机械制图第三章--基本体及立体表面交线课件

第三章第三章 基本体及立体表面交线基本体及立体表面交线第三章基本体及立体表面交线任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。单一的几何立体称为基本体。单一的几何立体称为基本体。表表面面全全部部为为平平面面的的立立体体称称为为平平面面立立体体，如如棱棱柱柱、棱棱锥锥、棱棱台等。台等。表表面面为为曲曲面面或或既既有有曲曲面面又又有有平平面面的的立立体体称称为为曲曲面面立立体体，常常见见的的曲曲面面立立体体是是回回转转体体，如如圆圆柱柱、圆圆锥锥、球球和和圆圆环环等等，如如图图3-13-1所示。所示。第一节第一节 平面立体的投影平面立体的投影任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。第一节平面立体的投 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环图3-1常见基本体常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环图3 表表面面全全部部由由平平面面围围成成的的立立体体，称称为为平平面面立立体体。平平面面立体上相邻表面的交线称为立体上相邻表面的交线称为棱线棱线。平面立体主要分为平面立体主要分为棱柱棱柱和和棱锥棱锥两种。两种。立体的投影图是立体各表面同面投影的总和。立体的投影图是立体各表面同面投影的总和。绘制平面立体的投影就是绘制它所有多边形表面的投绘制平面立体的投影就是绘制它所有多边形表面的投影，即绘制这些多边形的边和顶点的投影。影，即绘制这些多边形的边和顶点的投影。注意注意：当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；：当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画细虚线；不可见时，画细虚线；当粗实线与细虚线重合时，应画粗实线。当粗实线与细虚线重合时，应画粗实线。表面全部由平面围成的立体，称为平面立体。平面一、棱柱一、棱柱棱棱柱柱由由两两个个底底面面和和若若干干个个侧侧棱棱面面组组成成，底底面面为为多多边边形形，侧侧棱棱线线互互相相平平行行（侧侧棱棱面面与与侧侧棱棱面面的的交交线线称称为为侧侧棱棱线线）。侧侧棱棱线线与与底底面面垂垂直直的的称称为为直直棱棱柱柱，常常见见的的棱棱柱柱有有三三棱棱柱、四棱柱、六棱柱等。柱、四棱柱、六棱柱等。一、棱柱棱柱由两个底面和若干个侧棱面组成，底面为多边形，侧1.1.棱柱的投影分析棱柱的投影分析图图示示所所示示为为一一个个正正六六棱棱柱柱，它它的的上上、下下底底面面为为正正六六边边形形，放放置置成成平平行行于于H H面面，并并使使其其前前后后两两个个侧侧面平行于面平行于V V面。面。图3-2正六棱柱的投影1.棱柱的投影分析图示所示为一个正六棱柱，它的上、下底面水平投影为水平投影为正六边形正六边形，反映顶面和底面，反映顶面和底面实形实形。正面投影为三个正面投影为三个矩形线框矩形线框，侧面投影为两个侧面投影为两个矩形线框矩形线框图3-3正六棱柱的投影分析水平投影为正六边形，反映顶面和底面实形。正面投影为三个矩形线 如如果果某某个个投投影影的的图图形形对对称称，则则应应该该画画出出对对称中心线。称中心线。在在投投影影图图中中，当当多多种种图图线线发发生生重重叠叠时时，则则应应按按粗粗实实线线、虚虚线线、点点画画线线等等顺顺序序优优先绘制。先绘制。1.1.棱柱的作图棱柱的作图图3-4正六棱柱的投影作图如果某个投影的图形对称，则应该画出对称中心线。1.棱柱的棱柱的投影特征投影特征：一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两面投影均为一个或多个矩形线框拼成的矩形框。面投影均为一个或多个矩形线框拼成的矩形框。图3-5 棱柱的投影示例 棱柱的投影特征：图3-5棱柱的投影示例二、棱锥二、棱锥 棱棱锥锥的的底底面面为为多多边边形形，各各侧侧面面均均为为三三角角形形且且具具有有公公共共的的顶顶点点，即即为棱锥的锥顶。为棱锥的锥顶。棱棱锥锥到到底底面面的的距距离离为为棱锥的高。棱锥的高。ASBC图3-6三棱锥二、棱锥棱锥的底面为多边形，各侧面均为三角形1.1.棱锥的投影分析棱锥的投影分析 该该图图是是一一正正三三棱棱锥锥，锥锥顶顶为为S S，底底面面为为正正三三角角形形ABCABC，三三个个侧侧面面为为全全等等的等腰三角形。的等腰三角形。ASBC图3-7正三棱锥1.棱锥的投影分析该图是一正三棱锥，锥顶为S 2.2.棱锥作图：棱锥作图：由于底面由于底面ABCABC为水平为水平面，所以水平投影面，所以水平投影abcabc反反映底面实形，正面和侧面投映底面实形，正面和侧面投影分别积聚成平行影分别积聚成平行X X轴和轴和Y Y轴轴的直线段的直线段abcabc和和abcabc。