第二章平面力系课件

第二章第二章平面力系平面力系2024/7/11第二章平面力系2023/8/111本章重点、本章重点、难点点重点重点 平平面面一一般般力力系系向向作作用用面面内内任任意意一一点点的的简化化，力力系系的的简化化结果。果。平平面面一一般般力力系系平平衡衡的的解解析析条条件件，各各种种形形式式平平衡衡方方程及程及应用。用。物体及物体系平衡物体及物体系平衡问题的解法。的解法。难点点主矢与主矩的概念。主矢与主矩的概念。物体系的平衡物体系的平衡问题。2024/7/12本章重点、难点2023/8/平面力系2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法2-3力对点的矩、合力矩定理2-4力偶及平面力偶系2-6平面一般力系的平衡方程及应用2-5力的平移定理、平面一般力系的简化2-7物体的平衡、静定与超静定的概念2024/7/13平面力系2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2第二章平面力系课件第二章平面力系课件共点力系共点力系共点力系共点力系：如所有的力都作用在同一点，如所有的力都作用在同一点，该力系称该力系称为共点力系。为共点力系。汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系：所有的力的作用线汇交于一点的力系。所有的力的作用线汇交于一点的力系。汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系共点力系共点力系共点力系共点力系等价等价刚体刚体理由：力的可传性原理理由：力的可传性原理2.汇交力系合成的几何法汇交力系合成的几何法2024/7/16共点力系：如所有的力都作用在同一点，该力系称为共点力系。汇设汇交于A点的力系由n个力Fi（i=1、2、n）组成。记为F1、F2、Fn。根据三角形法则，将各力依次两两合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。2.汇交力系合成的几何法汇交力系合成的几何法2024/7/17设汇交于A点的力系由n个力Fi（i=1、2、n）组成F1FRFR2FR1F4F3F2用力多边形法则用力多边形法则求四个力的合力使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。2.汇交力系合成的几何法汇交力系合成的几何法F1FRFR2FR1F4F3F2F1FRFR2FR1F4F3F22024/7/18F1FRFR2FR1F4F3F2用力多边形法则求四个力的合力.力多边形力多边形2024/7/19.力多边形2023/8/119结论结论合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关各分力矢必须首尾相接合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端按力的比例尺准确地画各力的大小和方向汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点 2.汇交力系合成的几何法汇交力系合成的几何法2024/7/110结论合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关汇交力系合成的结果,方向如方向如图所示所示,求合力。求合力。解：解：设比例尺比例尺例例2-12024/7/111,方向如图所示,求合力。解：设比例尺例2-12023/8/1对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力多边形自行封闭。故平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即其几何条件是力多边形自行封闭其几何条件是力多边形自行封闭。二.平面汇交力系平衡的几何条件2024/7/112对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力 如如图轧路碾子自重路碾子自重G=20kN，半径，半径R=0.6m，障碍物高，障碍物高h=0.08m碾子中心碾子中心O处作用一水平作用一水平拉力拉力F，试求求:(1)当水平拉力当水平拉力F=5kN时，碾子，碾子对地面和障碍物的地面和障碍物的压力；力；(2)欲将碾子拉欲将碾子拉过障碍物，障碍物，水平拉力至少水平拉力至少应为多大；多大；(3)力力F沿什么方向拉沿什么方向拉动碾子最省力，此碾子最省力，此时力力F为多大。多大。R RO OA Ah hF FB B例例2-52024/7/113如图轧路碾子自重G=20kN，半径R=01.选碾子碾子为研究研究对象，受力分析如象，受力分析如图b所示。所示。R RO OA Ah hF FB B各力各力组成平成平面面面面汇汇交交交交力系，根据平衡的几何条力系，根据平衡的几何条件，力件，力G，F，FA和和FB组成封成封闭的力多的力多边形。形。由已知条件可求得由已知条件可求得再由力多再由力多边形形图c中各矢中各矢量的几何关系可得量的几何关系可得解得解得(a)(a)A AB BO OG GF FF FA AF FB B(b)(b)FG GF FA AF FB B(c)(c)解：解：2024/7/1141.