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第四章随机变量的数字特征 一、数学期望一、数学期望 二、方差二、方差 三、协方差和相关系数三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵四、矩和协方差矩阵第四章随机变量的数字特征 一、数学期望 二、方差 三数学期望 第四章 第一节二、二、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 一一、数学期望的概念、数学期望的概念 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 数学期望 第四章 第一节二、随机变量函数的数学期望 一、一、数学期望的概念一、数学期望的概念起源：起源：法国数学家帕斯卡（Pascal，16231662）法国数学家费马（Fermat，16011665）法国贵族德.梅勒（de Mere，16071684）一、数学期望的概念起源：法国数学家帕斯卡法国数学家费马法国贵帕斯卡帕斯卡德德.梅勒梅勒约定先赢约定先赢5局，获全部赌金局，获全部赌金A：4B：3分赌金分赌金写信写信费马费马假设再赌一局假设再赌一局A赢获全赌金：赢获全赌金：1A输获赌金：输获赌金：1/2A最后获赌金：最后获赌金：1/21+1/21/2=3/4B最后获赌金：最后获赌金：1/20+1/21/2=1/4期望期望（提前分钱）（提前分钱）朋友朋友帕斯卡德.梅勒约定先赢5局，获全部赌金A：4B：3分赌金写信引例：引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数获得(元)1点12,3点24,5,6点4求：平均每次游戏得多少钱？解：设一次游戏得钱数为X，则X是一个随机变量。它的分布率为：XP(X)11/621/341/2引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数获得(元)1假设做了n次游戏，每次平均得：当n很大时，假设做了n次游戏，每次平均得：当n很大时，注：注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，若级数绝对收敛，设离散型随机变量X 的分布律为 简称期望或均值期望或均值，记为 E(X).则称此级数的和为X 的数学期望数学期望。即其与 X 取值顺序无关。定义定义1 1 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，若级数绝对收敛例例1 1 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？解解 甲乙的平均环数可求得：因此，甲的射击水平要比乙的好。例1甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n 把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门.若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去，求求打打开开门门时时试开次数的数学期望试开次数的数学期望.例例2 2例例3 3 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数，表示掷得的点数，求求X 的数学期望。的数学期望。解 设试开次数为X,于是 某人的一串钥匙上有n 2、几种常用离散型分布的期望、几种常用离散型分布的期望(1)（01）分布(2)二项分布(3)泊松分布2、几种常用离散型分布的期望(1)（01）分布(2)设连续型随机变量X 的概率密度为为X 的数学期望。3 3、定义、定义2 2如果绝对收敛，则称简称期望或均值，记为 E(X).即4、几种常用连续型分布的期望、几种常用连续型分布的期望(1)均匀分布设连续型随机变量X 的概率密度为为X 的数学期望。3、定义2(2)指数分布(3)正态分布(2)指数分布(3)正态分布注：注：1、并不是任何随机变量都存在期望。（要满足绝对收敛的条件）反例：2、E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均，与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均，反映了随机变量取值集中在均值附近。发散的注：1、并不是任何随机变量都存在期望。（要满足绝对收敛的条件例例4 4、有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布，概率密度为(1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的 数学期望。(2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。解：解：(1)例4、有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布(2)(2)例例5.5.某项任务完成所需时间 T该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若在100天至115天内完成，则得奖金1000 元,115 天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数解解:由得,规定：若超过设Y 是完成该任务所获奖金数，则 Y的可能取值为10000,1000,-5000例5.某项任务完成所需时间 T该项任务若在100天之内完成则从而Y 的分布律为 0.5100000.0013-5000 0.4987 1000已求出:从而Y 的 0.5100000.0013-5000 0二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 那么应该如何计算呢？设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望.按照期望的定义把E g(X)计算出来.一种方法：因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，g(X)的分布可以由已知的X 的分布求出来.知道了g(X)的分布，二、随机变量函数的数学期望 那么应该如何计算呢？设已知随机变解解:已知X 的分布律为求 的数学期望。1/4 1/8 1/4 3/8 -1 0 1 2Eg:Eg:1/4 1/8 1/4 3/8 1 0 1 4解:已知X 的分布律为求 的数学期望。1/4 1/8 定理定理1 设(g为连续函数)设X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛,则g(X)的数学期望为 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),若绝对收敛,则g(X)的数学期望为定理1 设(g为连续函数)设X为离散型随机变量，这给求随机变量函数的期望带来很大方便。该公式的重要性在于:知道g(X)的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。当我们求Eg(X)时,不必这给求随机变量函数的期望带来很大方便。