高考数学二轮复习 第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第10练三角恒等变换与解三角形明晰考情1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.2.(2018唐山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，ABBDDA2，ACB30.(1)求证：BC4cosCBD；(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由.(1)证明在ABC中，AB2，ACB30，由正弦定理可知，所以BC4sinBAC.又ABD60，ACB30，则BACCBD90，则sinBACcosCBD，所以BC4cosCBD.(2)解CD为定长，因为在BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2BC2BD22BCBDcosCBD，BC244BCcosCBDBC24BC24，所以CD2.3.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.(1)求角A的大小；(2)若，a，求b的值.解(1)由题意，可得3，即1，整理得b2c2a2bc，由余弦定理知，cosA，因为0A，所以A.(2)根据正弦定理，得cosA，解得tanB，所以sinB.由正弦定理得，b2.考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长.解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理，得sinCsinB，故sinBsinC.(2)由题设及(1)，得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.5.(2018内蒙古集宁一中月考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asinCsinBasinAbsinBcsinC.(1)求角C的大小；(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2，求ABC的面积.解(1)由2asinCsinBasinAbsinBcsinC得，2absinCa2b2c2，sinC，sinCcosC，tanC，C(0，)，C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ)，得asinBbcosA，由正弦定理得sinAcosA，且A(0，)，A.根据正弦定理可得，解得c，SABCacsinB2sin(AC)sin.6.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B的大小；(2)若b2，求ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB，又A(BC)，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由和C(0，)，得sinBcosB.又B(0，)，B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立.因此ABC面积的最大值为1.考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.(2018东北三校联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2a2ccosB.(1)求角C的大小；(2)求cosAsin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值.解(1)b2a2ccosB2a2c，整理得a2b2c2ab，即cosC，因为0C，所以C.(2)由(1)知C，则BA，于是cosAsincosAsin(A)cosAsinA2sin，由AB，得0A，A.故当A时，2sin取得最大值2，此时B.8.设函数f(x)sinxcosxsin2(xR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，c2，求ABC面积的最大值.解(1)函数f(x)sinxcosxsin2(xR)，化简可得f(x)sin2xsin2x.令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间为(kZ).令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)由f0，得sinC，又因为ABC是锐角三角形，所以C.由余弦定理得c2a2b22abcosC，将c2，C代入得4a2b2ab，由基本不等式得a2b24ab2ab，当且仅当ab时，等号成立.即ab4(2)，所以SABCabsinC4(2)2，即ABC面积的最大值为2.9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cosC)，n(b，cosB)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，当ABC的面积取得最大值时，求ABC内切圆的半径.解(1)由已知可得(2ac)cosBbcosC，结合正弦定理可得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsin(BC)，又sinAsin(BC)0，所以cosB，又0B，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accosB，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而SABCacsinBac，当且仅当ac1时，SABC取得最大值.设ABC内切圆的半径为r，由SABC(abc)r，得r.典例(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积.审题路线图规范解答评分标准解(1)因为mn，所以(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知，cosB.因为B(0，)，所以B.5分(2)设BAD，则在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，8分从而a2c2cos6sin4sin.由可知，所以当，即时，a2c取得最大值4.11分此时a2，c，所以SABCacsinB.12分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.2.(2018全国)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3.已知函数f(x)sinxcosxsin2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，f(A)，ADBD2，求cosC.解(1)f(x)sinxcosxsin2xsin2xcos2xsin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由f(A)，得sin1，得到2A2k，kZ，解得Ak，kZ，由0A，得A，所以BAD，由正弦定理得，解得sinB，所以B或B(舍去).所以cosCcos(AB)sinsincoscos.4.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面内，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1km.(1)求BC的长；(2)野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为多少？(1.732，结果保留两位小数)解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin45(km).(2)依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan60(km)，又sin105sin(6045)，sin15sin(6045)，所以活动区ABECD的面积SSACDSABCSBCEACCDACCBsin15BCCEsin1051111.87 (km2)，故野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为1.87km2.