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概率论与数理统计 6/28/20241概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。2u第一章 概率论的根本概念u 1.1 随机试验u 1.2 样本空间u 1.3 概率和频率u 1.4 等可能概型古典概型u 1.5 条件概率u 1.6 独立性u第二章 随机变量及其分布u 2.1 随机变量u 2.2 离散型随机变量及其分布u 2.3 随机变量的分布函数u 2.4 连续型随机变量及其概率密度u 2.5 随机变量的函数的分布u第三章 多维随机变量及其分布u 3.1 二维随机变量u 3.2 边缘分布u 3.3 条件分布u 3.4 相互独立的随机变量u 3.5 两个随机变量的函数的分布 3u第四章 随机变量的数字特征u4.1 数学期望u4.2 方差u4.3 协方差及相关系数u4.4 矩、协方差矩阵u第五章 大数定律和中心极限定理u 5.1 大数定律u 5.2 中心极限定理 u第六章 数理统计的根本概念u 6.1 总体和样本u 6.2 常用的分布4u第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 u第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验u第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归5u第十章 随机过程及其统计描述u10.1 随机过程的概念u10.2 随机过程的统计描述u10.3 泊松过程及维纳过程u第十一章 马尔可夫链u11.1 马尔可夫过程及其概率分布u11.2 多步转移概率确实定u11.3 遍历性u第十二章 平稳随机过程u12.1 平稳随机过程的概念u12.2 各态历经性u12.3 相关函数的性质u12.4 平稳过程的功率谱密度6 概 率 论7关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章 概率论的根本概念81 随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖9概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。随机试验。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；102 样本空间随机事件(一一)样本空间样本空间 定义：随机试验定义：随机试验E E的所有结果构成的集的所有结果构成的集合称为合称为E E的的 样本空间，记为样本空间，记为S=eS=e，称称S S中的元素中的元素e e为根本领件或样本点为根本领件或样本点S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S=x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x11(二)随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S0,1,2,；记 A至少有10人候车10,11,12,S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，那么每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。12(三)事件的关系及运算事件的关系包含、相等例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 SAB13v 事件的运算SBASABSBA A与B的和事件，记为 A与B的积事件，记为当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或互斥的。14“和、“交关系式SABS 例：设A=甲来听课，B=乙来听课 ，那么：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来153 频率与概率(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲共进行了n次，其中成功了一次，那么在这n次试验中“冲击亚洲这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，那么#频率 反映了事件A发生的频繁程度。16试验序号n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005表表 2 218*频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p19(二)概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率概率。20性质：214 等可能概型古典概型定义：假设试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)称这种试验为等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。22例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球，记A=摸到红球，求P(A)解：S=1,2,8 A=1,2,3 23例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：（注：当Lm或L0，i=1,2,n；那么称：为全概率公式全概率公式B1B2BnSA证明：证明：定理：接上定理条件，称此式为BayesBayes公式。公式。36*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：SP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA37例：一单位有甲、乙两人，甲近期出差的概率为80%，假设甲出差，那么乙出差的概率为20%；假设甲不出差，那么乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)假设乙近期出差在外，求甲出差的概率。Bayes公式全概率公式解：设A=甲出差，B=乙出差38 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：假设设A=试验反响是阳性，C=被诊断患有癌症 那么有：某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？假设P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值假设用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。396 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件，假设P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)*P(B)即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。40 注意：41 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中 甲、乙同时射击，其结果互不影响，A，B相互独立42 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。1432注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同43 44总结：45复习思考题复习思考题 1 11.“事件A不发生，那么A=,对吗？试举例证明之。2.“两事件A和B为互不相容，即AB=,那么A和B互逆，对吗？反之成立吗？试举例说明之。4.甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中，那么AB=甲、乙两人至少有1人猜中。假设P(A)=0.7,P(B)=0.8,那么“P(AB)=0.7+0.8=1.5对吗？5.满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？467.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1)当A和B独立时,P(AB)为何值？(2)当A和B互不相容时,P(AB)为何值？4713.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0,P(B)0时，P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？假设成立，与概率的加法公式比较之。48第二章 随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数491 随机变量*常见的两类试验结果：示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数示性的明天天气（晴，多云）；化验结果（阳性，阴性）esx离散型的连续型的X=f(e)为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化*定义：随试验结果而变的量X为随机变量*常见的两类随机变量502 离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量离散量离散量的概率分布(分布律)样本空间S X=x1，X=x2，X=xn，由于样本点两两不相容1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率#概率分布51 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 解：设Ai=第i个灯为红灯，那么P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。52 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，假设查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2,那么A1,A2,相互独立。亦称X为服从参数p的几何分布。几何分布。53三个主要的离散型随机变量 01(p)分布二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行(p+q=1)*n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复重复重复重复 的独立独立独立独立试验为n重贝努利试验贝努利试验。54例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，如果是不放回抽样呢？2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，那么每次试验 只有两个结果：3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，那么 每次只有两个结果：55设A在n重贝努利试验中发生X次，那么并称X服从参数为p的二项分布，记推导：设Ai i=第i次A发生，先设n=356例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。5758 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。解：这是三重贝努利试验 59 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为常数，那么称X服从参数为的指数分布。记为 X具有如下的无记忆性：71 72 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：73称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性)74X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。7576 例：查书后附表77 例：一批钢材(线材)长度(1)假设=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)假设=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？78 例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)假设从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？795 随机变量的函数分布问题：随机变量X的概率分布，且Y=g(X)，求Y的概率分布。Xpi i0.2-1010.50.3例如，假设要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，假设 那么Y服从什么分布？例：X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)80例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为Y在区间(0,16)上均匀分布。81一般，假设X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：关键是找出等价事件。82例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110pZ01pY-220p解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：83例：84xh(y),yy0y=g(x)y8586例：解：例：解：87 88复习思考题复习思考题 2 21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。假设在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,那么X服从什么分布？并请导出：4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为适宜？5.什么样的随机变量称为连续型的？6.假设事件A为不可能事件，那么P(A)=0,反之成立吗？又假设A为必然事件，那么P(A)=1，反之成立吗？7.假设连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，那么X落在该区间 的概率为0，对吗？8.假设随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，那么X落入(a,b)的任意一子区间 (a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？9.假设XN(,2)，那么X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？89课件待续!6/28/2024
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