方程的通用型式和速度场求解的困难课件

方程的通用型式和速度场求解的困难一、方程的通用型式二、速度场求解的困难一、方程的通用型式连续性方程：动量方程（x方向）：动量方程（y方向）：能量方程：一、方程的通用型式写成统一型式二、速度场求解的困难二、速度场求解的困难1.一阶导数 的存在考虑一维常密度问题，有：可离散为二、速度场求解的困难考虑连续性方程：由于故所以 亦有可得到不合理的锯齿形压力场。二、速度场求解的困难二、速度场求解的困难2.求解方法的困难压力本身并没有控制方程，它是以源项的型式出项在动量方程中。压力与速度的关系隐含在连续性方程中，如果压力场是正确的，则根据此压力场而求得的速度场必满足连续性方程。如何构造求解压力场的方程，或者说在假定初始压力分布后如何构造计算压力改进的方法，是一个关键问题，即所谓的速度和压力的耦合问题。二、速度场求解的困难3.解决方案的选择：（1）涡量流函数法；（2）交错网格。第二节 交错网格及动量方程的离散一、交错网格二、动量方程的离散特点三、建立离散化方程编制程序一、交错网格所谓交错网格就是把速度u、v及压力p（包括其它所有标量及物性参数）分别存储在三套不同网格上的网格系统。u控制容积和主控制容积（即压力控制容积）之间在x方向有半个网格步长的错位，而v控制容积与主控制容积之间则在y方向上有半个步长的错位。一、交错网格一、交错网格一、交错网格二、动量方程的离散特点1.积分用的控制容积不是主控制容积而是u、v各自的控制容积；2.压力梯度项从源项中分离出来。对ue的控制容积，该项积分为二、动量方程的离散特点关于ue的离散方程有以下形式：其中类似可得到关于vn的离散方程：3.各控制容积界面上的流量、物性参数需要用插值的方法进行处理。三、建立离散化方程编制程序1.三类变量的节点编号方法对主节点（i，j），其控制容积西界面上的流速为ui,j，南界面上的流速为vi,j。对主节点i，i1L1，j1M1。对ui,j，i2L1，j1M1；对vi,j，i1L1，j2M1 三、建立离散化方程编制程序三、建立离散化方程编制程序三、建立离散化方程编制程序2.与边界相邻接的速度控制容积与内部速度控制容积的不同。三、建立离散化方程编制程序3.边界压力的递推计算第三节 压力修正算法一、速度修正方程二、压力修正方程一、速度修正方程先考虑如何修正速度方程。设原来的压力为p*，与此对应的速度分别为u*，v*。压力修正值为p，相应的速度修正值为u，v。则改进后的速度与压力分别为u=u*+u,v=v*+v,p=p*+p,代入动量方程有：一、速度修正方程由于u*，v*是根据p*求解出来的，故：两式相减有：可以认为任一点上的速度改进值由两部分组成：一部分是与该速度在同一方向的上的相邻两节点之间的压力修正值之差，这是产生速度修正值的直接动力；另一部分是由邻近速度的修正值所引起的。一、速度修正方程为计算简便考虑，后一项可忽略不计，即anb=0，于是可得到速度修正方程：或类似可得到 其中改进后的速度：二、压力修正方程对连续性方程在时间间隔内对主控制容积进行积分，采用全隐格式，可得到代入速度修正方程并整理成p的代数方程：二、压力修正方程其中：b的数值代表了一个控制容积不满足连续性的剩余质量的大小，可以用各控制容积的剩余质量的绝对值的大小作为速度场迭代是否收敛的一个判据或指标。二、压力修正方程压力修正方程的边界条件：（1）若边界压力已知则p=0，故aB=0。（2）若法向速度已知，则u=0，p=0，故aB=0第四节 SIMPLE算法及其发展与改进一、SIMPLE算法的计算步骤二、SIMPLE算法的讨论三、SIMPLER算法四、SIMPLEST算法五、SIMPLEC算法一、SIMPLE算法的计算步骤SIMPLE（Semi-Implicit method for pressure-Linked Equations）算法，即求解压力耦合方程的半隐方法，是Patankar和Spalding在1972年提出来的。所谓“半隐”是指在计算速度的修正值时，忽略了邻近速度修正值的影响，否则即称为“全隐”。一、SIMPLE算法的计算步骤1.假定一个速度分布，记为u0，v0，以此计算动量离散方程中的系数及常数项；2.假定一个压力场p*；3.依次求解两个动量方程，得到u*，v*;4.求解压力修正方程，得到p；一、SIMPLE算法的计算步骤5.据p改进速度场；6.利用改进后的速度场求解与速度场耦合的变量；7.利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数，用改进后 的压力场作为下一层次迭代计算的初值，重复计算。直到获得收敛的解。二、SIMPLE算法的讨论1.速度修正中忽略了邻近速度修正值的影响，不影响最后收敛的解，但加重了修正值p的负担，使得整个速度场的迭代速度减慢，故对p作亚松弛，其中 一般可取0.8左右。类似速度修正值也可考虑亚松弛，一般松弛因子可取0.5左右。二、SIMPLE算法的讨论2.压力修正方程是椭圆形方程，即压力是向各个方向传播的，只有在可压缩流体的超音速流动中，压力的传递才会有单向的特性，这时应采用可压缩流体的p方程。二、SIMPLE算法的讨论3.压力的参考点选取问题。一般只考虑压力的相对值，无须指定某一压力参考点，但若指定某一特点的参考点，其迭代收敛速度会变慢。