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Part 数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社高教出版社 第三版）第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）科学出版社）授课内容授课内容n n数学物理定解问题（Chap.7）n n分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）n n球函数（Chap.10）n n柱函数（Chap.11）Chap.7 数学物理定解问题数学物理定解问题n n数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n定解条件定解条件n n数学物理方程的分类数学物理方程的分类n n达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n n本章小结本章小结物理量物理量 u(Y,E,B,P)空间分布（空间分布（x,y,z）时间演化（时间演化（t）边界条件边界条件初始条件初始条件物理规律物理规律u(x,y,z,t)分析问题分析问题定解问题定解问题（确定系数）（确定系数）定界条件定界条件7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程1.1.波动方程波动方程波动方程波动方程2.2.输运方程输运方程输运方程输运方程3.3.稳定场方程稳定场方程稳定场方程稳定场方程n n导出的步骤导出的步骤导出的步骤导出的步骤1.1.确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）2.2.分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型3.3.建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广波动方程波动方程n n均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀弹弦，的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力不计重力，不受外力。其张力为为T T，线密度为，线密度为。求弦的微小。求弦的微小横振动的规律。横振动的规律。分析分析分析分析：设弦平衡时沿：设弦平衡时沿x x轴，考虑轴，考虑弦上从弦上从x x到到x+dxx+dx的一段，其质的一段，其质量为量为dxdx。设弦的横振动位移。设弦的横振动位移为为u(x,t)u(x,t)，则，则由牛顿第二定律由牛顿第二定律dxutt=T2sin2-T1sin10=T2 cos2-T1 cos1微振动条件微振动条件cos1=cos2=1sin1=tan1=ux(x,t)sin2=tan2=ux(x+dx,t)于是有于是有T2=T1=Tuttdx=Tux(x+dx,t)-ux(x,t)化简后得到化简后得到 utt=T uxx utt=a2 uxxBCA12uxxdxa2=T/波动方程波动方程n n推广推广推广推广1 1n n情况：受迫振动（考虑重力或外力）情况：受迫振动（考虑重力或外力）n n分析：设单位长度所受到的横向外力分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)F(x,t)，则，则dxdx段的受力为段的受力为FdxFdxn n方程：方程：uutt tt=T u=T uxxxx+F+Fn n u utt tt=a=a2 2 u uxxxx+f+f，f=F/f=F/波动方程波动方程n n推广推广推广推广2 2n n情况：均匀杆的纵振动问题情况：均匀杆的纵振动问题n n分析：张力分析：张力T T变成杨氏模量变成杨氏模量Y Yn n方程：方程：uutt tt=Y u=Y uxxxx+F+Fn n u utt tt=a=a2 2 u uxxxx+f+fn n推广推广推广推广3 3n n情况：三维情况情况：三维情况n n分析：位移分析：位移u u成为空间变量成为空间变量x,y,zx,y,z和时间和时间t t的函数的函数n n方程：方程：问题问题问题问题：扩散问题中研究的是浓度：扩散问题中研究的是浓度u u在空间的分布和在时间中的在空间的分布和在时间中的变化。变化。分析分析分析分析：扩散现象遵循扩散定律，即：扩散现象遵循扩散定律，即q=-Dq=-D u u，q q是扩散流强是扩散流强度，度，D D是扩散系数，是扩散系数，u u是浓度梯度。对于三维扩散问题，是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元考察单位时间内小体积元dxdydzdxdydz的净流入量。的净流入量。扩散方程扩散方程zyxdxdydzo扩散方程扩散方程n n在在x x，y y，z z方向上，单位时间内净流入量为方向上，单位时间内净流入量为n n如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数输运方程输运方程n n一维热传导一维热传导一维热传导一维热传导问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀导热细杆，的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为系数为k k，比热为，比热为c c，线密度为，线密度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。分析分析分析分析：设杆长方向为：设杆长方向为x x轴，考虑杆上轴，考虑杆上从从x x到到x+dxx+dx的一段，其质量为的一段，其质量为dxdx，热容量为热容量为cdxcdx 。设杆中的热流沿。设杆中的热流沿x x轴正向，强度为轴正向，强度为q(x,t)q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)u(x,t)，则，则由能量守恒定律 c dxdx du=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut=-qx由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxxa2=k/(c)扩散方程和输运方程扩散方程和输运方程n n扩散和输运方程具有共同的形式：扩散和输运方程具有共同的形式：n n对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：则方程的形式变化为：源的强度源的强度稳定场方程稳定场方程n n概念概念n n产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。