资源描述
随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、数学期望、方差二、原点矩与中心矩三、协方差与相关系数四、切比雪夫不等式与大数定律基本内容：第三章第三章2024/6/291随机变量的数字特征一、数学期望、方差基本内容：第三章2023一、数学期望的定义二、数学期望的性质基本内容：第一节第一节 数数 学学 期期 望望2024/6/292一、数学期望的定义基本内容：第一节 数 学 期 望一、数学期望一、数学期望(Mathematical Expectation)总成绩算术平均加权平均 2:3:5 甲乙 90 85 53 88 80 57228225 76 75 70.0 70.1 胜者 引例引例1.1.学生甲乙参加数学竞赛，观察其胜负.初赛复赛决赛甲 甲 乙甲甲 乙 2024/6/293一、数学期望(Mathematical Expectati引例引例2 2 加权平均成绩加权平均成绩为该生各门课程的为该生各门课程的算术平均成绩算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课设某学生四年大学各门功课 成绩分别为成绩分别为其学分分别为其学分分别为,则称则称而而为该生的为该生的加权平均成绩加权平均成绩.2024/6/294引例2 加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.1.1.离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望定义定义:设离散随机变量X的概率函数为若级数绝对收敛则随机变量X的数学期望数学期望(简称期望期望或均值均值)为否则，称X的数学期望不存在.2024/6/2951.离散随机变量的数学期望定义:设离散随机变量X的概率函注注1 E X 是一个常数是一个常数,它是一种它是一种加权平均加权平均.与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了X 取取可能值的可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.注注2 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随机变量因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不因可能值的排列次序而改变它不因可能值的排列次序而改变.2024/6/296注1 EX是一个常数,它是一种加权平均.注2 例例1.1.甲、乙两射手在相同条件下进行射击，X 8 9 10pi 0.3 0.1 0.6 Y 8 9 10 pi 0.2 0.4 0.4其中命中环数分别为X和Y,其分布列为试问如何评价甲、乙射手的射击水平的优劣.解：E(X)=E(Y)=所以甲射手比乙射手的射击水平略高.2024/6/297例1.甲、乙两射手在相同条件下进行射击，X 8 求数学期望E(X).解：解：X的概率函数为所以X的数学期望例例2.2.设X服从Poisson分布2024/6/298求数学期望E(X).解：X的概率函数为所以X的数学期望例2.2024/6/2992023/8/119则X的数学期望数学期望（或均值均值）为 绝对收敛2.2.连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望若积分否则，称X的数学期望不存在.定义定义.设连续随机变量X的概率密度为f(x),2024/6/2910则X的数学期望（或均值）为 绝对收敛2.连续随机求数学期望E(X).解：X的概率密度为所以例例4.4.设2024/6/2911求数学期望E(X).解：X的概率密度为所以例4.设20任一随机变量X都有数学期望（或均值）吗？反例：反例：设X服从柯西分布(Cauchy distribution),求数学期望E(X).解:（不绝对收敛）（不绝对收敛）不存在不存在密度函数为思考思考2024/6/2912任一随机变量X都有数学期望（或均值）吗？反例：设X服从柯西分3.3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 (1)1)问题的导入问题的导入XE(X)数学期望数学期望g(X)数学期望数学期望g是连续函数是连续函数,g(X)是随机变量是随机变量,如如:2X+1,X2等等等等.(一一)一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望2024/6/29143.随机变量函数的数学期望(1)问题的导入XE(X)数学期方法方法1 1(定义法定义法):g(X)是随机变量,按照数学期望关键关键:由X的分布求出g(X)的分布.难点:一般g(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.(2)(2)随机变量函数数学期望的计算随机变量函数数学期望的计算的定义计算Eg(X).2024/6/2915方法1(定义法):g(X)是随机变量,按照数学期望关定理定理 设X是一个随机变量,Y g(X),则 当X为离散型时,P(Xxi)pi,(i 1,2,);求求Eg(X)时时,只需只需知道知道X的分布即可的分布即可.当X为连续型时,X的密度函数为f(x).