abc s s b a(c)b a c s 图3-8正三棱锥的投影2.棱锥作图：由于底面ABC为水棱锥的棱锥的投影特征投影特征：一一面面投投影影是是共共顶顶点点的的三三角角形形拼拼合合成成的的多多边边形形；另另两两面面投投影影均均为为共共顶顶点点的的三三角角形形拼拼合合成成的的三三角角形形，其其底底边边重重合合于于一条线。一条线。图3-9常见棱锥和平面体的投影示例棱锥的投影特征：图3-9常见棱锥和平面体的投影示例三、平面立体表面上取点三、平面立体表面上取点1.1.棱柱表面上的点棱柱表面上的点 棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同。棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同。图3-10棱柱体表面上取点三、平面立体表面上取点1.棱柱表面上的点棱柱abc()s k k s b a(c)b a c n n k n ASBC2.2.棱锥表面上的点棱锥表面上的点图3-11棱锥体表面上的点abc()skksba(a)(b)图3-12棱锥体表面上取点(a)(c)(d)图3-12棱锥体表面上取点(c)第二节第二节 回转体的投影回转体的投影 表表面面由由平平面面与与曲曲面面围围成成，或或全全部部由由曲曲面面围围成成的的立立体体称称为曲面立体。为曲面立体。常常见见曲曲面面是是回回转转面面，它它是是由由一一直直线线或或曲曲线线以以一一定定直直线线为为轴轴线线回回转转形形成成。由由回回转转曲曲面面组组成成的的立立体体，称称回回转转体体，如如圆圆柱柱体体、圆圆锥锥体体、球体等。球体等。图3-13回转体的形成第二节回转体的投影表面由平面与曲面围成，或一、圆柱体一、圆柱体圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。图3-14圆柱体的投影分析一、圆柱体圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。图3-141.1.圆柱体的投影分析圆柱体的投影分析当当圆圆柱柱体体的的轴轴线线垂垂直直于于H H面面时时，水水平平投投影影为为一一圆圆，圆圆周周是圆柱面的积聚性投影。是圆柱面的积聚性投影。该该圆圆柱柱体体的的正正面面投投影影为为矩矩形形。矩矩形形的的上上、下下边边线线是是圆圆柱柱体体顶顶面面和和底底面面的的积积聚聚性性投投影影，圆圆柱柱面面上上最最外外的的两两条条素线轮廓素线。素线轮廓素线。轮廓素线是圆柱面可见与不可见的分界线。轮廓素线是圆柱面可见与不可见的分界线。1.圆柱体的投影分析当圆柱体的轴线垂直于H面时，水平投影为2.2.圆柱的作图圆柱的作图 画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中心画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。图3-15圆柱体的三视图2.圆柱的作图画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中(a)(b)*轮廓素线与圆柱体的对应轮廓素线与圆柱体的对应图3-16圆柱体的轮廓素线分析(a)已已知知圆圆柱柱表表面面上上点点M M、N N的的正正面面投影，求作它们的水平及侧面投影。投影，求作它们的水平及侧面投影。3.3.圆柱面上取点圆柱面上取点图3-17圆柱体表面取点、取线已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧图3-18 常见圆柱的三面投影示例 图3-18常见圆柱的三面投影示例二、圆锥体二、圆锥体 圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而成。圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而成。在圆锥面上通过锥顶在圆锥面上通过锥顶S S的任一直线称为圆锥面的素线。的任一直线称为圆锥面的素线。圆锥体由圆锥面和底面所围成。圆锥体由圆锥面和底面所围成。图3-19 圆锥体的形成及三面投影二、圆锥体圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而1.1.圆锥体的投影分析圆锥体的投影分析图3-20 圆锥体的投影分析1.圆锥体的投影分析图3-20圆锥体的投影分析 该该圆圆锥锥体体的的v v和和w w投投影影为为全全等等的的等等腰腰三三角角形形。两两腰腰分分别别是是圆圆锥锥面面上上各各轮轮廓廓素素线线的的投影。投影。H H面投影为圆面投影为圆 。