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中考必备中考必备中考必备中考必备数学数学中考必备数学第一部分第一部分 知识梳理知识梳理第第六六章章 圆圆第第2 27 7课时课时 与圆有关的与圆有关的综合题综合题第一部分 知识梳理第六章 圆第27课时 与圆有关的综合题目录目录中考考点精讲精练中考考点精讲精练0101广东中考广东中考0202目录中考考点精讲精练01广东中考02返回目录中考考点精讲精练中考考点精讲精练中考考点精讲精练中考考点精讲精练1.（2020大庆）如图6-27-1，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，连接AD，过点D作DMAC，垂足为点M，AB，MD的延长线交于点N.典型例题典型例题考点考点 圆的综合题（圆的综合题（5 5年年5 5考）考）中考考点精讲精练1.（2020大庆）如图6-27-1，在返回目录（1）求证：MN是O的切线；（1 1）证明：如答图）证明：如答图6-27-16-27-1，连接，连接OD.OD.ABAB是直径，是直径，ADB=90.ADB=90.又又AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，BAD=CAD.BAD=CAD.AO=BOAO=BO，BD=CDBD=CD，ODAC.ODAC.DMACDMAC，ODMN.ODMN.又又ODOD是半径，是半径，MNMN是是OO的切线的切线.（1）求证：MN是O的切线；（1）证明：如答图6-27-1返回目录（2）求证：DN2=BN（BN+AC）；（2 2）证明：）证明：AB=ACAB=AC，ABC=ACB.ABC=ACB.ABC+BAD=90ABC+BAD=90，ACB+CDM=90ACB+CDM=90，BAD=CDM.BAD=CDM.BDN=CDMBDN=CDM，BDN=BAD.BDN=BAD.又又N=NN=N，BDNDAN.BDNDAN.=.DNDN2 2=BNAN=BN=BNAN=BN（BN+ABBN+AB）=BN=BN（BN+ACBN+AC）.DNDN ANANBNBN DNDN（2）求证：DN2=BN（BN+AC）；（2）证明：AB返回目录（3）若BC=6，cosC=，求DN的长.53（3 3）解：）解：BC=6BC=6，BD=CDBD=CD，BD=CD=3.BD=CD=3.cosC=cosC=，AC=5.AB=5.AC=5.AB=5.AD=ABAD=AB2 2-BD-BD2 2=25-9=4.=25-9=4.BDNDANBDNDAN，=.BN=BN=DNDN，DN=DN=AN.AN.BN=BN=()()AN=AN=AN.AN.BN+AB=ANBN+AB=AN，AN+5=AN.AN+5=AN.AN=AN=.DN=.DN=AN=AN=.5 5 ACAC3 3 CDCDDNDN ANAN ADAD4 4BNBN DNDN BDBD 3 34 43 34 43 34 43 34 43 316169 916169 980804 43 37 76 60 07 7（3）若BC=6，cosC=，求DN的长.53（3）解：返回目录2.（2020黄石）如图6-27-2，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F.2.（2020黄石）如图6-27-2，在RtABC中，返回目录（1）求证：BC是O的切线；（1 1）证明：如答图）证明：如答图6-27-26-27-2，连接连接ODOD，则，则OA=OD.OA=OD.ODA=OAD.ODA=OAD.ADAD是是BACBAC的平分线，的平分线，OAD=CAD.ODA=CAD.OAD=CAD.ODA=CAD.ODAC.ODB=C=90.ODAC.ODB=C=90.点点D D在在OO上，上，BCBC是是OO的切线的切线.（1）求证：BC是O的切线；（1）证明：如答图6-27-2返回目录（2）若BE=8，sinB=513，求O的半径；（2 2）解：）解：BDO=90BDO=90，sinB=sinB=.OD=5.OD=5.OO的半径为的半径为5.5.BOBOODOD _ODODBE+ODBE+OD 13135 5（2）若BE=8，sinB=513，求O的半径；（2）解：返回目录（3）求证：AD2=ABAF.（3 3）证明：连接）证明：连接EFEF，如答图，如答图6-27-2.6-27-2.AEAE是直径，是直径，AFE=90=ACB.AFE=90=ACB.EFBC.AEF=B.EFBC.AEF=B.AEF=ADFAEF=ADF，B=ADF.B=ADF.又又OAD=CADOAD=CAD，DABFAD.DABFAD.=.AD2=ABAF.AD2=ABAF.AFAF ADADADAD ABAB（3）求证：AD2=ABAF.（3）证明：连接EF，如答图返回目录3.（2020广西）如图6-27-3，在ACE中，以AC为直径的O交CE于点D，连接AD，且DAE=ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与O相切于点B.（1）求证：AP是O的切线；考点演练考点演练（1 1）证明：）证明：ACAC为直径，为直径，ADC=90.ADC=90.ACD+DAC=90.ACD+DAC=90.DAE=ACEDAE=ACE，DAC+DAE=90DAC+DAE=90，即，即CAE=90.CAE=90.APAP是是OO的切线的切线.3.