定状态，对应的方程称为稳定场方程。n n形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变量t t，对，对t t的导数为的导数为零。零。n n分类分类n n无外界作用情况无外界作用情况n n拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=uu=uxxxx+u+uyyyy+u+uzzzz=0=0n n有外界作用情况有外界作用情况n n泊松方程：泊松方程：u=uu=uxxxx+u+uyyyy+u+uzzzz=f(x,y,z)=f(x,y,z)n n典型应用典型应用n n静电场方程：静电场方程：u=-/u=-/n n稳定温度分布：稳定温度分布：u=-F/ku=-F/k小小 结结n n波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：作业：P152 3,47.2 定解条件定解条件n n方程方程 u ut t(t)=0(t)=0n n能不能求解？解是什么？能不能求解？解是什么？n n能不能定解？该怎么办？能不能定解？该怎么办？n n方程方程 u uxxxx(x)=0(x)=0n n能不能求解？解是什么？能不能求解？解是什么？n n能不能定解？该怎么办？能不能定解？该怎么办？n n由此可归纳出由此可归纳出n n数学物理方程的通解含有任意常数，要完全数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出一、定解问题的提出二、初始条件二、初始条件n n意义意义意义意义n n反映系统的特定历史反映系统的特定历史n n分类分类分类分类n n初始状态（位置），用初始状态（位置），用 u|u|t=0t=0=(x,y,x)(x,y,x)表示；表示；n n初始变化（速度），用初始变化（速度），用 u ut t|t=0t=0=(x,y,z)(x,y,z)表示。表示。n n典型例子典型例子典型例子典型例子n n一维热传导一维热传导n n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件n n一端温度为一端温度为a a，均匀增加到另一端温度为，均匀增加到另一端温度为b bn nu|u|t=0t=0=a+(b-a)x/L=a+(b-a)x/L初始条件初始条件n n一维弦振动一维弦振动一维弦振动一维弦振动n n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件件n n初始位移初始位移初始位移初始位移n n处于平衡位置：处于平衡位置：u|u|t=0t=0=0=0n n两端固定，在两端固定，在c c点拉开距离点拉开距离h h：u|u|t=0t=0=hx/c=hx/c，0 xc;0 xc;u|u|t=0t=0=h(L-x)/(L-c)=h(L-x)/(L-c)，cxL;cx 0 0 为双曲型，如波动方程；为双曲型，如波动方程；=0=0 为抛物线型，如热传导为抛物线型，如热传导方程；方程；0 0 为椭圆型，如稳定场方为椭圆型，如稳定场方程。程。判断：判断：推导过程推导过程n n关于自变量关于自变量 x x，y y的二阶线性偏微分方程（系数都是的二阶线性偏微分方程（系数都是x x，y y的函数）的函数）作自变量代换于是，方程化为：n n取特解取特解做新的自变量，使做新的自变量，使A A1111和和A A2222为零，方程可以为零，方程可以简化。特解满足的方程为：简化。特解满足的方程为：把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx=-zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：三、叠加原理三、叠加原理n n原理原理原理原理：n n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程是原来的方程n n如：如：L uL u1 1=f=f1 1n n L u L u2 2=f=f2 2n n则：则：L(auL(au1 1+bu+bu2 2)=af)=af1 1+bf+bf2 2n n应用应用应用应用：n n齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；n n非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；非齐次方程的解；n n两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。样组合。7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n n定解问题的求解思路定解问题的求解思路n n原则：由已知猜未知原则：由已知猜未知n n方法：类比法方法：类比法n n步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。n n泛定方程的求解泛定方程的求解n n达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的推导n n达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用一、泛定方程的求解一、泛定方程的求解n n常微分方程常微分方程n n方程方程方程方程：u u =2a x =2a x n n通解：通解：u=a xu=a x2 2+C+Cn n偏微分方程偏微分方程n n方程方程方程方程：u ux x=2y x =2y x n n通解：通解：u=y xu=y x2 2+C(y)+C(y)n n二阶方程二阶方程：uxy=0n n对对y y偏积分：偏积分：u ux x=C(x)=C(x)n n通解：通解：u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)二、达朗贝尔二、达朗贝尔(D Alembert)公式公式n n以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：方程形式：定解条件：定解条件：推导步骤：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数1）达朗贝尔公式的推导（求通解）达朗贝尔公式的推导（求通解）通解的物理意义：以速度通解的物理意义：以速度a沿沿x轴正负方向移动的行波。轴正负方向移动的行波。