数学3地图投影45节课件

第三章第三章 地图投影地图投影第三章第三章 地图投影地图投影地图投影基本知识地图投影基本知识地图投影分类地图投影分类方位投影方位投影圆柱投影圆柱投影圆锥投影圆锥投影我国常用投影我国常用投影其它投影其它投影地图投影判别与选择及不同投影变换地图投影判别与选择及不同投影变换4.1圆柱投影概念和种类圆柱投影概念和种类1.圆柱投影概念圆柱投影概念v设想用一圆柱面包围地球体，并使之与地球体设想用一圆柱面包围地球体，并使之与地球体相切或相割，再根据某种条件将地球面上的相切或相割，再根据某种条件将地球面上的经纬网点投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的经纬网点投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的一条母线把圆柱切开展成平面，就得到一条母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱圆柱投影投影的的经纬网经纬网2.圆柱投影分类圆柱投影分类v根据根据投影平面投影平面与与地轴地轴关系不同关系不同|正轴圆柱正轴圆柱投影、投影、横轴圆柱横轴圆柱投影和投影和斜轴圆柱斜轴圆柱投影投影v根据根据变形性质变形性质等角投影等角投影等面积投影等面积投影任意投影，其中主要为任意投影，其中主要为等距等距投影投影|应用：应用：等角圆柱投影最广等角圆柱投影最广（正轴、斜轴）（正轴、斜轴）等面积圆柱投影极少应用等面积圆柱投影极少应用 等距离圆柱投影时有采用等距离圆柱投影时有采用2.圆柱投影种类圆柱投影种类v依据依据圆柱投影定义及中心透视圆柱投影经纬形状圆柱投影定义及中心透视圆柱投影经纬形状v可写出正轴圆柱投影一般方程式：可写出正轴圆柱投影一般方程式：v由上式知，圆柱投影需解决两个问题由上式知，圆柱投影需解决两个问题|确定确定x x的函数形式的函数形式|确定常数确定常数c c4.2圆柱投影公式圆柱投影公式1.正轴圆柱投影正轴圆柱投影（1）圆柱投影面与平面对应关系）圆柱投影面与平面对应关系v地球面地球面上微分弧上微分弧v地球面地球面上微分弧上微分弧v投影面投影面上微分线段上微分线段v投影面投影面上微分线段上微分线段（2）正轴圆柱投影变形一般公式）正轴圆柱投影变形一般公式（3）常数）常数c的确定的确定v有了上述公式，可以依据是切圆柱还是割圆柱来确定有了上述公式，可以依据是切圆柱还是割圆柱来确定c。v切切圆柱投影中，圆柱面切于赤道圆柱投影中，圆柱面切于赤道v割割圆柱投影中，圆柱面切于赤道南北两同名纬线圆柱投影中，圆柱面切于赤道南北两同名纬线vx函数形式的确定，取决于圆柱投影的变形性质函数形式的确定，取决于圆柱投影的变形性质。（4）不同变形性质下的）不同变形性质下的x函数形式及其变形函数形式及其变形等角圆柱投影等角圆柱投影v投影条件投影条件：v投影公式投影公式：v由上式可看出，等角圆柱投影变形情况：由上式可看出，等角圆柱投影变形情况：等角圆柱投影一般变形情况|角度没有变形，变形角度没有变形，变形椭圆仍为圆椭圆仍为圆|长度和面积变形都比长度和面积变形都比较大，如在较大，如在 60，长度增大2倍，面积增大4倍，到90，则都变为|高纬与低纬地区的投高纬与低纬地区的投影面积相差悬殊影面积相差悬殊|该投影图上要量出该投影图上要量出较准确的距离或面较准确的距离或面积，需使用专用的积，需使用专用的复式比例尺复式比例尺|经纬网投影为相互垂直的直线，经纬网投影为相互垂直的直线，纬线圈与赤道等长纬线圈与赤道等长（4）不同变形性质下的）不同变形性质下的x函数形式及其变形函数形式及其变形等距离圆柱投影等距离圆柱投影v投影条件投影条件：v投影公式投影公式：v由上式可看出，等距圆柱投影变形情况：由上式可看出，等距圆柱投影变形情况：v所有经线和所有经线和赤道的投影赤道的投影无变形而且无变形而且等长，即经等长，即经差与纬差相差与纬差相等时其相应等时其相应的的x值和值和y值值也相等也相等v投影经纬网格为相同的正方形，故投影经纬网格为相同的正方形，故球体球体的的正轴等距正轴等距离切圆柱投影离切圆柱投影也叫做也叫做方格投影方格投影。v同样情况下，若实行割圆柱投影，则经纬网格为相同样情况下，若实行割圆柱投影，则经纬网格为相同的正矩形，因为所割的纬圈半径小于地球半径。