数学物理方程-第1章-教学课件

定义定义:主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术 科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等),例如特点特点:反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于 空间变量的导数之间的制约关系。范畴范畴:连续介质力学连续介质力学、电磁学电磁学、量子力学量子力学等方面的基 本方程都属于数学物理方程的范围。数学物理方程数学物理方程“一切科学的理论，总是从实践中来从实践中来，又回到实践中去到实践中去，接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”力学问题弦线振动问题流体运动、弹性体振动、热传导、电磁作用、原子核原子核-电子作用、化学反应电子作用、化学反应偏微分方程偏微分方程（基本规律）偏微分方程偏微分方程（基本规律）求解数学物理方程数学物理方程定解问题预测自然现象变化（气象预报等）各种工程设计（机械强度计算等）数学数学物理方程偏微分方程理论理论偏微分方程理论新课题、新方法自然现象实际问题历史悠久对象、内容、方法纯粹数学纯粹数学泛函分析复变函数微分几何计算数学多样复杂解决问题的工具纯粹数学、分支自然科学、技术科学数学物理方程数学物理方程分支课 程 概 览二、二、热传导方程热传导方程（抛物型抛物型）三、三、调和方程调和方程 （椭圆型椭圆型）四、二阶方程的分类总结五、一阶偏微分方程组七、偏微分方程的数值解一、一、波动方程波动方程 （双曲型双曲型）1.方程导出、定解条件方程导出、定解条件2.初值问题求解3.初边值问题求解第一章第一章 波动方程波动方程物理背景物理背景：波的传播和弹性体振动。1-1 1-1 一维波动方程的导出、定解条件一维波动方程的导出、定解条件 首先，考察下面的物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为长度为 l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。振动，求弦上各点的运动规律。基本假设基本假设：1.弦是均匀的均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。弦可以视为一条曲线，线密度为常数。2.弦在某平面内作微小横振动微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。基本规律基本规律：牛顿第二定律 F=m*a冲量定理 Ft=m*(v1-v2)3.弦是柔软的柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。Ft=m*a*t用用u(x,t)表示弦点在时刻表示弦点在时刻t沿垂直于沿垂直于x轴的位移。轴的位移。由基本假设由基本假设2可知，可知，与与1相比可以忽略不计，所以相比可以忽略不计，所以 因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关张力大小与时间无关 T(x,t)T(x)（2 2）由于弦只在由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即 由基本假设由基本假设2可知，可知，所以，所以 因因此此，弦弦的的张张力力大大小小与与空空间间变变量量x无无关关，可可以以把把弦弦线线的的张张力力T(x)在在x轴轴方方向向的分量看成的分量看成常数常数。（1 1）任取一弦段任取一弦段(x,x+x)，它的弧长为它的弧长为（3 3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直 方向上的合力为：在时间段(t,t+t)内该合力产生的冲量合力产生的冲量为：（4 4）另一方面，在在时间段(t,t+t)内弦段(x,x+x)的动量变化动量变化为：（5 5）因此，根据冲量定理冲量定理，得到：从而有进一步由t，x 的任意性，有 假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x,x+x)上的外力为：它在时间段(t,t+t)内的冲量为：于是有：进一步由t，x 的任意性，有下面的弦振动方程弦振动方程（一维波动方程一维波动方程）：二维波动方程（如薄膜振动）二维波动方程（如薄膜振动）三维波动方程（如电磁波三维波动方程（如电磁波、声波的传播）声波的传播）弦弦振振动动方方程程描描述述的的是是弦弦作作微微小小横横振振动动时时的的位位移移函函数数u(x,t)所所应应满满足足的的一一般般性性规规律律。仅仅仅仅利利用用它它并并不不能能完完全全确确定定一一条条弦弦的的具具体体运运动动状状况况。这这是是因因为为弦弦的的运运动动还还与与其其初初始始状状态态以以及及边边界界所所处处的的状状况况有有关关系系，因因此此对对于于具具体体的的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。在前面的推导中，弦的两端被固定在在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和和x=l两点，即两点，即 u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为这两个等式称为边界条件边界条件。此外，设弦在初始时刻。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为时的位置和速度为这两个等式称为这两个等式称为初始条件初始条件。