达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式达朗贝尔公式2）达朗贝尔公式的物理意义）达朗贝尔公式的物理意义n n若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。移动。这两个行波的和给出各个时刻的波形这两个行波的和给出各个时刻的波形n n若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：3）达朗贝尔公式的应用）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x0才有意义，在x0的区域上弦并不存在。因此，若时间增加到x-at0，达朗贝尔公式中(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了。方法方法：把半无限长弦当做无限长弦的x0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波反射波，即存在半波损失半波损失。b)无限长自由振动无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式c)边界条件举例边界条件举例n n任意给定初始条件u|u|t=0t=0=2 exp(-x=2 exp(-x2 2),u),ut t|t=0t=0=0=0n n附加边界条件1.1.u|u|x=0 x=0=0=02.2.u ux x|x=0 x=0=0=03.3.u|u|x=0 x=0=u=u0 04.4.u|u|x=0 x=0=0,u|=0,u|x=Lx=L=0=05.5.三、定解问题是一个整体三、定解问题是一个整体一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。四、定解问题的适定性四、定解问题的适定性1）有解2）解是唯一的3）解是稳定的？本本章章小小结结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性 演化方程 稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题n n先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。n n是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？n n能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？Chap.8 分离变数法分离变数法n n齐次方程的分离变数法n n非齐次问题的求解n n非齐次边界条件的处理n n泊松方程n n本章小结8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍一、分离变数法介绍两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列反向进行的同频率的波形成驻波。波腹波腹波节波节n n驻波的特点驻波的特点驻波的特点驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为之间各点振动相位相同，表示为T(t)T(t)，但是这些点，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为化可以表示为X(x)X(x)。n n于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中1 1）定解问题的分离变数定解问题的分离变数定解问题的分离变数定解问题的分离变数n n 未知函数分离：未知函数分离：n 泛定方程分离：n 边界条件分离：n 分离结果：2）分离结果的求解分离结果的求解n 空间方程：空间方程：n 时间方程：时间方程：3）系数的确定）系数的确定n n把方程的一般解代入到初始条件中，把方程的一般解代入到初始条件中，n n上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定可以确定A An n和和B Bn n分离变量过程小结分离变量过程小结偏微分偏微分方方 程程分离变数本征值方程1 解1常微分方程2 解2解1解2线性 组合所求解所求解初始条件确定系数分离变数法（傅里叶级数法）分离变数法（傅里叶级数法）n n我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。n n用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。二、典型问题的求解（波动方程）二、典型问题的求解（波动方程）n n 例题例题例题例题1 1：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动l 写出定解问题的方程：写出定解问题的方程：l 分离变数：分离变数：l 求解本征值问题：求解本征值问题：l 求解时间方程：求解时间方程：l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：三、典型问题的求解（输运方程）三、典型问题的求解（输运方程）n n例题例题例题例题2 2：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为度，另一端温度为度，另一端温度为度，另一端温度为u u0 0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温，杆上温度梯度均匀，零度的一端温，杆上温度梯度均匀，零度的一端温，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。l 分离变量：分离变量：l 分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。l 定解方程：定解方程：l 方程求解：方程求解：l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：思思 考考 题题n n如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？n n如何用分离变数法求解稳定场问题？如何用分离变数法求解稳定场问题？四、稳定场问题的分离变数法四、稳定场问题的分离变数法n n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n n矩形区域问题矩形区域问题n n圆形区域问题圆形区域问题1 1）拉普拉斯方程（矩形区域）拉普拉斯方程（矩形区域）n例题例题3：散热片的横截面为矩形，它的一边散热片的横截面为矩形，它的一边y=by=b处于处于较高的温度较高的温度U U，其它三边，其它三边y=0y=0，x=0 x=0和和x=ax=a处于冷却介处于冷却介质中因而保持较低的温度质中因而保持较低的温度u u0 0，求解横截面上的稳定，求解横截面上的稳定温度分布温度分布u(x,y)u(x,y)。