机器人运动学正解逆解--课件

1.4 1.4 机器人正向运动学 工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。主要包括以下内容：主要包括以下内容：1)1)相对杆件的坐标系的确定；相对杆件的坐标系的确定；2)2)建立各连杆的模型矩阵建立各连杆的模型矩阵A A；3)3)正运动学算法；正运动学算法；D-H表示法表示法学习目标：学习目标：1.理解理解D-H法原理法原理 2.学会用学会用D-H法对机器人建模法对机器人建模学习重点：学习重点：1.给关节指定参考坐标系给关节指定参考坐标系 2.制定制定D-H参数表参数表 3.利用参数表计算转移矩阵利用参数表计算转移矩阵背景简介：背景简介：1955年年，Denavit和和Hartenberg(迪迪纳纳维维特特和和哈哈坦坦伯伯格格)提提出出了了这这一一方方法法，后后成成为为表表示示机机器器人人以以及及对对机机器器人人建建模模的的标标准准方方法法，应用广泛。应用广泛。总体思想：总体思想：首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。从而建立运动学方程，进一步对其求解。1.1.第一个关节指定为关节第一个关节指定为关节n,n,第二个关节为第二个关节为n+1,n+1,其余其余关节以此类推。关节以此类推。坐标系的确定坐标系的确定2.Z2.Z轴确定规则：轴确定规则：如果关如果关节是旋转的，节是旋转的，Z Z轴位于按轴位于按右手规则旋转的方向右手规则旋转的方向，转角转角 为关节变量。如为关节变量。如果关节是滑动的，果关节是滑动的，Z Z轴为轴为沿直线运动的方向沿直线运动的方向，连，连杆长度杆长度d d为关节变量。为关节变量。关关节节n n处处Z Z轴下标为轴下标为n-1n-1。3.X3.X轴确定规则轴确定规则情况情况1 1：两关节：两关节Z Z轴既不平行也不相交轴既不平行也不相交取两取两Z Z轴公垂线方向作为轴公垂线方向作为X X轴方向，命名规则同轴方向，命名规则同Z Z轴。轴。情况情况2 2：两关节：两关节Z Z轴平行轴平行此时，两此时，两Z Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线。一条公垂线。情况情况3 3：两关节：两关节Z Z轴相交轴相交取两条取两条Z Z轴的叉积方向作为轴的叉积方向作为X X轴。轴。4.Y4.Y轴确定原则轴确定原则取取X X轴、轴、Z Z轴叉积方向作为轴叉积方向作为Y Y轴方向。（右手）轴方向。（右手）5.5.变量选择原则变量选择原则用用n+1n+1角表示角表示XnXn到到Xn+1Xn+1绕绕ZnZn轴的旋转角轴的旋转角;d dn+1n+1表示从表示从XnXn到到Xn+1Xn+1沿沿ZnZn测量的测量的距离距离;a an+1n+1表示关节偏移，表示关节偏移，an+1an+1是从是从ZnZn到到Zn+1Zn+1沿沿Xn+1Xn+1测量的距离测量的距离;角角表表示关节扭转示关节扭转,n+1,n+1是从是从ZnZn到到Zn+1Zn+1绕绕Xn+1Xn+1旋转的角度。旋转的角度。通常情况下，只通常情况下，只有有和和d d是关节变量。是关节变量。斯坦福机器人斯坦福机器人斯坦福机器人开始的两个关节是旋转的，第三个关节是滑动的，最后三个腕关节全是旋转关节例1：Stanford机器人运动学方程A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线yi轴：按右手定则 ai沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到Oi 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至Oi 1 坐标坐标 系原点的距离系原点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi关节1坐标系0关节2坐标系1关节3坐标系2连杆0连杆1连杆2连杆3连杆4连杆5关节4坐标系3关节5坐标系4关节6坐标系5解：解：123456关节变量都是关节变量都是例例2、PUMA560运动学方程（运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节六个自由度，全部是旋转关节）PUMA560机器人的连杆及关节编号为右手坐标系，Yi轴：按右手定则 Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线，或连杆i两端轴线Ai 与Ai+1的公垂线(即：Zi和Zi-1的公垂线)原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点，或Zi与Xi的交点ai沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到Oi 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至Oi 1 坐标坐标 系原点的距离系原点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xiA1A2A3A4A5A6O1O0 对下图所示简单机器人，根据对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及法，建立必要坐标系及参数表。参数表。