高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何考题溯源教材变式 理真题示例对应教材题材评说(2014高考课标全国卷，12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积.(选修21 P109例4)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小.立体几何中的高考大题，多数是以教材中典型的题材为背景，加以提炼，合成加工而得，复习时，应多做多变这类教材题.立体几何中的高考大题，多数是以教材中典型的题材为背景，加以提炼，合成加工而得，复习时，应多做多变这类教材题.教材变式训练一、选择题变式1(选修21 P111A组T1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为棱CC1上的中点，则A1M与D1C所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选B.以，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D1(0，0，2)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，M(0，2，1)，(2，2，1)，(0，2，2)，设A1M与D1C所成角为，cos |cos，|，45.变式2(选修21A组P117T4改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长是底边长的倍，则AC1与侧面ABB1A1所成的角的余弦值为()A.BC.D解析：选C.如图所示，设底面边长为2，侧棱长为2.取A1B1的中点D，连结C1D，AD，对于正三棱柱ABCA1B1C1，C1D面A1ABB1，C1AD即为AC1与面A1ABB1所成角，AC12，AD3，cosC1AD，即AC1与侧面ABB1A1所成角的余弦值为.二、填空题变式3(选修21 P117A组T3改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，且AB1MN，则的值为_解析：如图所示，取B1C1中点P，以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，底面边长为1，侧棱长为2，则A(0，0)，B1(，0，2)，C(，0，0)，C1(，0，2)，M(0，0，0)，设N(，0，t)，N(，0，)，(，2)，(，0，)又AB1MN，0.0，15.答案：15变式4(选修21 P118A组T12改编)如图将正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折叠后EOF的大小为_解析：如图所示，以，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，D(0，0，2)E(1，0，1)，F(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，cos，EOF120.答案：120变式5(选修21 P114B组T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CB与CD上的动点，满足D1EB1F，下列给出5个结论：EFB1D1；E、F分别是CB与CD的中点；BECF；EFmin；三棱锥C1CEF的体积的最大值为.以上结论一定正确的是_(只填序号)解析：如图所示，以，为正方向建立空间直角坐标系，设E(x，2，0)，F(0，y，0)，D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，(2，y2，2)，(x，2，2)，又，0，2x2y0，xy，显然不正确，不正确，正确对于EF，(0x2)当x1时，EFmin，正确VC1CEF(2x)x2(2x)x(0x2)显然当x1时VC1CEF最大值为，正确答案：三、解答题变式6(选修21 P119B组T3改编)在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABCDA90，SA平面ABCD，CD2AB，E为SC中点(1)求证：BE平面SAD；(2)若SAAD2，且平面SBC与平面SAD所成的二面角的余弦值为，求四棱锥SABCD的体积解：(1)证明：设点F为SD的中点，连接AF，EF，E点为SC的中点，EF为SDC的中位线，EF綊DC，又DABCDA90且CD2AB，AB綊CD，AB綊EF，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，又AF平面SAD，BE平面SAD，BE平面SAD.(2)SA平面ABCD，则可建以A为原点的空间直角坐标系(如图所示)，SAAD2，A(0，0，0)，D(2，0，0)，S(0，0，2)，设B(0，m，0)，C(2，2m，0)，(0，m，2)，(2，m，0)，设平面SBC的法向量为n(x，y，z)且SBBCB，n(，1，)，显然，平面SAD的法向量为(0，m，0)，又平面SBC与平面SAD所成的二面角的余弦值为，cos，n，m1，|AB|1，|CD|2，S直角梯形ABCD3，V四棱锥SABCD322.变式7(必修2 P69例3改编) 如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC2BC2CD2，PA圆O所在的平面，. (1)求证：CM平面PAD；(2)求CM与平面PAC所成角的正弦值为时，AP的值解：(1)证明：作MEAB于E，连接CE，则MEAP.AC是圆O的直径，AC2BC2CD2，ADDC，ABBC，BACCAD30，BCADCA60，ABAD.又，BEBA，tanBCE，BCEECA30CAD，ECAD，由，且MECEE，得平面MEC平面PAD，又CM平面MEC，CM平面PAD，CM平面PAD.(2)依题意，如图，以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设APa，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，a)设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，CM与平面PAC所成的角为，则，设x，则n(，3，0)，又，sin |cos，n|，a，即AP的值为.变式8 (选修21 P118A组T12改编)如图棱长为a的正方体OEACBFGD中，P是AB上的一点，Q是CD上的一点(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值；(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，求PQ的最小值；(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值解：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是.因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)PQ .当z时，PQ的最小值为a.即点Q在棱CD的中点时，PQ有最小值a.(2)因为点P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQAB时，PQ最短因为当点Q为棱CD的中点时，AQBQ，QAB是等腰三角形所以，当P是AB的中点时，PQ取得最小值a.(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，PQ的最小值仍然是a.证明：设P(x，y，z1)由正方体的对称性，显然有xy.设P在平面OA上的射影是H.在AOB中，所以，即有xaz1.所以，点P的坐标是(az1，az1，z1)由已知，可设Q(0，a，z2)，则PQ .当z2z1时，|PQ|取得最小值，最小值是a.