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第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第1页 2.1 随机变量及其分布 2.2 随机变量的数学期望 2.3 随机变量的方差与标准差 2.4 常用离散分布 2.5 常用连续分布 2.6 随机变量函数的分布 2.7 分布的其他特征数 第二章 随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第2页 2.1 随机变量及其分布 (1)掷一颗骰子，出现的点数 X 1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3)某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命 T:0,+?)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第3页 2.1.1 随机变量的定义 定义2.1.1 设?=?为某随机现象的样本空间，称定义在?上的实值函数X=X(?)为随机变量.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第4页 注 意 点(1)(1)随机变量X(?)是样本点?的函数，其定义域为?，其值域为R=(?，?)若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量，则 X=k、a X?b、均为随机事件.即 a X?b=?；a X(?)?b?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第5页 注 意 点(2)(3)注意以下一些表达式：X=k=X?k?X k；a b=?X?b.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第6页?若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.?若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.?前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量；而 T 为连续随机变量.两类随机变量 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第7页 定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X?x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0?F(x)?1，F(?)=0，F(+?)=1；(3)右连续.2.1.2 随机变量的分布函数 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第8页 2.1.3 离散随机变量的分布列?设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(X=xi)，i=1,2,为 X 的分布列.?分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第9页 分布列的基本性质 (1)pi?0，(2)1.iip?(正则性)(非负性)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第10页 注 意 点(1)求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第11页 注 意 点(2)对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第12页 例2.1.1 已知 X 的分布列如下：X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 求 X 的分布函数.0,01/3,01()1/2,121,2?xxF xxx解：第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第13页 X 0 1 2 P 0.4 0.4 0.2 解：0,00.4,01()0.8,121,2xxF xxx?例2.1.2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第14页 2.1.4 连续随机变量的密度函数?连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a,b).?因为对连续随机变量 X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用 P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.?注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第15页 定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，()()xp t dtF x?若存在非负可积函数 p(x)，满足：称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第16页 密度函数的基本性质(2)(1)()0;()1.p xp x dx?满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第17页.()()?baP aXbp x dx注意点(1)(1)(2)F(x)是(?,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)?F(x?0)=0;第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第18页 (4)PaXb=PaXb =PaXb =PaXb =F(b)?F(a).注意点(2)(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=()F x?当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第19页 连续型 1.密度函数 X p(x)(不唯一)()()xF xp t dt?2.4.P(X=a)=0 离散型 1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=()iixxP Xx?3.F(a+0)=F(a);P(a a 和 B=Y a 独立，解:因为 P(A)=P(B),P(A?B)=P(A)+P(B)?P(A)P(B)2238ax dx?318a?从中解得 34?a且 P(A?B)=3/4,求常数 a.且由A、B 独立，得=2P(A)?P(A)2=3/4 从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a a)例2.1.5 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第23页 设 X p(x)，且 p(?x)=p(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a0，有()F(?a)=1?F(?a)=F(?a)=F(a)F(?a)=2F(a)?1 0()ap x dx?01()2ap x dx?课堂练习 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第24页 2.2 随机变量的数学期望?分赌本问题(17世纪)?甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注 50元.?无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.?当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.?问如何分赌本?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第25页 两种分法 1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的 3/4、乙分总赌本的1/4 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第26页 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望”所得是：0?1/4+100?3/4=75.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第27页 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数 绝对收敛，则称该级数为 X 的 1iiix p?数学期望，记为 1()iiiE Xx p?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第28页 连续随机变量的数学期望 定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分 绝对收敛，则称该积分为 X 的()xp x dx?数学期望，记为()()E Xxp x dx?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第29页 例2.2.1 则 E(X)=?10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X?1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第30页?