例例 3第一步：根据第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系法建立坐标系的规则建立坐标系 第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入入D-H参数表参数表第四步：将参数代入第四步：将参数代入A矩阵，可得到矩阵，可得到第第5步步 求出总变化矩阵求出总变化矩阵 依次写出从基坐标系到手爪坐标系之间相邻两坐标系的依次写出从基坐标系到手爪坐标系之间相邻两坐标系的齐次齐次变换矩阵变换矩阵，它们依次连乘的结果就是末端执行器（手爪）在基坐，它们依次连乘的结果就是末端执行器（手爪）在基坐标系中的空间描述，即标系中的空间描述，即已知已知q q1 1,q,q2 2,q,qn n，求，求 ，称为运动学正解；，称为运动学正解；已知已知 ，求，求q q1 1,q,q2 2,q,qn n，称为运动学反解。，称为运动学反解。上式称为上式称为运动方程运动方程。综上：综上：正解正解反解反解1.5 1.5 机器人的逆运动学解机器人的逆运动学解 给定机器人终端位姿，求各关节变量，给定机器人终端位姿，求各关节变量，称求机器人运动学逆解称求机器人运动学逆解。让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步骤。前面例子最后方程为：骤。前面例子最后方程为：求逆运动学方程的解求逆运动学方程的解 根据第根据第3行第行第4列元素对应相等可得到列元素对应相等可得到依次用依次用 左乘上面两个矩阵，得到：左乘上面两个矩阵，得到：根据根据1，4元素和元素和2，4元素，可得到：元素，可得到：将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到已知已知于是可得到：于是可得到：依次类推，分别在方程依次类推，分别在方程2.19两边左乘两边左乘A1A4的逆，可得到的逆，可得到接下来再一次利用式接下来再一次利用式由于由于C12=C1C2-S1S2以及以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：，最后得到：最后用最后用A5的逆左乘式的逆左乘式2.67，再利用，再利用2,1元素和元素和2,2元素，得到：元素，得到：123456关节变量都是关节变量都是2.10 机器人的运动学编程机器人的运动学编程 在实际应用中，对运动学的求解是相当繁琐和耗时的，因此需在实际应用中，对运动学的求解是相当繁琐和耗时的，因此需要用计算机编程来实现。并且应尽量避免使用矩阵求逆或高斯消去要用计算机编程来实现。并且应尽量避免使用矩阵求逆或高斯消去法等相对繁琐的算法。正确的算法是：法等相对繁琐的算法。正确的算法是：2.11 设计项目设计项目 利用本书中所介绍的四自由度机器人，结合本章所学的知识利用本书中所介绍的四自由度机器人，结合本章所学的知识进行四自由度机器人的正逆运动学分析。进行四自由度机器人的正逆运动学分析。SCARASCARA型机器人的运动学模型的建立，包括机器人运动学方程型机器人的运动学模型的建立，包括机器人运动学方程的表示，以及运动学正解、逆解等，这些是研究机器人控制的重的表示，以及运动学正解、逆解等，这些是研究机器人控制的重要基础，也是开放式机器人系统轨迹规划的重要基础。为了描述要基础，也是开放式机器人系统轨迹规划的重要基础。为了描述SCARASCARA型机器人各连杆之间的数学关系，采用型机器人各连杆之间的数学关系，采用D-HD-H法。法。SCARASCARA型机器型机器人操作臂可以看作是一个开式运动链。它是由一系列连杆通过转人操作臂可以看作是一个开式运动链。它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成的。为了研究操作臂各连杆之间的位移关动或移动关节串联而成的。为了研究操作臂各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。的关系。SCARASCARA（Selective Compliance Assembly Robot ArmSelective Compliance Assembly Robot Arm装配机器人臂）机器人坐标系的建立装配机器人臂）机器人坐标系的建立 1.SCARA机器人坐标系建立原则根据机器人坐标系建立原则根据D-H坐标系建立方法，坐标系建立方法，SCARA机器人的每个关节坐标系的建立可参照以下的三原则机器人的每个关节坐标系的建立可参照以下的三原则(1)轴沿着第轴沿着第n个关节的运动轴个关节的运动轴;基坐标系的选择为基坐标系的选择为:当第一关节当第一关节变量为零时，零坐标系与一坐标系重合。变量为零时，零坐标系与一坐标系重合。(2)轴垂直于轴垂直于 轴并指向离开轴并指向离开 轴的方向。轴的方向。(3)轴的方向按右手定则确定。轴的方向按右手定则确定。2.构件参数的确定根据构件参数的确定根据D-H构件坐标系表示法，构件本身的构件坐标系表示法，构件本身的结构参数结构参数 、和相对位置参数和相对位置参数 、可由以下的方法确定可由以下的方法确定:(1)为绕为绕 轴轴(按右手定则按右手定则)由由 轴到轴到 轴的关节角。轴的关节角。(2)为沿为沿 轴，将轴，将 轴平移至轴平移至 轴的距离。轴的距离。(3)为沿为沿 轴从轴从 量至量至 轴的距离。轴的距离。(4)为绕为绕 轴轴(按右手定则按右手定则)由由 轴到轴到 轴的偏转角。轴的偏转角。3.变换矩阵的建立全部的连杆规定坐标系之后，就可以按照变换矩阵的建立全部的连杆规定坐标系之后，就可以按照下列的顺序来建立相邻两连杆下列的顺序来建立相邻两连杆n-1和和n之间的相对关系之间的相对关系:(1)绕绕 轴转轴转 角。