画圆锥体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线画圆锥体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。2.2.圆锥体的作图圆锥体的作图图3-21 圆锥体的三视图析该圆锥体的v和w投影为全等的等腰三角形。两腰分3.3.圆锥体表面上的点圆锥体表面上的点 因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以必须用作辅助线的方法实现在圆锥体表面上取点。作辅以必须用作辅助线的方法实现在圆锥体表面上取点。作辅助线的方法有两种：助线的方法有两种：（1 1）素线法素线法 （2 2）纬圆法纬圆法 3.圆锥体表面上的点因为圆锥面在三个投影面上(1)(1)辅助素线法。辅助素线法。已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点K K的正的正面投影面投影kk，求作其水平，求作其水平投影投影k k和侧面投影和侧面投影kk。图3-21 圆锥体表面取点辅助素线法。已知圆锥表面上点K的正面投影k，求作其水平投影 (b)(2)(2)辅助纬圆法。辅助纬圆法。图3-22 圆锥体表面取点(b)(2)辅助纬圆法。图3-22圆锥体表面取点图3-23 常见圆锥的三面投影示例图3-23常见圆锥的三面投影示例三、圆球三、圆球 球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。图3-24 圆球的形成三、圆球球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。图31.1.圆球的投影分析圆球的投影分析 圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别是球三个不同方向的轮廓圆的投影。是球三个不同方向的轮廓圆的投影。图3-25 圆球的投影分析1.圆球的投影分析圆球的三面投影均为与其直径相等的(c)(c)AB(C)(b)c bb a aa 2.2.圆球的作图圆球的作图注意：注意：轮廓线的投影与曲面可见性的判断轮廓线的投影与曲面可见性的判断3.3.圆球面上的点圆球面上的点辅助圆法辅助圆法圆的半径？圆的半径？提示：圆球辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。提示：圆球辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。图3-26 圆球表面取点(c)(c)AB(C)(b)cbbaaa2.(a)(b)(c)图3-27 圆球表面上取点(a)图3-28 常见圆球的三面投影示例 图3-28常见圆球的三面投影示例四、圆环四、圆环 圆环的表面由环面构成。圆环的表面由环面构成。图3-29 圆环的形成及三面投影四、圆环圆环的表面由环面构成。图3-29圆环的形成图3-30 常见圆环的三面投影示例 图3-30常见圆环的三面投影示例第三节第三节 平面与立体相交平面与立体相交第三节平面与立体相交 截截切切立立体体的的平平面面称称为为截截平平面面，截截平平面面与与立立体体表表面面的的交交线线叫叫截截交交线线，截截交交线线所所围围成成的的截截面面图图形形称称为为截截断断面面或或断断面面，如如图图3-313-31所示。所示。截截平平面面可可以以是是一一个个（图图3-31a3-31a），也也可可以以是是两两个个以以上上的的截截平平面面，这这样样截截平平面面不不仅仅与与立立体体有有交交线线，还还与与其其它它截截平平面面有有交交线，如图（线，如图（3-31b3-31b）所示。）所示。一、截交线一、截交线 立体被平面截切所形成的立体称为立体被平面截切所形成的立体称为截切体截切体。截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线叫截 （a a）图3-31 截交线的概念 （b b）1.截交线的性质截交线的性质 1）共有性）共有性:截交线为平面与立体表面的共有线，即截交线为平面与立体表面的共有线，即交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点；交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点；2）封闭性：立体的表面是封闭的，因此与截平面的）封闭性：立体的表面是封闭的，因此与截平面的交线也是封闭的平面图形。交线也是封闭的平面图形。2.2.截交线的形状截交线的形状截交线的形状取决于立体的几何性质及其与截平面的相截交线的形状取决于立体的几何性质及其与截平面的相对位置，通常为对位置，通常为直线线框、曲线线框或直线与曲线组成直线线框、曲线线框或直线与曲线组成的线框的线框。1.截交线的性质二、平面与平面立体的截交线二、平面与平面立体的截交线 平平面面与与平平面面立立体体相相交交，其其截截交交线线是是一一封封闭闭的的直直线线线线框框。