模糊数学之模糊决策课件

第第 4 章章模糊决策模糊决策4.1 模糊集中意见决策模糊集中意见决策 为了对论域为了对论域U=u1,u2,un 中的元素进中的元素进行排序行排序,由由m个专家组成专家小组个专家组成专家小组M,分别对分别对U中的中的元素排序元素排序,得到得到m种意见：种意见：V=v1,v2,vm,其中其中vi 是第是第i 种意见序列种意见序列,即即U 中的元素的某一个中的元素的某一个排序排序.若若uj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位位,则令则令Bi(uj)=nk,称称为为uj的的Borda数数.此时论域此时论域U的所有元素可按的所有元素可按Borda数的大小排序数的大小排序,此排序就是是比较合理的此排序就是是比较合理的.例例1 设设U=a,b,c,d,e,f,|M|=m=4人人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.例例2 设有设有6名运动员名运动员U=u1,u2,u3,u4,u5,u6 参参加五项全能比赛加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑跑 u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑跑 u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远跳远 u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼掷铁饼 u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪掷标枪 u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.若若uj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位，设第位，设第k位的权重位的权重为为ak，则令，则令Bi(uj)=ak(n k)，称，称为为uj的加权的加权Borda数。数。名次名次一一二二三三四四五五六六权权重重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权按加权Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5 设论域设论域X=x1,x2,xn 为为n个被选方案个被选方案,在在n个被选方案中建立一种模糊优先关系个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两即先两两进行比较进行比较,再将这种比较模糊化再将这种比较模糊化.然后用模糊数学然后用模糊数学方法给出总体排序方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策这就是模糊二元对比决策.在在xi与与xj作对比时作对比时,用用rij表示表示xi比比xj的优先程度的优先程度,并且要求并且要求rij满足满足 rii=1(便于计算便于计算)；0rij1；当当ij 时时,rij+rji=1.这样的这样的rij组成的矩阵组成的矩阵R=(rij)nn称为称为模糊优先矩阵模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.4.2 模糊二元对比决策模糊二元对比决策模糊二元对比决策的方法与步骤是：模糊二元对比决策的方法与步骤是：建立模糊优先关系建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)nn.排序方法：排序方法：隶属函数法隶属函数法 即直接对模糊优先矩阵进行适即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理当的数学加工处理,得到得到X上模糊优先集上模糊优先集A的隶属函的隶属函数数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序定的优劣次序.通常采用的方法是：通常采用的方法是：取小法：取小法：A(xi)=rij|1|1jn,i=1,2,n;平均法：平均法：A(xi)=(ri1+ri2+rin)/)/n,i=1,2,n.-截矩阵法截矩阵法 即取定阈值即取定阈值,确定优先对象确定优先对象.取定阈值取定阈值 0,10,1得得-截矩阵截矩阵R =(rij()nn,当当 由由1 1逐渐下降时逐渐下降时,若若R 中首次出现第中首次出现第k行的行的元素全等于元素全等于1 1时时,则认定则认定xk是第一优先对象是第一优先对象(不一定不一定唯一唯一).).再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列,得到一个新得到一个新的的n-1阶模糊优先矩阵阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对可将全体对象排出一定的优劣次序象排出一定的优劣次序.下确界法下确界法 先求先求R每一行的下确界每一行的下确界,以最大以最大下确界所在行对应的下确界所在行对应的xk是第一优先对象是第一优先对象(不一定唯不一定唯一一).).再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列,得到一个新的得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵阶模糊优先矩阵,再以此类推再以此类推.4.3 模糊综合评判决策模糊综合评判决策 在实际工作中在实际工作中,对一个事物的评价或评估对一个事物的评价或评估,常常常涉及多个因素或多个指标常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一而不能只从某一因素的情况去评价事物因素的情况去评价事物,这就是这就是综合评判综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法法.经典综合评判决策经典综合评判决策 评总分法评总分法 加权评分法加权评分法模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 例例1 设设X=x1,x2,Y=y1,y2,y3,令令 f(x),g(x)都是从都是从X 到到Y 的的模糊映射模糊映射,并且并且 f(x)是从是从X 到到Y 的点集的点集映射映射.