二、SIMPLE算法的讨论二、SIMPLE算法的讨论4.p方程的求解方法。可采用Patankar提出的交替方向线迭代（ADI）加块修正的方法。二、SIMPLE算法的讨论5.p方程迭代收敛准则的选取。（1）简单的规定实施交替方向线迭代与块修正运算的轮数。（2）规定p方程余量的范数小于某一数值。（3）规定终止迭代时的范数与初始范数之比小于允许值。二、SIMPLE算法的讨论6.终止整个问题的迭代准则。（1）各节点上前后两次解偏差的绝对值或相对偏差的绝对值小于允许值。（2）要求在内点上连续性方程余量的代数和及节点余量的最大绝对值小于一定的数值。（3）要求连续性方程余量的范数小于一定的数值。（4）要求在整个区域内动量方程余量之和与入口动能的比值小于一定的数值。三、SIMPLER算法1.SIMPLER算法的原理：SIMPLE算法得出的p对速度的修正是相当好的，对压力的修正则过分了。虽然对p采用了亚松弛处理，但未必恰到好处。由此产生了下列想法：p只用来修正速度，压力场的改进则采用更合适的方法，此即Patankar提出的SIMPLER算法（SIMPLE Revised）。三、SIMPLER算法2.压力方程的推导动量离散方程可写成：其中前一项称为假拟速度，速度可记为：三、SIMPLER算法将上两式代入连续性方程的离散形式，可得到与压力修正方程形式相同的压力方程：三、SIMPLER算法3.SIMPLER算法的计算步骤（1）假定一个速度场u0，v0，计算动量方程的系数。（2）据已知的速度计算假拟速度 ，。（3）求解压力方程。（4）把求解的压力作为p0，求解动量方程，得u*，v*。三、SIMPLER算法（5）据u*，v*求解修正压力值p。（6）利用p修正速度，但不修正压力。（7）利用改进后的速度，计算动量方程的系数，重复第2步到第7步的计算，直到收敛。三、SIMPLER算法4.SIMPLER算法的特点在SIMPLER算法中，初始的压力场是与速度场是协调的，不必亚松弛，使SIMPLER方法的迭代层次数可以减少；但每一层次的计算中所花费的时间比SIMPLE算法要多。总的说来，SIMPLER算法所花费的时间比SIMPLE算法少。四、SIMPLEST算法由Spalding 提出，在PHOENICS软件中得到应用，其特点是：（1）对流项采用迎风格式；（2）把邻点的影响系数表示成对流分量及扩散分量之和，并把对流部分全部归入源项。五、SIMPLEC算法.SIMPLE算法的原理：在SIMPLE算法中，为求解方便，略去了速度修正值中的和，从而犯了速度和压力不协调一致的错误。为此在速度修正方程两端同时减去，可得到：可略去前一项，于是有：五、SIMPLEC算法2.SIMPLEC（协调一致的SIMPLE算法）的特点（1）以 代替 。（2）在SIMPLEC算法中，p不再亚松弛，即取 。第五节 开口系统的流场计算一、开口系统流场计算的关键二、出口边界条件的处理方法一充分发展三、出口边界条件的处理方法二取均匀的流场四、出口边界条件的处理方法三从内点的速度大分布来获得出口截面上的速度分布。第五节 开口系统的流场计算一、开口系统流场计算的关键开口系统流场计算的关键在于出口截面位置的确定和出口截面上法向流速的确定。第五节 开口系统的流场计算二、出口边界条件的处理方法一充分发展一般只有当出口区域有一平直段且离开回流区较远时才采用。其方法是：(1)令与边界邻接的控制容积的离散方程中相应方向的系数为零。(2)按以下方式确定出口截面上的物理量，即：或第五节 开口系统的流场计算三、出口边界条件的处理方法二取均匀的流场按给定的入口流速分布及质量守恒定律，很容易得到出口截面上的平均流速。这种做法比较粗糙，但有一定的实用价值。第五节 开口系统的流场计算四、出口边界条件的处理方法三从内点的速度的分布来获得出口截面上的速度分布这一做法的总原则是：(1)出口流场要满足计算区域的总体质量守恒；(2)出口截面上的每一点从其上游的一点或数点获得信息，构成该点的速度值。第五节 开口系统的流场计算第五节 开口系统的流场计算通常实施的方法有两种：1.假定出口截面上各点的法向速度的相对变化率为一常数。所以有第五节 开口系统的流场计算由质量守恒定律可得到于是求出出口截面上的法向速度 。第五节 开口系统的流场计算2.假定出口截面上各点的法向速度的一阶导数为常数，即所以有：第五节 开口系统的流场计算由质量守恒定律可得到可求出求出出口截面上的法向速度 。第六节 封闭系统的流场计算常见的是由于温差引起的封闭腔内的自然对流。第六节 封闭系统的流场计算一、动量与能量控制方程二、Boussinesq假设三、有效压力四、整理后的动量与能量控制方程第六节 封闭系统的流场计算一、动量与能量控制方程第六节 封闭系统的流场计算二、Boussinesq假设1.流体中粘性耗散略而不计。2.除密度外其它物性为常数。3.对密度仅考虑动量方程中与体积力有关的项，其余各项中的密度亦作为常数。采用冷面温度TC作为参考温度，则重力项中的密度可表示为：第六节 封闭系统的流场计算三、有效压力引入有效压力则第六节 封闭系统的流场计算四、整理后的动量与能量控制方程这样的方程可采用前述方法进行求解。第七节 设定计算区域值的方法一、设定计算区域任一值为已知值二、设定某区域速度为0一、设定计算区域任一值为已知值若设定计算区域内任一 为已知值 。可令 ，代入离散方程由于