根根据据平平面面截截切切平平面面立立体体的的性性质质可可知知，求求平平面面立立体体截截交交线线的的投投影影，实实际际上上就就是是求求截截平平面面与与平平面面立立体体各各棱棱线线交交点点的的投投影影，或是求截平面与平面立体表面交线的投影。或是求截平面与平面立体表面交线的投影。二、平面与平面立体的截交线 作截交线的步骤：作截交线的步骤：1.1.补全基本体的三面投影，理解基本体的投影关系；补全基本体的三面投影，理解基本体的投影关系；2.2.分析截平面具有积聚性投影的端点和分点（截平面分析截平面具有积聚性投影的端点和分点（截平面与基本体投影的交点），并判断其可见性，找点时充分利与基本体投影的交点），并判断其可见性，找点时充分利用面的积聚性；用面的积聚性；3.3.依次连接各点依次连接各点,判断立体的存在域。判断立体的存在域。作截交线的步骤：图3-32 完成切割三棱锥的三面投影【例例3-13-1】完成图完成图3-323-32（a a）所示截切正三棱锥的三面投影。）所示截切正三棱锥的三面投影。（1 1）补画完整三棱锥的三面投影，如图）补画完整三棱锥的三面投影，如图3-323-32（b b）所示，理解）所示，理解正面投影中正面投影中sasa、sbsb、scsc各为一条棱线。各为一条棱线。图3-32完成切割三棱锥的三面投影【例3-1】完成图图3-32 完成切割三棱锥的三面投影 （2 2）分析）分析P P面在正面投影积聚成线的端点和分点，端点面在正面投影积聚成线的端点和分点，端点11、33分别是截平面分别是截平面P P与棱线与棱线sasa、scsc的交点，而的交点，而sasa、scsc各为一条棱线，因此两端点各为一点；分点各为一条棱线，因此两端点各为一点；分点22是截平面是截平面P P与棱线与棱线sbsb的交点，的交点，sbsb是一条棱线，所以分点为一点。如图是一条棱线，所以分点为一点。如图3-3-3232（c c）所示。）所示。图3-32完成切割三棱锥的三面投影（2）分析P面图3-32 完成切割三棱锥的三面投影（3 3）依次连接各点，判断切割体的存在域，）依次连接各点，判断切割体的存在域，SS、SS、SS被正被正垂面切割，按可见性整理轮廓线，依次连接垂面切割，按可见性整理轮廓线，依次连接、点的同面投点的同面投影，这样就完成了切割三棱锥的三面投影，如图影，这样就完成了切割三棱锥的三面投影，如图3-323-32（d d）所示）所示 。图3-32完成切割三棱锥的三面投影（3）依次连接各点，判【例例3-23-2】完成图完成图3-333-33（a a）所示截切正六棱柱的三面投影。）所示截切正六棱柱的三面投影。图3-33 完成切割六棱柱的三面投影（1 1）补画六棱柱的侧面投影，如图）补画六棱柱的侧面投影，如图3-333-33（a a）所示，理解正）所示，理解正面投影中的四条纵向线，左右纵向线各为一条棱线，而中间的面投影中的四条纵向线，左右纵向线各为一条棱线，而中间的两条纵向线各表示两条棱线。两条纵向线各表示两条棱线。【例3-2】完成图3-33（a）所示截切正六棱柱的三面投图3-33 完成切割六棱柱的三面投影 （2 2）分析）分析P P面在正面投影中积聚成线的端点和分点。如图面在正面投影中积聚成线的端点和分点。如图3-3-3333（b b）所示。）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影（2）分析P面在正图3-33 完成切割六棱柱的三面投影 分析正面投影里分析正面投影里Q Q面具有积聚性投影的端点（无分点），如图面具有积聚性投影的端点（无分点），如图3-333-33（c c）所示。）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影分析正面投影图3-33 完成切割六棱柱的三面投影 （3 3）依次连接各点的同面投影。由于六棱柱的右棱线没被）依次连接各点的同面投影。由于六棱柱的右棱线没被切到，其侧面投影不可见，因此切到，其侧面投影不可见，因此11以上为虚线，以上为虚线，11以下的实以下的实线为左棱线，如图线为左棱线，如图3-333-33（d d）所示。）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影（3）依次连接各第四节第四节 平面与回转体相交平面与回转体相交第四节平面与回转体相交 平面与回转体相交，其截交线是一封闭的线框。截交线的平面与回转体相交，其截交线是一封闭的线框。截交线的形状取决于回转面的形状及截平面与回转面轴线的相对位置，形状取决于回转面的形状及截平面与回转面轴线的相对位置，一般为平面曲线线框、直线与曲线构成的平面线框、直线线框。一般为平面曲线线框、直线与曲线构成的平面线框、直线线框。当截平面与回转体轴线当截平面与回转体轴线垂直垂直时，截交线均为时，截交线均为圆圆。