同的正矩形，因为所割的纬圈半径小于地球半径。等距离圆柱投影一般变形情况（4）不同变形性质下的）不同变形性质下的x函数形式及其变形函数形式及其变形等面积圆柱投影等面积圆柱投影v投影条件投影条件：v投影公式投影公式：v正轴圆柱投影，通常适于赤道附近沿纬线延伸的地区正轴圆柱投影，通常适于赤道附近沿纬线延伸的地区v若制图区域是沿任一方向的大圆延伸或沿某一经线延伸，若制图区域是沿任一方向的大圆延伸或沿某一经线延伸，该情况下不能采用正轴圆柱投影，而需选用斜轴和横轴该情况下不能采用正轴圆柱投影，而需选用斜轴和横轴圆柱投影，才能减小变形。圆柱投影，才能减小变形。v对于斜轴和横轴圆柱投影，同样涉及到确定新极点对于斜轴和横轴圆柱投影，同样涉及到确定新极点Q，建，建立球面极坐标系，以立球面极坐标系，以Z，a为参数进行投影计算的问题为参数进行投影计算的问题v等高圈投影为一组平行直线，垂直圈投影为与等高圈垂直等高圈投影为一组平行直线，垂直圈投影为与等高圈垂直的另一组平行直线，其间距与方位角的另一组平行直线，其间距与方位角a成正比。成正比。v经纬线投影后一般都成为曲线，只有通过新极点经纬线投影后一般都成为曲线，只有通过新极点Q的经线的经线才投影为直线，且为其它经线的对称轴。才投影为直线，且为其它经线的对称轴。v主方向与垂直圈和等高圈相合，故沿垂直圈的长度比主方向与垂直圈和等高圈相合，故沿垂直圈的长度比1与沿等高圈的长度比与沿等高圈的长度比2即为极值长度比。即为极值长度比。2.斜轴与正轴圆柱投影公式斜轴与正轴圆柱投影公式v斜轴、横轴圆柱投影一般公式：斜轴、横轴圆柱投影一般公式：v式中式中c为常数，为常数，X轴与通过新极点轴与通过新极点Q的子午线相重合，的子午线相重合，在横轴投影中则为与中央经线相合；以赤道或最低在横轴投影中则为与中央经线相合；以赤道或最低纬线与纬线与X轴的交点作为坐标原点。轴的交点作为坐标原点。（1）斜轴、横轴圆柱投影一般公式）斜轴、横轴圆柱投影一般公式（2）斜轴、横轴圆柱投影变形公式）斜轴、横轴圆柱投影变形公式v以以90-Z取代正轴投影公式中的取代正轴投影公式中的，则则得到得到变变形公式形公式：（3）斜轴等角切圆柱投影公式）斜轴等角切圆柱投影公式v圆柱面切于球体的经圈和赤道以外的任一大圆圆柱面切于球体的经圈和赤道以外的任一大圆v则满则满足沿此大足沿此大圆长圆长度比度比 ，据等角，据等角条条件得件得变变形公式形公式：v经纬网形状经纬网形状：除中央经线投影为直线外，其余经线和纬线都：除中央经线投影为直线外，其余经线和纬线都投影为对称于中央经线的曲线。投影为对称于中央经线的曲线。圆柱投影公式推导思路总结圆柱投影公式推导思路总结正轴圆柱正轴圆柱投影公式投影公式（x与与的的f函数函数关系，关系，y与与的的c常常数关系数关系）斜轴圆柱斜轴圆柱投影通式投影通式（x与与Z的的f函数关系，函数关系，y与与的的c常数关系常数关系）相当于相当于Z相当于相当于90-将各种变将各种变形比公式形比公式表示成表示成z和和c的函数的函数等积等积P=1，即，即1*2=1等角等角W=0，即，即1=2等距等距1=1确定确定x用用Z和和表示的表示的f函数形式函数形式带入各种变形比，表示成带入各种变形比，表示成Z和和的函数的函数正轴、横轴或斜轴正轴、横轴或斜轴所确定的球面极坐所确定的球面极坐标新极点的坐标值标新极点的坐标值（0，0）可确定）可确定Z和和与与和和的关的关系系变形比定义变形比定义切切/割圆柱割圆柱确定新极点确定新极点C值值4.3主要圆柱投影主要圆柱投影1.墨卡托投影墨卡托投影正轴等角切圆柱投影正轴等角切圆柱投影初目的精确显示罗盘方位，提供海上航行保障初目的精确显示罗盘方位，提供海上航行保障v经纬网形状经纬网形状：经纬线投影为直线，相交成直角。：经纬线投影为直线，相交成直角。（1）长度变形：）长度变形：|各纬线长度各纬线长度与赤道相等，而地球上纬线圈由赤道向两与赤道相等，而地球上纬线圈由赤道向两极缩短，故墨卡托投影图上，除赤道外，东西间的长极缩短，故墨卡托投影图上，除赤道外，东西间的长度都比实际长度扩大，愈向两极扩大愈多。度都比实际长度扩大，愈向两极扩大愈多。|各纬线扩大的倍数如下式：各纬线扩大的倍数如下式：|各纬线扩大倍数等于它纬度正割，各纬线扩大倍数等于它纬度正割，60纬线圈与赤道纬线圈与赤道等长，是实际长度的二倍。等长，是实际长度的二倍。1.