方法方法2(2(公式法公式法):):2024/6/2916定理 设X是一个随机变量,Y g(X),则 当PX -1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.3解：解：求例例5.设随机变量X的分布列为2024/6/2917PX -1 0 试求解:例例7.设X的概率密度函数为2024/6/2918试求解:例7.设X的概率密度函数为2023/8/1118例例10(10(研研).).某种商品每周的需求量某种商品每周的需求量 XU(10,30(10,30）,而商场而商场每销售一单位商品可获利每销售一单位商品可获利500元元,若供大于求若供大于求,则削价处理则削价处理,每单位商品亏损每单位商品亏损100元元;若供不应求若供不应求,则可从外部调剂供应则可从外部调剂供应,每单位商品获利每单位商品获利300元元.要使商场获得最大收益要使商场获得最大收益,问进货多少问进货多少?设应进货量为设应进货量为 a(10至至 30 间的某数间的某数),收益为收益为Y,解解:则则X的概率密度函数为的概率密度函数为故当故当 a=23.33 33 时时,EY 最大最大 供不应求供不应求供大于求供大于求2024/6/2919例10(研).某种商品每周的需求量 XU(10,30）,而 对于二维随机变量而言对于二维随机变量而言,其函数的数学期望其函数的数学期望计算方法可以类似得到计算方法可以类似得到.1.二维离散型情形二维离散型情形(二二)二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望设设 X,Y 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,Z g X,Y 为为 二元函数二元函数,如果如果E Z 存在存在,其中其中 X,Y 的联合概率分布为的联合概率分布为pij.2024/6/2920 对于二维随机变量而言,其函数的数学期望 12.二维连续型情形二维连续型情形设设 X,Y 为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,Z g X,Y 为为二元连续函数二元连续函数,如果如果E Z 存在存在,则则其中其中 X,Y 的联合概率密度为的联合概率密度为f x,y.2024/6/29212.二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,Z补充：2024/6/2922补充：2023/8/1122求求Z=X+Y的数学期望。的数学期望。例例11.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，概率密度分别相互独立，概率密度分别是是解解1：前面例题已得到了：前面例题已得到了Z的概率密度的概率密度2024/6/2923求Z=X+Y的数学期望。例11.设随机变量X与Y相互独立，解解2：因因X与与Y:独立独立,故故(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为2024/6/2924解2：因X与Y:独立,故(X,Y)的联合概率密度为202二、数学期望的性质二、数学期望的性质证证:证证:推广推广2024/6/2925二、数学期望的性质证:证:推广2023/8/1125证：证：仅就连续随机变量情形2024/6/2926证：仅就连续随机变量情形2023/8/1126例例8.8.设X服从超几何分布H(n,M,N),求E(X).问题还原：设有一批产品共N件，其中有M件次品和N-M件合格品，不放回地抽取n件样品，n件样品中的次品数X的数学期望。求抽出的解：设Xi表示第i次取出的样品中的次品数，则Xi服从“0-1”分布：2024/6/2927例8.设X服从超几何分布H(n,M,N),求E(X).问题Xi的数学期望则X的数学期望 常见的基本方法：常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随可以将一个比较复杂的随机变量机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X的期望的期望.n次抽样中的次品数X,2024/6/2928Xi的数学期望则X的数学期望 常见的基本方法：可以将一个求数学期望E(X).解解2:2:例例9.9.设X服从二项分布B(n,p),Xi服从“0-1”分布，所以n重伯努利试验中事件A恰好出现的次数设Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即2024/6/2929求数学期望E(X).解2:例9.设X服从二项分布B(n,p内容小结内容小结一、一、掌握掌握(数学数学)期望的定义期望的定义1.离散随机变量离散随机变量X的期望的期望(或均值或均值)2.2.连续随机变量连续随机变量X的数学期望的数学期望3.3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望设设g(X)是随机变量是随机变量X的实值函数，的实值函数，2024/6/2930内容小结一、掌握(数学)期望的定义1.