数学问题中的文化课件

数学问题中的文化斐波那契数列一 斐波那契与兔子问题斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250）,欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。其著作算盘书（1202），第一次系统介绍了印度阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。1228年修订后的算盘书中载有“兔子问题”某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？11235813二 斐波那契数列1.通项公式 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，2.神奇的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 上面数列平方得到1，1，4，9，25，64，169，441，连续两项相加得2，5，13，34，89，233，1，1，2，3，5，8，13，21，34，1，1，4，9，25，64，169，441，1=11+1=1 21+1+4=231+1+4+9=3 51+1+4+9+25=5 8奇数项求和得1，3，8，21，偶数项求和每连续10个斐波那契数的和有什么特点呢？1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=1431+2+3+5+8+13+21+34+55+89=2312+3+5+8+13+21+34+55+89+144=3+5+8+13+21+34+55+89+144+233=3 3 斐波那契数列与连分数斐波那契数列与连分数 这这不不是是一一个个普普通通的的分分数数，而而是是一一个个分分母母 上上 有有 无无 穷穷 多多 个个“1 1”的的 繁繁 分分 数数，我我 们们 通通 常常称这样的分数为称这样的分数为“连分数连分数”。11上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。12 通常，求通常，求连分数的分数的值，如同求无理，如同求无理数的数的值一一样，我，我们常常需要求它的近似常常需要求它的近似值。如果把如果把该连分数分数从第从第条分数条分数线截截住住，即把第，即把第条分数条分数线上、下的部分上、下的部分都都删去，就得到去，就得到该连分数的第分数的第次近似次近似值，记作作13 对照对照 可算得可算得 14 顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为 其分子、分母恰是菲波那契数；有无极其分子、分母恰是菲波那契数；有无极限，若有，极限值即为连分数的值。限，若有，极限值即为连分数的值。154 斐波那契数列与黄金分割 上述连分数可以看作是上述连分数可以看作是 中，把中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。反复迭代，就得到上述连分数。17 18美妙的结论 斐波那契数列相邻两项比的数列的极限是最简连分数的值，此值为黄金分割数。黄金分割黄金分割 定义：定义：把任一线段分割成两段，把任一线段分割成两段，使使 ，这样的分割叫黄金分割，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）（可以有两个分割点）1小段小段大段大段21故有故有 小段小段大段大段22 黄金分割的尺规作图黄金分割的尺规作图 设线段为设线段为 。作。作 ，且，且 ，连，连 。作。作 交交 于于 ，再作再作 交交 于于 ，则，则 ，即即为为 的黄金分割点。的黄金分割点。23 证：不妨令证：不妨令 ，则，则 ，证完。证完。24 黄金分割的美黄金分割的美 黄黄金金分分割割之之所所以以称称为为“黄黄金金”分分割割，是是比比喻喻这这一一“分分割割”如如黄黄金金一一样样珍珍贵贵。黄黄金金比比，是是工工艺艺美美术术、建建筑筑、摄摄影影等等许许多多艺艺术术门门类类中中审审美美的的因因素素之之一一。认认为为它它表表现现了了恰恰到好处的到好处的“和谐和谐”。例如例如:25 1 1）人体各部分的比人体各部分的比 肚肚 脐脐 ：（头（头脚）脚）印堂穴：印堂穴：（口（口头顶）头顶）肘关节：肘关节：（肩（肩中指尖）中指尖）膝膝 盖：盖：（髋关节（髋关节足尖）足尖）262）著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字塔，如埃及的金字塔，高（高（137米）与底边长米）与底边长（227米）之比为米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为塔高与工作厅高之比为340 5530.615（外形的高与宽之比？（外形的高与宽之比？大理石廊柱高与神殿高之比？）大理石廊柱高与神殿高之比？）27 3）美观矩形的美观矩形的 宽长比宽长比 如国旗和其它用到如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家矩形的地方（建筑、家具）具）284）正五角星中的比29 5）舞台报幕者舞台报幕者 的最佳站位的最佳站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.618处较美处较美30 四四 推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列 卢卡斯数列卢卡斯数列 1 1）卢卡斯数列卢卡斯数列 卢卡斯（卢卡斯（LucasLucas，F.E.A.1824-1891F.E.A.1824-1891）构造了一类更值得研究的数列，现被构造了一类更值得研究的数列，现被称为称为“推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列”。