集集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：还可用向量表示法：还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还可以在另外，还可以在U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等模糊等模糊子集子集.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法法.2、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。两根绳子的连接方式有两根绳子，它们属于“不易断的绳子”的程度分别为a,b.把这两根绳子合起来构成一根新绳子，那么这条新绳子属于“不易断绳子”的程度应为多少几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子（2）取大、乘积算子）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子（6）Einstain算子算子1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着 的运动。的运动。可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。模糊集合隶属函数的确定特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：以人的年龄作为论域U=0,100。随机抽取129个大学生，在独立认真考虑“青年”的含义之后，给出各自的答案，形成129个“青年”的年龄段.182517301728182516351425183018351835162515301835173518251825183520301830163020351830183015251830152816281830183016301835182518251628183016301628183518351727162815281630192815301526172515361830173018351635152515251828163015281835183017281835152818301525152518301624152516321527183516251828162818301835183018301730183018351630183517251530182517301425182618291835182818301825163517291825173016281830162815301535153020302030162517301530183016301828183516301530183518351830173016351730152518351530152515301830172518291828例 利用模糊统计确定”年轻人”的隶属函数n102030405060708090100110120129M61423323947536268768595101M/n0.60.70.770.780.780.760.760.780.760.760.750.790.78 27岁对“青年人”的隶属度2 直观加推理法直观加推理法 确定隶属函数的方法实际上是先确定隶属函数类型，再根据具 体问题确定特殊点隶属函数值，最后确定整个隶属函数。这种方法称为直观加推理方法。例 设全体三角形构成的论域为确定等腰三角形 和直角三角形 的隶属函数。设论域为 分别表示红色、橙色、黄色、绿色和蓝色乒球，试确定用什么颜色乒乓球最好？选500人，每人测试20次，即每两种颜色比较2次红橙黄绿蓝%顺序红33025865254217.823橙67043876385127.222黄74256286575029.191绿34823713567913.994蓝45814925032111.785按百分比排序确定各种颜色乒乓球受欢迎的次序是：橙色、黄色、绿色、红色和蓝色。表中百分比可以理解为隶属函数值，即3 二元对比排序法二元对比排序法4、专家打分、专家打分这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。5 模糊分布模糊分布 常用的隶属函数有常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、函数（偏小型）、函数（中函数（中间型）、间型）、S函数（偏大型）函数（偏大型）.n偏小型一般适合于描述像偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青小，少，浅，淡，青年年”等偏小程度的模糊现象。等偏小程度的模糊现象。n偏大型一般适合于描述像偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老大，多，深，浓，老年年”等偏大程度的模糊现象。等偏大程度的模糊现象。n中间型一般适合于描述像中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多，中，适中，不太多，不太浓，暖和，中年不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现等处于中间状态的模糊现象。象。常用的隶属函数常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：梯形分布梯形分布：偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：分布分布 偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：正态分布正态分布 确定“青年人”的隶属函数建立（年轻人）的隶属函数，建立（年轻人）的隶属函数，根据统计资料，根据统计资料，作出其大致曲线，发现与柯西分布作出其大致曲线，发现与柯西分布接近，接近，那么，可选柯西分布作为那么，可选柯西分布作为（年轻人）的隶属函数。