（2020广西）如图6-27-3，在ACE中，以AC返回目录（2）连接AB交OP于点F，求证：FADDAE；（2 2）证明：连接）证明：连接DBDB，如答图，如答图6-27-3.6-27-3.PAPA和和PBPB都是切线，都是切线，PA=PBPA=PB，OPA=OPBOPA=OPB，POAB.POAB.PD=PDPD=PD，DPADPBDPADPB（SASSAS）.AD=BD.BAD=ABD.AD=BD.BAD=ABD.ACD=ABDACD=ABD，且，且DAE=ACEDAE=ACE，DAF=DAE.DAF=DAE.ACAC是直径，是直径，ADE=ADC=90.ADE=ADC=90.ADE=AFD=90.FADDAE.ADE=AFD=90.FADDAE.（2）连接AB交OP于点F，求证：FADDAE；（2）返回目录（3）若tanOAF=，求的值.2AP1AE（3 3）解：）解：AFO=OAP=90AFO=OAP=90，AOF=POAAOF=POA，AOFPOA.AOFPOA.=.=tanOAF=tanOAF=.PA=2OA=AC.PA=2OA=AC.AFD=CAE=90AFD=CAE=90，DAF=ABD=ACEDAF=ABD=ACE，AFDCAE.AFDCAE.=.=.不妨设不妨设OF=xOF=x，则，则AF=2xAF=2x，ODODOAOA5x.5x.FDFDOD-OFOD-OF(5-1)x.(5-1)x.=.=.=.=.OAOA PAPAOFOF AFAFPAPA AFAF2 2OAOA OFOF1 1AEAE ACACAFAF ACACFDFD AFAFFDFD AEAEAFAFAPAP ACACFDFD(-1)x(-1)x2x2x5 5_-1-15 52 2_AEAE AEAE _5 52 2-1-1（3）若tanOAF=，求的值.2AP1AE（3）解：返回目录4.（2019大庆）如图6-27-4，O是ABC的外接圆，AB是直径，点D是AC的中点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足PCAABC.4.（2019大庆）如图6-27-4，O是ABC的外接返回目录（1）求证：PA是O的切线；（1 1）证明：）证明：DD是弦是弦ACAC的中点，的中点，ODAC.ODAC.PDPD是是ACAC的中垂线的中垂线.PAPAPC.PACPC.PACPCAPCAABAB是是OO的直径，的直径，ACBACB90.90.CAB+CBACAB+CBA9090又又PCAPCAABCABC，PCA+CABPCA+CAB90.90.CAB+PACCAB+PAC9090，即，即ABPA.ABPA.PAPA是是OO的切线的切线.（1）求证：PA是O的切线；（1）证明：D是弦AC的中点返回目录（2）求证：EF24ODOP；（2 2）证明：由（）证明：由（1 1）知，）知，ODAODAOAPOAP9090，又又AOD=POA,AOD=POA,RtAODRtPOA.RtAODRtPOA.=.OAOA2 2OPOD.OPOD.又又OAOAEFEF，EFEF2 2OPODOPOD，即，即EFEF2 24ODOP.4ODOP.POPO AOAOAOAO DODO2 21 14 41 1（2）求证：EF24ODOP；（2）证明：由（1）知，返回目录（3）若BC8，tanAFP，求DE的长32（3 3）解：）解：tanAFP=tanAFP=,在在RtADFRtADF中，设中，设ADAD2a2a，则，则DFDF3a,OD3a,ODBCBC4 4，AOAOOFOF3a-43a-4ODOD2 2+AD+AD2 2AOAO2 2，即，即4 42 2+4a+4a2 2（3a-43a-4）2 2.解得解得a a.DEDEOE-ODOE-OD3a-4-43a-4-4DFDF 3 3ADAD 2 22 21 124245 532325 5（3）若BC8，tanAFP，求DE的长32（3）返回目录考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度较高.注意以下要点：(1)圆内一般会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，将这些特殊三角形和四边形、相似三角形结合，形成几何部分较为常见的综合题;(2)把圆放置于平面直角坐标系中，可将其与函数相结合,另一方面，根据相似图形的对应边成比例或直角三角形的勾股定理，也可以得到函数关系.考点点拨：返回目录知识思维导图知识思维导图知识思维导图知识思维导图广东中考广东中考广东中考广东中考1.（2018广东）如图6-27-5，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的O经过点C，连接AC，OD交于点E知识思维导图广东中考1.（2018广东）如图6-27-5，在返回目录（1）求证：ODBC；（1 1）证明：如答图）证明：如答图6-27-46-27-4，连接，连接OC.OC.在在OADOAD和和OCDOCD中，中，OADOCDOADOCD（SSSSSS）.ADO=CDO.ADO=CDO.