31 即从任何两个正整数开始，往后的每即从任何两个正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，二阶递推公式数列。此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取。可任取。32 斐波那契数列斐波那契数列1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，是这类数列中最简单的一个，起始整数是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为分别取为1 1、1 1。次简单的为次简单的为1 1，3 3，4 4，7 7，1111，1818，现称之为现称之为卢卡斯数列卢卡斯数列。卢卡斯数列的通项公式是卢卡斯数列的通项公式是 33 推推广广的的斐斐波波那那契契数数列列与与斐斐波波那那契契数数列列一一样样，与与黄黄金金分分割割有有密密切切的的联联系系：该该数数列列相相邻邻两两数数之之比比，交交替替地地大大于于或或小小于于黄黄金金比比；并并且且，两两数数之之比比的的差差随随项项数数的的增增加加而而越越来来越越小小，趋趋近近于于0 0，从从而而这这个个比比存存在在极极限；而且限；而且这个比的极限也是黄金比这个比的极限也是黄金比 。34类似于前面提到的数列 对于推广的斐波那契数列，对于推广的斐波那契数列，相邻两项之比的极限也是相邻两项之比的极限也是35五 自然界中的斐波那契数菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-85-8）37 向日葵花盘内，种子是按对数螺向日葵花盘内，种子是按对数螺线排线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成数螺线。两组螺线的条数往往成相继的相继的两两个斐波那契数，一般是个斐波那契数，一般是3434和和5555，大向日葵，大向日葵是是8989和和144144，还曾发现过一个更大的向日，还曾发现过一个更大的向日葵有葵有144144和和233233条螺线，它们都是相继的两条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。个斐波那契数。381c 1 1 跳格游戏跳格游戏 42 如如图，一个人站在，一个人站在“梯子格梯子格”的起点的起点处向上跳，从格外只能向上跳，从格外只能进入第入第1格，从格中，格，从格中，每次可向上跳一格或两格，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多可以用多少种方法，跳到第少种方法，跳到第n格？格？432蜜蜂进蜂房问题蜜蜂进蜂房问题：一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、n号蜂房，只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线多少？空空空 空空空 1357246nn-2n-144第三讲韩信点兵与中国剩余定理第三讲韩信点兵与中国剩余定理 45u韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。时被泼皮强迫从胯下钻过的事。u后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。汉皇朝四百年的基业。u民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。事，韩信点兵的故事就是其中的一个。一、一、“韩信点兵韩信点兵”的故事与的故事与孙子算经孙子算经中的题目中的题目46 相传有一次，韩信将相传有一次，韩信将15001500名将士与楚王大将李锋交战。名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有10351035人。人。他还不放心，决定自己亲自算一下。他还不放心，决定自己亲自算一下。1.“韩信点兵韩信点兵”的故事的故事47 韩信阅兵时，让一队士兵韩信阅兵时，让一队士兵5 5人一行排队从他面前走过，人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（他记下最后一行士兵的人数（1 1人）；再让这队士兵人）；再让这队士兵6 6人一人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5 5人）；人）；再让这队士兵再让这队士兵7 7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（士兵的人数（4 4人），再让这队士兵人），再让这队士兵1111人一行排队从他面前人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（走过，他记下最后一行士兵的人数（1010人）。然后韩信就人）。然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。48 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的现在传本的孙子算经孙子算经共三卷。卷上叙述共三卷。卷上叙述算筹算筹记数的纵记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第和筹算开平方法。卷下第3131题，可谓是后世题，可谓是后世“鸡兔同笼鸡兔同笼”题的始祖，后来传到题的始祖，后来传到日本日本，变成，变成“鹤龟算鹤龟算”。2.2.孙子算经孙子算经 书中是这样叙述的：书中是这样叙述的：“今有鸡兔今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有面数，有3535个头；从下面数，有个头；从下面数，有9494只只脚。