机器人学第二章(数学基础)课件

机器人运动学机器人运动学第二章第二章 数学基础数学基础机器人运动学第二章 数学基础12.1 2.1 引言引言 机器人位置和姿态的描述机器人位置和姿态的描述机器人可以用一个开环关节链来建模机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动几何描述，也就是机器人的运动学问题学问题机器人的运动学即是研究机器人机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系节变量空间之间的关系2.1 引言 机器人位置和姿态的描述机器人可2运动学研究的问题运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学研究的问题Where is my hand?Direc3a0vzyxzyxpcb0uEH图2.1 点向量的描述数学基础数学基础 2.2.1 点向量（Point vectors）点点向向量量描描述述空空间间的的一一个个点点在在某某个个坐坐标标系系的的空空间间位位置置。同同一一个个点点在在不不同同坐坐标标系系的的描描述述及及位位置置向向量量的的值值也也不不同同。如如图图2.1中中，点点p在在E坐坐标标系系上上表表示示为为 Ev，在在H坐坐标标系系上上表表示示为为 Hu，且且v u。一一个个点点向向量可表示量可表示为 v=ai+bj+ck 通通常常用用一一个个（n+1）维列列矩矩阵表表示示，即即除除 x、y、z 三三个个方方向向上上的的分分量量外外，再再加加一一个个比比例例因因子子 w，即，即 v=x y z w T 其中其中 a=x/w,b=y/w,c=z/w。a0vzyxzyxpcb0uEH图2.1 点向量的描述数4 已知两个向量已知两个向量 a=ax i+ay j+az k b=bx i+by j+bz k （2.1）向量的点积是标量。用向量的点积是标量。用“”来定义向量点积，即来定义向量点积，即 a b=ax bx+ay by+az bz （2.2）向向量量的的叉叉积积是是一一个个垂垂直直于于由由叉叉积积的的两两个个向向量量构构成成的的平平面面的的向向量量。用用“”表示叉积，即表示叉积，即 a b=(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay by)k （2.3）可用行列式表示为可用行列式表示为 i j k a b =ax ay az （2.4）bx by bz 已知两个向量5旋转矩阵旋转矩阵 设设固固定定参参考考坐坐标标系系直直角角坐坐标标为为Oxyz，动动坐坐标标系系为为Ouvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。初始位置时，动静坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴对重合，如图。各轴对应重合，设应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系Ouvw中的一点，且固定不变。则中的一点，且固定不变。则P点在点在Ouvw中可表示为：中可表示为：、为为坐坐标标系系Ouvw的的单单位位矢矢量量，则则P点在点在oxyz中可表示为：中可表示为：旋转矩阵 设固定参考坐标系直角坐标为Oxyz，动坐标系为6当动坐标系当动坐标系Ouvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 已知：已知：P点在点在Ouvw中是不变的仍然成中是不变的仍然成立，由于立，由于Ouvw回转，则：回转，则：用矩阵表示为用矩阵表示为:（2-7）当动坐标系Ouvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系ox7反过来：反过来：由刚体的等距变换可知：将上式代入，可得：R为正交矩阵为正交矩阵。反过来：由刚体的等距变换可知：将上式代入，可得：R为正交矩8 由图可知，由图可知，在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影轴上的投影为为 ,在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影为轴上的投影为 ，所以有：，所以有：方向余弦阵方向余弦阵 由图可知，在y轴上的投影为 ，在z9同理：同理：三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵:同理：三个基本旋转矩阵:10丹纳维特（丹纳维特（DenavitDenavit）和哈顿贝格）和哈顿贝格（HartenbergHartenberg）于于19551955年提出了一种矩阵代数年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题方法解决机器人的运动学问题D-HD-H方法方法具有直观的几何意义具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换其数学基础即是齐次变换丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）112.2 2.2 点齐次坐标点齐次坐标2.2.1 2.2.1 点的齐次坐标点的齐次坐标 一般来说，一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间）维空间实体。有一个特定的投影附加于实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数为比例系数 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵2.2 点齐次坐标2.2.1 点的齐次坐标 一般来说，n12 例例：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1 V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2 V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4 V=-12 -16 -20 -4T T 例：可以表示为：13 齐次坐标与三维直角坐标的区别齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在点在OXYZ坐标系中表坐标系中表示是唯一的（示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表以是多值的。不同的表示方法代表的示方法代表的V点在空间点在空间位置上不变。位置上不变。齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在OXYZ坐标系中表示是142.2 2.2 旋转齐次变换旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式旋转变换：用齐次坐标变换来表示式旋转变换：2.2 旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式旋转变换：15 2.2.3 2.2.3 合成旋转矩阵合成旋转矩阵:例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参，相对固定参考坐标系考坐标系 做如下运动：做如下运动：R（x,90）；）；R(z,90)；R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 2.2.3 合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点 16解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）解2：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,17 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘左乘。