理论力学-分析力学及应用

理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系理论力学 CAI分析力学根底2024/6/281前言前言达朗贝尔原理达朗贝尔原理虚位移原理虚位移原理动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程分析力学根底分析力学根底2024/6/282前言前言分析力学分析力学从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系力学体系特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析由拉格朗日由拉格朗日(J.L.Lagrange)于于1788年奠定的。年奠定的。以拉格朗日方程为根底的分析力学，称为拉格朗日以拉格朗日方程为根底的分析力学，称为拉格朗日力学力学1834年哈密顿年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程将拉格朗日第二类方程变换成一种正那么形式，将动力学根本原理归纳为变换成一种正那么形式，将动力学根本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学分析力学根底/前言2024/6/283分析力学方法分析力学方法1：拉格朗日第一类方程：拉格朗日第一类方程在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，防止未知理想约束力的出现防止未知理想约束力的出现矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程分析力学方法分析力学方法2：拉格朗日第二类方程：拉格朗日第二类方程从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达达克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点点分析力学根底/前言2024/6/284分析力学根底/前言本章首先介绍分析力学的两个根本原理本章首先介绍分析力学的两个根本原理达朗贝尔达朗贝尔(J.le R.dAlember)原理原理利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时分析利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时分析虚位移原理虚位移原理利用虚位移原理处理在静力学问题利用虚位移原理处理在静力学问题在此根底上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日在此根底上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日第二类方程第二类方程2024/6/285达朗贝尔原理达朗贝尔原理前言前言 达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法一般运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法平面运动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法定轴转动刚体的动静法 动反力动反力 分析力学根底/达朗贝尔原理2024/6/286前言前言质点系的达朗贝尔原理是质点系的达朗贝尔原理是1743年由达朗贝尔提年由达朗贝尔提出的出的与矢量动力学不同，它从另一个角度给出了作与矢量动力学不同，它从另一个角度给出了作用于系统的力与系统运动的关系，构成了分析用于系统的力与系统运动的关系，构成了分析动力学的根底动力学的根底 分析力学根底/达朗贝尔原理/前言2024/6/287达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔原理原理达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理2024/6/288达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力考虑惯性基下质点的运动考虑惯性基下质点的运动分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理根据牛顿定律根据牛顿定律质点的动力学方程质点的动力学方程 定义定义达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的所有真实的作用力组成平衡力系于质点的所有真实的作用力组成平衡力系 质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理 2024/6/289分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理动静法动静法真实的作用力指作用于质真实的作用力指作用于质点的外力点的外力(包括理想约束力包括理想约束力)引入达朗贝尔惯性力使惯引入达朗贝尔惯性力使惯性基下的质点动力学方程性基下的质点动力学方程变换为一种力的平衡方程变换为一种力的平衡方程的形式的形式这种处理方法称为这种处理方法称为动静法动静法动力学动力学“静力学静力学2024/6/2810分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理非惯性系下动力学方程非惯性系下动力学方程惯性基惯性基非惯性平动基非惯性平动基定义定义非惯性系下动力学方程非惯性系下动力学方程考虑特殊情况：考虑特殊情况：惯性系下动力学方程惯性系下动力学方程牵连加速度牵连加速度牵连惯性力牵连惯性力2024/6/2811分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理非惯性系惯性力非惯性系惯性力牵连加速度牵连加速度达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力绝对加速度绝对加速度处理相对运动问题处理相对运动问题动静法处理绝对运动问题动静法处理绝对运动问题2024/6/2812分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系质点系外力外力内力内力牛顿定律牛顿定律质点质点Pi所对所对Pk的作用力力的作用力力质点质点Pk 