角。(2)沿沿 轴移动轴移动 。(3)绕绕 轴转轴转 角。角。(4)沿沿 轴移动轴移动 。这种关系可由表示连杆这种关系可由表示连杆n对连杆对连杆n-1相对位置齐次变换相对位置齐次变换 来表来表征。即：征。即：展开上式得展开上式得 由于由于 描述第描述第n个连杆相对于第个连杆相对于第n-1连杆的位姿，对于连杆的位姿，对于SCARA教学机器人教学机器人(四个自由度四个自由度)，机器人的末端装置即为连杆，机器人的末端装置即为连杆4的坐标系，它与基座的关系为的坐标系，它与基座的关系为:如上图坐标系，可写出连杆如上图坐标系，可写出连杆n相对于相对于n-1变换矩阵变换矩阵 :其中：其中：以下相同。以下相同。相应连杆初始位置及参数列于表相应连杆初始位置及参数列于表2.4，表中，表中 、为关节变量。为关节变量。各连杆变换矩阵相乘，可得到各连杆变换矩阵相乘，可得到SCARA机器人末端执行器的位姿机器人末端执行器的位姿方程方程(正运动学方程正运动学方程)为下为下 式它表示了式它表示了SCARA手臂变换矩阵手臂变换矩阵 ，它描，它描述了末端连杆坐标系述了末端连杆坐标系4相对基坐标系相对基坐标系0的位姿的位姿。SCARA机器人的正运动学分析机器人的正运动学分析 SCARA机器人的逆运动学分析机器人的逆运动学分析 1.求关节变量求关节变量 为了分离变量，对方程的两边同时为了分离变量，对方程的两边同时左乘左乘 ,得得:即：即：左右矩阵中的第一行第四个元素左右矩阵中的第一行第四个元素(1.4)，第二行第四个元素，第二行第四个元素(2.4)分别相等。即分别相等。即:由以上两式联立可得由以上两式联立可得:式中：式中：2 求关节变量求关节变量 由式由式(2.87)可得可得:式中：式中：3 求关节变量求关节变量 再令左右矩阵中的第三行第四个元再令左右矩阵中的第三行第四个元素素(3.4)相等，可得相等，可得:4 求关节变量求关节变量 再令左右矩阵中的第一行第一个元再令左右矩阵中的第一行第一个元素、第二行第一个元素素、第二行第一个元素(1.1，2.1)分别相等，即：分别相等，即：由上两式可求得由上两式可求得:至此，机器人的所有运动学逆解都已求出。在逆解的至此，机器人的所有运动学逆解都已求出。在逆解的求解过程中只进行了一次矩阵逆乘，从而使计算过程大为求解过程中只进行了一次矩阵逆乘，从而使计算过程大为简化，从简化，从 的表达式中可以看出它有两个解，所以的表达式中可以看出它有两个解，所以SCARA机器人应该存在两组解。运动学分析提供了机器人运动规机器人应该存在两组解。运动学分析提供了机器人运动规划和轨迹控制的理论基础。划和轨迹控制的理论基础。对机器人相关概念的补充对机器人相关概念的补充退化：退化：当机器人失去一个自由度，并因此不按所期望的状态当机器人失去一个自由度，并因此不按所期望的状态运动时即称为退化。运动时即称为退化。退化发生条件：退化发生条件：1.机器人达到物理极限，不能进一步运动机器人达到物理极限，不能进一步运动2.两个相似关节共线两个相似关节共线不灵巧区域：不灵巧区域：能对机器人定位不定姿的区域称为不灵巧区能对机器人定位不定姿的区域称为不灵巧区域。域。D-H法的局限性：法的局限性：无法表示关于无法表示关于y轴的运动。轴的运动。退化状态下的机器人退化状态下的机器人总总 结结1 用矩阵表示点，向量，坐标系及变换的方法用矩阵表示点，向量，坐标系及变换的方法2 正逆运动学方程的建立正逆运动学方程的建立3 用用D-H法建立坐标系及变化方程法建立坐标系及变化方程4 正逆运动学方程的求解正逆运动学方程的求解9.2 机器人杆件，关节和它们的参数 9.2.1 杆件与关节n操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成n每一对关节杆件构成一个自由度，因此N个自由度的操作机就有N对关节杆件。n0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连n关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。关关关关节节节节杆件杆件杆件杆件末端操作手末端操作手末端操作手末端操作手机座机座机座机座两自由度关节两自由度关节两自由度关节两自由度关节关节：n一般说来，两个杆件间是用低副相联的n只可能有6种低副关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：旋转旋转棱柱形棱柱形柱形柱形球形球形螺旋形螺旋形平面平面9.2.2 9.2.2 杆件参数的设定杆件参数的设定 条件条件n n关节串联关节串联n n每每个个杆杆件件最最多多与与2 2个个杆杆件件相相连连，如如A Ai i与与A Ai i-1-1和和 A Ai i+1+1相相连连。第第 i i 关关节节的的关关节节轴轴 A Ai i 位位于于2 2个个杆杆件件相相连连接接处处，如如图图所所示，示，i i-1-1关节和关节和 i i+1+1关节也各有一个关节轴关节也各有一个关节轴 A Ai i-1-1 和和 A Ai i+1+1。AiAi+1Ai-1 杆件参数的定义 、和n li i 和 li i-1-1 在 Ai i 轴 线上的交点之间 的距离。AiAi+1Ai-1n li i 和和 li i-1-1 之间的夹之间的夹 角，按右手定则角，按右手定则 由由li i-1-1 转向转向 li i。