2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学-含答案

2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学 注意事项:1. 答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2. 答选择题时, 必须使用 2 B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5. 考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合 A=1,2,3,4,5,9,B=xx+1A, 则 AB=( )(A) 1,2,3,4(B) 1,2,3,4(C) 1,2,3,4(D) 1,2,3,4【参考答案】A【详细解析】因为 A=1,2,3,4,5,9,B=xx+1A=0,1,2,3,4,8, 所以 A B=1,2,3,4, 故选(A).2. 设 z=2i, 则 zz=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为 z=2i, 所以 zz=2, 故选(D).3.若实数 x,y 满足约束条件(略), 则 z=x5y 的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) 72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,1)、32,1 和 3,12, 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: zmin=72, 故选(D).4.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 若 S9=1,a3+a7=( )(A) -2(B) 73(C) 1(D) 29【参考答案】D【详细解析】令 d=0, 则 S9=9an=1,an=19,a3+a7=29, 故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）(A) 14(B) 13(C) 12(D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).6. 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点分别为 F1(0, 4)、 F2(0,4), 且经过点 P(6,4), 则双曲线 C 的离心率是 ( )(A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】 e= c=F1F2a=2, 故选(C).7.曲线 f(x)=x6+3x 在 (0,1) 处的切线与坐标轴围成的面积为 (A) 1(B) 32(C) 12(D) 32【参考答案】A【详细解析】因为 y=6x5+3, 所以 k=3,y=3x1,S=12131=16, 故选(A).8.函数 f(x)=x2+exexsinx 的大致图像为 ( )【参考答案】B【详细解析】选(B). 9.已知 coscossin=13, 则 tan+4=( )(A) 3(B) 231(C) -3(D) 13【参考答案】B【详细解析】因为 coscossin=3, 所以 tan=133,tan+4=tan+11tan=231, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面: (1)若 m,n, 则 m/n; (2)若 =m,m/n, 则 n/; (3)若 m/,n/,m 与 n 可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若 =m,n 与 和 所成的角相等, 则 mn, 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在 ABC 中, 内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 若 B=3, b2=94ac, 则 sinA+sinC=( )(A) 23913(B) 3913(C) 72(D) 31313【参考答案】C【详细解析】因为 B=3,b2=94ac, 所以 sinAsinC=49sin2B=13. 由余弦定理可得: b2=a2+c2 ac=94ac, 即: a2+c2=134ac,sin2A+sin2C=134sinAsinC=1312, 所以 (sinA+sinC)2=sin2A+sin2C +2sinAsinC=74,sinA+sinC=72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数 f(x)=sinx3cosx 在 0, 上的最大值是 【参考答案】2【详细解析】 f(x)=sinx3cosx=2sinx32, 当且仅当 x=56 时取等号.15. 已知 a1,1log8a1loga4=52, 则 a= .【参考答案】 64【详细解析】因为 1log8a1loga4=3log2a12log2a=52, 所以 log2a+1log2a6=0, 而 a1,故 log2a=6,a=64.16. 曲线 y=x33x 与 y=(x1)2+a 在 (0,+) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 . 