所受的力所受的力 质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理定义定义达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 2024/6/2813分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系质点系外力外力内力内力质点质点Pk 所受的力所受的力 n个方程相加个方程相加达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 2024/6/2814分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系质点系外力系外力系力系主矢力系主矢达朗贝尔达朗贝尔惯性力系惯性力系 外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡力系力系力系对点力系对点O的主矩的主矩质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 平衡方程平衡方程2024/6/2815分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例例例小球小球P1与与P2与铅垂轴与铅垂轴AB固连固连将小球视为质点，质量均为将小球视为质点，质量均为m轴轴AB作匀角速度作匀角速度w w旋转。旋转。求轴承求轴承A与与B处所受的力处所受的力 2024/6/2816分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解解解连体基连体基运动分析运动分析 系统作定轴匀角速度转动系统作定轴匀角速度转动 质点质点P1与与P2作匀速圆周运动转动作匀速圆周运动转动 加速度加速度 动静法动静法 系统系统“冻结冻结 一般状态下一般状态下加惯性力加惯性力设定正向设定正向真实外力真实外力主动力主动力理想约束力理想约束力设定正向设定正向2024/6/2817分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基连体基动静法动静法 系统系统“冻结冻结 一般状态下一般状态下惯性力惯性力主动力主动力理想约束力理想约束力平面力系平面力系平衡方程平衡方程构成力偶构成力偶2024/6/2818分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基连体基动静法动静法 系统系统“冻结冻结 一般状态下一般状态下平面力系平面力系平衡方程平衡方程由于平面由于平面x-y随轴随轴AB一起转动，所以轴承受到一起转动，所以轴承受到的力在惯性基上观察是在不断的改变方向的力在惯性基上观察是在不断的改变方向 2024/6/2819分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例例例变摆长的摆套在环上，摆绳原长变摆长的摆套在环上，摆绳原长为为l0，以匀速，以匀速v向下拉向下拉小球视为质点，质量为小球视为质点，质量为m建立此摆的的动力学方程建立此摆的的动力学方程 2024/6/2820分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解解解小球运动的一般位置小球运动的一般位置动静法动静法 惯性基惯性基小球加速度小球加速度惯性力惯性力设定正向设定正向真实外力真实外力主动力主动力理想约束力理想约束力以小球为对象以小球为对象坐标坐标y y小球笛卡儿坐标小球笛卡儿坐标2024/6/2821分析力学根底/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解动静法动静法 惯性基惯性基小球平衡方程小球平衡方程 小球动力学方程小球动力学方程 2024/6/2822一般运动刚体动静法一般运动刚体动静法刚体的达朗贝尔原理刚体的达朗贝尔原理 刚体达朗贝尔惯性力的简化刚体达朗贝尔惯性力的简化分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法2024/6/2823分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 主动力主动力与理想与理想约束力约束力主矢主矢主动力与主动力与理想约束理想约束力对质心力对质心C的主矩的主矩惯性力惯性力系主矢系主矢刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理 惯性力惯性力对质心对质心C的主的主矩矩2024/6/2824分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔原理的变换刚体达朗贝尔原理的变换刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理对点对点O 对质心对质心C刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理2024/6/2825分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法刚体达朗贝尔惯性力刚体达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力的主矢达朗贝尔惯性力的主矢2024/6/2826分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力对质心对质心C的主矩的主矩2024/6/2827分析力学根底/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法达朗贝尔惯性力对质心达朗贝尔惯性力对质心C简化简化该力等于惯性力系的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对质心对质心C的主矩的主矩简化结果为作用于质心的一个力与一简化结果为作用于质心的一个力与一力偶力偶2024