选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。ROAhFB2.碾子能越碾子能越过过障碍的力学障碍的力学条件是条件是FA=0，得封得封闭闭力三力三角形角形abc。3.拉拉动动碾子的最小力碾子的最小力为为A AB BO OG GF FF FA AF FB BFG GF FA AF FB B由此可得由此可得F Fminmina aF FG GF FB Bb bc c2024/7/1152.碾子能越过障碍的力学条件是FA=0，汇交力系几何法的解题步骤：汇交力系几何法的解题步骤：1）选研究对象；）选研究对象；2）画受力图；）画受力图；3）作力多边形或力三角形；）作力多边形或力三角形；4）利用几何关系求解未知量。）利用几何关系求解未知量。2024/7/116汇交力系几何法的解题步骤：1）选研究对象；2023/8/11两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。反之，若将一个力分解成两个力，如果没有足够的附加条件，则其解答是无穷多的（是不定的）。但一般将它分解为两个正交的分力FRx、FRy，如图所示：则而Fx和Fy称为力FR在x和y轴上的投影i,j 分别是x和y轴方向的单位矢量2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解2024/7/117两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。反之，若由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。不过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量。确定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。只有对于正交坐标系它们之间的才有关系：其中如果已知力FR在x和y轴上的投影，则可求得力FR的大小和方向余弦为上式也称为力的解析表达形式力的解析表达形式2024/7/118由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分因,故同理可得yoxFF3F1F2oF2F3F12、平面汇交力系合成的解析法2024/7/119因FRF1F2F3FnyxijO2.汇交力系合成的解析法汇交力系合成的解析法设由n个力组成的平面汇交力系，如图所示。其合力F FR可表示为分力的矢量和由力的解析表达式可得由上式可得合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。2024/7/120FRF1F2F3FnyxijO2.汇交力系合成的解析法合力矢F FR的大小和方向余弦为其数学表达式为2024/7/121合力矢FR的大小和方向余弦为求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N。解：解：根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：F2F4F1xyOF3例2-62024/7/122求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1=合力的大小：合力与轴x，y夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x，y的夹角分别为：F2F4F1xyOF3例2-62024/7/123合力的大小：合力与轴x，y夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x3.3.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力FR等于零，即欲使上式成立，必须同时满足于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。2024/7/1243.平面汇交力系的平衡方程由前节知，平面汇交力系平衡条件利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P=20kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求杆AB和BC所受的力。30BPAC30a例2-72024/7/125利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P=20kN，滑yFBCFFABPx3030bB1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。2.画出受力图。3.列出平衡方程：联立求解得解：解：约束力约束力FAB为负值，说明该力实际指向与为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。实际上受拉力。例2-72024/7/126yFBCFFABPx3030bB1.