（年轻人）的隶属函数。下面根据年龄特征确定参数。下面根据年龄特征确定参数。25岁以下是绝对年轻，岁以下是绝对年轻，25岁开始岁开始（年轻人）的隶属度随年龄增大而减小（年轻人）的隶属度随年龄增大而减小衰变不是线性的。衰变不是线性的。又因为又因为30岁作为年轻人是最模糊的概念，岁作为年轻人是最模糊的概念，可选参数可选参数确定隶属函数的注意事项：确定隶属函数的注意事项：隶属函数的确定带有浓重的主观色彩，不过还是具有一定的客观性和科学性，须注意：实际出发，利用经验，重视专业。最终以符合客观实际为标准；F统计试验，较为有效；一定条件下，可作为推理的产物 利用交、并、补运算；可结合概率统计的处理结果可先建立近似的隶属函数，再学习改进完善；判断是否反映出了元素隶属于集合到不属于的变化过程的特性。第二部分第二部分 模糊模式识别模糊模式识别模型识别模型识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别就是模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在的模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员哪一纲哪一目；投递员(或分拣机或分拣机)在分拣信件时在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.模糊模型识别模糊模型识别 所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别,是指在模型识别中是指在模型识别中,模型模型是模糊的是模糊的.也就是说也就是说,标准模型库中提供的模型是标准模型库中提供的模型是模糊的模糊的.模糊集合的贴近度模糊集合的贴近度表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的之间的贴近程度贴近程度。模糊模式识别模糊模式识别 C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别2、择近原则、择近原则模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别茶叶等级识别茶叶分为I，II，III，IV，V种，识别A为哪一种。指标数如下：I=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）II=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2）III=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）IV=（0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）V=（0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）待识别茶叶指标数：A=（0.4，0.2，0.1，0.4，0.5，0.6）在机器自动识别染色体或白细胞分类中，问题常常归结为对几何图形进行识别。几何图形又常常划分为若干三角形图形，因此需要对三角形的形状进行识别，典型问题是需要判别三角形是否为：等腰三角形(I),直角三角形(R),等腰直角三角形(IR),等边三角形(E)和非典型三角形(T).现在给定一个三角形，其三个角构成的向量是 试问它属于哪一类三角形？。模糊模式识别应用实例模糊模式识别应用实例1 几何图形识别几何图形识别第一步 确定论域。由于是识别形状，因此可用三个角的度数表示三角形，所以取论域为：第二步 建立标准模式第三步 识别：将 代入标准三角形计算隶属函数得：按最大隶属原则，判断 应为直角三角形。由于实际问题中需要考虑既是直角、又是等腰的情况，现在 隶属于直角和等腰三角形的程度相差不大，因此，可以认为 为近似等腰直角三角形。上面方法可以推广到判别多边形问题，关键是如何确定标准模式（图形）的隶属函数！实例实例2-手写文字的识别手写文字的识别-方格矩阵法方格矩阵法约定：表示这一个上线条清晰出现，并填上绿色表示线条不出现，这一个呈白色第一步：将字母写在标准的长方形内，并将长方形均匀分成75个小方格。第二步：建立标准模式对每一个文字，按每个小方格中线条出现的清晰程度给予适当的隶属度 可得到对应模糊关系矩阵为：于是文字可用文字向量表示，那么37个标准矩阵都可以化为标准向量。第三步：识别。设有文字向量：计算数值假设电脑收到文字向量是：计算选出数值最大的，即最接近的并判断 为响应的字母B.N.Chatterji的手写英文字母识别方法 第一步 将标准字母写入正方形方格内，从正方形的四个定点沿对角线方向划线，直到和字母相接，再从四条边的中点沿水平或垂直方向向字母划线，直到和字母相接，并测出8个线段长度，组成一个8维向量作为特征值第二步 建立标准模式每个字母对应一个8维模糊向量，如记第i个字母对应的模糊向量为：这样就建立了26个标准模式。第三步 识别 给定一个待识别的字母“*”,需要识别”*”为哪个字母？对”*”采用同样的方法取特征计算贴近度进行识别。B.N.Chatterji在TDP316上运行，正确识别率达96%。手写文字识别-模糊方位转换技术模糊方位转换技术 沿着给定文字的方向，与给定的八个方向不完全一致。例如，327这三个数字中的方向“7”彼此都不相同。所以，所示的方向都是模糊的，即可以用F集来表示。第三部分第三部分:模糊聚类模糊聚类 模糊关系模糊关系 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广.