行列式的性质课件

第四节 行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算二、行列式的计算第四节第四节 行列式的性质一、行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质2一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.将将 n 阶行列式阶行列式 D 的行与列互换后所得到的的行与列互换后所得到的行列式记作行列式记作2一、行列式的性质行列式一、行列式的性质行列式 称为行列式称为行列式 的的3如如=说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式等行列式与它的转置行列式等.3如如=说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此性质因此性质1 4性质性质2 2推论推论行列式的某一行（列）中所有元素行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的公因子可以提到行列式符号的外面行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 行列式。行列式。等于用数等于用数 乘此乘此D1=D4性质性质2推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到5证明证明 由由 n 阶行列式的定义，阶行列式的定义，D1的一般项为的一般项为 所以所以 D1=D推论推论如果行列式中的某一行元素全为零，如果行列式中的某一行元素全为零，那么行列式等于零。那么行列式等于零。为为 D 的的一般项一般项5证明由证明由 n 阶行列式的定义，阶行列式的定义，D1的一般项为的一般项为 所以所以 6性质性质3 3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明=D=显然显然 D 的展开式的一项的展开式的一项=D1是是 D1展开式的一项展开式的一项,但该项在但该项在 D1中的符号为中的符号为也也6性质性质3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明7例如例如如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明行行行行互换互换 与与 两行，有两行，有 推论推论7例如如果行列式有两行（列）完全相同，证明例如如果行列式有两行（列）完全相同，证明8行列式中如果有两行（列）元素成行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零比例，则此行列式为零证明证明性质性质8行列式中如果有两行（列）元素成证明性质行列式中如果有两行（列）元素成证明性质9性质性质5 5行行行行行行9性质性质5行行行行行行10证明证明左端左端=右端右端10证明左端证明左端=右端右端11把行列式的某一行（列）的各元素乘把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行以同一数然后加到另一行(列列)对应的对应的元素上去，行列式的值不变元素上去，行列式的值不变性质性质注注表示第表示第 列（行）列（行）的元素乘以的元素乘以 加到加到第第 列（行）。列（行）。用用11把行列式的某一行（列）的各元素乘性质注表示第把行列式的某一行（列）的各元素乘性质注表示第 列列12例例二、行列式的计算二、行列式的计算利用行列式的性质，把行列式化为上（下）利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值三角形行列式，从而算得行列式的值计算五阶行列式计算五阶行列式计算行列式常用的方法：计算行列式常用的方法：12例二、行列式的计算利用行列式的性质，把行列式化为上（下例二、行列式的计算利用行列式的性质，把行列式化为上（下13解解13解解14141515161617例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 2，3，n列列都加到第一列，得都加到第一列，得17例例2 计算计算 阶行列式解将第阶行列式解将第 2，3，n181819如果行列式中的所有的元素满足如果行列式中的所有的元素满足反对称行列式反对称行列式则该行列式称为反对称行列式。则该行列式称为反对称行列式。显然反对称行列式对角线上的元素均为零。显然反对称行列式对角线上的元素均为零。19如果行列式中的所有的元素满足反对称行列式则该行列式称为反如果行列式中的所有的元素满足反对称行列式则该行列式称为反20例例3 试证试证证明证明行列式行列式 D 与其转置行列式相等与其转置行列式相等行列式等于零。行列式等于零。奇数阶反对称奇数阶反对称20例例3 试证证明行列式试证证明行列式 D 与其转置行列式相等与其转置行列式相等21计算四阶行列式计算四阶行列式例例4解解21计算四阶行列式例计算四阶行列式例4解解222223例例5：设设求求解：解：23例例5：设求解：设求解：知识回顾知识回顾Knowledge Knowledge ReviewReview祝您成功！祝您成功！知识回顾知识回顾Knowledge Review祝您成功！祝您成功！