取滑轮B轴销 如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。ABDCP例2-82024/7/127如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑列写平衡方程解方程得杆AB和BC所受的力:解：解：取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。xyBFABF2F1FBCABDCP显然，F1=F2=P例2-82024/7/128列写平衡方程解方程得杆AB和BC所受的力:解：解题技巧及说明：解题技巧及说明：1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。2024/7/129解题技巧及说明：1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：力对点之矩力对点之矩是是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为负.常用单位Nm或kNm2-3力对点的矩、合力矩定理2024/7/130一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作力力F的的作作用用点点沿沿其其作作用用线线移移动动，不改变这力对不改变这力对O点的矩。点的矩。2024/7/131力F的作用点沿其作用线移动，不改变这力对O点（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；（2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；（3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。力矩的性质：力矩的性质：2024/7/132（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；力矩表达式：证明：由图得而FyF Fx xF FA2024/7/133表达式：证明：由图得而FyFxFA2023/8/1133则()若作用在 A 点上的是一个汇交力系（、），则可将每个力对 o 点之矩相加，有(b)(c)由式（a），该汇交力系的合力 ，它对矩心的矩比较（b）、（c）两式有2024/7/134则()若作用在A点上的是一个汇交力三、力矩与合力矩的解析表达式FxFy2024/7/135三、力矩与合力矩的解析表达式FxFy2023/8/1135例2-10求:解:按合力矩定理已知:F=1400=1400N,直接按定义2024/7/136例2-10求:解:按合力矩定理已知:F=1400N,直接按例2-11求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置.取微元如图2024/7/137例2-11求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用一.力偶和力偶矩1.力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶力偶，记作2-4力偶及平面力偶系2024/7/138一.力偶和力偶矩1.力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩2024/7/139两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.2024/7/140二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.力矩的符号力偶矩的符号 M2024/7/141力矩的符号力偶矩的符号M2023/8/11413.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.=2024/7/1423.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任=2023/=4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.2024/7/143=4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.2023/8=已知：任选一段距离d三.平面力偶系的合成和平衡条件=2024/7/144=已知：任选一段距离d三.平面力偶系的合成和平衡条件=2=2024/7/145=2023/8/1145平面力偶系平衡的充要条件 M M=0=0，有如下平衡方程平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.2024/7/146平面力偶系平衡的充要条件M=0，有如下平衡方程例2-12求：光滑螺柱AB所受水平力.已知：解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为2024/7/147例2-12求：光滑螺柱AB所受水平力.