该公式的重要性在于:知定理定理2 设(X,Y)是二维随机变量,g(X,Y)是二元连续函数 设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则Z 的数学期望为 设(X,Y)为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z 的数学期望为绝对收敛绝对收敛定理2 设(X,Y)是二维随机变量,g(设随机变量X 的概率密度为例例1 1求 E(1/X)。解：解：设随机变量X 的概率密度为例1求 E(1/X)。解例例2.2.设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。设T 为乘客到达车站的时刻(分)，设Y 为乘客等车时间，则 解:则其概率密度为例2.设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在已知已知已知 的概率密度 例例3 3、求解解同理已知 的概率密度 例3、求解同理1.设C 是常数，则E(C)=C;2.若C 是常数，则E(CX)=CE(X);3.三、数学期望的性质三、数学期望的性质证明:设1.设C 是常数，则E(C)=C;2.若C 是常数，4.设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);证明:设（当Xi 独立时）注意注意:该性质不是充要条件。该性质不是充要条件。推广：推广：4.设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)例例1、任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X).解：解：1 2 3 4 5 6例1、任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X)例例2 2、二项分布解：解：则而，则所以,，求E(X)。X表示n重伯努利试验中成功的次数.注意：注意：分割随机变量的原则。例2、二项分布解：则而，则所以,，求E(X)。X表示n重伯努例例3、将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装对信件的个数，求E(X)。解：解：则01例3、将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装例例4 4一民航送客载有20 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，就不停车。以 X 表示停车的次数。求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。如到达一个车站没有旅客下车第i 站无人下车,第i 站有人下车.解解：设则例4一民航送客载有20 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可注注:不是相互独立的。不是相互独立的。注:不是相互独立的。方 差 第四章 第二节三、方差的性质三、方差的性质 一一、方差的定义、方差的定义 二、几种重要分布的方差二、几种重要分布的方差 方 差 第四章 第二节三、方差的性质 一例如例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，哪门炮射击效果好一些呢?其落点距目标的位置如图，又如又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？甲炮射击结果乙炮射击结果例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，哪门炮射击效一、方差的定义一、方差的定义 方差的算术平方根为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。定义定义 设X 是一个随机变量，若 则称称为均方差或标准差。存在，记为注：注：方差实际上就是X的函数 g(X)=X-E(X)2 的期望。方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。若若X 的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.若若X 的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；一、方差的定义 方差的算术平方根为X 的方差。记为D(X)或机动 目录 上页 下页 返回 结束 离散型离散型 已知已知X 分布律分布律连续型连续型 已知已知X 的概率密度的概率密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 离散证明：证明：推论：推论：常用计算公式：常用计算公式：（柯西许瓦兹不等式）证明：推论：常用计算公式：（柯西许瓦兹不等式）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？试问那个人的射击水平较高？解解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为乙的平均环数为乙的平均环数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从平均环数上看，从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：但两人射击环数的方差分别为：这表明这表明乙的射击水平比甲稳定乙的射击水平比甲稳定。机动 目录 上页 下页 返回 结束 从平设随机变量X 的概率密度为求D(X)。例例2 2解：解：设随机变量X 的概率密度为求D(X)。例2解：1 1（0-10-1）分布）分布 参数为p 0 1二、几种常见分布的方差二、几种常见分布的方差2 2二项分布二项分布1（0-1）分布 参数为p 0 13 3泊松分布泊松分布4 4均匀分布均匀分布3泊松分布4均匀分布 指数分布指数分布 指数分布正态分布正态分布注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所决定。特别，当正态分布注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差已知例例3求的次数，对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于解 由题意可知已知例3求的次数，对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则 D(CX)=C 2D(X);3.若X与Y 独立，则三、方差的性质三、方差的性质证注：注：这条性质同样不是一个充要条件。推广推广 若X1,X2,Xn 相互独立,则4、D(X)=01.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则例例4、已知X b(n,p)，求D(X)。则所以,解：解：，则=np(1-p).注：注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。例4、已知X b(n,p)，求D(X)。