墨卡托投影墨卡托投影正轴等角切圆柱投影正轴等角切圆柱投影（1）长度变形：）长度变形：|经线经线依照它所在纬度的纬线所扩大的倍数而扩大，依照它所在纬度的纬线所扩大的倍数而扩大，即，经线扩大倍数是当地纬度的正割。即，经线扩大倍数是当地纬度的正割。将地球当成正球体时，各经线与赤道等长，各纬线将地球当成正球体时，各经线与赤道等长，各纬线离开赤道的距离离开赤道的距离x（即（即经线上的距离经线上的距离），可），可近似近似计计算：算：（1）长度变形：）长度变形：v精确计算精确计算各纬线离开赤道的距离各纬线离开赤道的距离X X：将地球作为：将地球作为旋转椭圆体，并以图上旋转椭圆体，并以图上1 1赤道里，即图中赤道上赤道里，即图中赤道上经度经度1 1分的弧长为单位，可以由此推导出墨卡托分的弧长为单位，可以由此推导出墨卡托海图纬度渐长率海图纬度渐长率MPMP，即图上任一纬线到赤道的距，即图上任一纬线到赤道的距离与图上离与图上1 1赤道里赤道里(图上经度图上经度1 1分的长度分的长度)的比值为：的比值为：1.墨卡托投影墨卡托投影正轴等角切圆柱投影正轴等角切圆柱投影(2)面积变形面积变形v墨卡托投影地图，东西间扩大墨卡托投影地图，东西间扩大2倍的部分，南北间也扩倍的部分，南北间也扩大大2倍，倍，60纬线附近的一小块区域，对应图上长度和纬线附近的一小块区域，对应图上长度和宽度都扩大宽度都扩大2倍，面积比实际扩大倍，面积比实际扩大4倍。倍。v愈近两极，纬线长度扩大愈多，南北间长度作同等扩大，愈近两极，纬线长度扩大愈多，南北间长度作同等扩大，面积扩大愈多。面积扩大愈多。v墨卡托投影图上，纬度墨卡托投影图上，纬度80以上地区就不再绘图。即大以上地区就不再绘图。即大面积变形使得墨卡托投影不适用于常规地理世界地图。面积变形使得墨卡托投影不适用于常规地理世界地图。v纬度纬度80附近，经线与纬线长度都扩大近附近，经线与纬线长度都扩大近6倍，面积扩倍，面积扩大到大到33倍多。倍多。v墨卡托投影明显的面积变形，通过比较格陵兰岛和南美墨卡托投影明显的面积变形，通过比较格陵兰岛和南美洲的面积就能看出，在这图上格陵兰比南美洲还大，实洲的面积就能看出，在这图上格陵兰比南美洲还大，实际上格陵兰的面积只不过是南美洲的际上格陵兰的面积只不过是南美洲的19（见图）（见图）。（3）墨卡托投影的用途与应用）墨卡托投影的用途与应用v1596年，年，荷兰制图学者格拉德荷兰制图学者格拉德.克列密尔克列密尔创造了等角正圆柱投影即墨卡托投影。墨创造了等角正圆柱投影即墨卡托投影。墨卡托是他的拉丁名字。卡托是他的拉丁名字。v用等角正圆柱投影方法绘制的海图叫墨卡用等角正圆柱投影方法绘制的海图叫墨卡托海图，它占目前航用海图的托海图，它占目前航用海图的95%以上。以上。故墨卡托投影主要用于航海图。故墨卡托投影主要用于航海图。v其它定向使用：航空旅行、风向、洋流其它定向使用：航空旅行、风向、洋流v还有：等角世界地图还有：等角世界地图此投影的等角属性最适合用于赤道附近地区，此投影的等角属性最适合用于赤道附近地区，例如，印尼和太平洋部分地区。例如，印尼和太平洋部分地区。墨卡托投影墨卡托投影等角与大圆航线等角与大圆航线图上经线为南北向相互平行的直线，图上经线为南北向相互平行的直线，其上有量取纬度或距离用的纬度图尺；其上有量取纬度或距离用的纬度图尺；纬线为东西向相互平行的直线，其上纬线为东西向相互平行的直线，其上有量取经度的经度图尺，且经线与纬有量取经度的经度图尺，且经线与纬线相互垂直。线相互垂直。图上经度图上经度1（1赤道里）的长度相等，赤道里）的长度相等，但纬度但纬度1（1海里）的长度随纬度升海里）的长度随纬度升高而逐渐变长，存在纬度渐长现象。高而逐渐变长，存在纬度渐长现象。(4)墨卡托海图墨卡托海图的特点的特点恒向线在图上为直线。恒向线在图上为直线。具有等角特性，在图上所量取的物标具有等角特性，在图上所量取的物标方位角与地面对应角相等。方位角与地面对应角相等。图上同纬度纬线的局部比例尺相等，图上同纬度纬线的局部比例尺相等，不同纬度的局部比例尺，随纬度的升不同纬度的局部比例尺，随纬度的升高而增大。高而增大。(4)墨卡托海图墨卡托海图的特点的特点(5)(5)墨卡托图网墨卡托图网的绘制的绘制 v墨卡托图网的正规绘制方法墨卡托图网的正规绘制方法v墨卡托图网的简易绘制方法墨卡托图网的简易绘制方法 墨卡托图网的正规绘制方法墨卡托图网的正规绘制方法 v同一张墨卡托海图上，同一张墨卡托海图上，每每1 1分经度的长度分经度的长度，即，即1 1赤赤道里道里的长度是相等的，取决于图幅宽度和图幅经的长度是相等的，取决于图幅宽度和图幅经差。