求回转面截交线的步骤：求回转面截交线的步骤：（1 1）画出回转体的三面投影，理解回转体的投影关系，特）画出回转体的三面投影，理解回转体的投影关系，特别是别是回转面的转向轮廓线回转面的转向轮廓线，并且分析截平面与回转体轴线的相，并且分析截平面与回转体轴线的相对位置，了解截交线的形状；对位置，了解截交线的形状；（2 2）分析截平面的积聚性投影的）分析截平面的积聚性投影的特殊点和一般点特殊点和一般点。找点时，。找点时，充分利用积聚性，并判断其可见性；充分利用积聚性，并判断其可见性；（3 3）光滑连接各点，并判断立体的）光滑连接各点，并判断立体的存在域存在域。平面与回转体相交，其截交线是一封闭的线框。截交 1.1.平面与圆柱的截交线平面与圆柱的截交线 当平面与圆柱的轴线平行、垂直、倾斜时，产生的当平面与圆柱的轴线平行、垂直、倾斜时，产生的截交线分别是截交线分别是矩形矩形、圆圆、椭圆椭圆，如表，如表3-13-1所示。所示。1.平面与圆柱的截交线表表3-1 3-1 平面与圆柱的截交线平面与圆柱的截交线表3-1平面与圆柱的截交线【例例3-33-3】完成图完成图3-343-34（a a）所示截切圆柱的侧面投影。）所示截切圆柱的侧面投影。图3-34 完成开槽圆柱的三视图【例3-3】完成图3-34（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-34 完成开槽圆柱的三视图图3-34完成开槽圆柱的三视图【例例3-43-4】完成图完成图3-353-35（a a）所示截切圆柱的侧面投影。）所示截切圆柱的侧面投影。图3-35 完成斜切圆柱的侧面投影【例3-4】完成图3-35（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-35 完成斜切圆柱的侧面投影图3-35完成斜切圆柱的侧面投影 2.2.平面与圆锥的截交线平面与圆锥的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所形成的截交线有五种：所形成的截交线有五种：三角形三角形、圆圆、椭圆椭圆、抛物线抛物线和和双曲双曲线线，如表，如表3-23-2所示。所示。2.平面与圆锥的截交线根据截平面与圆锥轴线表表3-2平面与圆锥的截交线平面与圆锥的截交线表3-2平面与圆锥的截交线【例例3-53-5】完成图完成图3-363-36（a a）所示截切圆锥的三面投影。）所示截切圆锥的三面投影。图3-36 完成截切圆锥的三面投影（1 1）补画圆锥的侧面投影，如图）补画圆锥的侧面投影，如图3-363-36（a a）所示，理解正面）所示，理解正面投影中点画线是圆锥的侧面转向轮廓线（两条）。投影中点画线是圆锥的侧面转向轮廓线（两条）。【例3-5】完成图3-36（a）所示截切圆锥的三面投影。图3-36 完成截切圆锥的三面投影（2 2）分析截交线的特殊点，如图）分析截交线的特殊点，如图3-363-36（b b）所示。）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影（2）分析截交线的特殊点图3-36 完成截切圆锥的三面投影 分析截交线的一般点，如图分析截交线的一般点，如图3-363-36（c c）所示。）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影分析截交线的一般图3-36 完成截切圆锥的三面投影 （3 3）依次光滑连接各点，判断存在域。如图）依次光滑连接各点，判断存在域。如图3-363-36（d d）所示。）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影（3）依次光滑连接各 3.平面与圆球的截交线平面与圆球的截交线 圆球被任何位置的平面截切，其截交线都是圆。由于圆球被任何位置的平面截切，其截交线都是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。椭圆或直线。截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆圆；截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线直线；截截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆椭圆。3.平面与圆球的截交线图3-37 平面与圆球的交线 当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，如图圆，如图3-37所示的俯视图，当截平面垂直于投影面时，在所示的俯视图，当截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线如图该投影面上的投影为直线如图3-37所示的主、左视图所示的主、左视图图3-37平面与圆球的交线当截平面图3-38 垂直于投影面的截平面与圆球相交 当截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆，当截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆，如图如图3-38所示的俯、左视图。