线性代数总复习资料课件

一、行列式一、行列式二、矩阵二、矩阵三、向量之间的关系三、向量之间的关系四、线性方程组的解四、线性方程组的解五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量线性代数总复习一、行列式二、矩阵三、向量之间的关系四、线性方上页上页返回返回下页下页线性代数总复习一、行列式1、二阶三阶行列式的计算、二阶三阶行列式的计算一、行列式1、二阶三阶行列式的计算上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、n阶行列式的计算阶行列式的计算性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零(1)利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）2、n阶行列式的计算性质1 行列式与它的转置行列式相等.性上页上页返回返回下页下页线性代数总复习性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质把上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 计算行列式计算行列式解解例 计算行列式解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习(2)利用行列式展开计算利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即(2)利用行列式展开计算定理 行列式等于它的任一行（列）上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例例上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）公式法（伴随法）二、矩阵1、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）上页上页返回返回下页下页线性代数总复习（2）初等变换法）初等变换法行的初等变换行的初等变换（2）初等变换法行的初等变换上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解（公式法）（公式法）例1 求方阵 的逆矩阵.解（公式上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习故故故上页上页返回返回下页下页线性代数总复习（初等变换法）（初等变换法）（初等变换法）上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习即即初等行变换初等行变换即初等行变换上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、矩阵的秩矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例解解例解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合、线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定义定义三、向量之间的关系1、线性组合上页上页返回返回下页下页线性代数总复习存在矩阵存在矩阵 ，使得使得矩阵方程矩阵方程有解有解判定判定线性表示线性表示能由能由存在矩阵 ，使得矩阵方程有解判定线性表示能由上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 ，使得使得矩阵方程矩阵方程有解有解线性表示存在矩阵 ，使得矩阵方程有解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例设设证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并线性表示，并求表示式。求表示式。解解只需证矩阵只需证矩阵与矩与矩阵阵有相同的秩。有相同的秩。下面把矩阵下面把矩阵 化为行最简形：化为行最简形：法一法一例设证明向量 能由向量组 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习行的初等变换行的初等变换向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。行的初等变换向量 可由向量组 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习由最简形知，方程组由最简形知，方程组的通解为的通解为从而从而其中其中 为任意常数。为任意常数。由最简形知，方程组的通解为从而其中 为任意常数。上页上页返回返回下页下页线性代数总复习法二法二设设即即也即也即法二设即也即上页上页返回返回下页下页线性代数总复习其中其中 为任意常数。为任意常数。解得其通解为解得其通解为故向量故向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且线性表示，且其中其中 为任意常数。为任意常数。其中 为任意常数。解得其通解为故向量 可由向量组 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关2、线性相关性、线性相关性定义则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关2、线性相关上页上页返回返回下页下页线性代数总复习定理定理判定判定定理判定上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例1例1上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习解解解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩设有向量组设有向量组 ，满足下面两个条件：满足下面两个条件：如果能在如果能在 中选出中选出 个向量个向量（1）向量组）向量组 线性无关；线性无关；线性表示。线性表示。（2）向量组）向量组 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组则称向量组则称向量组 为向量组为向量组 的的最大无关组最大无关组。最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数 称为称为向量组的秩向量组的秩。3、最大无关组及向量组的秩设有向量组 ，满足下面两个条上页上页返回返回下页下页线性代数总复习向量组的秩的求法向量组的秩的求法向量组向量组 的秩的秩的秩的秩矩阵矩阵最大无关组的求法最大无关组的求法向量组的秩的求法向量组 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习且且 列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为且 列向量组的一个最大无关组为上页上页返回返回下页下页线性代数总复习因此因此因此上页上页返回返回下页下页线性代数总复习四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理定理 元线性方程组元线性方程组1)有唯一解有唯一解2)无解无解3)无穷多解无穷多解定理定理 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解有非零解四、线性方程组的解定理 元线性方程组1)有唯一解2)无上页上页返回返回下页下页线性代数总复习定理定理 设设矩阵矩阵 的秩的秩 ，则齐次线性则齐次线性 的解集的解集 的秩为的秩为线性方程组线性方程组其中其中 为任意实数。为任意实数。非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的一个特解为的一个特解为齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系为的基础解系为则非齐次线性方程组则非齐次线性方程组的解解为的解解为定理 设矩阵 的秩 ，则上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 求解非齐次方程组求解非齐次方程组解：解：例 求解非齐次方程组解：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习令令则则为任意常数）为任意常数）法法1：令则为任意常数）法1：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习法法2：令令得得又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组对应的齐次方程组的通解是令令得基础解系得基础解系所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是为任意常数）为任意常数）法2：令得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以上页上页返回返回下页下页线性代数总复习五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量（1）如何求）如何求 的特征值？的特征值？解特征方程解特征方程特征方程的根即为矩阵特征方程的根即为矩阵 的特征值。的特征值。（2）如何求属于特征值）如何求属于特征值 的特征向量？的特征向量？解齐次线性方程组解齐次线性方程组 其非零解即为属于特征值其非零解即为属于特征值 的特征向量的特征向量1、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法五、特征值与特征向量（1）如何求 的特征值？解特征方上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解例 设求A的特征值与特征向量解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习得基础解系为：得基础解系为：得基础解系为：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习使得使得 则则若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，（1）为矩阵为矩阵 的特征值的特征值（2）为对应于特征值为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。2、方阵的对角化、方阵的对角化使得 则若存在可逆矩阵 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例解解A能否对角化？若能对角例解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系上页上页返回返回下页下页线性代数总复习所以所以 可对角化可对角化.所以 可对角化.上页上页返回返回下页下页线性代数总复习注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置上页上页返回返回下页下页线性代数总复习3、实对称矩阵的对角化、实对称矩阵的对角化3、实对称矩阵的对角化上页上页返回返回下页下页线性代数总复习利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.具体步骤具体步骤为：为：利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化;3.将特上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 设设求正交矩阵求正交矩阵 ，使得使得 为对角阵。为对角阵。解解：例 设求正交矩阵 ，使得 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为得基础解系得基础解系令令当 时，齐次上页上页返回返回下页下页线性代数总复习令令先正交化：先正交化：再单位化：令再单位化：令令先正交化：再单位化：令上页上页返回返回下页下页线性代数总复习当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为令令得基础解系得基础解系单位化得单位化得当 时，齐次线性方程组为令得基上页上页返回返回下页下页线性代数总复习得正交矩阵得正交矩阵有有得正交矩阵有上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线性代数总复习资料课件上页上页返回返回下页下页线性代数总复习考试安排考试安排第十六周周五第十六周周五3、4节课（节课（6月月10日）日）1、2班：教学班：教学5号楼号楼2023、4班：教学班：教学5号楼号楼204考试安排第十六周周五3、4节课（6月10日）1、2班：教学5