差。v任一纬线到赤道的距离任一纬线到赤道的距离，等于该纬线纬度渐长率，等于该纬线纬度渐长率MPMP与图上经度与图上经度1 1分的长度之分的长度之积积。相邻两纬线之间相邻两纬线之间的距离的距离，等于，等于两纬线纬度渐长率之差两纬线纬度渐长率之差DMPDMP与与图上图上经度经度1 1分的长度之积分的长度之积。v因此，当需要绘制一张墨卡托图网时，可以按下因此，当需要绘制一张墨卡托图网时，可以按下列步骤进行：列步骤进行：绘制正规墨卡托图网的步骤绘制正规墨卡托图网的步骤v根根据据比比例例尺尺或或图图幅幅大大小小和和图图幅幅经经差差，计计算算图图上上经度经度1 1分的长度；分的长度；v根根据据“经经差差(分分)图图上上经经度度1 1分分长长度度”，画画出出图图幅幅内内整整度度或或每每隔隔2 2/5/5的的整整度度经经线线，各各经经线线相互平行；相互平行；绘制正规墨卡托图网的步骤绘制正规墨卡托图网的步骤v根根据据图图幅幅纬纬度度，分分别别求求取取上上、下下纬纬线线到到赤赤道道的的纬纬度度渐渐长长率率，再再求求出出上上、下下纬纬线线间间的的纬纬度度渐渐长长率率差差，乘乘以以图图上上经经度度1 1分分长长度度，即即可可得得到到图图幅幅上上、下下纬纬线线之之间间的的距距离离。按按此此间间距距画画出出图图幅幅上上、下下纬纬线，相互平行，并且与经线相垂直；线，相互平行，并且与经线相垂直；v按按中同样的方法，画出图幅内其它纬线；中同样的方法，画出图幅内其它纬线；v按按图图上上经经度度1 1分分长长度度等等分分画画出出经经度度图图尺尺；纬纬度度图图尺尺最最好好先先按按中中方方法法画画出出每每1010分分纬纬差差图图尺尺，再再等分画出其它纬度图尺。等分画出其它纬度图尺。例例 v以图上1经度等于6 cm的比例尺，绘制一张：120E124E，32N36N范围的墨卡托图网。第一步第一步v图上经度1分的长度=660 cm=0.1 cm；第二步第二步v图幅经度范围为：124120=4，因此，图幅宽度为：6 cm4=24 cm。相邻两整度经线间距离均为6 cm，按此绘制整度经线，并且相互平行；第三步第三步v查纬度渐长率表或直接用公式计算得上、下纬线的纬度渐长率，并求得图幅长度为：v 图幅长度=(MP36MP32)经度1长度=(2 304.52 016.2)0.1 cm=28.83 cm 第四步第四步v按上述计算结果，画出上、下纬线，相互平行，且与经线相垂直。第五步第五步v按同样的方法画出其它纬线，相互平行，且与经线相垂直。墨卡托图网的简易绘制方法墨卡托图网的简易绘制方法 v使用时机v简易墨卡托图网的绘制原理v绘制方法 使用时机使用时机v构制墨卡托图网的精度要求不高时。绘制原理绘制原理va.将地球作为圆球体；vb.等纬圈弧长Dep被放大了sec倍；vc.相邻两纬线间经线上的平均放大倍数为secm，m为相邻两纬线纬度的平均值。v利用两点间的东西距，即相邻两子午线之间的等纬圈弧长Dep（两点间等纬圈弧长的实际长度），与两点间的经差D（地球赤道上经差为D的的弧长，其即为使用墨卡托投影后两点间等纬圈弧长的图上长度）和该两点所在纬度之间的下列关系而绘制成的：绘制方法绘制方法 v以实例说明：v例：v以图上1经度等于6 cm的比例尺，绘制一张：120E124E，32N36N范围的简易墨卡托图网。v绘制步骤如下：第一步第一步v按上例所述，在图纸上分别画出120E，121E，122E，123E和124E的整度经线，各经线相互平行，间距为6 cm。第二步第二步v在图的下端画一垂直与经线的直线，作为32N纬线。第三步第三步v自A点(32N，120E)，以32N纬线为边，作一角度等于32.5，与121E经线相交与B点。则AB=(121120)sec32.5=1 sec32.5，即AB等于图上经度1或60赤道里的secm倍。所以在120经线上量取AC=AB，过C点且垂直与经线的直线，即为33N纬线。第四步第四步v用类似的方法，画出其它纬线。v墨卡托投影为等角投影，保持方向和位置关系正确，墨卡托投影为等角投影，保持方向和位置关系正确，用于航海用地图。用于航海用地图。