/6/2828平面运动刚体动静法平面运动刚体动静法平面运动刚体惯性力的简化平面运动刚体惯性力的简化分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法对质心对质心C的主矩的主矩主矢主矢2024/6/2829平动刚体惯性力的简化平动刚体惯性力的简化分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平动刚体惯性力向质心简化结果只有一个过质心的力，其平动刚体惯性力向质心简化结果只有一个过质心的力，其大小与方向等于惯性力的主矢大小与方向等于惯性力的主矢2024/6/2830平面定轴转动刚体惯性力的简化平面定轴转动刚体惯性力的简化分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法主矢主矢定轴定轴O质心加速度质心加速度离心惯性力离心惯性力切向惯性力切向惯性力 质心向心加速度质心向心加速度质心切向加速度质心切向加速度方向方向方向方向2024/6/2831分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法方法方法1对质心对质心C的主矩的主矩向点向点O的主矩的主矩对点对点O的主矩的主矩定轴定轴O方向与角加速度方向相反方向与角加速度方向相反2024/6/2832分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法方法方法2对点对点O的主矩的主矩定轴定轴O质点质点Pk加速度加速度质点质点Pk惯性力惯性力对点对点O的主矩的主矩方向与角加速度方向相反方向与角加速度方向相反2024/6/2833分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平面定轴转动刚体惯性力系平面定轴转动刚体惯性力系对转轴对转轴O简化简化该力等于惯性力系的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点系对点O的主矩的主矩简化结果为作用于点简化结果为作用于点 O的一个力的一个力与一力偶与一力偶方向与角加速度方向相反方向与角加速度方向相反方向方向方向方向2024/6/2834平面运动刚体达朗贝尔原理平面运动刚体达朗贝尔原理分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法平动平动平面定轴转动平面定轴转动2024/6/2835分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT均质杆均质杆AB长为长为l，质量为，质量为m。当该杆由静止开始，在地面当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动与墙面上无摩擦地滑动试利用达朗贝尔原理求解杆刚试利用达朗贝尔原理求解杆刚开始滑动时的角加速度与约束开始滑动时的角加速度与约束反力反力 2024/6/2836分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解EXIT惯性基惯性基杆的运动为平面一般运动杆的运动为平面一般运动 运动学分析运动学分析 质心位置质心位置质心加速度质心加速度杆的角速度杆的角速度杆的角速度与加加速度杆的角速度与加加速度开始时刻开始时刻2024/6/2837分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT惯性力主矢惯性力主矢设定正向设定正向惯性力主矩惯性力主矩设定正向设定正向2024/6/2838分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT惯性力主矢惯性力主矢受力分析受力分析主动力主动力理想约束力理想约束力惯性力主矩惯性力主矩平衡分析平衡分析S2024/6/2839分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT平衡分析平衡分析S2024/6/2840分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT质量为质量为m，长为，长为l的均质杆的均质杆AB一端一端A与半径为与半径为r的圆盘的边的圆盘的边缘固结缘固结圆盘以角速度圆盘以角速度w w与角加速度与角加速度a a绕绕O转动转动不计重力不计重力计算图示瞬时计算图示瞬时AB杆在杆在A处的约束处的约束力力2024/6/2841分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解解 EXIT运动分析运动分析连体基连体基质心加速度质心加速度定轴定轴O惯性力向点惯性力向点O简化简化主矢正向设定主矢正向设定主矩正向设定主矩正向设定2024/6/2842分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT受力分析受力分析连体基连体基理想约束力正向设定理想约束力正向设定对象对象AB平衡分析平衡分析2024/6/2843分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT连体基连体基平衡方程平衡方程2024/6/2844分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT两根质量为两根质量为m，长为，长为l的均质杆的均质杆OA与与AB以铰链连接，铰链以铰链连接，铰链O与机座连与机座连接接在图示位置无初速开始运动在图示位置无初速开始运动求此瞬时两杆的瞬时角加速度求此瞬时两杆的瞬时角加速度2024/6/2845分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解解 EXIT惯性基惯性基杆杆OA定轴转动定轴转动运动分析运动分析角加速度角加速度设定正向设定正向杆杆AB连体基连体基 平面一般运动平面一般运动角加速度角加速度质心加速度质心加速度设定正向设定正向质心加速度质心加速度2024/6/2846分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT杆杆OA定轴转动定轴转动惯性力分析惯性力分析杆杆AB 