边界条件和初始条件总称为。边界条件和初始条件总称为定解条件定解条件。把微分方程。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。2.定解条件定解条件对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：要在区域要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数要求这样的连续函数u(x,t)，它在区域，它在区域0 x0中满足波动方程中满足波动方程(1.19)；在；在x轴上的区间轴上的区间 0,l 上满足初始条件上满足初始条件(1.20)；并在边界；并在边界x=0和和x=l上满足边界条上满足边界条件件(1.21)和和(1.22)。一一般般称称形形如如(1.21)和和(1.22)的的边边界界条条件件为为第第一一类类边边界界条条件件，也也叫叫狄狄利利克克雷雷（DirichletDirichlet）边界条件。）边界条件。弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：（a）设设弦弦的的一一端端（x=0）处处于于自自由由状状态态，即即可可以以在在垂垂直直于于x轴轴的的直直线线上上自自由由滑滑动动，且且未未受受到到垂垂直直方方向向的的外外力力。由由于于在在边边界界右右端端的的张张力力的的垂垂直直方方向向分分量是量是于是边界处应有于是边界处应有考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为（b）弦弦的的一一端端（x=l）处处于于固固定定在在伸伸缩缩符符合合胡胡克克定定律律的的弹弹性性支支承承上上，如如果果支承的初始位置为（支承的初始位置为（u=0），那么在端点的），那么在端点的u值表示支承的伸长量，于是值表示支承的伸长量，于是这种边界条件称为这种边界条件称为第二类边界条件第二类边界条件，又称，又称诺依曼诺依曼（Neumann）边界条件）边界条件数学上，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为数学上，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为（第三类边界条件第三类边界条件）偏微分方程的分类 分类依据分类依据：阶数阶数、线性性质线性性质、齐次性齐次性。阶阶：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数 线性方程线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。方程（方程（1）,（2）,（3）拟线性方程拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。方程（方程（4）,（5）完全非线性方程完全非线性方程：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。方程（方程（6）齐次性齐次性：以方程（：以方程（1）为例，函数）为例，函数 f(x,y,z,t)与未知函与未知函 数无关（自由项），若该项恒为零，则该数无关（自由项），若该项恒为零，则该 方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。3.定解问题适定性概念定解问题适定性概念解的解的存在性存在性：定解问题的解是否一定存在？：定解问题的解是否一定存在？解的解的唯一性唯一性：定解问题的解是否只有一个？：定解问题的解是否只有一个？解的解的稳定性稳定性：当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小：当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小的变化？的变化？定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性适定性。如果一个定。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分即认为这样的定解问题的提法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。对求解定解问题起到一定的指导作用。除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。解、渐近解、数值解）等。定解问题的提法是否合适？定解问题的提法是否合适？1-2 1-2 达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembertdAlembert）公式、波的传播）公式、波的传播1.1.叠加原理叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用是叠加原理。它对于用线性方程线性方程和和线性定解条件线性定解条件描述的物理现象来说，都描述的物理现象来说，都是成立的。是成立的。例如：若例如：若u1 1(x,t)是方程是方程的解，而的解，而u2 2(x,t)是方程是方程的解，则对于任意的常数的解，则对于任意的常数C1、C2，函数，函数是方程是方程的解。的解。典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。叠加。2.2.弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法 为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在我们所关注的又只是在较短时间内较短时间内且且距离边界较远距离边界较远的一段范围中的运动情的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题初值问题(也称也称柯西（柯西（Cauchy）问题）问题）。相应地，前一节中的定解问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.19)(1.22)由于既由于既有初始条件，又有边界条件，故称为有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题初边值问题或或混合问题混合问题。方程方程(2.5)中的自由项中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程是由于外力作用产生的，因此方程(2.5)中中f(x,t)恒为零恒为零的情况对应于自由振动；的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零不为零的情况对应于强迫振动。的情况对应于强迫振动。下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若若u1 1(x,t)和和u2 2(x,t)分别是下述初值问题分别是下述初值问题和和的解，那么的解，那么u=u1 1(x,t)+u2 2(x,t)就一定是原初值问题就一定是原初值问题(2.5)、(2.6)的解。这样求解的解。这样求解初值问题初值问题(2.5)、(2.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题题(I I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(IIII)单独初始振动状态对单独初始振动状态对振动过程的影响。振动过程的影响。单独考虑外力因素对单独考虑外力因素对振动过程的影响。振动过程的影响。首首先先，我我们们考考察察代代表表自自由由振振动动情情况况的的初初值值问问题题(I I)，它它可可以以通通过过自自变变量量变变换换的的方方法法求求解解。引引如如新新自自变变量量：=x-at，=x+at。利利用用复复合合函函数数求求导导的的法则，有法则，有类似地，类似地，从从而而，方方程程(2.7)就就化化为为 ，这这个个方方程程可可以以直直接接求求解解。把把它它关关于于积积分分一一次次，再再关关于于积积分分一一次次，就就可可以以得得到到它它的的通通解解为为u(,)=F()+G()，其其中中，F和和G是是任任意意两两个个可可微微分分的的单单变变量量函函数数。代代回回原原来来的的自自变变量量，方方程程(2.7)的的通通解解表示为表示为 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2.14）。）。利用这个通解表达式，就可以利用初始条件利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(2.8)来决定函数来决定函数F和和G，进，进而求出初值问题而求出初值问题(I I)的解。把上述通解表达式代入的解。把上述通解表达式代入初始条件初始条件(2.8)，得到：，得到：(2.16)式是一个简单的常微分方程，求解它得到式是一个简单的常微分方程，求解它得到由由(2.15)和和(2.17)式联立求解可以得出函数式联立求解可以得出函数F和和G把它们代入方程把它们代入方程(2.7)的的通解表达式通解表达式(2.14)就得到了就得到了初值问题初值问题(I I)的解的解 这个公式这个公式(2.19)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题初值问题(I I)有解，则解一定可以根据初始条件由有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来，达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是因此该问题的解是唯一唯一的。的。同时，若函数同时，若函数(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，在求解区域内具有二阶连续偏导数，(x)在求解区在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(2.19)给出的的确是初值问给出的的确是初值问题题(I I)的解。的解。存在性存在性 另外，另外，初值问题初值问题(I I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。达朗贝尔公式中看出。稳定性稳定性定理定理2.1 设设，那么初值问题，那么初值问题(2.7),(2.8)存在唯一的存在唯一的解解u(x,t)，它由达朗贝尔公式，它由达朗贝尔公式(2.19)给出。给出。如如右右图图所所示示，在在t=0时时，(x,0)=F(x)，它它对对应应于于初初始始振振动动状状态态（弦弦在在初初始始时时刻刻各各点点位位移移状状态态）。经经过过时时刻刻t0后后，(x,t0)=F(x-at0)，在在(x,u)平平面面上上，它它相相当当于于原原来来的的图图形形向向右右平平移移了了一一段段距距离离at0。这这说说明明振振动动的的波波形形以以常常速速度度a向向右右传传播播。因因此此，齐齐次次波波动动方方程程的的形形如如F(x-at)的的解解所所描描述述的的运运动动规规律律称称为为右右传传播播波波，同同样样形形如如G(x+at)的的解解称称为为左左传传播播波波。