v等角航线：等角航线：指地球面上与各经线相交成等方位角的指地球面上与各经线相交成等方位角的一条曲线。一条曲线。v墨卡托投影图上，该等角航线投影为墨卡托投影图上，该等角航线投影为一条直线。一条直线。v航行时，船舰按起止点间固定的方位角前进，只要航行时，船舰按起止点间固定的方位角前进，只要不改变方位角便可到达终点。不改变方位角便可到达终点。v航行时，要求严地球面上两点之间的最短距离航行时，要求严地球面上两点之间的最短距离大圆弧线大圆弧线航行。航行。v地球面上的等角航线是以极点为渐进点的一条螺旋地球面上的等角航线是以极点为渐进点的一条螺旋曲线，只在赤道位置与赤道重合，呈大圆形态。曲线，只在赤道位置与赤道重合，呈大圆形态。v等角航线非大圆弧线，故不是两点间的最短距离。等角航线非大圆弧线，故不是两点间的最短距离。（6）墨卡托投影应用）墨卡托投影应用等角航线等角航线等角航线实际是螺旋曲线等角航线实际是螺旋曲线v沿等角航线航行：沿等角航线航行：若循墨卡托投影图上两点间的若循墨卡托投影图上两点间的直线航行（飞行或航海），可以保持方向不变，直线航行（飞行或航海），可以保持方向不变，可到达目的地。可到达目的地。优点：优点：不改变航行，航行方便；不改变航行，航行方便；缺点：缺点：距离非大圆航线，故非最短距离。距离非大圆航线，故非最短距离。v然对然对远洋航行远洋航行和和长距离飞行长距离飞行，以节省能源和时间，以节省能源和时间为目的，通常为目的，通常沿大圆航线沿大圆航线航行。航行。优点：优点：距离为最短距离；距离为最短距离；缺点：缺点：除循赤道和经线方向外，必须时时变更方除循赤道和经线方向外，必须时时变更方向，不便利。向，不便利。墨卡托投影应用墨卡托投影应用等角航线等角航线寻找两点间接近最短、最经济的航线寻找两点间接近最短、最经济的航线v球面上任一大圆在球心投影图上表现为直线。球面上任一大圆在球心投影图上表现为直线。v实际应用中如何操作？实际应用中如何操作？|先在正轴球心投影地图上确定两点间大圆航线，即先在正轴球心投影地图上确定两点间大圆航线，即为为该两点间的连线；该两点间的连线；|量测球心投影图上大圆航线与量测球心投影图上大圆航线与各经线交角各经线交角，航行时，航行时，将大圆航线按它与经纬线的交点转绘到墨卡托投影将大圆航线按它与经纬线的交点转绘到墨卡托投影的地图上，并以圆滑曲线连接，成为的地图上，并以圆滑曲线连接，成为墨卡托投影上墨卡托投影上大圆航线（实弧线）大圆航线（实弧线）。|沿大圆航线航行时，虽距离最短，但需随时调整航沿大圆航线航行时，虽距离最短，但需随时调整航向很不方便。为此，将大圆航线划分成若干段，把向很不方便。为此，将大圆航线划分成若干段，把每段连成直线，即为每段连成直线，即为等角航线（虚折线）等角航线（虚折线）。|这样，就每个航段来说是按等角航线航行，但就全这样，就每个航段来说是按等角航线航行，但就全部航程来讲，则接近于代表最短距离的大圆航线。部航程来讲，则接近于代表最短距离的大圆航线。正轴球心投影图A/ABCDB/C/D/ABCDA/B/C/D/NA/B/C/D/A/B/C/D/球心投影为任意投影，该投影上球心投影为任意投影，该投影上所有大圆航线都能投影成直线所有大圆航线都能投影成直线180o经差经差15150 0，纬差，纬差10100 0的球心正的球心正轴方位投影经纬网的绘制：轴方位投影经纬网的绘制：E165oE150oE135oE120oW165oW150oW135oW120o正轴球心投影图的绘制各正轴方位投影公式回顾：各正轴方位投影公式回顾：回到上一张回到上一张墨卡托图上上海到西雅图的大圆为曲线（实线）墨卡托图上上海到西雅图的大圆为曲线（实线）回到上一张回到上一张实验练习实验练习v通过以上讲解，同学们完成从旧金山到东京通过以上讲解，同学们完成从旧金山到东京在球心投影图上的大圆航线，并在墨卡托航在球心投影图上的大圆航线，并在墨卡托航海图上确定航行过程中的近似等角航线。海图上确定航行过程中的近似等角航线。（5）GIS下墨卡托投影参数认识下墨卡托投影参数认识东移假定值东移假定值北移假定值北移假定值标准纬线标准纬线1中央子午线中央子午线v 由爱丁堡人RJ高尔于高尔于1855年提出年提出v他规定圆柱面与地球相割于他规定圆柱面与地球相割于南北纬南北纬45处，实行处，实行球面透视投影。球面透视投影。v投影后经纬线都是直线，且垂直相交。投影后经纬线都是直线，且垂直相交。