则所以,解：，则例例5 5设 X 的可能取值为且，求 X 的分布律。解解 设 X 的分布律为所以例5设 X 的可能取值为且，求 X 的分布律。解 设 X解解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故例例6 6设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？Z N(-7,5)解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7设设 X,Y 是两个相互独立的且均服从正态分布是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量的随机变量,则求随机变量则求随机变量的数学的数学期望期望解解 记记则则故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7协方差和相关系数 第四章 第三节一、协方差和相关系数的定义一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质二、协方差的性质三、相关系数的性质三、相关系数的性质协方差和相关系数 第四章 第三节一、协方差和相关系数的定义1、定义、定义 设二维随机变量 则称它为X与Y的协方差，即称为随机变量X与Y的相关系数。若存在，一、协方差和相关系数的定义一、协方差和相关系数的定义记为Covariance1、定义 设二维随机变量 则称它为X与Y的协方差，即称为2、常用计算公式、常用计算公式证证:2、常用计算公式证:1、为常数3、2、二、协方差的性质二、协方差的性质证：证：1、为常数3、2、二、协方差的性质证：三、相关系数的性质三、相关系数的性质1)2)的充要条件是X与Y以概率1成线性关系即其中为常数定理定理1 设随机变量X和Y 的相关系数存在，则引理引理等号成立当且仅当存在常数三、相关系数的性质1)2)的充要条件是X与Y以概率1成线性关说明：说明：，X 与Y 的线性关系越显著；，X 与Y 的线性关系越不显著；2）3）4）定义定义、相关系数则称与不相关;相关系数之间线性关系的一种度量.是X与Y下列命题等价：下列命题等价：1）说明：，X 与Y 的线性关系越显著；，X 与Y 的线性关系越机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1设随机变量设随机变量的线性函数的线性函数则求则求 X 和和 Y 的相关系数。的相关系数。解法一解法一 由已知可得由已知可得所以所以解法二解法二 由已知可得由已知可得所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1例例2：X N(0,1),证明X与Y不相关。证：证：=0X与Y不相关。但是，显然，X与Y 不是相互独立的。不相关：不相关：X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。独立：独立：X 与Y 之间没有任何关系。独立独立不相关不相关例2：X N(0,1),证明X与Y不相关。证：=0X与例例3 3设随机变量的概率密度为问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？解解 先求关于X 和Y 的边缘概率密度 例3设随机变量的概率密度为问 X 和 Y 是否相互独立，是否因为所以X 和 Y 不相互独立。求X 和Y 的相关系数 因为所以X 和 Y 不相互独立。求X 和Y 的相关系数所以故X 和 Y 不相关。=0.所以故X 和 Y 不相关。=0.若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关特例特例126页例7n维若若(X,Y)服从服从二维正态分布二维正态分布。是是Y与与X的的相关系数。以下画出相关系数。以下画出 取几个不同值时取几个不同值时(X,Y)的密度函数图。的密度函数图。若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关特例机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布律为的联合分布律为求求：，0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 1 11 1 -2 0 1-2 0 1 Y X解解 边缘分布律为边缘分布律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4机动 目录 上页 下页 返回 结束 的协方差为的协方差为:0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 1 11 1 -2 0 1 Y X下面求下面求 的方差的方差:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的协机动 目录 上页 下页 返回 结束 的相关系数为的相关系数为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的相机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 已知二维随机变量已知二维随机变量的概率密度为的概率密度为的相关系数的相关系数 与与试求试求解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故 与与 的协方差为的协方差为又又所以所以的方差为的方差为机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理，同理，的方差为的方差为从而得从而得机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理例例6 6设随机变量相互独立，且解解例6设随机变量相互独立，且解例例7 7 将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。解解:满足故Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2例7将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别矩和协方差矩阵 第四章 第四节矩和协方差的定义矩和协方差的定义矩和协方差矩阵 第四章 第四节矩和协方差的定义若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩。若存在，称它为 的阶中心矩。阶混合矩。若存在，称它为和的若存在，和的称它为阶混合中心矩。和是随机变量，设矩：矩：若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩。若存在，称它为的阶中心矩协方差阵：协方差阵：二维随机变量(X,Y)记为随机变量(X,Y)的协方差阵。n维随机变量维随机变量协方差阵：二维随机变量(X,Y)记为随机变量(X,Y 说明：说明：所以C是一个对称矩阵。2、对角线上元素就是求(X,Y)的协方差阵C。解：解：说明：所以C是一个对称矩阵。2、对角线上元素就是求(X,Y)
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