数学期望简称为期望.?数学期望又称为均值.?数学期望是一种加权平均.注 意 点 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第31页 2.2.3 数学期望的性质 定理2.2.1 设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则 1()()()()()iiig x P XxE g Xg x p x dx?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第32页 例2.2.2 设随机变量 X 的概率分布为 求 E(X2+2).=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4 解:E(X2+2)X 0 1 2 P 1/2 1/4 1/4 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第33页 数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第34页 例2.2.3 2,01()0,xxp x?0,令 则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var()XE XXY?称 Y 为 X 的标准化.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第42页 2.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立 Var()|()|2XPXE X?2Var()|()|1XPXE X?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第43页 例2.3.2 设 X 0()!00nxxexp xnx?证明(02(1)1nPXnn?证明:E(X)=0d!nxxxexn?=n+1 E(X2)=20d!nxxxexn?=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)?(EX)2=n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn?211(1)nn?1nn?(这里,?=n+1)1(2)!nn?1(3)!nn?由此得 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第44页 定理 2.3.2 Var(X)=0?P(X=a)=1 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第45页 2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p).?X为n重伯努里试验中“成功”的次数,0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk?当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第46页?试验次数为 n=4,?“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,?所以,X b(4,0.8)思考：若 Y 为不合格品件数，Y?？Y b(4,0.2)一批产品的合格率为 0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第47页 例2.4.1 设X b(2,p)，Y b(4,p)，已知 P(X?1)=8/9，求 P(Y?1).解:由 P(X?1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.由此得：P(Y?1)=1?P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1?p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1?p)4=80/81.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第48页 若随机变量 X 的概率分布为(),0,1,2,!kP Xkekk?则称 X 服从参数为?的泊松分布,记为 X P(?).2.4.2 泊松分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第49页 泊松定理 定理2.4.1(1)!kkn knnnppekk?(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率.若 npn?，则 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第50页 记为 X h(n,N,M).(),MNMknkP XkNn?超几何分布对应于不返回抽样模型 ：?N 个产品中有 M 个不合格品，?从中抽取n个，不合格品的个数为 X.2.4.3 超几何分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第51页 1()(1),1,2,kP Xkppk?记为 X Ge(p)?X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.?几何分布具有无记忆性，即：P(X m+n|X m)=P(X n)2.4.4 几何分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第52页 负二项分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk rrP Xkppkr rr?记为X Nb(r,p).?X 为独立重复的伯努里试验中，“第 r 次成功”时的试验次数.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第53页 注 意 点 (1)二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第54页 常用离散分布的数学期望?几何分布Ge(p)的数学期望 =1/p?0-1 分布的数学期望 =p?二项分布 b(n,p)的数学期望 =np?泊松分布 P(?)的数学期望 =?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第55页 常用离散分布的方差?0-1 分布的方差 =p(1?p)?二项分布 b(n,p)的方差=np(1?p)?泊松分布 P(?)的方差=?几何分布Ge(p)的方差=(1?p)/p2 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第56页 2.5 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第57页 记为X N(?,?2),2()1()exp,222xp xx?其中?0，?是任意实数.?是位置参数.?是尺度参数.2.5.1 正态分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第58页 y x O 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第59页 正态分布的性质(1)p(x)关于?是对称的.p(x)x 0 在?点 p(x)取得最大值.(2)若?固定,?改变,(3)若?固定,?改变,小 大 p(x)左右移动,形状保持不变.?越大曲线越平坦;?越小曲线越陡峭.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第60页 p(x)x 0 1(1)(0),2?x?x)(x?1()?x标准正态分布N(0,1)密度函数记为?(x),分布函数记为?(x).(2)()1()xx?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第61页?(x)的计算(1)x?0 时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1?(a);(3)P(aXb)=?(b)?(a);(4)若a?0,则 P(|X|a)=P(?aX?1.96),P(|X|?1.96)P(|X|1/2,所以 b 0,反查表得:?(1.66)=0.9515,故 b=1.66 而?(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,?(?a)=0.9505,反查表得:?(1.65)=0.9505,故 a=?1.65 例2.5.2 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第64页 一般正态分布的标准化 定理2.5.1 设 X N(?,?2),XY?则 Y N(0,1).推论:若 X N(?,?2),则()xF x?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第65页 若 X N(?,?2),则 P(Xa)=a?1a?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第66页 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X?10|2).解:P(10X13)=?(1.5)?(0)=0.9332?0.5 P(|X?10|2)=P(8Xk=PXk,则 k=().3 课堂练习(1)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第69页 设 X N(?,42),Y N(?,52),记 p1=PX?4，p2=PY?