v南北纬南北纬45纬线与主比例尺相符，没有变形；南纬线与主比例尺相符，没有变形；南北纬北纬45以内小于主比例尺；以内小于主比例尺；45以外大于主以外大于主比例尺比例尺v该投影的地图既不等积，又不等角，但就整个图该投影的地图既不等积，又不等角，但就整个图形看，能适当地全面表示世界海陆分布的相对关形看，能适当地全面表示世界海陆分布的相对关系仅用于做系仅用于做世界地图世界地图。v应用：应用：在英国地图册中用于世界地图在英国地图册中用于世界地图2.高尔（高尔（Gall）投影）投影高尔投影的世界地图高尔投影的世界地图5.1圆锥投影概念和种类圆锥投影概念和种类1.概念：概念：v圆锥投影圆锥投影：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。成。|当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影|当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影2.圆锥投影种类：圆锥投影种类：v根据根据投影平面投影平面与与地轴地轴关系不同关系不同|正轴正轴、横轴横轴、斜轴斜轴圆锥投影圆锥投影v横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。影。v根据根据投影性质投影性质分为分为等角、等面积等角、等面积和任意投影，其和任意投影，其中主要为中主要为等距等距投影投影2.圆锥投影种类：圆锥投影种类：v按按标准纬线标准纬线分为分为切圆锥投影切圆锥投影和和割圆锥投影割圆锥投影v切圆锥投影切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面展开后呈以，视点在球心，纬线投影到圆锥面展开后呈以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。差小。v 切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通变形的线，叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。增大。2.圆锥投影种类：圆锥投影种类：v在在割圆锥投影割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。5.2圆锥投影公式圆锥投影公式1.正轴圆锥投影一般公式正轴圆锥投影一般公式v由圆推投应定义知，正轴圆锥投影纬线投影为同由圆推投应定义知，正轴圆锥投影纬线投影为同心圆弧，心圆弧，v经线投影为同心圆弧的半径，经线投影为同心圆弧的半径，v两经线间的夹角与相应经差成正比例两经线间的夹角与相应经差成正比例v式中式中a是圆锥常数。是圆锥常数。|地球极点处的地球极点处的 x x 360360，而圆锥展开后为扇形，其顶，而圆锥展开后为扇形，其顶角一定不足角一定不足 360 360，将圆椎顶角与圆周角，将圆椎顶角与圆周角360 360 之比，之比，称为称为圆锥常数圆锥常数|当当0 0a a 1 1，为圆锥投影，为圆锥投影|当当a a1 1时，为方位投影时，为方位投影|当当a a0 0时，为圆柱投影时，为圆柱投影|因此，因此，方位方位投影和投影和圆柱圆柱投影是投影是圆锥圆锥投影特例投影特例v式中式中是是纬线投影半径纬线投影半径，函数形式由投影性质决定，函数形式由投影性质决定v所以圆锥投影主要是确定所以圆锥投影主要是确定和和a1.正轴圆锥投影一般公式正轴圆锥投影一般公式正轴圆锥投影示意图正轴圆锥投影示意图式中式中s s为最南边纬线投影半径为最南边纬线投影半径sd正轴圆锥投影示意图正轴圆锥投影示意图2.等角圆锥投影等角圆锥投影确定及一般公式确定及一般公式上述公式中，尚有常数上述公式中，尚有常数和和K K没有具体确定，故不能用这些公没有具体确定，故不能用这些公式进行投影计算式进行投影计算|这两个常数需根据切圆锥投影或割圆锥投影才能确定这两个常数需根据切圆锥投影或割圆锥投影才能确定v等角条件等角条件：0 0，m mn n|为圆锥系数；为圆锥系数；|K K为积分常数，当为积分常数，当0 0，K K，即，即K K等于赤道投影半径；等于赤道投影半径；当当9090，即在极点投影半径，即在极点投影半径0 0。