0abyxUu0u0u0l 定解问题定解问题l l分析分析分析分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次。一些边界条件化为齐次。把v和w满足的泛定方程和边界条件分别叠加起来就是u满足的方程和边界条件。因此分别求v和w的方程就可以得到未知函数u的解。l l 根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：可以用分离变数法求解，只需要把关于可以用分离变数法求解，只需要把关于y的的边界条件看做是分离变数法中的初始条件边界条件看做是分离变数法中的初始条件的地位。的地位。l l分离变数：分离变数：l l求解本征值方程：求解本征值方程：l l求解求解Y Y满足的方程：满足的方程：l l关于关于v v的一般解：的一般解：l l代入非齐次边界条代入非齐次边界条 件，确定系数件，确定系数l l定解问题的解为：定解问题的解为：2 2）拉普拉斯方程（圆形区域）拉普拉斯方程（圆形区域）n例题例题3：匀强电场中，有半径为匀强电场中，有半径为a a，电势为零的圆柱，电势为零的圆柱导体，求导体外的稳定的电势分布。导体，求导体外的稳定的电势分布。l 定解问题（极坐标下）定解问题（极坐标下）l 分析：分析：导体外的电势具有轴对称性，做垂直导体 线方向的横截面，则可以在极坐标下研究问题。oaEl 分离变数：分离变数：l 求解本征值问题：求解本征值问题：l 求解径向方程：求解径向方程：l 方程的一般解：方程的一般解：l 带入边界条件，带入边界条件，确定系数：确定系数：导体带电荷导体带电荷产生的电势产生的电势原匀强电场原匀强电场导体对周围导体对周围电场的影响电场的影响8.2 非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法n 分离变数法的结果显示，方程的解可以展开为 傅里叶级数，傅里叶级数的形式决定于边界条件。n 对于非齐次振动方程和输运方程，如果边界条件 依然是齐次的，可以先把所求的解展开为傅里叶 级数，级数的形式取决于该问题齐次方程在所给 定的齐次边界条件下的本征函数。n 傅里叶级数的系数是时间t的函数。典型问题的求解典型问题的求解n n例题例题例题例题1 1：求解定解问题：求解定解问题二、冲量定理法二、冲量定理法n n对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次的，则可以用冲量定理法进行求解。的，则可以用冲量定理法进行求解。n n如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲量定理求解。量定理求解。冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想n n冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的多前后相继的“瞬时瞬时”力，把持续作用引起的振动看作力，把持续作用引起的振动看作所有所有“瞬时瞬时”力引起的振动的叠加。力引起的振动的叠加。n n“瞬时瞬时”力引起的振动记为力引起的振动记为u u()(x,t)(x,t)，其定解问题为：，其定解问题为：(1)(2)定解问题（定解问题（1）和（）和（2）是等价的。）是等价的。n n从定解问题（从定解问题（2 2）的初始条件可以看出，）的初始条件可以看出，u u()必含有因子必含有因子d d，因，因此可以令：此可以令：u u()(x,t)=v(x,t,(x,t)=v(x,t,)d)d，则定解问题变为，则定解问题变为，n n现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是零，这里的初始时刻为零，这里的初始时刻为，因此前两种方法解中的，因此前两种方法解中的t t，在这里，在这里应该换成应该换成t-t-。n n原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，例题例题例题例题2 2：求解定解问题求解定解问题解：应用冲量定理，先求解n n参照边界条件，把参照边界条件，把v v展开为傅里叶余弦级数展开为傅里叶余弦级数n n代入泛定方程，分离出代入泛定方程，分离出T Tn n的常微分方程的常微分方程n nT Tn n的解是的解是n nv v的解为的解为n n系数由初始条件确定系数由初始条件确定n n比较两边系数，得比较两边系数，得比较两边系数，得比较两边系数，得n nv v的解最终为的解最终为的解最终为的解最终为n n所求的解为所求的解为所求的解为所求的解为回顾：非齐次方程的求解回顾：非齐次方程的求解n n傅里叶级数法傅里叶级数法傅里叶级数法傅里叶级数法对应齐次方程齐次边对应齐次方程齐次边界条件的本征函数族界条件的本征函数族分离出关于分离出关于T的的方程和初始条件方程和初始条件n n冲量定理法冲量定理法冲量定理法冲量定理法例题例题例题例题3 3：求解定解问题：求解定解问题：求解定解问题：求解定解问题n 解法解法1：（傅里叶级数法）：（傅里叶级数法）解关于解关于T的常微分方程，得：的常微分方程，得：最后得到所求的解：最后得到所求的解：n n解法解法解法解法2 2：（冲量定理法）：（冲量定理法）：（冲量定理法）：（冲量定理法）则原定解问题变为求解则原定解问题变为求解v的定解问题：的定解问题：运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）8.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理n n运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是解的定解问题只是解的定解问题只是解的定解问题只是齐次边界条件问题齐次边界条件问题齐次边界条件问题齐次边界条件问题。n n在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有非齐次边界条件非齐次边界条件非齐次边界条件非齐次边界条件出现，这出现，这出现，这出现，这样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？n n方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进行求解。行求解。行求解。行求解。