命题命题1 1 设设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,(1)(1)X 到到Y 的任一个模糊映射的任一个模糊映射 f 可唯一确定可唯一确定X 到到Y 的一个模糊关系的一个模糊关系 Rf ；(2)(2)X 到到Y 的任一个模糊关系的任一个模糊关系R可唯一确定可唯一确定X 到到Y 的一个模糊映射的一个模糊映射 fR.模糊变换模糊变换 若若映射映射T 将将X 的一个模糊子集的一个模糊子集A映射到映射到Y 的的一一个模糊子集个模糊子集B,则称则称映射映射T 为从为从X 到到Y 的的模糊变换模糊变换.若模糊变换若模糊变换T T 满足满足 (1)(1)T(AB)=T(A)T(B),(2)(2)T(A)=T(A),则称则称T T 为为模糊线性变换模糊线性变换.命题命题2 2 设设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,(1)(1)给定给定 X 到到Y 的一个模糊关系的一个模糊关系R可确定可确定X 到到Y 的的一个模糊模糊线性变换一个模糊模糊线性变换TR(A)=A R；(2)(2)给定给定X 到到Y 的一个模糊线性变换的一个模糊线性变换T 可确定可确定X 到到Y 的一个模糊关系的一个模糊关系 RT.例例2 2 设设X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,(1)A=x1,x2,求求TR(A)；(2)B=(0.5,0.6,0.9,1,0),求求TR(B)；TR(A)=A RTR(A)=(1,1,0,0,0)R=(1,0.3,0,1)TR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)R=(0.6,1,0.4,0.5)例例3 3 设设X=x1,x2,x3,Y=y1,y2,映射映射T 为为从从X 到到Y 的的模糊线性变换模糊线性变换.已知已知(1)求由求由T 诱导诱导出出X 到到Y 的的模模糊关系糊关系 RT；(2)求由模糊求由模糊关系关系 RT 诱导出诱导出X 到到Y 的模糊的模糊映射映射 f .设设则则0.50.6 0.50.20.30.7模糊综合评判决策的数学模型模糊综合评判决策的数学模型 设设U=u1,u2,un 为为n种因素种因素(或指标或指标),),V=v1,v2,vm 为为m种评判种评判(或等级或等级).).由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同,作用也不一样作用也不一样,可用权重可用权重A=(a1,a2,an)来描述来描述,它是因素集它是因素集U 的一个模糊子集的一个模糊子集.对于每一个因素对于每一个因素ui,单独作出单独作出的一个评判的一个评判 f(ui),可看作是可看作是U到到V 的一个模糊映的一个模糊映射射 f ,由由 f 可诱导出可诱导出U 到到V 的一个模糊关系的一个模糊关系 Rf,由由Rf可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊线性变换一个模糊线性变换TR(A)=A R=B,它是评判集它是评判集V 的一个模糊子集的一个模糊子集,即为综合评判即为综合评判.(U,V,R )构成模糊综合评判决策模型构成模糊综合评判决策模型,U,V,R是此模型的三个要素是此模型的三个要素.模糊综合评判决策的方法与步骤是：模糊综合评判决策的方法与步骤是：建立因素集建立因素集U=u1,u2,un 与决断集与决断集V=v1,v2,vm.建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素对于每一个因素ui,先建立单因素评判：先建立单因素评判：(ri1,ri2,rim)即即rij(0(0rij1)1)表示表示vj对因素对因素ui所所作的评判作的评判,这样就这样就得到单因素评判矩阵得到单因素评判矩阵R=(rij)nm.综合评判综合评判.根据各因素权重根据各因素权重A=(a1,a2,an)综合评综合评判判:B=A R=(b1,b2,bm)是是V上的一个模上的一个模糊子集糊子集,根据运算根据运算的不同定义的不同定义,可得到不同的模可得到不同的模型型.模型模型：M(,)主因素决定型主因素决定型bj=(airij),1in (j=1,2,m).由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij(i=1,2,n)中的某一个确定中的某一个确定(先取小先取小,后取大运算后取大运算),着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不其他因素对结果影响不大大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型模型：M(,)主因素突出型主因素突出型bj=(ai rij),1in (j=1,2,m).M(,)与模型与模型M(,)较接近较接近,区别区别在于用在于用ai rij代替了代替了M(,)中的中的airij.在模型在模型M(,)中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与主要因素与主要因素有关有关,忽略了次要因素忽略了次要因素.模型模型：M(,)主因素突出型主因素突出型bj=(ai rij)(j=1,2,m).模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素.在实际应用中在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主如果主因素在综合评判中起主导作用导作用,建议采纳建议采纳,当模型当模型失效时可采失效时可采用用,.,.模型模型：M(,)加权平均模型加权平均模型bj=(ai rij)(j=1,2,m).模型模型M(,)对所有因素依权重大小均衡对所有因素依权重大小均衡兼顾兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况适用于考虑各因素起作用的情况.例例1.