设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R(x,y)为为(x,y)关于模糊关系关于模糊关系 R 的相关程度的相关程度.特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X=x1,x2,xm和和Y=y1,y2,yn，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶阶模糊矩阵表示，即模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中其中rij=R(xi,yj)0,1表示表示(xi,yj)关于模糊关于模糊关系关系R 的相关程度的相关程度.又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时,则关系则关系R为普通关系为普通关系,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij=1),要么没有关系要么没有关系(rij=0).例 设身高论域X=140,150,160,170,180(单位：cm),体重论域Y=40,50,60,70,80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊矩阵模糊矩阵的运算的运算（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义：设定义：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：取大运算取大运算 取小运算取小运算 例：例：（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：设定义：设 称模糊矩阵称模糊矩阵为为A与与B的合成，其中的合成，其中 。例：例：（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：设定义：设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：设定义：设 对任意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中模糊等价关系模糊等价关系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递性：传递性：R2 R,则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有限时为有限时,X 上的上的一个一个模糊等价关系模糊等价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵,即即R满足：满足：I R(rii=1)RT=R(rij=rji)R2 R.R2 R(rikrkj)|1kn rij).模糊相似关系模糊相似关系 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关模糊关系，且满足：系，且满足：(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有限时，为有限时，X 上的上的一个一个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满满足：足：(1)自反性：自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：对称性：RT=R(rij=rji).模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质 定理定理1 若若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自是模糊相似矩阵，则对任意的自然数然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵.定理定理2 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存在一阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数个最小自然数 k(kn)，对于一切大于，对于一切大于k 的自然的自然数数 l，恒有，恒有Rl=Rk，即，即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称此时称Rk为为R的传递闭包，记作的传递闭包，记作 t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t(R)：RR2R4R8R16例：设有模糊相似矩阵例：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析的一般步骤模糊聚类分析的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵（1）标准差标准化）标准差标准化（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：、建立模糊相似矩阵、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法3 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法步骤：步骤：模糊聚类实例模糊聚类实例1 解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包取取 ，得，得取取 ，得，得取取 ，得，得取取 ，得，得取取 ，得，得画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531 现有三个家庭，每个家庭由四至七人组成，每人一张照片，共有十六张。