注意：注意：旋转矩阵间不可以交换旋转矩阵间不可以交换 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果18 平移齐次变换矩阵平移齐次变换矩阵注意：注意：平移矩阵间可以交换，平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换平移和旋转矩阵间不可以交换 因此对向量 u=x y z w T，经H变换为向量v可表示为 x+aw x/w+a y+bw y/w+b z+cw z/w+c w 1 平移齐次变换矩阵注意：平移矩阵间可以交换，因此对向量 u 192.2.4 2.2.4 相对变换相对变换 举例说明：举例说明：例例1：动坐标系动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标动坐标系系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：2.2.4 相对变换 举例说明：解1：用画图的方法：20解解2：用计算的方法：用计算的方法 根据定义根据定义1，我们有：，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先平移先平移Trans(4,-3,7)；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：以上均以固21解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法 解1：用画图的方法 解2：用计算的方法 22式式（2-202-20）和和式式（2-212-21）无无论论在在形形式式上上，还还是是在在结结果果上上都都是是一致的。因此我们有如下的结论：一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结结果果均均为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相相对于固定坐标系，对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是23机器人用到相对变换的机器人用到相对变换的时候比较多时候比较多例如机械手抓一个杯子，例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示手爪的坐标系表示但也要知道在但也要知道在O中的位中的位姿，就用右乘的概念。姿，就用右乘的概念。oH机器人用到相对变换的时候比较多oH242.2.6 2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义齐次交换矩阵的几何意义 设设T=T=，有一个手爪，已知其在，有一个手爪，已知其在OO的位置，设一个的位置，设一个该坐标系该坐标系OO，已知，已知，那么，那么OO在在OO中的齐次坐中的齐次坐标变换为标变换为 ，如果手爪转了一个角度，如果手爪转了一个角度，则：则：2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义 设T=28T T反反映映了了O O在在O O中中的的位位置置和和姿姿态态，即即表表示示了了该该坐坐标标系系原原点点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵，表示动坐标系为姿态矩阵，表示动坐标系OO在固定参考在固定参考坐标系坐标系OO中的姿态，即表示中的姿态，即表示OO各坐标轴单各坐标轴单位矢量在位矢量在OO各轴上的投影各轴上的投影 为位置矢量矩阵，代表动坐标系为位置矢量矩阵，代表动坐标系OO坐标原坐标原点在固定参考坐标系点在固定参考坐标系OO中的位置中的位置 为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为一般置为0 0 为比例系数为比例系数 T反映了O在O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各29如果需要求解如果需要求解OO在在OO中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为为 ，即求逆矩阵：，即求逆矩阵：其中：其中：这些式子以后经常遇到，这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵求的就是齐次变换矩阵如果需要求解O在O中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为30习题习题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。习题1：31习题习题2 2：OO与与OO初始重合，初始重合，OO作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如何改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。旋转才能获得相同的结果。解解：解解：绕绕Z Z（w w）轴转动）轴转动9090；绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。习题2：解：解：32变换方程变换方程（Transform equations）研究一下图描述的研究一下图描述的一个物体与机械手一个物体与机械手情情况，机械手用变换况，机械手用变换 Z 相对于基坐标系被定位。相对于基坐标系被定位。机械手的端点用变换机械手的端点用变换 ZT6 来描述，而末端执行器来描述，而末端执行器用变换用变换 T6E 来描述。物体用变换来描述。物体用变换 B 相对于基坐相对于基坐标系被定位。最后，机械手末端抓手用变换标系被定位。最后，机械手末端抓手用变换 BG相对于物体被定位。末端抓手位置的描述有两种相对于物体被定位。末端抓手位置的描述有两种方式，一种是相对于物体的描述，一种是相对于方式，一种是相对于物体的描述，一种是相对于机械手的描述。由于两种方式描述的是同一个机械手的描述。由于两种方式描述的是同一个点，我们可以把这个描述等同起来，得到点，我们可以把这个描述等同起来，得到 Z ZT6 T6E =B BG 这这个个方方程程可可以以用用有有向向变变换换图图来来表表示示。图图的的每每一一段段弧弧表表示示一一个个变变换换。从从它它的的定定义义的的坐坐标标系系向向外指向。外指向。用用 Z-1左乘和用左乘和用E-1右乘方程，得到右乘方程，得到 T6=Z-1 B G E-10EGBZT6zyx一个物体与机械手有向变换图GBET6Z0变换方程（Transform equations）33例题：例题：试求立方体中心在机座坐标系试求立方体中心在机座坐标系0中的位置中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，轴同向，那么，求手爪相对于那么，求手爪相对于0的姿态是什么？的姿态是什么？在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。xyz例题：试求立方体中心在机座坐标系0中的位置 在机34解解1：因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X35解解2：解2：36机器人学第二章(数学基础)课件37