映射与函数课件

高等数学教学课件课件研制：军械工程学院 张士军高等教育出版社高等教育电子音像出版社教材版本：同济七版绪 论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的函 数一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积、体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程一元函数微积分多元函数微积分导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程微分学积分学切线、法平面、梯度曲面面积、体积、质心导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程微积分主体专题切线、法平面、梯度曲面面积、体积、质心导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用空间解析几何无穷级数常微分方程理论切线、法平面、梯度曲面面积、体积、质心应用导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的极限方法导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程导数微分函 数极限连续分析引论微分学不定积分定积分积分学应用中值定理元素法切线、图形、速度面积、体积、作功多元函数偏导数全微分重积分 线面积分多元函数微分学多元函数积分学应用切线、法平面、梯度曲面面积体积、质心空间解析几何无穷级数常微分方程一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论二、预备知识二、预备知识逻辑符号对任意的，对所有的，(Any)存在一个，（Exist)充要条件A是B的充分条件，B是A的必要条件A是B的充要条件绝对值不等式或第一讲 映射与函数函函数数映映射射特例特例函函数数概念概念映映射射映射的概念映射的概念定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f(x)XYxyf原像像定义域值域l注（1）映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则；（2）映射的像唯一，但原像不一定唯一；（3）映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称非空集X数集YX上的变换非空集X非空集XX上的函数实数集X实数集YfX上的泛函XY集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射若f是从集合X到集合Y的映射满射、单射和双射XYf逆映射逆映射设f是从集合X到集合Y的映射满射、单射和双射l若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射l若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射XYfY=f(X)逆映射逆映射若f是从集合X到集合Y的映射l若映射 f 既是满射又是单射,则称 f 为一一映射或双射.满射、单射和双射l若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射l若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射XYf逆映射逆映射若f是从集合X到集合Y的映射l若映射 f 既是满射又是单射,则称 f 为一一映射或双射.满射、单射和双射l若即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射l若对X中任意两个不同的元素它们的像则称f为X到Y的单射Xf逆映射若f 是从X到Y的单射，可定义一个从到X的新映射g对每个规定这x满足这个映射g称为f的逆映射，记作l注(1)只有单射才存在逆映射(2)逆映射的定义域值域集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射定义设有两个映射其中则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作即：l注(1)映射g和f 构成复合映射的条件：(2)映射g和f 的复合是有顺序的例题设对每个映射f 是否单射？是否满射？u例1设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点投影到x轴的区间上(1)3.写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题：若存在逆映射，求出逆映射(2)1.2.设对每个u例2设有映射对每个映射对每个求复合映射集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念函数的概念函数的概念定义设数集则称映射为定义在D 上的函数,通常简记为 f(D)因变量自变量定义域值域l注(1)注意符号f 和f(x)的区别(2)表示函数的记号可以任意选取(3)函数的要素：定义域对应法则函数的要素函数的要素1定义域定义域是非空的数集定义域的求法：(1)使表达式有意义的自变量的集合.(2)u例3 求函数的定义域2对应法则表示法：(1)解析法 表格法 图象法解析式的理解：(2)一系列的运算程序例如：理解为：l注只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是相同的，否则就是不同的.u例4下列函数是否相同，为什么？(1)(2)函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集 如果存在数使得对任一都成立那么称函数f(x)在X上有上界称为函数f(x)在X上的一个上界xoy类似可以定义函数f(x)在X上有下界函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集 如果存在数使得对任一都成立那么称函数f(x)在X上有上界称为函数f(x)在X上的一个上界类似可以定义函数f(x)在X上有下界xoyl注(1)有界性的概念须明确数集(2)若函数f(x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一例：在内有下界，但没有上界在内既有下界，也有上界函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集l注 函数f(x)在X上有界例：在内无界 如果存在正数使得对任一都成立那么称函数f(x)在X上有界 如果这样的不存在就称函数f(x)在X上无界即：使函数f(x)在X上既有上界，又有下界在内有界，xoy函数的几种特性函数的几种特性2函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，那么称函数f(x)在区间I上是单调增加的xoy当时，恒有类似可定义函数f(x)在区间I上是单调减少的x1x2函数的几种特性函数的几种特性2函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，那么称函数f(x)在区间I上是单调增加的xoy当时，恒有类似可定义函数f(x)在区间I上是单调减少的x1x2例：在上单调增加在上单调减少在上不是单调的单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的几种特性函数的几种特性3函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称那么称函数f(x)为偶函数 如果对于任一恒成立那么称函数f(x)为奇函数 如果对于任一恒成立l注偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称函数的几种特性函数的几种特性3函数的奇偶性例：偶函数称为双曲余弦函数奇函数称为双曲正弦函数称为双曲正切函数xoy1函数的几种特性函数的几种特性4函数的周期性例：常量函数那么称函数f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.l注设函数f(x)的定义域为D，对于任一如果存在一个正数l，有且使得恒成立周期函数在每个周期上有相同的图形（1）（2）通常周期函数的周期是指最小正周期（3）并非每个周期函数都有最小正周期狄利克雷函数集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数反函数反函数概念l注(1)(2)设函数是单射，则它存在逆映射称映射为函数f 的反函数.一般地，的反函数记成f 在D上单调增加（减少），且必定存在 在f(D)上也单调增加（减少）关于直线y=x对称函数y=f(x)与其反函数的图形集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数复合函数复合函数复合函数复合函数概念l注(1)(2)函数g 与函数f 构成复合函数的条件：设函数y=f(u)的定义域为且其值域则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数.函数u=g(x)的定义域为在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数.例：集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念构造反函数复合函数四则运算函数的四则运算函数的四则运算设函数的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和（差）积商集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念构造反函数复合函数四则运算初等函数基本初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数否则称为非初等函数集合区间邻域函数概念映射构造逆映射复合映射概念构造反函数复合函数四则运算初等函数基本初等函数非初等函数举例非初等函数举例符号函数取整函数分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示l注 分段函数不一定就是非初等函数！例：故为初等函数.可表示为综合题举例综合题举例u例5 设f(x)的定义域D=0,1，求下述函数的定义域u例6分析下述函数的复合过程u例7求及定义域上述函数可以复合成吗(1)(2)函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数复合函数复合函数四则运算四则运算初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数内容小结内容小结理解掌握熟 悉了 解