（1）单标准纬线等角圆锥投影）单标准纬线等角圆锥投影K K值确定值确定可计算直角坐标和变形值可计算直角坐标和变形值（2）双标准纬线等角圆锥投影）双标准纬线等角圆锥投影|此投影，圆锥面切于一条纬线此投影，圆锥面切于一条纬线0 0上，上，n n0 01 1，由此得出：，由此得出：|此投影，圆锥面割于地球上此投影，圆锥面割于地球上1 1和和2 2两条两条纬线纬线上，上，n n1 1 n n2 2=1 1，得出：，得出：v等面积条件等面积条件Pmn1，来确定投，来确定投影半径影半径的的具体形式的圆锥投影即为具体形式的圆锥投影即为等等面积正轴圆面积正轴圆锥投影锥投影。v它的两个投影常数它的两个投影常数a和和K也是根据切圆锥或割圆也是根据切圆锥或割圆锥的投影条件来确定。锥的投影条件来确定。v 单标单标准准纬线的等纬线的等面积圆锥投影应面积圆锥投影应用较用较少。少。v双标准纬线等双标准纬线等面积面积圆锥投影又名圆锥投影又名阿尔勃斯阿尔勃斯(Albers)投投影，是中纬度地区常用一种影，是中纬度地区常用一种投影投影v下图为采用下图为采用125N和和247N的等面积的等面积圆锥投影绘制的我国地图。圆锥投影绘制的我国地图。2.等面积圆锥投影等面积圆锥投影v式式中中s s为为最最南南边边纬纬线线 投投影影半半径径 等面积圆锥投影中国地图形状等面积圆锥投影中国地图形状v以等距离条件以等距离条件m1，确定投影半径，确定投影半径P的具体形的具体形式的圆锥投影，即为式的圆锥投影，即为等距离正轴圆锥投影。等距离正轴圆锥投影。v它的两个常数它的两个常数a和和K同样也是根据切圆推投影同样也是根据切圆推投影或割圆锥投影而确定。或割圆锥投影而确定。v单标准纬线的等距离圆锥投影使用较少单标准纬线的等距离圆锥投影使用较少v双标准纬线等距离圆椎投影，其角度、面积和纬双标准纬线等距离圆椎投影，其角度、面积和纬线长度的变形都不太大，故常被用于中纬或高纬线长度的变形都不太大，故常被用于中纬或高纬地区的小比例尺地图地区的小比例尺地图3.等距离圆锥投影等距离圆锥投影v相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为1。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。线以北变形增加的要比以南快些。v经线为过纬线圆心的一束直线。经线为过纬线圆心的一束直线。v由于由于m=n所以在纬线方向上扩大多少，就在经所以在纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少，才能使经纬线方向上的长度比相线上扩大多少，才能使经纬线方向上的长度比相等。等。v所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。向北是逐渐增大的。5.3圆锥投影变形分析和应用圆锥投影变形分析和应用1.等角圆锥投影等角圆锥投影（1）等角切圆锥投影）等角切圆锥投影v两条标准纬线长度比为两条标准纬线长度比为1，没有变形。两条标准，没有变形。两条标准纬线之间纬线长度比小于纬线之间纬线长度比小于1，即投影后的纬线长，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线向里成负的方向增大；两条标准纬线之外，纬线向里成负的方向增大；两条标准纬线之外，纬线长度比大于长度比大于1，即离开标准纬线长度变形逐渐增，即离开标准纬线长度变形逐渐增大。大。v经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的；从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的；从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。的。v等角圆锥投影面积变形大等角圆锥投影面积变形大.1.等角圆锥投影等角圆锥投影（2）等角割圆锥投影）等角割圆锥投影n双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。区的分国地图和地区图。n“中国地图集中国地图集”各分省图就是用的这种投影。各分省图就是用的这种投影。n“世界地图集世界地图集”大部分分国地图采用该投影。大部分分国地图采用该投影。