数学建模---概率模型课件

数学建模-概率模型决策树决策树航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略学生作弊现象的调查与估计学生作弊现象的调查与估计决策树全概率公式和贝叶斯公式数学期望的使用例例1 S1 S2 0.4 0.6A1 100 -20 A2 75 10A3 50 30电视机厂试生产三种电视机厂试生产三种电视机电视机Ai(i=1,2,3)。市场大、小市场大、小Sj(j=1,2)。生产哪种生产哪种？解：解：100100-20-2075751010505030301 12 23 34 40.60.60.40.40.60.60.40.40.60.6A A1 1A A2 2A A3 3P(SP(S1 1)=0.4)=0.4解：解：100100-20-20757510105050303038381 128282 236363 338384 40.60.60.40.40.60.60.40.40.60.6A A1 1A A2 2A A3 3P(SP(S1 1)=0.4)=0.4 多级决策问题多级决策问题例例2、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究(成功成功可能为可能为0.6)，买专利，买专利(成功可能为成功可能为0.8)。若成功，。若成功，则有则有2种生产方案可选，种生产方案可选，1是产量不变，是产量不变，2是增是增产；若失败，则按原方案生产，有关数据如下产；若失败，则按原方案生产，有关数据如下。试求最优方案。试求最优方案。按原工按原工按原工按原工艺方案艺方案艺方案艺方案生产生产生产生产价低价低 0.1 -100 -200 -300 -200 -300 中中 0.5 0 50 50 0 -250价高价高 0.4 100 150 250 200 600买专利买专利买专利买专利(0.8)(0.8)自研自研自研自研(0.6)(0.6)产量产量产量产量不变不变不变不变增产增产增产增产产量产量产量产量不变不变不变不变增产增产增产增产(万元万元万元万元)解：解：0.10.1解：解：0.1 最最 优优 决决 策策 买买 入入 专专 利，成功则增产，利，成功则增产，失败则保持原产量。失败则保持原产量。例例3某公司有资金某公司有资金500万元，如用于某项开发事万元，如用于某项开发事业，估计成功率为业，估计成功率为96%，一年可获利润，一年可获利润12；若失败则丧失全部资金；若把资金全；若失败则丧失全部资金；若把资金全存在银行，可获得年利率存在银行，可获得年利率6%，为辅助决策，为辅助决策可求助于咨询公司，费用为可求助于咨询公司，费用为5万元，根据咨万元，根据咨询过去公司类似询过去公司类似200例咨询工作，有下表例咨询工作，有下表：实施结果实施结果 投资投资 投资投资 合计合计咨询意见咨询意见 成功成功 失败失败 可以投资可以投资 154 2 156次次 不宜投资不宜投资 38 6 44次次 合计合计 192 8 200次次试用决策树方法分析该公司是否应该咨询？试用决策树方法分析该公司是否应该咨询？资金该如何使用？资金该如何使用？T1：咨询公司意见：可以投资咨询公司意见：可以投资T2：咨询公司意见：不宜投资咨询公司意见：不宜投资E1：投资成功投资成功E2：投资失败投资失败 156P(T1)=100%=0.78 200 44P(T2)=100%=0.22 200P(E1)=0.96 P(E2)=0.04 154P(E1/T1)=0.987 156 2P(E2/T1)=0.013 156 38P(E1/T2)=0.865 44 6P(E2/T2)=0.135 44P(T1)P(T2)42.72投资投资存银行存银行47.72答：求助于咨询公司答：求助于咨询公司 如果投资公司给出可以投资意见则投资如果投资公司给出可以投资意见则投资 如果投资公司给出不宜投资意见则存入银行如果投资公司给出不宜投资意见则存入银行练练习习：为为生生产产某某种种新新型型的的港港口口装装罐罐机机械械，提提出出了了两两个个建建厂厂方方案案：一一是是投投资资300万万元元建建大大厂厂；二二是是投投资资160万万元元建建小小厂厂，均均考考虑虑10年年经经营营期期。