离散随机变量X的期 离散随机变量离散随机变量函数函数g(X)的的数学期望数学期望 连续随机变量函数连续随机变量函数g(X)的的数学期望数学期望二、熟悉数学期望的性质二、熟悉数学期望的性质2024/6/2931 离散随机变量函数g(X)的数学期望 连续随机变量函数g2024/6/29322023/8/1132三、熟悉一些常见分布的期望三、熟悉一些常见分布的期望(2)(2)若若XB(1,p),E(X)=)=p.(3)(3)若若XB(n,p),E(X)=)=np.(1)(1)若若XH(n,M,N),(4)(4)若若(5)(5)若若XU(a,b),E(X)(6)(6)若若2024/6/2933三、熟悉一些常见分布的期望(2)若XB(1,p),E(四、计算数学期望的方法四、计算数学期望的方法1.1.利用数学期望的定义；利用数学期望的定义；2.2.利用数学期望的性质；利用数学期望的性质；3.3.利用常见分布的期望；利用常见分布的期望；常见的基本方法：常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较拆成有限多个比较简单的随机变量简单的随机变量Xi之和之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X的期望的期望.2024/6/2934四、计算数学期望的方法1.利用数学期望的定义；2.利用数学期作业作业习题三(P92)：1、2、3、4、112024/6/2935作业习题三(P92)：1、2、3、4、112023/8/11备用题备用题 A.1；B.0；C.3；D.11/2(2)随机变量X服从参数为1的指数分布,则 A.2；B.1；C.4/3；D.3/2(1)设随机变量X和Y相互独立，且 XB(10,0.3),且YP(2),则Z=2X-3Y+1的数学期望为（）1.1.选择题选择题2024/6/2936备用题 A.1；B.0；分析分析(1)XB(10,0.3),于是 E(X)=100.3=3.(2)Xe(1),于是E(X)=1,且X的概率密度为YP(2),于是E(Y)=2.根据数学期望的性质，E(Z)=2E(X)-3E(Y)+1=1，选A.从而2024/6/2937分析(1)XB(10,0.3),于是 E(X)=1 2.2.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的解解：设X表示在取到正品前已取出的废品数,则X=0，1，2.分布和数学期望.(1)X的概率分布设Ak=第k次取得的是正品 k=1,2,32024/6/2938 2.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，由乘法公式，有2024/6/2939由乘法公式，有2023/8/1139 X 0 1 2 P 0.8 8/45 1/45由此得离散随机变量X的概率分布为(2)根据定义,随机变量X的数学期望E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.2024/6/2940 X 0 1 试求解:3.设X的概率密度函数为(奇函数)2024/6/2941试求解:3.设X的概率密度函数为(奇函数)2023/8/4.4.设有N个人,每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子混合后，每个人再随机地从中选一顶.试求选中自己帽子的人数的数学期望.解：解：设X表示配对的人数，将X写成X=X1+X2+Xn2024/6/29424.设有N个人,每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子混合后2024/6/29432023/8/11435.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,X在0,60上服从均匀分布,其概率密度为电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望.（考研试题）解：解：2024/6/29445.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,X在0,60上设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则因此2024/6/2945设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则因此2023/8/2024/6/29462023/8/1146解解:6.6.设随机变量X的概率密度函数为试求 .2024/6/2947解:6.设随机变量X的概率密度函数为试求 预备知识预备知识基本积分表基本积分表(k 为常数)或或2024/6/2948预备知识基本积分表(k 为常数)或或2023/8/112024/6/29492023/8/1149换元法换元法定理定理1.1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)2024/6/2950换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)202分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.反对幂三指2024/6/2951分部积分法分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.
展开阅读全文