并并且且，我我们们知知道道了了方方程程(2.5)中中的的常常数数a实实际际上上表表示示了波动的了波动的传播速度传播速度。（行波法）。（行波法）3.3.传播波传播波 由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示为形如的解可以表示为形如F(x-at)和和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性质。质。考察考察(x,t)=F(x-at)(a0)，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。4.4.依赖区间、决定区域和影响区域依赖区间、决定区域和影响区域 从从达达朗朗贝贝尔尔公公式式立立即即可可以以看看出出，初初值值问问题题(I I)的的解解在在上上半半平平面面(t0)上上点点(x,t)处处的的值值u(x,t)由由初初始始资资料料(x)和和(x)在在x轴轴的的区区间间x-at，x+at上上的的值值所所唯唯一一确确定定,而而与与(x)和和(x)在在该该区区间间以以外外的的值值无无关关。这这个个区区间间称称为为点点(x,t)的的依赖区间依赖区间。对对初初始始轴轴t=0上上的的一一个个区区间间x1,x2，过过点点x1作作斜斜率率为为1/a的的直直线线x=x1+at，过过点点x2作作斜斜率率为为-1/a的的直直线线x=x2-at，它它们们和和区区间间x1,x2一一起起构构成成一一个个三三角角形形区区域域。显显然然，这这个个三三角角形形区区域域内内任任意意一一点点的的依依赖赖区区间间都都在在区区间间x1,x2内内部部，因因此此，解解在在此此三三角角形形区区域域内内部部的的数数值值完完全全由由区区间间x1,x2上上的的初初始始条条件件决决定定，与与该该区区间间外外的的初初始始条条件件无无关关。这这个个三三角角形形区区域域称称为为区区间间x1,x2的的决决定区域定区域。另另一一方方面面，如如果果在在初初始始时时刻刻t=0，初初始始资资料料(x)和和(x)的的值值在在区区间间x1,x2上上有有变变动动(初初始始扰扰动动)。那那么么，经经过过时时间间t后后该该扰扰动动所所影影响响到到的的范范围围就就由不等式由不等式 所所限限定定，而而在在此此范范围围外外的的区区域域则则感感受受不不到到区区间间x1,x2上上初初始始影影响响。在在(x,t)平平面面上上，上上式式所所表表示示的的区区域域(如如下下图图所所示示)称称为为区区间间x1,x2的的影影响响区区域域。区区间间x1,x2上上的的初初始始条条件件只只能能对对上上述述区区间间的的影影响响区区域域中中初初值值问问题题(I I)的的解解u(x,t)产产生生影影响响，而而不不会会影影响响到到此此区区域域外外的的 u(x,t)的的数数值值。特特别别地地，如如果果区区间间x1,x2收缩为一点，那么就得到了点的收缩为一点，那么就得到了点的影响区域影响区域。在在前前面面的的讨讨论论中中，我我们们看看到到在在(x,t)平平面面上上斜斜率率为为1/a的的直直线线x=x0-at和和x=x0+at对对波波动动方方程程的的研研究究起起着着重重要要作作用用，它它们们称称为为波波动动方方程程的的特特征征线线。我我们们看看到到，扰扰动动实实际际上上沿沿特特征征线线传传播播。扰扰动动以以有有限限速速率率传传播播，是是弦弦振振动动方方程的一个重要特点。程的一个重要特点。例题例题：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 为为了了求求解解此此问问题题，我我们们可可以以设设想想在在x=0的的左左侧侧仍仍然然有有弦弦存存在在,只只是是在在振振动动过过程程中中x=0点点始始终终不不动动。问问题题于于是是转转化化为为：如如何何将将x0上上已已知知的的初初始始函函数数延延拓拓为为整整个个直直线线-x0,=0以及以及0而不同，下面分以上三种情况讨论。而不同，下面分以上三种情况讨论。情况情况A A 当当0时，方程时，方程(3.10)的通解为的通解为要使它满足边界条件要使它满足边界条件X(0)=0和和 X(l)=0，就必，就必有有从而推知从而推知C1=C2=0。故在。故在0时，方程时，方程(3.10)的通解为的通解为要使此解满足边界条件要使此解满足边界条件X(0)=0，则，则C1=0。再由。再由X(l)=0，可知，可知为了使为了使C20，就必须有，就必须有,于是可以确定于是可以确定的取值为的取值为这样就找到了一族非零解这样就找到了一族非零解：数数学学上上，称称(3.13)右右端端的的函函数数为为常常微微分分方方程程(3.10)满满足足边边界界条条件件X(0)=0和和 X(l)=0的的固固有有函函数数（或或特特征征函函数数），而而=k22/l2 称称为为相相应应的的固固有有值值或或特特征征值值。将固有值将固有值k带入带入方程方程(3.9)中中，可求得其通解为，可求得其通解为上上式式中中Ak，Bk 为为任任意意待待定定常常数数。这这样样我我们们就就得得到到了了方方程程(3.4)满满足足边边界界条条件件u(0,t)=0和和 u(l,t)=0的分离变量形式的特解的分离变量形式的特解:现现在在我我们们设设法法作作出出这这种种特特解解的的适适当当的的线线性性组组合合，以以得得出出初初边边值值问问题题()的的解。也就是说，要确定出常数解。也就是说，要确定出常数Ak 和和Bk 使使满足初始条件满足初始条件(3.14)在在(3.15)式中的级数可以逐项求导时，我们得到式中的级数可以逐项求导时，我们得到：结合初始条件，应有结合初始条件，应有将将由由(3.16)式式表表示示的的Ak，Bk 代代入入(3.15)式式中中，就就得得到到了了用用级级数数形形式式表表示示的的初边值问题初边值问题()()的解。的解。