所示的俯、左视图。图3-38垂直于投影面的截平面与圆球相交当截平【例例3-63-6】完成图完成图3-393-39（a a）所示截切圆球的三面投影。）所示截切圆球的三面投影。图3-39 切割圆球的投影（1 1）补画完整圆球的水平投影和侧面投影，如图）补画完整圆球的水平投影和侧面投影，如图3-393-39（a a）。）。【例3-6】完成图3-39（a）所示截切圆球的三面投影。图图3-39 切割圆球的投影 （2）画出三个截平面截切产生的交线。）画出三个截平面截切产生的交线。画出截平面画出截平面P截切产生的交线。如图截切产生的交线。如图3-39（b）。）。图3-39切割圆球的投影（2）画出三个截平面截切产生 画出侧平面画出侧平面Q截切产生的交线，如图截切产生的交线，如图3-39（c）。）。图3-39 切割圆球的投影画出侧平面Q截切产生的交线，如图3-39（c）。图3图3-39 切割圆球的投影（3）判断存在域。如图）判断存在域。如图3-39（d）所示。）所示。图3-39切割圆球的投影（3）判断存在域。如图3-39（d 【例例3-73-7】已知复合回转体的正面和侧面投影，如图已知复合回转体的正面和侧面投影，如图3-3-4040（b b）所示，求该立体水平投影。）所示，求该立体水平投影。（1 1）补画完整复合回转体的水平投影，如图）补画完整复合回转体的水平投影，如图3-403-40（b b）。）。图3-40 复合回转体截交线的画法（a a）（b b）【例3-7】已知复合回转体的正面和侧面投影，如图3图3-40 复合回转体截交线的画法 （2 2）画出两个截平面截切产生的交线。）画出两个截平面截切产生的交线。求水平面求水平面Q Q截切产生的交线：水平面的三面投影为一框（水截切产生的交线：水平面的三面投影为一框（水平投影）两线（正面、侧面投影）。平投影）两线（正面、侧面投影）。a a）Q Q面截切圆锥：面截切圆锥：Q Q是水平面且平行于圆锥轴线，截交线的是水平面且平行于圆锥轴线，截交线的水平投影为双曲线（由表水平投影为双曲线（由表3-23-2可知），如图可知），如图3-403-40（c c）所示。）所示。图3-40复合回转体截交线的画法（2）画出两个截平面 b)Q b)Q面截切圆柱：面截切圆柱：Q Q是水平面且平行于圆柱轴线，截交是水平面且平行于圆柱轴线，截交线的水平投影为矩形（由表线的水平投影为矩形（由表3-13-1可知）。可知）。Q Q面的侧面投影与圆面的侧面投影与圆的交点的交点2 2、33，由此可得由此可得2 2、3 3的投影，矩形的宽为的投影，矩形的宽为2 2、3 3之间的距离，长为圆柱的长，如图之间的距离，长为圆柱的长，如图3-403-40（d d）所示。）所示。图3-40 复合回转体截交线的画法b)Q面截切圆柱：Q是水平面且平行于圆柱轴线，截交图3-40 复合回转体截交线的画法 c)Q c)Q面截切大圆柱：与切圆柱同理，矩形的宽为点面截切大圆柱：与切圆柱同理，矩形的宽为点6 6、7 7之间的距离，如图之间的距离，如图3-403-40（e e）所示。）所示。图3-40复合回转体截交线的画法c)Q面截切大圆图3-40 复合回转体截交线的画法 求正垂面求正垂面P P截切产生的交线：截切产生的交线：P P面是正垂面，与大圆柱轴线面是正垂面，与大圆柱轴线倾斜，其侧面投影是圆，水平投影是椭圆（由表倾斜，其侧面投影是圆，水平投影是椭圆（由表3-13-1可知）。可知）。而而P P面与面与Q Q面相交为直线，因此面相交为直线，因此Q Q面的水面投影是一椭圆弧和一面的水面投影是一椭圆弧和一直线组成的线框，如图直线组成的线框，如图3-403-40（f f）所示。）所示。图3-40复合回转体截交线的画法求正垂面P截切产生图3-40 复合回转体截交线的画法 （3 3）判断存在域。水平面切到圆锥、圆柱和大圆柱，因）判断存在域。水平面切到圆锥、圆柱和大圆柱，因此水平投影为一封闭的线框，三个线框之间没有线，如图此水平投影为一封闭的线框，三个线框之间没有线，如图3-3-4040（g g）所示。）所示。图3-40复合回转体截交线的画法（3）判断存在域。水图3-40 复合回转体截交线的画法 水平面水平面Q Q只切复合回转体的上方，下方未被切到，因此，俯视只切复合回转体的上方，下方未被切到，因此，俯视图有两条虚线（圆锥与圆柱的分界线、圆柱与大圆柱的分界线），图有两条虚线（圆锥与圆柱的分界线、圆柱与大圆柱的分界线），如图如图3-403-40（h h）所示。）所示。