求笼中各有几只鸡和兔？脚。求笼中各有几只鸡和兔？孙子算经孙子算经49 我国古代数学名著我国古代数学名著孙子算经孙子算经中有中有“物不知数物不知数”的题目：的题目：今有物不知其数，今有物不知其数，三三数之剩三三数之剩2 2，五五数之剩五五数之剩3 3，七七数之剩七七数之剩2 2，问物几何？问物几何？孙子算经孙子算经中的题目中的题目 50 二问题的解答二问题的解答 1.1.筛法筛法 先给出先给出 被被3 3除余除余2 2的数的数 2 2，5 5，8 8，1111，3k+2,3k+2,上列数种被上列数种被5 5除余除余3 3的数的数 8 8，2323，3838，8+15k8+15k 第二列中被第二列中被7 7除余除余2 2的数的数 23 23，128128，233233，23+105k23+105k 512 2从另一个问题入手从另一个问题入手(公倍数方法公倍数方法)问题：问题：今有物不知其数，二二数之剩今有物不知其数，二二数之剩1 1，三，三三数之剩三数之剩2 2，四四数之剩，四四数之剩3 3，五五数之剩，五五数之剩4 4，六六数之剩六六数之剩5 5，七七数之剩，七七数之剩6 6，八八数之剩，八八数之剩7 7，九九数之剩，九九数之剩8 8，问物几何？，问物几何？再从中挑再从中挑“用用5 5除余除余4 4”的数，的数，一直筛选下去，舍得下功夫，就一一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。定可得结果。并且看起来，解，还不是唯一的；并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。可能有无穷多个解。53 设问题中，需要求的数是设问题中，需要求的数是 ，则，则 被被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都去除，所得的余数都是比除数少是比除数少1，于是我们把被除数，于是我们把被除数 再加再加1，则则 就可被就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整均整除。也就是说，除。也就是说，是是2,3,4,5,6,7,8,9的的公倍数，从而是其最小公倍数公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。的倍数。54 即即 思思：求求“用用2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9除除 都余都余1”1”的的数。数。求求“用用5 5，7 7，9 9，11 11 除都余除都余2”2”的数。的数。56 现在仿照上边用过的现在仿照上边用过的“公倍数法公倍数法”来看物不知数问题，设要求的数为来看物不知数问题，设要求的数为 ，则依题意，得联立方程组，则依题意，得联立方程组 57 按上一问题中按上一问题中“公倍数法公倍数法”解决问题的解决问题的思路：把思路：把方程两边同时加上或减去方程两边同时加上或减去一个什么一个什么样的数，就能使三个等式的右边分别是样的数，就能使三个等式的右边分别是3 3，5 5，7 7的倍数，从而等式左边就是的倍数，从而等式左边就是3 3，5 5，7 7的公的公倍数了。倍数了。这要通过这要通过反复反复的试算去完成。的试算去完成。58一种试算的方法59 从第三个等式入手，两边加从第三个等式入手，两边加5（或减（或减2）则则得得 60 则右边是则右边是7的倍数了，但两边加的倍数了，但两边加5（或减（或减2）并不并不能使前两式的右边分别是能使前两式的右边分别是3的倍数和的倍数和5的倍数，所以的倍数，所以两边加两边加5（或减（或减2）并不能使右边成为并不能使右边成为3，5，7的公的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍然保持是右边仍然保持是7的倍数，可再加的倍数，可再加 （或再减（或再减 ），则则 （或（或 ）将将 代入试算、分代入试算、分 析，析，61 最后发现，为达到目的最后发现，为达到目的（三个等式的右边分别是（三个等式的右边分别是3 3，5 5，7 7的倍的倍数），最小的加数是数），最小的加数是8282（时时 ）（或最小（或最小的减数是的减数是2323，即，即 时时 ）。62 用等式两边加用等式两边加82来求解，有来求解，有 用等式两边减用等式两边减23来求解，有来求解，有 多了一个多了一个“”，因这时，因这时 也是正数，合也是正数，合 要求要求。63 这两组解是一样的，都是这两组解是一样的，都是“2323，23+10523+105，23+210523+2105，”。原因是原因是82+23=10582+23=105，故令，故令 第一组解就成为第一组解就成为 便转化成第二组解。便转化成第二组解。64 3 单因子构件凑成法单因子构件凑成法 我们先对前几页（我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：）式作两个方面的简化：一方面一方面是是每次只考虑每次只考虑“一个除式一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；整除的情况）；另一方面另一方面是把余数都简化为最简单的是把余数都简化为最简单的1。这。这样得到三组方程。样得到三组方程。65 （1 1）式意味着，在）式意味着，在5 5和和7 7的公倍数中（的公倍数中（3535，7070，105105，）寻找被）寻找被3 3除余除余1 1的数；的数；（2 2）式意味着，在）式意味着，在3 3和和7 7的公倍数中（的公倍数中（2121，4242，6363，）寻找被）寻找被5 5除余除余1 1的数；的数；（3 3）式意味着，在）式意味着，在3 3和和5 5的公倍数中（的公倍数中（1515，3030，4545，）寻找被）寻找被7 7除余除余1 1的数。的数。