n n例题例题例题例题1 1：求解定解问题：求解定解问题选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次边界条件，不妨取v(x,t)为x的线性函数，即l 尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件 是齐次的。因此可以利用傅里叶级数法求解。l 如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为n n例题例题例题例题2 2：弦的：弦的x=0 x=0端固定，端固定，x=lx=l端受迫做谐振动端受迫做谐振动 AsinAsin t t，弦的，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振初始位移和初始速度都是零，求弦的振动动。定解问题为：由于求解的是弦在由于求解的是弦在x=lx=l端受迫做谐振动端受迫做谐振动AsinAsin t t情况下的振情况下的振动动，从物理上分析，它一定有一个特解从物理上分析，它一定有一个特解v(x,t)v(x,t)，满满足足齐齐次方程和非次方程和非齐齐次次边边界条件，且跟界条件，且跟x=lx=l端同步振端同步振动动，即其，即其时间时间部分的函数也部分的函数也是是AsinAsin t t，于是特解可以表示成分离，于是特解可以表示成分离变变数的形式，数的形式，代入到定解问题中去，可分离出关于X(x)的方程和定解条件，求解这个常微分方程的定解问题，最后可以得到特解v为这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数法求解，其解为：最后，所求的解为：最后，所求的解为：回顾拉普拉斯方程的求解回顾拉普拉斯方程的求解n n矩形区域矩形区域矩形区域矩形区域n n圆形区域圆形区域圆形区域圆形区域8.4 泊松方程泊松方程n n泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：n n由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。求解。n n求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解任取泊松方程的一个特解v v，然后令，然后令u=v+wu=v+w，把问，把问题转化为求题转化为求w w，而，而w w满足拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程。*在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程 可以得到一般解：可以得到一般解：这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解。本章小结本章小结n n基本方法基本方法n n齐次问题：分离变量法；齐次问题：分离变量法；n n非齐次问题：特解法。非齐次问题：特解法。n n常用本征方程常用本征方程n n齐次边界条件齐次边界条件n n第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件n n第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件n n第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件I In n第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件II IIn n自然边界条件自然边界条件n n周期性边界条件周期性边界条件n n有界性边界条件有界性边界条件常用本征方程常用本征方程 齐次边界条件齐次边界条件常用本征方程常用本征方程 自然边界条件自然边界条件Chap.10 球函数球函数n n 轴对称球函数轴对称球函数n n 连带勒让德函数连带勒让德函数n n 一般的球函数一般的球函数n n 本章小结本章小结n n球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程n n球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系n n球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球函数方程球函数方程欧拉型常欧拉型常微分方程微分方程n n球函数方程的求解球函数方程的求解球函数方程的求解球函数方程的求解10.1 轴对称球函数轴对称球函数在在在在m=0m=0情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质1.1.前几项前几项2.2.一般表示一般表示n级数表示级数表示n微分表示微分表示n积分表示积分表示罗德里格斯公式罗德里格斯公式施列夫利积分施列夫利积分3.3.勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系4.4.广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数5.5.5.5.母函数和递推公式母函数和递推公式母函数和递推公式母函数和递推公式n n母函数母函数母函数母函数n n 递推公式递推公式递推公式递推公式递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数在在在在m0m0情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？代入到连带勒让德方程中，得到关于代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程的微分方程这个方程与把勒让德方程逐项求导这个方程与把勒让德方程逐项求导m m次得到的结果一致。次得到的结果一致。因此，它的解就是勒让德方程的解因此，它的解就是勒让德方程的解P(x)P(x)的的m m阶导数，阶导数，一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质1.1.前几项前几项2.2.一般表示一般表示n微分表示微分表示n积分表示积分表示称为罗德里格斯公式，当称为罗德里格斯公式，当l-m=2n时，为偶函数；时，为偶函数；当当l-m=2n+1时，为奇函数。时，为奇函数。称为施列夫利积分称为施列夫利积分3.3.连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系4.4.广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数5.5.