图3-40复合回转体截交线的画法水平面Q只切复合回第五节第五节 两回转体表面的相交两回转体表面的相交第五节两回转体表面的相交 一、相贯线一、相贯线 两立体相交称为相贯，相交两立体表面的两立体相交称为相贯，相交两立体表面的交线交线称为称为相贯线相贯线，如图如图3-413-41所示。两立体相贯分为：所示。两立体相贯分为：两平面立体相交两平面立体相交、平面立体和平面立体和回转体相交回转体相交和和回转体与回转体相交回转体与回转体相交三种情况。求平面立体与平面三种情况。求平面立体与平面立体、平面立体与回转体相贯线的问题，本质上是求一个平面立立体、平面立体与回转体相贯线的问题，本质上是求一个平面立体的表面（平面）与另一个平面立体或回转体的截交线问题，可体的表面（平面）与另一个平面立体或回转体的截交线问题，可以用前面求截交线的方法解决，在此不再重复。以用前面求截交线的方法解决，在此不再重复。本节主要解决两回转体相交时相贯线的求法。两回转体相交本节主要解决两回转体相交时相贯线的求法。两回转体相交，相贯线的形状与回转体的形状、大小及回转轴线的相对位置有，相贯线的形状与回转体的形状、大小及回转轴线的相对位置有关。关。图3-41 相贯线的概念一、相贯线两立体相交称为相贯，相交两立体表面的交线 （3 3）相贯线是两回转体表面的）相贯线是两回转体表面的分界线分界线。（1 1）共有性共有性：相贯线是两回转体表面的共有线，是两回转体表相贯线是两回转体表面的共有线，是两回转体表面共有点的集合；面共有点的集合；（2 2）封闭性封闭性：相贯线一般为封闭的空间曲线线框，特殊情况可：相贯线一般为封闭的空间曲线线框，特殊情况可能不封闭，也可能是的平面曲线线框（等径相贯）、直线和曲线组能不封闭，也可能是的平面曲线线框（等径相贯）、直线和曲线组成的平面线框；成的平面线框；相贯线的性质：相贯线的性质：（3）相贯线是两回转体表面的分界线。（1）共有性 二、相贯线的求法二、相贯线的求法 两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚成圆周，因此成圆周，因此有圆周的视图就有相贯线有圆周的视图就有相贯线，所以，求相贯线，所以，求相贯线一般就是求相贯线在非圆视图的投影。一般就是求相贯线在非圆视图的投影。1.圆柱与圆柱的相贯圆柱与圆柱的相贯 相贯线是两回转体表面的共有线，求相贯线的投影实质相贯线是两回转体表面的共有线，求相贯线的投影实质就是求两回转体表面一系列共有点的投影就是求两回转体表面一系列共有点的投影。两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚成两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚成圆周，因此有圆周的视图就有相贯线，所以，求相贯线一圆周，因此有圆周的视图就有相贯线，所以，求相贯线一般就是求相贯线在非圆视图的投影。般就是求相贯线在非圆视图的投影。二、相贯线的求法两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线 求相贯线的步骤：求相贯线的步骤：（1 1）画出两圆柱的三面投影，分析两圆柱轴线的相对位）画出两圆柱的三面投影，分析两圆柱轴线的相对位置、直径大小和相贯线的形状；置、直径大小和相贯线的形状；（2 2）分析相贯线的特殊点和一般点，找点时，充分利用）分析相贯线的特殊点和一般点，找点时，充分利用积聚性，并判断其可见性；积聚性，并判断其可见性；（3 3）光滑连接各点。）光滑连接各点。求相贯线的步骤：【例例3-83-8】如图如图3-423-42（a a）所示，两圆柱轴线垂直相交，补）所示，两圆柱轴线垂直相交，补全主视图上相贯线的投影。全主视图上相贯线的投影。图3-42 轴线垂直相交相贯线的画法（1 1）求特殊点。如图）求特殊点。如图3-42a3-42a所示，点所示，点、是最左、最右点，同是最左、最右点，同时也是最高点；点时也是最高点；点、为最前、最后点，也是最低点。由为最前、最后点，也是最低点。由1 1、2 2直直接找到接找到11、22和和11（22）；）；3 3、4 4同理，如图同理，如图3-423-42（b b）。）。【例3-8】如图3-42（a）所示，两圆柱轴线垂直图3-42 轴线垂直相交相贯线的画法 （2 2）求一般点。如图）求一般点。如图3-42c3-42c所示，由点所示，由点5 5、6 6、7 7、8 8（四点最好左（四点最好左右对称，有助于提高绘图效率）直接找到右对称，有助于提高绘图效率）直接找到55（66）、）、77（88），再找），再找55（77）、）、66（88）。）。（3 3）光滑连接各点。相贯线前后对称，后半部分与前半部分重）光滑连接各点。相贯线前后对称，后半部分与前半部分重叠，图叠，图3-423-42（d d）。）。图3-42轴线垂直相交相贯线的画法（2）求一般点。