66 对（对（1）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取70，对（，对（2）式而言，）式而言，这个数可以取这个数可以取21，对（，对（3）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取15。67 现在重复一下：所得的现在重复一下：所得的x x是是被被3 3除余除余1 1，被，被5 5和和7 7除余除余0 0的数；的数；y y是是被被5 5除余除余1 1，被，被3 3和和7 7除余除余0 0的数；的数；z z是是被被7 7除余除余1 1，被，被3 3和和5 5除余除余0 0的数。的数。68 那么，凑出那么，凑出 ，s 不就是我们需要求的数吗？不就是我们需要求的数吗？69 于是我们要求的数是于是我们要求的数是 这这就就是是孙孙子子算算经经中中“物物不不知知其其数数”一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是2323（时）。时）。70 这里，（这里，（1），（），（2），（），（3）三式分别叫三个）三式分别叫三个“单子因构件单子因构件”，分，分别解得别解得 每个单因子构件，都是用某一个数去除余每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均余，用另两个数去除均余0的情况。再据题目要求余数分别是的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成的情况，凑成71 4 歌诀歌诀 推广了的推广了的“物不知其数物不知其数”问题的解为问题的解为 明朝数学家程大位在明朝数学家程大位在算法统宗算法统宗中把上式总结为一首中把上式总结为一首通俗易懂的歌决：通俗易懂的歌决：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。七子团圆正半月，除百零五便得知。其中正半月是指其中正半月是指15，这个口诀把，这个口诀把3，5，7；70，21，15及及105这几个关键的数都总结在内了。详细说，歌诀的含这几个关键的数都总结在内了。详细说，歌诀的含义是：用义是：用3除的余数乘除的余数乘70，5除的余数乘除的余数乘21，7除的余数乘除的余数乘15，相加后再减去（，相加后再减去（“除除”当当“减减”讲）讲）105的适当倍数，的适当倍数，就是需要求的（最小）解了。就是需要求的（最小）解了。72 当当然然，解解，不不是是唯唯一一的的，每每差差1 10 05 5，都都是是另另一一个个解解答答，但但如如果果结结合合实实际际问问题题，答答案案往往往往就就是是唯唯一一的的了了。例例如如一一队队士士兵兵的的大约人数，韩信应是知道的。大约人数，韩信应是知道的。73 三、中国剩余定理三、中国剩余定理 12471247年南宋的数学家秦九韶把年南宋的数学家秦九韶把孙子算经孙子算经中中“物不知其数物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，一题的方法推广到一般的情况，得到称之为得到称之为“大衍求一术大衍求一术”的方法，在的方法，在数书九章数书九章中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理中国剩余定理”（Chinese remainder theoremChinese remainder theorem）。）。74 四、有趣的应用四、有趣的应用 某单位有某单位有100100把锁，分别编号为把锁，分别编号为1 1，2 2，3 3，100100。现在要对钥匙编号，使外单。现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙。码就知道该用哪一把钥匙。75 能采用的方法很多，其中一种就是利能采用的方法很多，其中一种就是利用中国剩余定理，把锁的号码被用中国剩余定理，把锁的号码被3 3，5 5，7 7去除所得的去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0 0时，也不能时，也不能省略）。省略）。这样每把钥匙都有一个三位数编号。这样每把钥匙都有一个三位数编号。例如例如2323号锁的钥匙编号是号锁的钥匙编号是232232号，号，5252号锁的钥号锁的钥匙编号是匙编号是123123号。号。76 8 8号锁号锁231 19231 19号锁号锁145 145 45 45号锁号锁003 52003 52号锁号锁123123 因为只有因为只有100100把锁，不超过把锁，不超过105105，所以锁的，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的。号与钥匙的号是一一对应的。如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常匙编号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常数。这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一数。这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了。对应，而外人则更难知道了。77趣题找次品：1 1）有有5 5个个外外形形相相同同的的乒乒乓乓球球，其其中中只只有有 1 1个重量不标准的次品乒乓球。个重量不标准的次品乒乓球。现再给你一个标准球；请用一架现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。找出上述次品乒乓球。78最优化思想最少次数完成预定任务最大限度发挥该天平的作用79趣题找次品：2 2）有有1 12 2个个外外形形相相同同的的乒乒乓乓球球，其其中中只只有有 1 1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。轻于标准球。80