已知：解得解：由力偶例2-13：求：平衡时的 及铰链O，B处的约束力.解（1）取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.解得已知2024/7/148例2-13：求：平衡时的及铰链O，B处的约束力.（2）取杆BC，画受力图.解得2024/7/149（2）取杆BC，画受力图.解得2023/8/114950平面任意力系实例2-5 力的平移定理、平面一般力系的力的平移定理、平面一般力系的简化化5050平面任意力系实例2-5力的平移定理、平面一般力系的一一.力的平移定理力的平移定理r在在在在OO点作用什么力系才能使二者等效点作用什么力系才能使二者等效点作用什么力系才能使二者等效点作用什么力系才能使二者等效 Fr怎怎样才能将力才能将力F从从A点平行移点平行移动到到O点？点？2024/7/151一.力的平移定理r在O点作用什么力系才能使二者等效Fr力向一点平移力向一点平移加减平衡力系加减平衡力系加减平衡力系加减平衡力系(F F,-,-F F),),二者等效。二者等效。二者等效。二者等效。FrFFF力的平移定理力的平移定理:可以将作用于可以将作用于刚体上体上A点上的点上的力力力力 F F 平行移平行移平行移平行移动动到任一点到任一点到任一点到任一点O O，但必，但必，但必，但必须须附加一个力偶附加一个力偶附加一个力偶附加一个力偶,附附附附加力偶的力偶矩等于原力加力偶的力偶矩等于原力加力偶的力偶矩等于原力加力偶的力偶矩等于原力 F F 对对 O O 点之矩。点之矩。点之矩。点之矩。M2024/7/152力向一点平移加减平衡力系(F,-F),二者等效。FrF 力力线平移的逆平移的逆过程程一个力偶矩和一个作用于同一平面的一个力偶矩和一个作用于同一平面的力力 F，可以，可以进一步一步简化化为一个力一个力。FFFMFr图中：中：2024/7/153力线平移的逆过程一个力偶矩和一个作用于同一平面的力F，可54545454552、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩平面任意力系平面任意力系平面平面汇交力系交力系平面力偶系平面力偶系55552、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩平面任意力56主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关主矢主矩5656主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关主矢主矩5657如何求出主矢、主矩?主矢大小方向作用点作用于简化中心上主矩5757如何求出主矢、主矩?主矢大小方向作用点作用于简化中心上主58平面固定端约束5858平面固定端约束585959595960=认为认为Fi这群力在同一平面内这群力在同一平面内;将将Fi向向A点简化得一力和一力偶点简化得一力和一力偶;RA方向不定可用正交分力方向不定可用正交分力YA,XA表示表示;YA,XA,MA为固定端约束反力为固定端约束反力;YA,XA限制物体平动限制物体平动,MA为限制转动。为限制转动。6060=认为Fi这群力在同一平面内;60FRMAFYAMAFXA简图：固定端约束反力有三个分量：固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶两个正交分力，一个反力偶2024/7/161FRMAFYAMAFXA简图：固定端约束反力有三个分三、平面任意力系的简化结果分析 FR=MOO=0 零力系零力系(平衡力系平衡力系)F FR R=0,=0,MMO O 0 0 合力偶合力偶合力偶合力偶 F FR R 0,0,MMOO=0=0 合力合力合力合力 F FR R=0,=0,MMo o=0(=0(F FR R MMo o)合力合力合力合力+合力偶合力偶合力偶合力偶F FRRMMOO只有主矢者只有主矢者 平面平面汇交力系交力系;只有主矩者只有主矩者平面平面力偶或力偶系力偶或力偶系;二者兼有者二者兼有者平面平面任意力系任意力系；(还还可以再可以再简简化化)简简化化为为合力合力2024/7/162三、平面任意力系的简化结果分析FR=MO=0零力其中其中其中其中2024/7/163其中2023/8/1163若为若为若为若为OO11点，如何点，如何点，如何点，如何?2024/7/164若为O1点，如何?2023/8/1164 任意力系任意力系简化的化的结果果任任意意力力系系汇汇交交力力系系力力 偶偶 系系合合力力 FR=Fi 合合力力偶偶 MO=MO(Fi)2024/7/165任意力系简化的结果任意力系汇交力系力偶平面任意力系已向中心O简化，简化结果得到力F和力偶，该力偶的矩等于主矩mO=4Fa。试求由旧简化中心O移向新简化中心A时，该力系的主矩。新简化中心与旧简化中心沿x轴的距离OA=a。FFMA2024/7/166平面任意力系已向中心O简化，简化结果得到力F和力偶，该力偶的一、平面力系的平衡条件一、平面力系的平衡条件 平平面面力力系系平平衡衡的的充充分分与与必必要要条条件件为：力力系系向向任任一一点点简化化得得到到的的主主矢矢量量及及 主主 矩矩 都都 等等 于于 零零。