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24.1.2 24.1.2 垂径定理（垂径定理（1）24.1.2 垂径定理（1）1探究探究一、如图，一、如图，AB是是 O的一条弦，作直的一条弦，作直径径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E。OBADC(1)这个图形是轴对称这个图形是轴对称图形吗？如果是，对图形吗？如果是，对称轴是什么？称轴是什么？E探究一、如图，AB是O的一条弦，作直OBADC(1)这个图2探究探究二、如图，二、如图，AB是是 O的一条弦，作直的一条弦，作直径径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E。OBADC(2)你能发现图中有哪些你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什相等的线段和弧？为什么？么？E探究二、如图，AB是O的一条弦，作直OBADC(2)你能发3新授新授已知：如图，已知：如图，AB是是 O的弦，的弦，CD是是 O的直径，且的直径，且CDAB于点于点E。求证：求证：AE=BE。OBADCE你能证明你能证明AC=BC，AD=BD吗？吗？新授已知：如图，AB是O的弦，CD是OBADCE你能证明A4归纳归纳垂径定理：垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分直径垂直弦必平分弦，且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。归纳垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分5巩固巩固1、下列三个图，是否有、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD？OBADCEOBADCOBADCE巩固1、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD6范例范例例例1、如图，在、如图，在 O中，弦中，弦AB长长8cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求的，求的 O半径。半径。OBA转化思想转化思想圆的线段问题转化圆的线段问题转化为直角三角形问题为直角三角形问题范例例1、如图，在O中，弦AB长8cm，OBA转化思想圆的7变式变式1 1：如上图，若以如上图，若以O为圆心再画一为圆心再画一个圆交弦个圆交弦AB于于C，D，则，则AC与与BD间可间可能存在什么关系能存在什么关系?变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则A8 变式变式2 2：如下图，若将如下图，若将ABAB向下平移，当向下平移，当移到过圆心时，结论移到过圆心时，结论ACACBDBD还成立吗还成立吗?变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC9变式变式3 3：如图，设：如图，设AOAOBOBO，求证，求证ACACBDBD。B O A C D 变式3：如图，设AOBO，求证ACBD。B O A C10变式变式3 3：如图，设：如图，设AOAOBOBO，求证，求证ACACBDBD。变式3：如图，设AOBO，求证ACBD。11变式变式4 4：如图，设：如图，设OCOCODOD，求证，求证ACACBDBD。A O B C D 变式4：如图，设OCOD，求证ACBD。A O B C12变式变式4 4：如图，设：如图，设OCOCODOD，求证，求证ACACBDBD。变式4：如图，设OCOD，求证ACBD。13例例2.2.已知：已知：（如图），求作：（如图），求作：的的中点。中点。D C E A B A B 例2.已知：（如图），求作：的中点。D C E14例例2.2.已知：已知：（如图），求作：（如图），求作：的的中点。中点。A B 例2.已知：（如图），求作：的中点。A B 15练习练习 1.P 1.P是是OO的弦的弦ABAB上一点，上一点，ABAB1010，APAP6 6，OPOP5 5，则，则OO的半径是多少？的半径是多少？A O B P 练习 1.P是O的弦AB上一点，AB10，A O B 16练习练习 1.P 1.P是是OO的弦的弦ABAB上一点，上一点，ABAB1010，APAP6 6，OPOP5 5，则，则OO的半径是多少？的半径是多少？A O B P 练习 1.P是O的弦AB上一点，AB10，A O B 172.O2.O的直径的直径ABAB1616，P P是是OBOB的中点，的中点，APCAPC3030，求，求CDCD的长。的长。练习练习C E A O B D P 2.O的直径AB16，P是OB的中点，APC30182.O2.O的直径的直径ABAB1616，P P是是OBOB的中点，的中点，APCAPC3030，求，求CDCD的长。的长。练习练习2.O的直径AB16，P是OB的中点，APC3019 3.3.已知圆内的一条弦与直径相交已知圆内的一条弦与直径相交成成3030角，且分直径成角，且分直径成1cm1cm和和5cm5cm两两部分，则这条弦的中点与圆心的距部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？离是多少？3.已知圆内的一条弦与直径相交成30角，且分直径成1c20 例例3 3.在直径为在直径为40cm40cm的圆形油槽中，的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽装入一部分油，油面宽32cm32cm，求油，求油的深度为多少？的深度为多少？O A B D 例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面21 例例3 3.在直径为在直径为40cm40cm的圆形油槽中，的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽装入一部分油，油面宽32cm32cm，求油，求油的深度为多少？的深度为多少？O A B D 例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面22 例例3 3.在直径为在直径为40cm40cm的圆形油槽中，的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽装入一部分油，油面宽32cm32cm，求油，求油的深度为多少？的深度为多少？例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面23 例例3 3.