通过照片按相貌相像程度分类，把三个家庭区分开来。第一步:建立相似关系。任取两张照片，请若干中学生按相貌相像程度打分，取平均数再折合成隶属度，得到相像关系的F矩阵R（见表）由于矩阵是对称的，只写出下三角。模糊聚类算例模糊聚类算例2-照片分类照片分类 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 02 0 13 0 0 14 0 0 0.4 15 0 0.8 0 0 16 0.5 0 0.2 0.2 0 17 0 0.8 0 0 0.4 0 18 0.4 0.2 0.2 0.5 0 0.8 0 19 0 0.4 0 0.8 0.4 0.2 0.4 0 110 0 0 0.2 0.2 0 0 0.2 0 0.2 111 0 0.5 0.2 0.2 0 0 0.8 0 0.4 0.2 112 0 0 0.2 0.8 0 0 0 0 0.4 0.8 0 113 0.8 0 0.2 0.4 0 0.4 0 0.4 0 0 0 0 114 0 0.8 0 0.2 0.4 0 0.8 0 0.2 0.2 0.6 0 0 115 0 0 0.4 0.8 0 0.2 0 0 0.2 0 0 0.2 0.2 0 116 0.6 0 0 0.2 0.2 0.8 0 0.4 0 0 0 0 0.4 0.2 0.4 1表1第二步 采用编网法聚类将对角线填入元素符号,在对角线左下方以*取代1，以空格代0。(2)将*所在的位置称为结点，相对角线引经线（竖线）及纬线（横线）.(3)编网：在结点处将经过的经纬线捆绑起来，这样来实现分类.通过打结而能互相联结的点属于同一类.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 12 23 34 45 56 67 78 89 910 1011 1112 1213 1314 1415 1516 16第二步第二步 采用最大树法聚类采用最大树法聚类-画一棵最大树，再进行分类。(1)以被分类元素为结点,联接各个有关系的点，并在连线上标出权表示它们之间的相似程度.(2)在图中找出形成闭合回路的部分，在回路中去掉最小权的连线，依此进行下去，直到图中不再有闭合回路，这时的图就是最大树。分类原则：对最大树依次去掉（砍断）最小权连线，就可以得到所有分类结果16681313101512941411725仍以照片分类为例，可画出其最大树。16681313151012941411725去掉权重低于0.6的连线后，分为四类第四部分第四部分:模糊综合评判模糊综合评判模糊综合评价基础模糊综合评价基础-模糊变换模糊变换一、一级模糊综合评判一、一级模糊综合评判根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：其中：其中：二、多级模糊综合评判（以二级为例）二、多级模糊综合评判（以二级为例）问题：问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面对高等学校的评估可以考虑如下方面二级综合评判模型二级综合评判模型二级综合评判框图二级模糊综合评判的步骤：二级模糊综合评判的步骤：综合评判的逆问题关系式求解是F关系方程。它的求解进行很复杂，甚至有无穷多组解或无解。当无解时，可请有经验的专门人员给出一组不同的权重，称为权重的备择集。按择近原则，从这一组备择集中找出一个相对比较理想的权数分配方案。设再分别求出它们的输出仍以服装为例，已知某种服装经顾客评价后，得及评判矩阵 根据对顾客的心理估计，提出下述四种可能的权分配方案：按模型算出对应的 :得同理，有综合评价相关问题讨论综合评价相关问题讨论结果排序 综合评判的结果是评语结合上的模糊集合。一种情况是，需要明确说明评价结果到底属于那一个评语，此时一般用最大隶属原则确定最后的评价结果。另一种情况是对多个对象进行评价得多个评语集合上模糊集合，并且需要对评价对象进行排序，这实际上就是要对模糊数排序。关于模糊数的排序方法有不少研究成果，这里我们给出几种排序方法，目的在于说明排序方法多种多样，应用中应该根据问题的实际意义选择、给出排序方法。假设评价结果为按总分排序(1)计算评价结果属于第j个评语所占百分比(2)假设第j个评语 价值为 则该对象的得分为：(3)最后按每一对象所得分值排序。按隶属于某一评语的程度的大小排序设有甲、乙、丙三个厂家生产的服装得到评价结果问哪家生产的服装最好？用总分排序假设四个评语：很受欢迎，比较欢迎，一般，不受欢迎对总分的贡献得分分别为：3，1，0，-1分，则三个厂家生产的服装最后得分分别为：1.1，1.4，1.2分，因此可以认为乙厂生产的服装最好，丙厂其次，甲厂最差。按隶属于某一评语程度来排序按很受欢迎的程度来考虑，则得排序为：乙厂生产的服装最好，甲厂其次，丙厂最差。中对不受欢迎赋了-1分，这是因为不受欢迎对评价服装是有否定意义的。类似情况实际问题中经常遇到，因此一定要根据实际情况分析确定每一评语的分值.综合评判算子选取 在综合评判模型中，综合评判的结果还与合成运算的算子有关。为主因素突出型。这个模型的特点是，评判结果取决于主要因素，所谓主要因素就是权重最大的因素，对这个因素的评价对综合评价决定性作用。当因素较多时，权重向量中各个分量都很小，从而导致综合评判结果中每一分量也很小，得不出有意义的结果算子的模型也成为主因素突出型，但比采用算子 的模型精细些，不仅突出了主因素，也兼顾了其它因素算子的模型为加权平均型的综合评判，以权重的大小对所有因素均衡兼顾，比较适合于要求总和最大的情形.算子的模型适用单因素评价矩阵R 中元素 偏大或偏小的情形