即即 可得平面力系的平衡方程可得平面力系的平衡方程 即在平面力系中所有力任一即在平面力系中所有力任一轴的投影代数和的投影代数和为零及零及对任一点的力矩代数和任一点的力矩代数和为零。零。2-6平面一般力系的平衡方程及应用2024/7/167一、平面力系的平衡条件平面力系平衡的充分与必要条件为：力系伸伸臂臂式式起起重重机机如如图所所示示，匀匀质伸伸臂臂AB 重重G=2 200N，吊吊车D，E连同同吊吊起起重重物物各各重重F1=F2=4 000 N。有有关关尺尺寸寸为：l=4.3 m，a=1.5 m，b=0.9 m，c=0.15 m，=25。试求求铰链A对臂臂AB的的水水平平和和铅直直约束束力力，以以及及拉拉索索BF 的拉力。的拉力。a a c cb bB BF FA AC CF F1 1F F2 2l l2024/7/168伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重G=2200N，y yx xB BA A解：解：1.取伸臂取伸臂AB为研究研究对象。象。F FB BG GF F2 2F F1 1E EC CD DF FAyAyF FAxAx 2.受力分析如受力分析如图。a a c cb bB BF FA AC CF F1 1F F2 2l l2024/7/169yxBA解：1.取伸臂AB为研究对象。FBGF2F1ECDF3.选如如图坐坐标系，列平衡方程。系，列平衡方程。F FAyAyy yx xB BA AF FB BG GF F2 2F F1 1E EC CD DF FAxAx a ab bl l2024/7/1703.选如图坐标系，列平衡方程。FAyyxBAFBGF2F1E4.联立求解。立求解。FB =12456N FAx=11290N FAy=4936NF FAyAyy yx xB BA AF FB BG GF F2 2F F1 1E EC CD DF FAxAx a ab bl l2024/7/1714.联立求解。FAyyxBAFBGF2F1ECDFAxab2024/7/1722023/8/1172 如如图所所示示为一一悬臂臂梁梁，A为固固定定端端，设梁梁上上受受强度度为q的的均均布布载荷荷作作用用，在在自自由由端端B受受一一集集中中力力F和和一一力力偶偶M作用，梁的跨度作用，梁的跨度为l，求固定端的，求固定端的约束力。束力。A AB Bl lqF FMM2024/7/173如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度2.列平衡方程列平衡方程3.解方程解方程1.取梁取梁为研究研究对象，受力分析如象，受力分析如图解：A AB Bl lqF FMMqA AB Bx xy yMMF FF FAyAyMMA Al lF FAxAx2024/7/1742.列平衡方程3.解方程1.取梁为研究对象，受力分析如图示图示简支梁简支梁上作用一上作用一分布载荷分布载荷，其单位长度上受力的大小称为，其单位长度上受力的大小称为载荷集度载荷集度(单位为牛顿单位为牛顿/米米)，其左端的集度为零，右端集度为，其左端的集度为零，右端集度为q。载荷的长度为载荷的长度为l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束力。，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束力。首先在首先在O点建立参考系点建立参考系第二步作受力分析第二步作受力分析主动力为分布载荷（忽略重主动力为分布载荷（忽略重力），且为一平行力系力），且为一平行力系约束反力：约束反力：O 为固定铰支座，为固定铰支座，A 为活动铰为活动铰支座。支座。画出其反力画出其反力2024/7/175图示简支梁上作用一分布载荷，其单位长度上受力的大小称为载荷第三步，求主动力的合力第三步，求主动力的合力在坐标在坐标x 处的载荷集度为处的载荷集度为qx/l。在此处取的一微元。在此处取的一微元dx，梁，梁在微元段在微元段d x 受的力近似为受的力近似为F(x)=qxdx/l。梁由。梁由x=0到到x=l 的分的分布载荷合力为布载荷合力为将该力系中心的位置坐标将该力系中心的位置坐标记为记为xC2024/7/176第三步，求主动力的合力在坐标x处的载荷集最后，利用平面力系的平衡方程求最后，利用平面力系的平衡方程求得得3个未知的约束反力：个未知的约束反力：由：由：由：由：由：由：2024/7/177最后，利用平面力系的平衡方程求得3个未知的约束反力：由：自自自自重重重重为为GG=100=100 kNkN的的的的T T字字字字形形形形刚刚架架架架ABDABD，置置置置于于于于铅铅垂垂垂垂面面面面内内内内，载载荷荷荷荷如如如如 图图 所所所所 示示示示，其其其其 中中中中 M M=20=20 kNmkNm，F F=400=400 kNkN，q q=20=20 kN/mkN/m，l l=1=1 mm。试试求求求求固固固固定定定定端端端端A A的的的的约约束力。束力。束力。束力。A AD Dl l l l3 3lqB BMMF FG2024/7/178自重为G=100kN的T字形刚架ABD，置1 1.取取取取T T 字形字形字形字形刚刚架架架架为为研究研究研究研究对对象，受力分析如象，受力分析如象，受力分析如象，受力分析如图图。