在直径为在直径为40cm40cm的圆形油槽中，的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽装入一部分油，油面宽32cm32cm，求油，求油的深度为多少？的深度为多少？O A B D 例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面24变式变式1 1：已知：已知OO的半径为的半径为5cm5cm，OO的两的两条平行弦条平行弦AB=8cmAB=8cm，CD=6cmCD=6cm，求弦，求弦ABAB与与CDCD之间的距离。之间的距离。变式1：已知O的半径为5cm，O的两25 例例4.AB4.AB为为OO的弦，从圆上任意一点引的弦，从圆上任意一点引弦弦CDABCDAB，作，作OCDOCD的平分线交的平分线交OO于于P P，连结，连结PAPA、PBPB，求证：，求证：O P A B D C 例4.AB为O的弦，从圆上任意一点引弦CDAB，作264.4.已知，已知，ADAD为为OO的直径，两弦的直径，两弦ABABACAC，求证：求证：ADAD平分平分BAC.BAC.练习练习4.已知，AD为O的直径，两弦ABAC，求证：AD平分27 例例5.5.思考：过圆内一定点的弦中，思考：过圆内一定点的弦中，弦最短。弦最短。例5.思考：过圆内一定点的弦中，28变式变式1 1：如图，如图，P P为为OO内一点，且内一点，且OPOP2 2，OO的半径为的半径为3 3，则过，则过P P的最短的弦等的最短的弦等于于_。O P变式1：如图，P为O内一点，且OP2，O的半径为3，则29 变式变式2 2：已知已知OO的直径为的直径为1010，P P是是OO内一点，且内一点，且OPOP3 3，则过点，则过点P P且且长度小于长度小于8 8的弦有几条？的弦有几条？变式2：已知O的直径为10，P是O内一点，且OP330小结小结1.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。2.重要辅助线重要辅助线垂直于弦的直径。垂直于弦的直径。小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平31推论：推论：垂径定理垂径定理“知二得三知二得三”：(1)直径直径(过圆心过圆心)；(2)垂直弦；垂直弦；(3)平分弦平分弦(不是直径不是直径)；(4)平分优弧；平分优弧；(5)平分劣弧；平分劣弧；知二得三知二得三推论：垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)32 常用推论：常用推论：（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；并且平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。弦并且平分弦所对的另一条弧。常用辅助线：弦心距、半径常用辅助线：弦心距、半径 常用推论：33范例范例例例3、如图，在、如图，在 O中，过圆周上一点中，过圆周上一点A，作弦，作弦AB、AC，且，且AB=AC，M、N分别是分别是AB、AC的中点，连接的中点，连接MN并延并延长交长交 O于点于点P、Q。求证：求证：PM=QN。OQPAMNBC范例例3、如图，在O中，过圆周上一点OQPAMNBC3412、如图，在以原点为圆心，以、如图，在以原点为圆心，以4cm为半径的为半径的 O上找一点上找一点C，点，点D与点与点C关于关于x轴对称，当轴对称，当CD=6cm时，求点时，求点C的坐标。的坐标。巩固巩固xyoCD12、如图，在以原点为圆心，以4cm巩固xyoCD3513、在平面直角坐标系中，、在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(3,0)，经过，经过A、B、O三点的圆的三点的圆的圆心坐标是圆心坐标是 。巩固巩固xyABO13、在平面直角坐标系中，A(4,0)，巩固xyABO3614、如图，、如图，AB是是 O的弦，的弦，CD经过圆经过圆心心O，CDAB于点于点D，AB=10，CD=7，求半径，求半径OA。OBADC巩固巩固14、如图，AB是O的弦，CD经过圆OBADC巩固3715、如图，、如图，A、B、C在在 O上，连接上，连接AB、AC、BC，ADBC于点于点D，且，且OAE=DAE。求证：求证：E是是BC的中点。的中点。OBADCE巩固巩固15、如图，A、B、C在O上，连接OBADCE巩固3816、如图，、如图，AB是是 O的弦，的弦，MN是直径，是直径，MCAB于点于点C，NDAB于点于点D。求证：求证：(1)AC=BD；(2)OC=OD。OABCDNM巩固巩固16、如图，AB是O的弦，MN是直径，OABCDNM巩固3917、如图，、如图，O1与与 O2相交于点相交于点C、D，连接，连接O1O2，过点，过点C的直线交两圆的直线交两圆于点于点A、B，ABO1O2，O1O2=6，求求AB。O1BACO2巩固巩固17、如图，O1与 O2相交于点C、O1BACO2巩固40小结小结垂径定理垂径定理“知二得三知二得三”：(1)直径直径(过圆心过圆心)；(2)垂直弦；垂直弦；(3)(平分弦平分弦)垂直弦；垂直弦；(4)平分优弧；平分优弧；(5)平分劣弧；平分劣弧；知二得三知二得三小结垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)41饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国42饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国43饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国44饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国45饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国46饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国47饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国48饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国49饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国50饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打 发的发非官方共和国51
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