由由运运动动学学的的观观点点来来看看，杆杆件件保保持持其其两两端端关关节节间间的的形形态态不不变变，这这种种形形态态由由两两个个参参数数决决定定：杆杆件件长长度度 li 和和杆杆件件扭扭转转角角 。杆杆件件的的相相对对位位置置关关系系，由由另另外外两两个个参参数数决决定定：杆件的距离杆件的距离 di 和杆件的回转角和杆件的回转角 。n li 关节关节关节关节 A Ai i 轴和轴和轴和轴和 A Ai i+1+1 轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。n n 关节关节关节关节i i 轴线与轴线与轴线与轴线与i i+1+1轴线在垂直于轴线在垂直于轴线在垂直于轴线在垂直于l li 平面内的夹角。平面内的夹角。平面内的夹角。平面内的夹角。v 上述上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系。在转动关节中，对位置关系。在转动关节中，li,i,di是固定值，是固定值，i是变量。是变量。在移动关节中，在移动关节中，li,i,i是固定值，是固定值，d i 是变量。是变量。9.3 机器人关节坐标系的建立n对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（儿坐标系（xi,yi,zi），（），（i=1,2,n），），n是自由度是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。）个坐标系。n基座坐标系基座坐标系 O0定义为定义为0号坐标系（号坐标系（x0,y0,z0）,它也是它也是机器人的惯性坐标系，机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但方向可任选，但z0轴线必须与关节轴线必须与关节1的轴线重合，位的轴线重合，位置和方向可任选置和方向可任选；n最后一个坐标系（最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，关节），可以设在手的任意部位，但但必须保证必须保证 zn与与zn-1 垂直垂直。n机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。n为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法），建立原则如下：9.3.1 D-H关节坐标系建立原则u右手坐标系右手坐标系u原点原点Oi：设在：设在li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 uZi轴轴：与与Ai+1关节轴重合，指向任意关节轴重合，指向任意 uXi轴轴：与公法线与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 uYi轴轴：按右手定则按右手定则 9.3.2 关节坐标系的建立方法AiAi+1Ai-1n原点Oi：设在li与Ai+1轴线的交点上 nzi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 nxi轴：与公法线li重合，指向沿li由Ai轴线指向Ai+1轴线 nyi轴：按右手定则 杆件长度杆件长度杆件长度杆件长度l li i 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆件扭转角杆件扭转角杆件扭转角杆件扭转角 i i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量 d di i 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回转角杆件回转角杆件回转角杆件回转角 i i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi两种特殊情况n两轴相交，怎么建立坐标系？Oi Ai与Ai+1关节轴线的 交点；zi Ai+1轴线；xi zi和zi-1构成的平面的 法线 ；yi 右手定则；AiAi+1zi-1zixiyiOin两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立 Oi-1然后建立Oi+1最后建立 Oi注意：注意：由于由于Ai和和Ai+1平行，所以公法线平行，所以公法线 任意点在任意点在A点位置；点位置；按按照照先先前前的的定定义义，di为为Oi-1点点和和A点点之之间间的的距距离离，di+1为为B点点和和C点点间间的的距距离离，这这样样设设定定可可以以的的，但但我我们们可可以以变变更更一一下下，将将0i点点放放在在C点点，定义定义Oi在在li+1和和Ai+1轴的交点上，这样使轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时使计算简便，此时di=9.4 相邻关节坐标系间的齐次变换过程 机器人运动学正解n将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；n沿 zi-1轴平移距离 di，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；n沿 xi 轴平移距离 li，使两坐标系原点及x轴重合；n绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合AiAi+1Ai-1