A AD DBl ll lF F11F FAx Ax F FAy Ay MMA Al l MMF FG Gy yx x解：解：解：解：A AD Dl l l l3 3l lqB BMMF FG2024/7/1791.取T字形刚架为研究对象，受力分析如图。ADBllF12 2.按按按按图图示坐示坐示坐示坐标标，列写平衡方程。，列写平衡方程。，列写平衡方程。，列写平衡方程。A AD DBl ll lF F11F FAx Ax F FAy Ay MMA Al l MMF FG Gy yx x2024/7/1802.按图示坐标，列写平衡方程。ADBllF1FAxFA3 3.联联立求解。立求解。立求解。立求解。A AD DBl ll lF F11F FAx Ax F FAy Ay MMA Al l MMF FG Gy yx x2024/7/1813.联立求解。ADBllF1FAxFAyMAlMFG二平面力系平衡方程的其他形式二平面力系平衡方程的其他形式二平面力系平衡方程的其他形式二平面力系平衡方程的其他形式二力矩式：二力矩式：A、B两点的两点的连线应不垂直不垂直于投影于投影轴x。三力矩式：三力矩式：A、B、C必必须是平面内是平面内不共不共线的任意三点的任意三点。2024/7/182二平面力系平衡方程的其他形式二力矩式：A、B两点的连线应二矩式的平衡方程二矩式的平衡方程 条件：条件：连线连线AB不垂直不垂直投影轴投影轴x2024/7/183二矩式的平衡方程条件：2023/8/1183三矩式的平衡方程三矩式的平衡方程条件：条件：A、B、C是平面内是平面内不共线的任意三点不共线的任意三点2024/7/184三矩式的平衡方程条件：2023/8/1184三、求解平面力系的平衡三、求解平面力系的平衡问题时的一般步的一般步骤1)1)选取研究取研究对象；象；2)2)画受力画受力图；3)3)建立坐建立坐标轴；4)4)列平衡方程求解未知量。列平衡方程求解未知量。注意注意:列平衡方程列平衡方程时矩心矩心应选在多个未知力的交点在多个未知力的交点上，坐上，坐标轴应当与尽可能多的未知力垂直；当与尽可能多的未知力垂直；利用合力矩定理求力利用合力矩定理求力对点之矩。点之矩。2024/7/185三、求解平面力系的平衡问题时的一般步骤选取研究对象；注意:列1.1.平面平行力系的定平面平行力系的定义：如：如果平面力系中各力的作用果平面力系中各力的作用线相互平行，相互平行，则称称该力系力系为平面平行力系平面平行力系。2.2.平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程各力不得与投影各力不得与投影轴垂直垂直A、B两点两点连线不能与不能与力的作用力的作用线平行平行四、平面平行力系四、平面平行力系2024/7/186平面平行力系的定义：如果平面力系中各力的作用线相互平行，则 塔塔式式起起重重机机如如图所所示示。机机架架重重G1=700 kN，作作用用线通通过塔塔架架的的中中心心。最最大大起起重重量量G2=200 kN，最最大大悬臂臂长为12m，轨道道AB的的间距距为4m。平平衡衡荷荷重重G3到到机机身中心身中心线距离距离为6 m。试问：(1)保保证起起重重机机在在满载和和空空载时都都不不翻翻倒倒，求求平平衡衡荷荷重重G3应为多少多少?(2)当当平平衡衡荷荷重重G3=180 kN时，求求满载时轨道道A，B给起起重重机机轮子的子的约束力？束力？A AB B2m2m 2m2m6m6m12m12mG G1 1G G2 2G G3 32024/7/187塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN1.起重机不翻倒。起重机不翻倒。满载时不不绕B点翻倒，点翻倒，临界情况界情况下下FA=0，可得可得取塔式起重机取塔式起重机为研究研究对象，受力象，受力分析如分析如图所示。所示。解：解：A AB B2m2m 2m2m6m6m12m12mG G1 1G G2 2G G3 32024/7/1881.起重机不翻倒。满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，空空载时，G2=0，不不绕A点点翻翻倒倒，临界界情情况况下下FB=0，可得可得保保证起重机在起重机在满载和空和空载时都不翻倒，都不翻倒，则有有A AB B2m2m2m2m6m6m12m12mG G1 1G G2 2G G3 375 kNG3350 kN2024/7/189空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB2.取取G3=180 kN，求，求满载时轨道道A，B给起重机起重机轮子的子的约束力。束力。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得A AB B2m2m2m2m6m6m12m12mG G1 1G G2 2G G3 32024/7/1902.取G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮一一一一 物体系物体系物体系物体系统统统统 由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统，称为物体系统。