n世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。用此投影作为地形图的数学基础。n此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广泛此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广泛采用等角圆锥投影。采用等角圆锥投影。1.等角圆锥投影等角圆锥投影（2）等角割圆锥投影）等角割圆锥投影v相切的纬线没有变形，其长度比为相切的纬线没有变形，其长度比为1，其他纬线，其他纬线投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。也就越大。v投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经线方向上就得缩小多少倍。多少倍，那么在经线方向上就得缩小多少倍。v等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐缩小的。向北是逐渐缩小的。2.等积圆锥投影等积圆锥投影（1）等积切圆锥投影）等积切圆锥投影v两条标准纬线长度比等于两条标准纬线长度比等于1。v两条标准纬线之间，纬线长度比小于两条标准纬线之间，纬线长度比小于1。要保持面。要保持面积不变，因此经线长度比要相应扩大，所以在两条积不变，因此经线长度比要相应扩大，所以在两条标准纬线之间，纬线间隔愈向中间就越大。标准纬线之间，纬线间隔愈向中间就越大。v在两条标准纬线之外纬线长度比大于在两条标准纬线之外纬线长度比大于1。要保持等。要保持等积，经线长度比要相应的缩小。并且经线方向上缩积，经线长度比要相应的缩小。并且经线方向上缩小的程度和相应纬线上扩大的程度相等。因此在两小的程度和相应纬线上扩大的程度相等。因此在两条标准纬线向外，纬线间隔是逐渐缩小的。条标准纬线向外，纬线间隔是逐渐缩小的。v等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，离开标准纬线越远角度变形也就越大。离开标准纬线越远角度变形也就越大。2.等积圆锥投影等积圆锥投影（2）等积割圆锥投影）等积割圆锥投影n等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或自然图。图。及社会经济地图或自然图。n当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线等积圆锥投影。等积圆锥投影。n当制图区域所跨纬度较小时，常采用等积切圆锥当制图区域所跨纬度较小时，常采用等积切圆锥投影。投影。2.等积圆锥投影等积圆锥投影v从标准纬线向南向北纬线长度比大于从标准纬线向南向北纬线长度比大于1，离开标准纬线越远纬线长度变形、面，离开标准纬线越远纬线长度变形、面积变形、角度变形也越大。积变形、角度变形也越大。3.等距圆锥投影等距圆锥投影（1）等距切圆锥投影）等距切圆锥投影v两条标准纬线内纬线长度比小于两条标准纬线内纬线长度比小于1，面积变形向负，面积变形向负方向增大方向增大v两条标准纬线之外，纬线长度比大于两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，面积变形，面积变形向正方向增加。向正方向增加。v角度变形离标准线越远变形越大。角度变形离标准线越远变形越大。v等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要小，在角度变形上比等积圆锥投影要小，小，在角度变形上比等积圆锥投影要小，v这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相等。这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相等。n因投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大因投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大陆交通图。陆交通图。3.等距圆锥投影等距圆锥投影（2）等距割圆锥投影）等距割圆锥投影