观观察察发发现现Ak 和和Bkka/l分分别别是是(x)和和(x)在在区区间间0,l上上正正弦弦展展开开的的傅傅立立叶叶级级数的系数，即数的系数，即前前面面的的推推导导说说明明了了初初边边值值问问题题()()如如果果有有解解，那那么么它它的的解解可可以以表表示示为为(3.15)式式的的级级数数形形式式，现现在在的的问问题题是是：什什么么条条件件下下，初初边边值值问问题题()()的的解解一定存在？一定存在？定定理理3.1：若若函函数数(x)在在求求解解区区域域内内具具有有三三阶阶连连续续偏偏导导数数，(x)在在求求解解区域内具有二阶连续偏导数，并且区域内具有二阶连续偏导数，并且则则弦弦振振动动方方程程的的初初边边值值问问题题()()的的解解是是存存在在的的，它它可可以以由由级级数数(3.15)给给出出，Ak和和Bk 由由(3.16)式确定。通常我们称式确定。通常我们称(3.17)式为式为 相容性条件相容性条件。如如果果(x)和和(x)不不满满足足以以上上定定理理的的条条件件，我我们们可可以以把把(x)和和(x)看看成成函函数数列列的的平平均均收收敛敛极极限限，当当n很很大大时时，因因为为方方程程和和边边界界条条件件都都已已满满足足，初初始始条条件件也近似得到了满足，由此可以把也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问题的近似解看成问题的近似解。2.2.解的物理意义解的物理意义由级数由级数(3.15)可知，初边值问题可知，初边值问题()()的解是的解是的叠加，上式又可以写成的叠加，上式又可以写成物物理理上上，Nk称称为为波波的的振振幅幅，k称称为为波波的的初初相相位位，k称称为为圆圆频频率率，它它只只与与弦本身的性质有关，因此也称为弦本身的性质有关，因此也称为固有频率固有频率。于于是是(3.19)代代表表这这样样的的振振动动波波：在在所所考考虑虑的的弦弦上上各各点点均均以以同同一一频频率率作作简简谐谐振振动动；它它们们的的相相位位相相同同，而而振振幅幅依依赖赖于于点点x的的位位置置。弦弦上上位位于于xml/k（m0，1，k）处处的的点点在在振振动动过过程程中中保保持持不不动动，称称为为节节点点。弦弦的的这这种种振振动状态叫做动状态叫做 驻波驻波。由由此此可可见见，初初边边值值问问题题()()的的解解是是由由一一系系列列频频率率成成倍倍增增长长，且且相相位位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，所以不同、振幅不同的驻波叠加而成的，所以分离变量法分离变量法又称为又称为驻波法驻波法。弦弦所所发发出出的的声声音音，其其音音调调由由其其振振动动频频率率决决定定，而而声声音音的的强强度度则则决决定定于于振振动动的的振振幅幅。弦弦所所能能发发出出的的最最低低音音所所对对应应的的圆圆频频率率就就是是其其最最低低固固有有频频率率1 a/l，这这个个音音称称为为弦弦的的基基音音。其其余余的的圆圆频频率率是是1 的的整整数数倍倍，称称为为泛泛音音。通通常常弦弦所所发发出出的的声声音音即即由由基基音音和和泛泛音音叠叠加加而而成成，物物理理上上这这一一事事实实与分离变量法得到的结果是相符的。与分离变量法得到的结果是相符的。3.3.非齐次方程的情形非齐次方程的情形现在讨论非齐次方程的初边值问题现在讨论非齐次方程的初边值问题 与与前前一一节节中中非非齐齐次次波波动动方方程程初初值值问问题题的的情情形形完完全全类类似似，此此时时也也成成立立着如下的齐次化原理。若着如下的齐次化原理。若W(x,t;)是初边值问题是初边值问题的解的解(其中其中是参数是参数)，则初边值问题，则初边值问题(IIII)的解可以表示为的解可以表示为为为了了写写出出W(x,t;)的的具具体体表表达达式式，在在初初值值问问题题(2.28)中中作作变变换换t=t-，于于是是有有3.27(3.28)与与和和初初边边值值问问题题()属属于于同同一一类类，直直接接利利用用前前面面分分离离变变量量法法的的结结果果我我们们得到：得到：于是根据齐次化原理于是根据齐次化原理，初边值问题，初边值问题(II)(II)的解为的解为 可可以以证证明明，在在f(x,t)二二阶阶连连续续可可导导，且且在在边边界界满满足足f(0,t)=f(l,t)=0的的假假设设下下，上面的级数确实是上面的级数确实是初边值问题初边值问题(II)(II)的解。的解。3.31(3.30)(3.29)而而(3.31)4.4.非齐次边界条件的情形非齐次边界条件的情形 最后讨论弦振动方程具有非齐次边界条件的最后讨论弦振动方程具有非齐次边界条件的初边值问题，即初边值问题，即假设连续性条件和边界假设连续性条件和边界取值条件满足取值条件满足利用叠加原理，这一问题可以分解为利用叠加原理，这一问题可以分解为初边值问题初边值问题(I)(I)、(II)(II)和下面的和下面的(3.32)(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)(3.37)初初边边值值问问题题(III)(III)也也可可以以归归结结为为初初边边值值问问题题(I)(I)和和(II)(II)求求解解，为为此此只只要要通通过过未未知知函函数数的的适适当当变变换换把把边边界界条条件件齐齐次次化化即即可可。首首先先找找到到一一个个满满足足非非齐齐次次边边界界条条件的已知函数件的已知函数再作变换再作变换 V=u3-U，所以，初边值问题所以，初边值问题(III)(III)的解为：的解为：(3.38)(3.39)对于新未知函数对于新未知函数 V，很容易推知它是以下定解问题的解：，很容易推知它是以下定解问题的解：（第一章（第一章 完）完）更多精品资请访问更多精品资请访问 更多品资源请访问更多品资源请访问