二内力和外力二内力和外力二内力和外力二内力和外力内力组成系统的各个构件之间的相互作用力，称为该系统的内力。特点是成对出现。外力外界物体作用于这个系统的力，称为该系统的外力。三静定与静不定三静定与静不定三静定与静不定三静定与静不定问题问题问题问题静定问题：未知数=平衡方程数超静定问题：未知数平衡方程数超静定次数=未知数-平衡方程数2-7 物体系的平衡、静定与超静定的概念物体系的平衡、静定与超静定的概念2024/7/191一物体系统由若干个物体通过适当的约束相互连接三个独立方程，只能求三个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：平面平面汇交力系的平衡方程交力系的平衡方程：两个独立方程，只能求两个独立未知数两个独立方程，只能求两个独立未知数一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。2024/7/192三个独立方程，只能求三个独立未知数。平面力偶系的平衡方程：平物体受平面汇交力系作用 未知量数 2=独立平衡方程数 2 静定问题未知量数 3 独立平衡方程数 2静不定问题2024/7/193未知量数2静定问题未知量数3静不定问题2023/8/物体受平面平行力系作用 未知量数 2=独立平衡方程数 2 静定问题未知量数 3 独立平衡方程数 2静不定问题2024/7/194物体受平面平行力系作用未知量数2静定问题未知量数 静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解。静定问题 未知量数 3=独立平衡方程数 3 静不定问题 未知量数 4独立平衡方程数 3 物体受平面一般力系作用2024/7/195静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静定静定问题问题1次超静定次超静定2次超静定次超静定四解法四解法四解法四解法选选取适当的研究取适当的研究对对象，象，进进行受力分析，并列出响行受力分析，并列出响应应的平衡方程。的平衡方程。物体系物体系统统平衡平衡组组成物体系成物体系统统的各个构件也是平衡的的各个构件也是平衡的如每个如每个单体可列体可列3个平衡方程，个平衡方程，设物系中有物系中有n 个物体，个物体，整个系整个系统可列可列 3n 个方程。个方程。解物系解物系问题的一般方法的一般方法：由整体由整体局部（常用）局部（常用），由局部由局部整体（用整体（用较少）少）2024/7/196静定问题1次超静定2次超静定四解法选取适当的研究对象，进行解物系解物系问题的一般方法的一般方法由整体由整体局部局部或或由局部由局部整体整体 物系平衡的特点物系平衡的特点物系平衡物系平衡 物系中每个物系中每个单体也是平衡的。每个体也是平衡的。每个单体可列体可列3个平衡方个平衡方程，整个系程，整个系统可列可列3n个方程（个方程（设物系中有物系中有n个物体个物体,每个物体都每个物体都受有平面一般力系作用）受有平面一般力系作用）由由n个个刚体体组成的物系，其中成的物系，其中n1个个刚体体为二力体或受有平二力体或受有平面力偶系作用，面力偶系作用，n2个个刚体受有平面体受有平面汇交力系或平行力系作用，交力系或平行力系作用，n3个个刚体受有平面一般力系作用，且：体受有平面一般力系作用，且：n=n1+n2+n3，则整个系整个系统可列出可列出m个独立的平衡方程，而个独立的平衡方程，而 m=n1+2n2+3n3，可求解，可求解m个未个未知量。知量。2024/7/197解物系问题的一般方法物系平衡的特点物系平衡 如如图所所示示为曲曲轴冲冲床床简图，由由轮I，连杆杆ABAB和和冲冲头B B组成成。A A，B B两两处为铰链连接接。OAOA=R R，ABAB=l l。如如忽忽略略摩摩擦擦和和物物体体的的自自重重，当当OAOA在在水水平平位位置置，冲冲压力力为F F时系系统处于于平平衡衡状状态。求求：（1 1）作作用用在在轮I 上上的的力力偶偶之之矩矩M M的的大大小小；（2 2）轴承承O O处的的约束束反反力力；（3 3）连杆杆ABAB受受的的力力；（4 4）冲）冲头给导轨的的侧压力。力。A AB BO OMMF F2024/7/198如图所示为曲轴冲床简图，由轮I，连杆AB和冲头B组1.取冲取冲头为研究研究对象，受象，受力分析如力分析如图所示。所示。列平衡方程列平衡方程B By yx xF FB BF FN NF F解方程得解方程得解：解：解：解：A AB BO OMMF F2024/7/1991.取冲头为研究对象，受力分析如图所示。列O OA A2.取取轮I为研究研究对象，受力分析如象，受力分析如图所示。所示。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得y yx xF FOxOxF FOyOyF FA AMMA AB BO OMMF F2024/7/1100OA2.取轮I为研究对象，受力分析如图所示 如如图图所所示示组组合合梁梁由由AC和和CD在在C处处铰铰接接而而成成。梁梁的的A端端插插入入墙墙内内，B处处铰铰接接一一二二力力杆杆。已已知知：F=20 kN，均均布布载载荷荷q=10 kN/m，M=20 kNm，l=1 m。试试求求插插入端入端A及及B处处的的约约束力。