据据预预测测，在在这这10年年经经营营期期内内，前前3年年该该产产品品销销路路好好的的概概率率为为0.7；而而若若前前3年年销销路路好好，则则后后7年年销销路路好好的的概概率率为为0.9；若若前前3年年销销路路差差，则则后后7年年的的销销路路肯肯定定差差。另另外外，估估计计每每年年两两个个建建厂厂方方案案的的益益损损值值如如表表7-14所所示示，要要求求用用决决策树法确定采用哪种建厂方案？策树法确定采用哪种建厂方案？两个建厂方案益损表两个建厂方案益损表 表表7-14解解:(1)画决策树如图画决策树如图7-3所示所示图图 两个建厂方案决策图两个建厂方案决策图销路差0.3销路好(2)计算各方案节点的期望益损值计算各方案节点的期望益损值节点节点：0.90.9100+0.1(-20)7=616(万元万元)节点节点：1.0(-20)7=140(万元万元)节点节点：(0.940+0.110)7=259(万元万元)节点节点：(1.010)7=70(万元万元)节节点点：0.71003+0.3(-20)3+0.7616+0.3(-140)300=281(万元万元)节节点点：（0.7403+0.310 3）+（0.7259+0.370）160=135(万元万元)（3）比较、剪枝、决策）比较、剪枝、决策 比比较较节节点点和和节节点点的的期期望望收收益益值值，节节点点的的期期望望收收益益值值大大，故故：最最优优方方案案为为建建大大厂厂。将将节节点点上上方方标标上上期期望望收收益益值值281(万万元元)，并剪去小厂方案枝。，并剪去小厂方案枝。后续：后续：后续：后续：现现假假定定两两个个方方案案中中，除除了了建建大大厂厂的的方方案案以以外外，另另一一个个方方案案是是：先先投投资资160万万元元建建小小厂厂，若若产产品品销销路路好好，则则3年年后后考考虑虑是是否否扩扩建建成成大大厂厂，扩扩建建投投资资为为140万万元元。扩扩建建后后经经营营期期为为7年年，每每年年的的收收益益情情况况与与大大厂厂相相同同。此此时时，应应选选择择哪哪个个建建厂厂方案？方案？解解 （1 1）画决策树）画决策树 第第一一方方案案与与上上相相同同，故故在在本本题题中中，略略去去第第一一方方案案的的部部分分节节点点和和树树枝枝，只只保保留留第第二二个个节节点点及及其其计计算算结结果果。第第二二个个方案的决策树模型如图所示。方案的决策树模型如图所示。(1)决策树模型为：决策树模型为：图图 第二个方案的决策树模型第二个方案的决策树模型(2)计算各方案节点的期望益损值计算各方案节点的期望益损值节点节点：建大厂方案，其值与例：建大厂方案，其值与例1 1相同，为相同，为281281万元。万元。节点节点：0.9100+0.1(-20)7 140=476(万元万元)节点节点：（：（0.940+0.110）7=259(万元万元)节节点点：决决策策节节点点，比比较较节节点点和和节节点点的的值值，因因为为476259，故故选选择择扩扩建方案为好，剪去不扩建方案，并且将建方案为好，剪去不扩建方案，并且将476写在节点写在节点上方。上方。节点节点：（1.010）7=70(万元万元)节点节点：（：（0.740 3+0.310 3）+（0.7476+0.370）160=287(万元万元)节节点点：决决策策节节点点，比比较较节节点点和和节节点点的的值值，因因为为287281，故故剪剪去去建建大厂方案。大厂方案。最最优优方方案案为为：先先投投资资160万万元元建建小小厂厂，3年年后后，再再追追加加投投资资140万万元元，扩扩建成大厂，建成大厂，10年的总收益为年的总收益为287万元。万元。航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略航空公司的预订票策略1 问题的提出问题的提出 有时在机场会出现一些乘客本已订好了某家航空公司的某趟航班，却被意外地告知此趟航班已满，航空公司将为他们预定稍后的航班的情况。这不但会引起乘客的不便，还会加剧他们对航空公司的抱怨程度。在如今这个使用计算机系统来实行订票的时代，是否可以通过设计某种系统来抑制这类事件的发生。试建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。