如图3当两垂直相交圆柱的直径相差较大，并对相贯线形状的准当两垂直相交圆柱的直径相差较大，并对相贯线形状的准确度要求不高时，允许采用简化画法，即用圆弧代替非圆视图确度要求不高时，允许采用简化画法，即用圆弧代替非圆视图相贯线的投影。作图过程：在非圆视图上，以转向轮廓线的相贯线的投影。作图过程：在非圆视图上，以转向轮廓线的交交点点为圆心，为圆心，大大圆柱（孔）的半径为半径，交小圆柱（孔）轴线圆柱（孔）的半径为半径，交小圆柱（孔）轴线外外侧于一点，如图侧于一点，如图3-433-43（a a），再以此点为圆心画弧，如图），再以此点为圆心画弧，如图3-3-4343（b b）图3-43 两圆柱垂直相交不等径相贯线的简化画法 当两垂直相交圆柱的直径相差较大，并对相贯线形状 图3-44 两圆柱轴线垂直相交相贯线的形成 两圆柱的相贯线通常有三种形式，即两圆柱的相贯线通常有三种形式，即回转体外表面相交回转体外表面相交，如，如图图3-443-44（a a）、）、一外表面与一内表面相交一外表面与一内表面相交，如图，如图3-443-44（b b）、）、和和两内表面相交两内表面相交，如图，如图3-443-44（c c）。不论哪种形式，相贯线的分）。不论哪种形式，相贯线的分析和作图方法是一样的，都是回转体表面上找点。析和作图方法是一样的，都是回转体表面上找点。当两圆柱轴线平行时，截交线为直线和圆弧组成的当两圆柱轴线平行时，截交线为直线和圆弧组成的空间空间折线线框折线线框，如图，如图3-453-45所示。所示。图3-45 两回转体轴线平行的相贯当两圆柱轴线平行时，截交线为直线和圆弧组成的空间折线表表3-3 轴线垂直相交的两圆柱直径变化对相贯线的影响轴线垂直相交的两圆柱直径变化对相贯线的影响表3-3轴线垂直相交的两圆柱直径变化对相贯线的影响表表3-4 相交两圆柱轴线相对位置变化对相贯线的影响相交两圆柱轴线相对位置变化对相贯线的影响表3-4相交两圆柱轴线相对位置变化对相贯线的影响 2.2.圆柱与圆锥的相贯圆柱与圆锥的相贯 当圆柱与圆锥相贯时，若圆柱的轴线垂直于投影面，圆当圆柱与圆锥相贯时，若圆柱的轴线垂直于投影面，圆柱柱面在该投影面上的投影具有柱柱面在该投影面上的投影具有积聚性（圆积聚性（圆），因此在这个），因此在这个投影面上就有相贯线的投影，这时可以把相贯线看成是圆锥投影面上就有相贯线的投影，这时可以把相贯线看成是圆锥锥面上的曲线，利用锥面上取点法就可作出相贯线的其余投锥面上的曲线，利用锥面上取点法就可作出相贯线的其余投影。圆柱与圆锥轴线共面时，两者的直径变化直接相贯线的影。圆柱与圆锥轴线共面时，两者的直径变化直接相贯线的形状，如表形状，如表3-53-5所示。所示。2.圆柱与圆锥的相贯表表3-5 3-5 轴线共面的圆锥与圆柱直径变化对相贯线的影响轴线共面的圆锥与圆柱直径变化对相贯线的影响表3-5轴线共面的圆锥与圆柱直径变化对相贯线的影响 【例例3-9】如图如图3-46（a）所示，圆柱与圆锥轴线垂直相）所示，圆柱与圆锥轴线垂直相交，补画相贯线的正面投影和水平投影。交，补画相贯线的正面投影和水平投影。图 3-46 圆柱与圆锥相贯线的画法【例3-9】如图3-46（a）所示，圆柱与圆图 3-46 圆柱与圆锥相贯线的画法（1）求相贯线的特殊点。如图）求相贯线的特殊点。如图3-46（d）图3-46圆柱与圆锥相贯线的画法（1）求相贯线的特殊点。图 3-46 圆柱与圆锥相贯线的画法（2）求相贯线的一般点。如图）求相贯线的一般点。如图3-46（e）。）。图3-46圆柱与圆锥相贯线的画法（2）求相贯线的一般点。图 3-46 圆柱与圆锥相贯线的画法图3-46圆柱与圆锥相贯线的画法图 3-46圆柱与圆锥相贯线的画法（3）光滑连接各点。如图）光滑连接各点。如图3-46（g）图3-46圆柱与圆锥相贯线的画法（3）光滑连接各点。如图33.其它相贯线其它相贯线两回转体共轴线的相贯线就是两回转体共轴线的相贯线就是纬圆纬圆（如图（如图3-47所示）。所示）。图3-47 两回转体共轴线的相贯3.其它相贯线图3-47两回转体共轴线的相贯两圆锥共同切于同一球体，其相贯线是两圆锥共同切于同一球体，其相贯线是椭圆椭圆（如图（如图3-48所示）。所示）。图3-48 两圆锥共同切于同一球体的相贯线两圆锥共同切于同一球体，其相贯线是椭圆（如图3-48所示）。有些形体的表面交线比较复杂，有时既有相贯线又有截交有些形体的表面交线比较复杂，有时既有相贯线又有截交线。必须注意形体分析，找出存在相交关系的表面，应用前面线。必须注意形体分析，找出存在相交关系的表面，应用前面有关截交线和相贯线的作图知识，逐一分析出各条交线的投影，有关截交线和相贯线的作图知识，逐一分析出各条交线的投影，如图如图3-49所示。所示。图3-49 复合回转体相贯线、截交线的画法有些形体的表面交线比较复杂，有时既有相贯线又有图3-49 复合回转体相贯线、截交线的画法图3-49复合回转体相贯线、截交线的画法本本 章章 结结 束束本章结束