服装评判服装评判 因素集因素集U=u1(花色花色),),u2(式样式样),),u3(耐穿程耐穿程度度),),u4(价格价格)；评判集评判集V=v1(很欢迎很欢迎),),v2(较欢迎较欢迎),),v3(不不太欢迎太欢迎),),v4(不欢迎不欢迎).).对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：u1 ：(0.2,0.5,0.2,0.1)(0.2,0.5,0.2,0.1)u2 ：(0.7,0.2,0.1,0)(0.7,0.2,0.1,0)u3 ：(0,0.4,0.5,0.1)(0,0.4,0.5,0.1)u4 ：(0.2,0.3,0.5,0)(0.2,0.3,0.5,0)对于给定各因素权重对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(,)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(,)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(,)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)对于给定各因素权重对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：分别用各种模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(,)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(,)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(,)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)例例2.“晋升晋升”的数学模的数学模型型.以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U=政治政治表现及工作态度表现及工作态度,教学水平教学水平,科研水平科研水平,外语水平外语水平,评判集评判集V=好好,较好较好,一般一般,较差较差,差差.因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 4 2 1 0 0教学水平教学水平 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 0 0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用，分别用M(,)、M(,)模型所作的评判模型所作的评判如下：如下：M(,)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(,)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)例例3 3 利用模糊综合评判对利用模糊综合评判对2020家制药厂经济效家制药厂经济效益的好坏进行排序益的好坏进行排序(P209).(P209).企业名称企业名称 u1 u2 u3 u41 东北制药厂东北制药厂 1.611 10.59 0.69 1.672 北京第二制药厂北京第二制药厂 1.429 9.44 0.61 1.5020四川制药厂四川制药厂 1.992 21.63 1.01 1.89 设设cij(i=1,2,3,4；j=1,2,20)表示第表示第j个制药厂的第个制药厂的第i个因素的值个因素的值,令令得到模糊综合评判得到模糊综合评判矩矩阵R=(rij)420 .4.4 权重的确定方法权重的确定方法 在模糊综合评判决策中在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映在一定的程度上能反映实际情况实际情况,评判的结果也比较符合实际评判的结果也比较符合实际,但它往往但它往往带有主观性带有主观性,是不能客观地反映实际情况是不能客观地反映实际情况,评判结评判结果可能果可能“失真失真”.”.加权统计方法加权统计方法因素因素 uj 权权重重 aij 1频数统计方法频数统计方法 (1)(1)对每一个因素对每一个因素uj,在在k个专家所给的权重个专家所给的权重aij中找出最大值中找出最大值Mj和最小值和最小值mj,即即Mj=maxaij|1 i k,j=1,2,n;mj=minaij|1 i k,j=1,2,n.(2)(2)选取适当的正整数选取适当的正整数p,将因素将因素uj所对应的权所对应的权重重aij从小到大分成从小到大分成p组组,组距为组距为(Mj-mj)/)/p.(3)(3)计算落在每组内权重的频数与频率计算落在每组内权重的频数与频率 (4)(4)取最大频率所在分组的组中值取最大频率所在分组的组中值(或邻近的或邻近的值值)作为因素作为因素uj的权重的权重.(5)(5)将所得的结果归一化将所得的结果归一化.模糊关系方程法模糊关系方程法 在模糊综合评判决策问题中在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策若已知综合决策B=(b1,b2,bm),单因素评判矩阵单因素评判矩阵 R=(rij)nm,试问各因素的权重分配试问各因素的权重分配A是什么？是什么？这就是要求解模糊关系方程这就是要求解模糊关系方程X R=B.定理定理 模糊关系方程模糊关系方程X R=B有解的充要条件有解的充要条件是是 R=B,其中其中约定约定 =1.且且 为为X R=B的最大解的最大解.证明：充分性是显然的证明：充分性是显然的.必要性必要性 设设X R=B有解有解X=(x1,x2,xn),即即(x1,x2,xn)R=(b1,b2,bm).则则 j,(xk rkj)=bj j,k,(xk rkj)bj.k,xk (x1,x2,xn)B R.又又 j,k,有有当当rkjbj时时,=bj|rkjbj bj rkj bjrkj=bj;当当rkjbj时时,由由 =1,rkj=rkjbj;即即 RB.例例 下列模糊关系方程是否有解？下列模糊关系方程是否有解？解：由公式解：由公式(1)(1)=(0.2,1,0.4),是其最大解是其最大解.(2)(2)=(1,0.7),不是其最大解不是其最大解.结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日