2 符号约定符号约定f 维持航班的总费用（成本）n 乘坐航班的乘客数量g 每名乘客支付的运费（机票票价）N 航班的满舱载客数量k 误机的乘客数 k人误机的概率m 预定航班的乘客数量S 航班的收支差额b 安置一名剩余乘客的费用p 订票乘客登机的概率q 订票乘客误机的概率（1-p）j 航班卖出折价票的数量r 航班票价的折扣率3 建模目标建模目标建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。航空公司制定超客订票策略，是为了从航班中获得尽可能大的利润。顺着这条脉络，很自然地以求出航空公司期待从一趟预定航班中获得的利润来建立模型。1）初步建模（从简单情形入手）首先，摒除对所求利润带来复杂影响的参量，从利润最根本的角度出发建立基本模型。4 建立模型建立模型 一趟航班运行的成本基本与实际搭乘的乘客数量无关。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料费用、机场承担的起飞、降落和操作费用，以及一些其它的费用（比如飞机维修费用，地面工作人员的薪金，广告费用）。不管航班是否满舱，航空公司都必需给飞行员、领航员、工程师和舱内全体职员支付薪金。而相对于半舱的航班，满舱的航班所多消耗的燃料在总体的燃料负担中仅占很小的比例。利润利润 =收入收入成本成本一趟航班运行的成本记为如果一趟航班实际搭载了 名乘客，那么所得的余额是其中，为每名乘客支付的运费。当乘客的数目增加时，利润也跟着增加。最大可得利润是 其中，是航班的满舱载客量。不同类型的乘客支付不同的运费，例如头等舱、公务舱、经济舱都有各自的定价。为了建模方便，现在假设所有的乘客都支付同样的运费。一趟航班的收入取决于实际的乘客人数 n当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时，达到一个临界人数 当乘客人数少于它时，航班的经营将会造成损失。容易看出，为了获得尽可能大的利润，航空公司应当让每一趟航班达到满舱。误机者会影响满舱。分析初步模型模型每趟航班能否达到满舱？因此，需要在基本模型上加进反映“乘客误机”这一条件的参量，并考察其对所求利润的影响。2）扩充模型时也不一定能保证利润达到最大，则订票上限便不应局限于N 值。假设订票的总人数是，有可能超出 航空公司可能从航班中得到的利润为当考虑到发生乘客误机的情况，使得即使订票数为 当有 个人误机时，乘客没有搭乘航班属于偶然事件，要反映这一事件，必须加进乘客搭乘航班的概率这一参量。设有 个人误机的概率是 则所得利润的表达方式只能是利润的数学期望值，用 表示，有设有 如果，则第一项和不存在，仅由第二项和表出，并且求和下限由0代替。由于对航班需求的不同，显然订票的乘客数有可能小于航班载客量，航空公司并不需要考虑超额订票的问题。根据求解的问题，需要假设各种情况，不论航空公司决定的最大订票数 为多少，在一些时间的热门航线中它都是有可能会达到的。为研究 对的影响，将上式改写为根据 的定义，因此，有而在和都为正数的条件下，有。则唯一能达到预期利润最大值的方法是降低所有的，使之趋近于0。当订票数量 充分的大于 时，可以达到所要结果。因为，当订票的乘客数目增加时，任意大的误机人数出现的概率便随之降低。因此，第二个模型通过预测已订票乘客的真正登机数目表明，可以令订票数充分地大于航班客载量来使预期的利润趋近于理论上的最大值，即航班满舱时的可获得的利润。在这个模型中对订票的超额数量并没有任何限制，它甚至可能是航班载客量的好几倍。但是，一旦实行了超额订票策略之后，除了对航班的利润带来保障外，也会带一些负面的影响。即到达机场要求登机的乘客数 m-k,可能要比航班的载客量大得多。对被挤兑的乘客数为 单从表面上来看，显然航空公司最后得到的利润需要扣除这一部分费用，并且这笔费用是随着 m 的变化而变化。因此，需要在模型里加进代表“被挤兑的乘客所支出的费用”这一参量，并考察其对所求利润的影响，以及它与 m的相互关系。被挤兑的乘客造成航空公司两方面的损失：滞留费用，机票签转的费用。来自乘客的抱怨，影响公司形象的潜在费用。当出现超额订票并有超出航班载客量的乘客抵达机场的情况时，假设航空公司通过各种方法处理被挤兑的乘客，每一名所需要的费用是 b 建立包括处理超出乘客所需费用在内的，航空公司从某趟航班中期望获得的平均利润的模型。