又又AD=CDAD=CD，DEAC.DEAC.ABAB为为OO的直径，的直径，ACB=90ACB=90，即，即BCAC.BCAC.ODBC.ODBC.OA=OCOA=OC，AD=CDAD=CD，OD=ODOD=OD，（1）求证：ODBC；（1）证明：如答图6-27-4，连接返回目录（2）若tanABC=2，求证：DA与O相切；（2 2）证明：）证明：tanABC=tanABC=2=2，设设BC=a,BC=a,则则AC=2a.AC=2a.AD=AB=ACAD=AB=AC2 2+BC+BC2 2=5a.=5a.OEBCOEBC，且，且AO=BOAO=BO，OE=OE=BC=BC=a a，AE=CE=AE=CE=AC=a.AC=a.在在RtAEDRtAED中，中，DE=ADDE=AD2 2-AE-AE2 2=2a=2a，在在AODAOD中，中，AOAO2 2+AD+AD2 2=（）2 2+(a)+(a)2 2=a a2 2，ODOD2 2=(OE+DE)=(OE+DE)2 2=（a+2aa+2a）2 2=a a2 2,AOAO2 2+AD+AD2 2=OD=OD2 2.OAD=90.DA.OAD=90.DA与与OO相切相切.BCBCACAC2 21 12 21 12 21 1a a2 25 5_5 525254 42 21 125254 4（2）若tanABC=2，求证：DA与O相切；（2）证明返回目录（3）在（2）的条件下，连接BD交O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长（3 3）解：如答图）解：如答图6-27-46-27-4，连接，连接AF.AF.ABAB是是OO的直径，的直径，AFD=BAD=90.AFD=BAD=90.ADF=BDAADF=BDA，AFDBAD.AFDBAD.=，即，即DFBD=ADDFBD=AD2 2.DADA BDBDDFDF ADAD（3）在（2）的条件下，连接BD交O于点F，连接EF，若B返回目录又又AED=OAD=90AED=OAD=90，ADE=ODAADE=ODA，AEDOAD.AEDOAD.=，即，即ODDE=ADODDE=AD2 2.由由可得可得DFBD=ODDEDFBD=ODDE，即，即=.又又EDF=BDOEDF=BDO，EDFBDO.EDFBDO.BC=1BC=1，AB=AD=,OD=AB=AD=,OD=,DE=2,DB=,DE=2,DB=，OB=OB=.=,即即=.=.解得解得EF=EF=2 2ODOD DADAODOD BDBDADAD DEDEDFDF DEDE5 52 25 510102 25 5BOBO DBDBEFEF DEDEEFEF2 25 510102 2_2 2又AED=OAD=90，ADE=ODA，2ODD返回目录2.（2017广东）如图6-27-6，AB是O的直径，AB=43，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB2.（2017广东）如图6-27-6，AB是O的直径，A返回目录（1）求证：CB是ECP的平分线；（1 1）证明：）证明：OC=OBOC=OB，OCB=OBC.OCB=OBC.PFPF是是OO的切线，的切线，CEABCEAB，OCP=CEB=90.OCP=CEB=90.PCB+OCB=90PCB+OCB=90，BCE+OBC=90.BCE+OBC=90.BCE=BCP.BCE=BCP.CBCB是是ECPECP的平分线的平分线（1）求证：CB是ECP的平分线；（1）证明：OC=OB返回目录（2）求证：CF=CE；（2 2）证明：如答图）证明：如答图6-27-56-27-5，连接，连接ACACABAB是直径，是直径，ACB=90.ACB=90.BCP+ACF=90BCP+ACF=90，ACE+BCE=90.ACE+BCE=90.BCP=BCEBCP=BCE，ACF=ACE.ACF=ACE.F=AEC=90F=AEC=90，AC=ACAC=AC，ACFACEACFACE（AASAAS）.CF=CECF=CE（2）求证：CF=CE；（2）证明：如答图6-27-5，连接返回目录（3）当=时，求劣弧BC的长度.（结果保留）CP 4CF 3（3 3）解：如答图）解：如答图6-27-56-27-5，过点，过点B B作作BMPFBMPF于点于点M M，则，则CE=CM=CF.CE=CM=CF.设设CE=CM=CF=3aCE=CM=CF=3a，则，则PC=4aPC=4a，PM=a.PM=a.CDCD是直径，是直径，BMPF,CBP=CMB=BMP=90.BMPF,CBP=CMB=BMP=90.MCB+P=90,P+PBM=90.MCB=PBM.MCB+P=90,P+PBM=90.MCB=PBM.BMCPMBBMCPMB，=.BMBM2 2=CMPM=3a2.BM=a.=CMPM=3a2.BM=a.tanBCM=tanBCM=.BCM=30.BCM=30.OCB=OBC=BOC=60.OCB=OBC=BOC=60.劣弧劣弧BCBC的长为的长为 =.=.PMPM BMBMBMBM CMCM3 33 3CMCM3 3BMBM602 602 _1801803 33 32 23 3_（3）当=时，求劣弧BC的长度.（结果保留）CP4CF
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