平面一般运动平面一般运动对点对点O简化简化对点对点C2简化简化2024/6/2847分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT受力分析受力分析主动力主动力约束力约束力平衡分析平衡分析整体为对象整体为对象2024/6/2848分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT受力分析受力分析主动力主动力约束力约束力平衡分析平衡分析AB为对象为对象2024/6/2849分析力学根底/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT2024/6/2850定轴转动刚体动静法定轴转动刚体动静法 动反力动反力讨论对象讨论对象分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法定轴转动刚体定轴转动刚体作用于刚体的力为空间力系作用于刚体的力为空间力系旋转轴旋转轴OA不是刚体的主轴不是刚体的主轴刚体的质心不在旋转轴刚体的质心不在旋转轴OA上上刚体定轴转动的一般情况刚体定轴转动的一般情况不能抽象为平面问题不能抽象为平面问题2024/6/2851运动分析运动分析分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法连体基连体基质点质点Pk的速度的速度 加速度加速度 刚体绕刚体绕Oz轴的转角为轴的转角为角速度角速度角加速度角加速度质心质心C的加速度的加速度 2024/6/2852惯性力的简化惯性力的简化分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法质点质点Pk的惯性力的惯性力 惯性力主矢惯性力主矢 2024/6/2853分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法惯性力对点惯性力对点O的主矩的主矩 2024/6/2854分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法定轴转动刚体惯性力的主矢定轴转动刚体惯性力的主矢在连体基的坐标式在连体基的坐标式定轴转动刚体惯性力对点定轴转动刚体惯性力对点O的主矩的主矩2024/6/2855分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法在连体基的坐标式在连体基的坐标式2024/6/2856分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法小结：定轴转动刚体惯性力对点小结：定轴转动刚体惯性力对点O可简可简化作用于点化作用于点O一个力与一力偶一个力与一力偶该力等于惯性力系的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩的主矩在连体基的坐标式在连体基的坐标式当当Oz轴为刚体的主轴轴为刚体的主轴 2024/6/2857定轴运动刚体达朗贝尔原理定轴运动刚体达朗贝尔原理分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法受力分析受力分析 主动力对点主动力对点O的主矢与主矩的主矢与主矩约束力约束力平衡方程空间力系平衡方程空间力系 2024/6/2858分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法平衡方程平衡方程 5个方程可以解出理想约束力个方程可以解出理想约束力 2024/6/2859分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法 刚体的约束力与主动力有关刚体的约束力与主动力有关 刚体的约束力与刚体的运动有关刚体的约束力与刚体的运动有关 静约束反力静约束反力动约束反力动约束反力动平衡方程动平衡方程 可以解出理想动反力可以解出理想动反力 2024/6/2860分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法 动平衡方程动平衡方程 当当Oz轴为主轴，质心在轴为主轴，质心在Oz轴上，轴轴上，轴承的动反力为零承的动反力为零 系统处于系统处于动平衡动平衡2024/6/2861分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/例例例一质量为一质量为m均质圆盘转子以匀角速均质圆盘转子以匀角速度旋转，轴承的布置对称，离转子度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为中心均为l=0.5m角速度角速度w w=12000r/min圆盘的质心圆盘的质心C偏离该轴为偏离该轴为e=0.01cm 求轴承动反力求轴承动反力2024/6/2862分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解解解连体基连体基Oz为主轴为主轴惯性力惯性力考虑到对称性考虑到对称性约束力约束力动平衡方程动平衡方程e=0.01cm 静反力静反力2024/6/2863分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/例例例一质量为一质量为m均质圆盘转子以匀角均质圆盘转子以匀角速度旋转，轴承的布置对称，离速度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为转子中心均为l=0.5m角速度角速度w w=12000r/min转子转轴与圆盘中心轴一小偏角转子转轴与圆盘中心轴一小偏角求轴承动反力求轴承动反力2024/6/2864分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解解解连体基连体基1连体基连体基2中心主轴基中心主轴基Ox与与Oz非主轴，非主轴，Oy为主轴为主轴惯性力惯性力2024/6/2865分析力学根底/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解连体基连体基1连体基连体基2中心主轴基中心主轴基Ox与与Oz非主轴，非主轴，Oy为主轴为主轴惯性力惯性力考虑到对称性考虑到对称性约束力约束力动平衡方程动平衡方程静反力静反力2024/6/2866