束力。A AB BC CD Dq ql ll ll ll lF FMM2024/7/1101如图所示组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插C CB BD D1.以梁以梁CD为研究研究对象，象，受力分析如受力分析如图所示。所示。列平衡方程列平衡方程解方程可得解方程可得q qF FCxCxF FCyCyF FF FB BA AB BC CD Dq ql ll ll ll lF FMM解：解：解：解：2024/7/1102CBD1.以梁CD为研究对象，受力分析如图2.以整体以整体为研究研究对象，象，受力分析如受力分析如图所示。所示。列平衡方程列平衡方程B BC CD DA Aq ql ll ll ll lF FMMA AF FAyAyF FB BMMF FAxAx联立求解方程可得立求解方程可得解：解：解：解：2024/7/11032.以整体为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程 如如图所所示示，已已知知重重力力G，DC=CE=AC=CB=2l；定定滑滑轮半半径径为R，动滑滑轮半半径径为r，且且R=2r=l,=45。试求求：A，E支支座座的的约束束力力及及BD杆杆所所受受的力。的力。D D K KC CA AB BE E G G2024/7/1104如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；D D K KC CA AB BE E 1.选选取取整体整体研究研究对对象，受象，受力分析如力分析如图图所示。所示。列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程F FA AG GF FExExF FEyEy解：解：解：解：2024/7/1105DKCABE1.选取整体研究对象，受力分析如图2.选取取DEC研究研究对象，象，受力分析如受力分析如图所示。所示。E EC CK KD D列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程F FK KF FEyEyF FExExD D K KC CA AB BE E G G2024/7/11062.选取DEC研究对象，受力分析如图所示。ECKD思考：思考：图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力，试证明AC杆所受的力与的作用位置无关。2024/7/1107思考：图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力，试力偶在坐力偶在坐标轴上投影不存在；上投影不存在；力偶矩力偶矩M=常数，它与坐常数，它与坐标轴与取矩点与取矩点的的选择无关。无关。解解题步步骤解解题技巧技巧 选研究研究对象；象；画受力画受力图（受力分析）；（受力分析）；选坐坐标、取矩点、列平衡方程；、取矩点、列平衡方程；解方程求出未知数。解方程求出未知数。取矩心最好取矩心最好选在未知力的交叉点上；在未知力的交叉点上；灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。注意注意问题小小结：对物系的解物系的解题步步骤与技巧：与技巧：2024/7/1108力偶在坐标轴上投影不存在；解题步骤解题技巧选研选研究研究对象的原象的原则：由所由所选的研究的研究对象列出的平衡方程所含的未知数尽可能象列出的平衡方程所含的未知数尽可能地少，最好是每一方程中只含有一个未知数，以避免求解地少，最好是每一方程中只含有一个未知数，以避免求解联立方程。立方程。一般情况下可按下列方法一般情况下可按下列方法一般情况下可按下列方法一般情况下可按下列方法选选选选取研究取研究取研究取研究对对对对象象象象vv一般一般一般一般说说来来来来对对于由杆件系于由杆件系于由杆件系于由杆件系统组统组成的成的成的成的结结构物，可先取整个构物，可先取整个构物，可先取整个构物，可先取整个系系系系统为统为研究研究研究研究对对象，解出部分未知数后，再从系象，解出部分未知数后，再从系象，解出部分未知数后，再从系象，解出部分未知数后，再从系统统中中中中选选取某些物体作取某些物体作取某些物体作取某些物体作为为研究研究研究研究对对象，列出另外的平衡方程，求象，列出另外的平衡方程，求象，列出另外的平衡方程，求象，列出另外的平衡方程，求出待求的所有未知量；出待求的所有未知量；出待求的所有未知量；出待求的所有未知量；vv对对于机构往往可以从已知到未知，根据力的于机构往往可以从已知到未知，根据力的于机构往往可以从已知到未知，根据力的于机构往往可以从已知到未知，根据力的传递传递路路路路线线分分分分别别取不同物体取不同物体取不同物体取不同物体为为研究研究研究研究对对象，列出平衡方程求解。象，列出平衡方程求解。象，列出平衡方程求解。象，列出平衡方程求解。vv对对于包含有固定端于包含有固定端于包含有固定端于包含有固定端约约束的情况束的情况束的情况束的情况,应应首先将系首先将系首先将系首先将系统统拆开拆开拆开拆开进进行行行行求解求解求解求解.2024/7/1109选研究对象的原则：由所选的研究对象列出的平衡方程所含的未知