设实际登机的乘客数为，则航班所得的利润为当3）改进的模型事实上，将利润看成一随机变量，有 个人登机所对应的概率为，则航空公司从航班中所获得的预期利润，或说平均利润，便是取遍所有可能的误机人数的情况下，利润的数学期望。因此，有，且表示预计的误机人数，我们用 表示，有 现在，已经得到一个相对复杂的中间结果。将和从开始令代入上式中进行检验。这符合乘客误机的概率为0，即每一名订票的乘客都抵达了机场。在这种情况下，上式简化为从这个结果表明，如同预测的，如果有 名乘客预定了载客量为 的航班并且他们都抵达了机场，那么利润将是满舱的收支差 额减去承担 名剩余乘客的费用。在这种情况下，最大平均利润在时可以达到，就如同最初的基本模型所表示的一般。相较于基本模型，此时的模型已经考虑了“乘客误机”与“安排被挤兑乘客”两种情况。其中“有 名乘客误机”这一偶然事件的概率，还可进一步分解以方便估计与计算。接着，便来讨论关于的形式。最简单地，假设一乘客登机的概率为，而误机的概率为。进一步假设抵达机场的乘客两两无关，则可得到 的二项式结构为 当然，事实上这个误机者两两无关的假设并不是完全正确的一部分的乘客是两人或是以小组为单位一起行动的。现在，先从最简单的情况开始入手。由这个结构 可得航空公司将要尝试的就是找出航班所得平均利润的最大值。上式中表达的平均利润依赖于 和。成本，票价 和费用 则在航空公司短期控制范围之外（运费是由IATA决定，而不是由个别的航空公司决定），和由客观因素约束，只有订票数目上限是航空公司可以改变的参数。上式中的部分和结果表明，这个问题可以通过列举细表来得到解决。但是，明显地，最佳的订票上限至少不低于航班的载客量。当时，所得利润可化简为这是关于 的增函数。我们计算得包含各种取值，每一个对应于一个订票上限。通过 和来求得利润，并根据各组不同数值的 来选出最佳的订票上限。式中的和其实是一个关于 的函数，在给出 估算这个和，然后便会发现预期的利润是一个关于 的值后，可以编写计算程序来的函数。航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，所以可以估计一个最佳近似值，即是。因此，可以得到用计算程序比照订票数量来计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设 和结果很明显，依据超额订票程度来达到最大的可能利润是可行的。同样，也可以计算 个或是更多乘客发生座位冲撞的概率：结果表明，当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到最大的预期利润。有5名或更多乘客发生座位冲撞的概率在46%和55%之间。当考虑到安排一名被挤兑乘客的费用所带来的影响时，得到的结果和从直观上所得的结果是一致的，因为安排剩余乘客所需费用增加，为从航班中得到的最大预期利润所需要的超额订票数便会减少，发生任意多名乘客座位冲撞的概率（这里以发生5名或更多的乘客座位冲撞例）也就降低了。能达到最大预期利润的订票水平，将作为构成机票价格的一部份。对300座的客机，设 对于 值的估计，这笔费用大致是由实际和相对潜在的，例如公司信誉的损害与将来的潜在客源流失，两笔花费构成。这个讨论应该导向关于灵敏度的考虑。第二个结果显示，有5名或是更多的乘客座位发生冲撞的概率对 与的比值变化是非常灵敏的，而相对地，预期的利润值对这种变化的反映则并不很大。在实际中，这表示航空公司的决策制定者很容易过高地估计 而犯错。其实要精确估计这笔支出费用是相当困难地，在降低平均利润的条件下，高估一个小数目虽然也有益处，但要降低乘客座位冲撞概率到一个有意义的数目的条件是很大的。模型推广模型推广资源的所有者在将其对外出借、出租或出售时，必需制定关于未来提供给顾客的的服务能否实现的决策。本文讨论的航班订票只是这一大类型中的一个，以下列出了三个从此类问题中挑选出的例子，通过建模练习可以在这个课题中获得更大的收获。1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。3）图书馆图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试建立书籍使用的模型。