32函数模型及其应用1课件

3.2.13.2.1几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型（1 1）一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a0）例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y=0.42x-1(xN*)进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。x/x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元增加量增加量/元元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.2x/x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元增加量增加量/元元y/y/元元增加量增加量/元元6 64040606012.812.87 740400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 03003001010214748364.8214748364.8107374182.4107374182.4再作出三个函数的图象（图3.2-1）。由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：天数天数天数天数回报回报回报回报/元元元元方案方案方案方案1 12 23 34 45 56 6一一40408080120120160160200200240240二二101030306060100100150150210210三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.2 天数天数天数天数回报回报回报回报/元元元元方案方案方案方案7 78 89 910101111一一280280320320360360400400400400二二280280360360450450550550660660三三50.850.8102102204.4204.4 409.2409.2 818.8818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否 符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例 2的解答吗？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10，1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）200400600800 100012354687Oxyy=0.25xy=5y=log7x+1y=1.002x 观察图象发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 ，由于它在区间10,1000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有成立.令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）200200400400600600800800 10001000 12001200-250-250-300-300-200-200-150-150-100-100-50-50Oxy由图象可知它是递减的，因此 f(x)f(10)-0.31670即 log7x+10.25x.所以当x10,1000时，说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.课堂小结课堂小结 通过师生交流进行小结：确定函数的模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.