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第二章 现代数学的应用Radon变换与CT扫描技术6/21/20246/21/20241 1第二章 现代数学的应用Radon变换与CT扫描技术8/1奥地利数学家Radon分别在1917年和1919年分别提出了Radon变换和Radon逆变换；Radon积分CT技术的物理过程;Radon反变换CT技术图像重建过程;1972年，英国EMI公司制作了第一幅CT图像，发明了无损伤诊断探测技术。一一、背景、背景6/21/20246/21/20242 2奥地利数学家Radon分别在1917年和1919年分别提出了二、二、CT扫描技术的基本原理：扫描技术的基本原理：设一束平行光束的密度函数（或称吸收函数）设一束平行光束的密度函数（或称吸收函数），其其 中中 为为 介介 质质，该该光光束束的的初初始始强强度度为为 ,照照射射后后强强度度为为 ，强强度度的的衰衰 减率为减率为 ，解得，解得 。给出两个坐标系：给出两个坐标系：XY,suXY,su，两者之间的关系如下，两者之间的关系如下 6/21/20246/21/20243 3二、CT扫描技术的基本原理：设一束平行光束的密度函数（或称定义复数：定义复数：z=x+iy,z1=s+iu z=x+iy,z1=s+iu，则，则 z=z1exp(I )z=z1exp(I )接收信号为 6/21/20246/21/20244 4定义复数：z=x+iy,z1=s+iu，则 z=z1expRadon变换：R-Radon算子（或称投影算子）投影算子）Rf表示函数f（x,y)在s-0u坐标系下经过 确定的点对坐标u的一维投影。06/21/20246/21/20245 5Radon变换：R-Radon算子（或称投影算子）Rf表Radon反变换：极坐标下可表示为：6/21/20246/21/20246 6Radon反变换：极坐标下可表示为：8/10/20236 Radon反变换的具体实现有两种不同方法:卷积反投影方法和滤波反投影方法.Radon反变换揭示了CT技术中图象重建的基本方法,即在CT投影数据的基础上依次进行滤波操作和反投影操作,方便地重建出原始数据的图象.6/21/20246/21/20247 7 Radon反变换的具体实现有两种不同方法:卷 三、三、Radon变换特性变换特性:1.线性.如果 的Radon变换分别为 ,那么,的 Radon变换是 .6/21/20246/21/20248 8 三、Radon变换特性:1.线性.,那么,2.带线性 3.对称性即6/21/20246/21/20249 92.带线性 3.对称性即8/10/202394.周期性5.位移性如果f(x,y)的Radon变换为 ,那么6/21/20246/21/202410104.周期性5.位移性如果f(x,y)的Radon变换为 6.伸缩性6/21/20246/21/202411116.伸缩性8/10/202311四、Radon变换及其反变换的精髓变换及其反变换的精髓 在于提供了一套完整的投影数据,获得和原始图像重建的严谨算法，同时投影数据的获得又无须深入物体内部。6/21/20246/21/20241212四、Radon变换及其反变换的精髓 在于提供了一套完整的投Radon变换应用在许多实际问题中，如：1）排水问题，2）石油流动问题，3）航空工业中的动力问题，4）薄膜的特征值问题等等。6/21/20246/21/20241313Radon变换应用在许多实际问题中，如：8/10/20231值得一提的是：衰减Radon变换突破了Randon变换只能沿直线进行线积分的限制并成功地运用到单光子单层摄像、气体动力学和等离子体物理学中。6/21/20246/21/20241414值得一提的是：衰减Radon变换突破了Randon变换只能沿最新研究最新研究6/21/20246/21/20241515最新研究8/10/202315一、波动方程反问题的一、波动方程反问题的求解求解6/21/20246/21/20241616一、波动方程反问题的求解8/10/2023161）波动方程声速的反演在地球物理、海洋物理、连续截至力学等领域是一个十分重要的数学物理反问题。6/21/20246/21/202417171）波动方程声速的反演在地球物理、海洋物理、连续截至力学等领2)在一定限制条件下的波动力学的传播特 性有 与Radon变换相同的数学过程，这样 Radon反变换算法可直接应用到波动力学反问题的求解上。6/21/20246/21/202418182)在一定限制条件下的波动力学的传播特 性 3)对均匀背景下有摄动的波动场利用Radon反变换的方法成功地解决了这种条件下波动方程的速度系数反问题，而这种解决方法不需要深入到波动场内部进行测量。6/21/20246/21/20241919 3)对均匀背景下有摄动的波动场利用Radon反变换的方法4)高维波动方程的反问题,根据奇性解的演化去求声速的Radon变换,将反问题的解转化为Radon反变换,而Radon反变换能够只根据外部测量数据重建内部截面图像.已有计算实例证实了这种方法的有效性.6/21/20246/21/202420204)高维波动方程的反问题,根据奇性解的演化去求声速的Rad二、反源及反势问题二、反源及反势问题6/21/20246/21/20242121二、反源及反势问题8/10/202321 二维椭圆型偏微分方程的反源问题讨论方程:如何利用边界上的可测值来反演源函数f(x,y)的分布(2.1)6/21/20246/21/20242222 二维椭圆型偏微分方程的反源问题讨论方程:如何利用边界上的 二维椭圆型偏微分方程f(x,y)的Radon变换式实质上是某个特定函数 在左右边界上的差值,通过计算可方便求出.中源函数6/21/20246/21/20242323 二维椭圆型偏微分方程f(x,y)的Radon变v 势和势函数成功的应用于诸如量子力学、电磁学、流体动力学和弹性力学等领域v 势函数的反问题，即反势问题，大都局限于某个具体的物理现象和方程。v采用的方法：迭代法、最小二乘法和有限元法等。6/21/20246/21/20242424 势和势函数成功的应用于诸如量子力学、电磁学、流体动将Radon变换及其反投影变换原理应用于二维椭圆型偏微分方程反势问题的求解,从另一个角度解决了小扰动情况下椭圆型偏微分方程的反势问题.6/21/20246/21/20242525将Radon变换及其反投影变换原理应用于二维椭圆型偏微分方程 v 思想：Radon变换及其反变换应用于二维椭圆型偏微分方程反势问题的求解，无须深入物体内部，只利用边界上物理量的测量值即可很好的反演出势函数。6/21/20246/21/20242626 8/10/202326针对二维条码的符号结构特点，根据Radon变换的基本思想方法，提出一种对识别无间断的连续线段很有效的算法和一种对识别“铁路线”很有效的算法。三、图像定位6/21/20246/21/20242727针对二维条码的符号结构特点，根据Radon变换的基本思想方法运用这两途中算法，在二维条码图像最小模块仅为2.7像素的情况下，在图像轻微弯曲的情况下，可以对二维条码图像中的黑边和铁路线快速准确地定位。6/21/20246/21/20242828运用这两途中算法，在二维条码图像最小模块仅为2.7像素的情况6/21/20246/21/202429298/10/202329
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