连带勒让德函数的递推公式连带勒让德函数的递推公式递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明二、连带勒让德函数的应用二、连带勒让德函数的应用例题例题4：半径为a的球面上电势分布为 f=Asin2cossin，确定球内空间的电势 u。解：解：10.3 一般的球函数一般的球函数n n球函数的概念n n球函数的性质n n球函数的归一化n n球函数的应用一、球函数的概念一、球函数的概念二、球函数的前几项二、球函数的前几项三、球函数的性质三、球函数的性质n n对称性对称性对称性对称性n正交性正交性n球面上函数的广义傅里叶级数球面上函数的广义傅里叶级数四、球函数的归一化四、球函数的归一化n n归一化的球函数归一化的球函数归一化的球函数归一化的球函数n正交性正交性n完备性完备性五、球函数的应用五、球函数的应用例题例题1：半径为：半径为a的球面上电势分布为的球面上电势分布为 f=Asin2cos2，确定，确定 球内空间的电势球内空间的电势 u。解：解：非非对对称称稳稳定定问问题题的的求求解解本本 章章 小小 结结n n一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为n转动对称球面边界稳定问题的半通解为转动对称球面边界稳定问题的半通解为n轴对称球面边界稳定问题的半通解为轴对称球面边界稳定问题的半通解为Chap.11 柱函数柱函数n n柱函数的基本性质n n贝塞尔方程n n虚宗量贝塞尔方程n n球贝塞尔方程n n本章小结n n柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程n n柱坐标系柱坐标系柱坐标系柱坐标系n n柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解n nZ Z、R R常微分方程的求解常微分方程的求解常微分方程的求解常微分方程的求解于是，我们共得到三类贝塞尔方程：于是，我们共得到三类贝塞尔方程：n n贝塞尔方程贝塞尔方程贝塞尔方程贝塞尔方程n n虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程n n球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程这三类贝塞尔方程的解是什么呢？这三类贝塞尔方程的解是什么呢？11.1 三类柱函数三类柱函数 三类柱函数三类柱函数柱函数的基本性质柱函数的基本性质一、柱函数的图象一、柱函数的图象一、柱函数的图象一、柱函数的图象诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质x 0 时的行为：时的行为：x 时的行为：时的行为：三、柱函数的递推公式三、柱函数的递推公式n 基本递推公式：基本递推公式：n 推论二：推论二：n 推论一：推论一：pp 递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明k=l+1pp 递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用例题例题1 1：贝塞尔函数的积分最终可以化成关于贝塞尔函数的积分最终可以化成关于J0的积分；当的积分；当 n+m 为奇数时，可以为奇数时，可以积分出来。积分出来。11.2 贝塞尔方程贝塞尔方程n n贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题n n贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性n n正交性正交性n n模模n n傅里叶贝塞尔级数傅里叶贝塞尔级数n n贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题n 贝塞尔函数的零点贝塞尔函数的零点 正负成对；正负成对；n 贝塞尔函数有无限贝塞尔函数有无限 多个零点；多个零点；n n 阶贝塞尔函数两阶贝塞尔函数两 个相邻零点之间必个相邻零点之间必 有有n+1 阶贝塞尔函阶贝塞尔函 数的一个零点。数的一个零点。二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性n 贝塞尔函数的模贝塞尔函数的模n 正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交n 完备性（傅里叶完备性（傅里叶-贝塞尔级数）贝塞尔级数）例1：把函数 f=2 在0,b 区间用0阶贝塞尔函数展开。三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用11.3 虚宗量虚宗量贝塞尔方程贝塞尔方程一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质1）虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用11.4 球贝塞尔方程球贝塞尔方程一、球贝塞尔一、球贝塞尔(诺伊曼、汉克尔诺伊曼、汉克尔)函数的性质函数的性质二、球贝塞尔函数的应用二、球贝塞尔函数的应用本章小结本章小结n n对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;n n贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定;n n典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。复习要点复习要点n n熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变数（傅里叶级数）法；数（傅里叶级数）法；n n掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性质，并能熟练运用；质，并能熟练运用；n n掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用它求解稳定场方程的定解问题。它求解稳定场方程的定解问题。n n 例题例题例题例题1 1：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动l 写出定解问题的方程：写出定解问题的方程：l 分离变数：分离变数：l 求解本征值问题：求解本征值问题：l 求解时间方程：求解时间方程：l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：
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