+5,则()对任意的?，都有 p1=p2 对任意的?，都有 p1 p2 课堂练习(2)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第70页 设 X N(?,?2),则随?的增大，概率 P|X?|?()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 课堂练习(3)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第71页 正态分布的 3?原则 设 X N(?,?2),则 P(|X?|?)=0.6828.P(|X?|2?)=0.9545.P(|X?|3,则 P(A)=P(X 3)=2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC?=20/27 例2.5.5 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第74页 2.5.3 指数分布 记为 X Exp(?),0()0,0 xexp xx?其中?0.1,0()0,0 xexF xx?特别：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第75页 2.5.4 伽玛分布 记为 X Ga(?,?),1(),0()xp xxex?其中?0，?0.为伽玛函数.10()dxxex?称 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第76页 注意点 (1)?(1)=1,?(1/2)=?(n+1)=n!?(2)Ga(1,?)=Exp(?)Ga(n/2,1/2)=?2(n)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第77页 2.5.5 贝塔分布 记为 X Be(a,b),111()(1),01(,)abp xxxxB a b?其中a 0，b 0.称 1110(,)(1)dabB a bxxx?为贝塔函数.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第78页 注意点 (1)(2)B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=?(a)?(b)/?(a+b)(3)Be(1,1)=U(0,1)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第79页 常用连续分布的数学期望?均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2?指数分布 Exp(?):E(X)=1/?正态分布 N(?,?2):E(X)=?伽玛分布 Ga(?,?):E(X)=?/?贝塔分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第80页 常用连续分布的方差?均匀分布 U(a,b)的方差=(b?a)2/12?指数分布 Exp(?)的方差=1/?2?正态分布 N(?,?2)的方差=?2 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第81页 例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为 0.4,则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4=np,1.44=np(1?p)中解得 解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以 n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第82页 设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常 数 C，必有（）.222222222(1)()()(2)()()(3)()()(4)()()E XCE XCE XCE XE XCE XE XCE X?课堂练习 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第83页 2.6 随机变量函数的分布 问题：已知 X 的分布，求 Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=?X2.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第84页?当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.?将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.2.6.1 离散随机变量函数的分布 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第85页 2.6.2 连续随机变量函数的分布 定理2.6.1 设 X pX(x)，y=g(x)是 x 的严格 单调函数，记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:()|()|,()0,XYph yh yaybpy?其它第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第86页 例2.6.1 设 X 21(),(1)Xpxx?求 Y=eX 的分布.y=ex 单调可导,反函数 x=h(y)=lny,所以当 y 0 时,|)(|)()(yhyhpypXY?,1)(yyh?yypX1ln?21(1 ln)yy?由此得 21,0(1 ln)()0,Yyyypy?其它解：第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第87页 正态变量的线性不变性 定理2.6.2 设 X N(?,?2)，则当a?0 时，Y=aX+b N(a?+b,a2?2).由此得：若 X N(?,?2)，则 Y=(X?)/?N(0,1).第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第88页 对数正态分布 定理2.6.3 设 X N(?,?2)，则 Y=e X 的服从 22(ln)1()exp,0.22yp xyy?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第89页 伽玛分布的有用结论 定理2.6.4 设 X Ga(?,?)，则当k 0 时，Y=kX Ga(?,?/k).第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第90页 均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连 续函数，则Y=FX(X)U(0,1).第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第91页 2.7 分布的其它特征数?矩、变异系数、分位数、中位数 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第92页 2.7.1 k 阶原点矩和中心矩?k 阶原点矩：?k=E(Xk)，k=1,2,.注意:?1=E(X).?k 阶中心矩：?k=EX?E(X)k，k=1,2,.注意:?2=Var(X).定义2.7.1 第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第93页 2.7.2 变异系数 定义2.7.2 为 X 的变异系数.Var()()VXCE X?作用：称 CV 是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第94页 2.7.3 分位数 P(X?xp)=F(xp)=p 定义2.7.3 设 0 p 1，若 xp 满足 则称 xp 为此分布 p-分位数，亦称 xp 为下侧 p-分位数.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第95页 注 意 点(1)因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p，所以 X 大于 xp 的可能性为 1?p.(2)对离散分布不一定存在 p-分位数.(3)()()()dxpppP XxF xp x x?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第96页 上侧 p-分位数 若记 xp 为上侧 p-分位数，即 则 P(X?xp)=p 11,ppppxxxx?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第97页 2.7.4 中位数 定义2.7.4 称 p=0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第98页 中位数与均值?相同点：都是反映随机变量的位置特征.?不同点：含义不同.第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 December 2019 第99页 统计中常用的 p-分位数 (1)N(0,1)：Z?,U?(2)?2(n)：2()n?(3)t(n)：()nt?(4)F(n,m)：(,)n mF?第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem
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