【参考答案】 (2,1)【详细解析】令 x33x=(x1)2+a, 则 a=x33x+(x1)2, 设 (x)=x33x+(x1)2,(x) =(3x+5)(x1),(x) 在 (1,+) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y=x33x 与 y=(x 1)2+a 在 (0,+) 上有两个不同的交点, (0)=1,(1)=2, 所以 a 的取值范围为 (2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题 第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 2Sn=3an+13.(1)求 an 的通项公式;(2)求数列 Sn 的通项公式.【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2Sn=3an+13, 所以 2Sn+1=3an+23, 两式相减可得: 2an+1=3an+2 3an+1, 即: 3an+2=5an+1, 所以等比数列 an 的公比 q=53, 又因为 2S1=3a23=5a13, 所以 a1=1,an=53n1;(2) 因为 2Sn=3an+13, 所以 Sn=32an+11=3253n1.18.(12 分)题干略.【详细解析】(1) 2=150(70242630)2965450100p+1.65p(1p)150, 故有优化提升.19.(12 分)如图, 已知 AB/CD,CD/EF,AB=DE=EF=CF=2, CD=4,AD=BC=10,AE=23,M 为 CD 的中点.(1)证明: EM/ 平面 BCF;(2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF/CM,EF=CM, 而 CF 平面 ADO,EM 平面 ADO, 所以 EM / 平面 BCF;(2)取 DM 的中点 O, 连结 OA,OE, 则 OADM,OEDM,OA=3,OE=3, 而 AE=23,故 OAOE,SAOE=233. 因为 DE=2,AD=10, 所以 ADDE,SAOE=10.DM 设点 M到平面 ADE 的距离为 , 所以 VMADE=13SADE=13SAOEDM,=4310=2305, 故点 M 到 ADE 的距离为 2305.20.(12 分) 已知函数 f(x)=a(x1)lnx+1.(1)求 f(x) 的单调区间; (2)若 a2 时, 证明: 当 x1 时, f(x)ex1 恒成立.【参考答案】见解析若 a0,f(x)0 时, 当 0x1a 时, f(x)1a 时, f(x)0, 所以 f(x) 的减区间为 0,1a, 增区间为 1a,+;(2)因为 a2, 所以当 x1 时, ex1f(x)=ex1a(x1)+lnx1ex12x+lnx+1. 令 g(x) =ex12x+lnx+1, 则 g(x)=ex12+1x. 令 (x)=g(x), 则 (x)=ex11x2 在 (1,+) 上递增, (x)(1)=0, 所以 (x)=g(x) 在 (1,+) 上递增, g(x)g(1)=0, 故 g(x) 在 (1,+)上递增, g(x)g(1)=0, 即: 当 x1 时, f(x)b0) 的右焦点为 F, 点 M(1, 32 在椭圆 C 上, 且 MFx 轴.(1)求椭圆 C 的方程;(2) P(4,0), 过 P 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点, N 为 FP 的中点, 直线 NB 与 MF 交于 Q,证明: AQy 轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆 C 的左焦点为 F1, 则 F1F=2,|MF|=32. 因为 MFx 轴, 所以 MF1 =52,2a=MF1+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a21=3, 故椭圆 C 的方程为: x24+y23=1;3x12+4y12=123x22+4y22=122 可得: 3x1+x21+x1x21+4y1+y21+y1y21=12, 结合上式可得: 5 2x2+3=0.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y252x2=3y252x2=y2=y1, 故 AQy轴.x2y1x1y2+x2y1=x12y22x22y12=4+4y123y224+4y223y12=4y2y1y2+y1=4y2y1x1y2+x2y1,即: x1y2+x2y1=y2+y1,2x2y1=5y13y2.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y252x2=3y1y25y12y1x2 =y1, 故 AQy 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.选修 4-4: 坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 = cos+1.(1)写出 C 的直角坐标方程;(2)直线 x=ty=t+a (t 为参数)与曲线 C 交于 A、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为 =cos+1, 所以 2=(cos+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x2+y2=(x +1)2, 即: y2=2x+1; (2) 将 x=ty=t+a 代入 y2=2x+1 可得: t2+2(a1)t+a21=0,|AB|=2t1t2=16(1a)=2,解得: a=34.选修 4-5: 不等式选讲(10 分)实数 a,b 满足 a+b3.(1)证明: 2a2+2b2a+b;(2)证明: a2b2+b2a26.【解析】(1)因为 a+b3, 所以 2a2+2b2(a+b)2a+b;(2) a2b2+b2a2a2b2+b2a2=2a2+2b2(a+b)=2a2+2b2(a+b)(a+b)2(a +b)=(a+b)(a+b1)6.